Solucionario tema-1-vicens-vives

matematicas

1. 1-3

Soluciones de las actividades
Página 3
1. El menor de los conjuntos al que pertenecen estos nú-
meros son:
a) Entero b) Entero c) Racional d) Natural
e) Racional
2. Cualquier fracción irreducible puede expresarse como
un número decimal calculando el cociente entre el
numerador y el denominador, por ejemplo 2 / 3 = 0,6.
En cambio, no todos los números decimales pueden
expresarse como fracciones. De hecho, por definición,
los números irracionales no pueden expresarse como
fracciones. Por ejemplo el número .
3. Las siguientes afirmaciones son:
a) Verdadera, Si sumamos un núm. racional no exac-
to, p / q, con un núm. entero m / 1:

q
mqp
1
m
q
p

Para comprobar si puede ser un núm. entero lo
igualamos a n / 1:

1
n
q
qmp
p + q · m = q · n p = q · (n – m)
mn
q
p

Lo cuál no es posible, ya que la resta de dos núme-
ros reales (n – m) no puede ser un número racional
no exacto, sino que será un número entero.
b) Verdadera, dado que si son número racionales se
pueden expresar en forma de fracción, es decir: a =
= p / q y b = m / n con p, q, m y n números enteros,
tales que q y n 0.
Entonces:
nq
mp
n
m
q
p
ba
Por lo tanto el producto de a · b es un número
racional, dado que se puede expresar como
cociente de números enteros y q · n 0 dado que
los dos números son distintos de cero. Página 4
4. Actividad personal, a modo de ejemplo:
1,234567...
1,02003000400005...
2,02002000200002...
1,35791113...
2,468101214...
5. Las respuestas y razonamientos son:
a) No, pues un decimal puede tener un número
limitado de cifras o ser periódico. Por ejemplo, 1,2
tiene un número limitado de cifras y 3,3 es
periódico y, por lo tanto, son números decimales
no irracionales.
b) Sí, cualquier número irracional es un número deci-
mal no periódico con un número ilimitado de ci-
fras.
6. Construimos una tabla:
Por exceso Por defecto
Décimas 3,2 3,1
Centésimas 3,15 3,14
Milésimas 3,142 3,141
7. El producto de un número irracional por un entero no
puede ser un número racional, será siempre irracional.
Porque seguirá teniendo infinitas cifras decimales.
8. Las sucesiones de los números decimales son:
a) Por exceso: 2 > 1,5 > 1,42 > 1,415 > 1,4143 > ...
Por defecto: 1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 < ...
b) Por exceso: 3 > 2,8 > 2,72 > 2,719 > 2,7183 > ...
Por defecto: 2 < 2,7 < 2,71 < 2,718 < 2,7182 < ...
c) Por exceso: 2 > 1,7 > 1,62 > 1,619 > 1,6181 > ...
Por defecto: 1 < 1,6 < 1,61 < 1,618 < 1,6180 < ...
9. Las siguientes afirmaciones son:
a) Falso. El producto de dos número racionales no
puede ser un número irracional, puesto que puede
expresarse en forma de fracción: a y b son
números racionales que expresamos como a = p / q
y m / n, siendo todos ellos números enteros y q y n
diferentes de cero. Por tanto:

f
e
nq
mp
n
m
q
p
ba ¸ siendo e / f racional.
b) Verdadero. Por ejemplo 2,2 que es un número
racional, ya que podemos expresarlo como 11 / 5,
y su raíz cuadrada es un número irracional:
...483239697,12,2 Página 5
10. El menor de los conjuntos al que pertenecen son:
a) Racional b) Entero c) Racional d) Racional
e) Irracional
11. Los resultados son:
a) -543
3
, Entero.

2. 1-4

b) 34349
3
, natural.
c) 54121
510
, natural.
d) 21 , irracional.
12. Respuesta personal. A modo de ejemplo:
a) Cualquier número negativo m que pueda expresar-
se como m / 1. Por ejemplo -2.
b) Una fracción irreducible con denominador diferen-
te de 1 y 0. Por ejemplo 1 / 3.
c) Debe tener un número ilimitado de cifras decima-
les y no ser periódico.
d) Es un número irracional. Que no puede expresarse
como fracción. Por ejemplo el número e.
e)

Cualquier decimal periódico o exacto, que se puedan
expresar como fracciones. Por ejemplo 0,6 = 3 / 5.
f)

El 0 (el único ejemplo posible).
Página 6
Piensa y contesta:
Partiendo de que la diagonal del pentágono regular y
su lado están en proporción áurea, el primer paso será:












Siendo
2
5
a . Dibujamos un segmento que tenga la
longitud de la diagonal de un pentágono regular:





















Fácilmente podemos terminar el pentágono regular:











13.
La representación es la siguiente:
01-1

-0,5 0,
3
7/8 1,4 1,6
14.
La representación de los números irracionales es:

a) Por exceso: 2 > 1,5 > 1,42 > 1,415 > 1,4143 > ...

Por defecto: 1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 < ...
b)

Por exceso: 3 > 2,8 > 2,72 > 2,719 > 2,7183 > ...
Por defecto: 2 < 2,7 < 2,71 < 2,718 < 2,7182 < ...
c)

Por exceso: 2 > 1,7 > 1,62 > 1,619 > 1,6181 > ...
Por defecto: 1 < 1,6 < 1,61 < 1,618 < 1,6180 < ...

2

e
0 1 2 3

15.
Una aproximación a las centésimas es: 4,41, a las
milésimas: 4,414.

16.
En el Libro de Texto hemos representado
2
y
3
.
Con ellos tendremos suficiente para representar los
números dados:
a)
22
125

b)
2
2
237

a 1
1/2
5
2

51
22

1/2
15
2

3. 1-5
c)
2
2
1123
5 7 11

2 3

17. Las representaciones mediante el teorema de Pitá-
goras son:
a) 29


b) 34


c)

Dibujamos
53
y le sumamos 3.



d)

Dibujamos
61
y a 7 le restamos
61
.


18.
La representación en la recta real de los puntos es:


01 2 3 4
ab c

19.
La representación de algunas raíces cuadradas me-
diante el caracol de Pitágoras es:


Página 7
20.
El redondeo hasta las centésimas de las cifras son:
a) 1,00; b) 2,74; c) 4,01; d) 77,82.
21.
El error absoluto sí que tiene unidades, puesto que es
una resta, mientras que el error relativo es adimen-
sional, al ser el cociente de una división de dos cifras
con las mismas unidades, y el resultado se da en tanto
por uno o tanto por ciento si lo multiplicamos por 100.
Página 8
22.
La medida real estará situada entre los 140 mm y los
146 mm.
23.
Si por experiencia sabemos que una plaza de esta-
cionamiento suele ser de unos 4,5 m, la longitud esti-
mada aproximada de la calle será:

15 · 4,5 m = 67,5 m
Página 9
24.
No podemos asegurar que x
2
> y
2
pues al ser todos los
cuadrados positivos, el orden depende de los valores
absolutos de
x
e
y
. Por ejemplo:
4 > 5 pero 4
2
= 16 < 25 = (5)
2

La función f(x) = x
3
sí que es creciente y, por lo tanto,
si x > y x
3
> y
3
.
25.
Los resultados son:
a) 7 b) 27 c) 9 d) 7 e) -1
f) 1
26.
Partiendo de d (x, z) d (x, y) + d (y , z) una conse-
cuencia es:
d (x, z) – d (y, z) d (x, y)
Puesto que d (x, z) d (x, y) + d (y , z) implica que:
d (x, z) – d (y, z) d (x, y)
Intercambiando el papel de x por el de y:
d (y, z) – d (x, z) d (y, x)
Con lo cual:
-d (y, x) d (x, z) – d (y,z) d (y, x)
-y – x x – z – y – z y - x

4. 1-6
Válido para cualesquiera números reales x, y, z.
27. Los resultados son:
a) Para x = 2:
2 – 5 + 2
2
+ 6 = -3 + 10 = 13
Para x = -5
(-5) – 5 + (-5)
2
+ 6 = -10 + 31 = 41
Para x = 1 / 2
1 / 2 – 5 + (1 / 2)
2
+ 6 = -9 / 2 + 25 /
/ 4 = 43 / 4
b) Para x = 2:
1 – 2
2
+ 2 – 2
2
= -3 + -2 = 5
Para x = -5
1 – (-5)
2
+ -5 – (-5)
2
= -24 + -30 =
= 54
Para x = 1 / 2
1 – (1 / 2)
2
+ 1 / 2 – (1 / 2)
2
= 3 / 4 + 1 /
/ 4 = 1
c)

Para x = 2:
3 · 2 – 7 + -9 – 2 · 2 = -1 + -13 = 12
Para x = -5
3 · (-5) – 7 + -9 – 2 · (-5) = -22 + 1 = -21
Para x = 1 / 2
3 · (1 / 2) – 7 + -9 – 2 · (1 / 2) = -11 / 2 + -10 =
= 9 / 2
d)

Para x = 2:
2 – 2 – 2
2
– 2
3
= 0 – -4 = -4
Para x = -5
2 – (-5) – (-5)
2
– (-5)
3
= 7 – 150 = -143
Para x = 1 / 2
2 – 1 / 2 – (1 / 2)
2
– (1 / 2)
3
= 3 / 2 – 1 / 8=
= 11 / 8
28.
Las siguientes igualdades son:
a)

x + y x + y

Siendo x, y números reales se han de cumplir las
desigualdades:
-x x x - y y y
Sumamos ambas desigualdades:
-(x + y) x + y x + y)
Por tanto la desigualdad es cierta.
b)

-5y = (-5) · y
Según las propiedades del valor absoluto se ha de
cumplir:
-5y = -5 · y = 5 · y
Por tanto la desigualdad es falsa.
Página 10
29. Las siguientes igualdades son:
a) (3, 7)
3 7

b) [-2, 5]
-2 5

c) (-4, 8]
-4 8

d) (-, 5)
5

e) [1, +)
1

f) (-, +)

g) {x | x 3}
3

h) {x | -2 < x}
-2

i) {x | -1 x 1}
-11

30.
Las expresiones son:
a)

Verdadera, puesto que 4 < 5 < 7
b)

Falsa, puesto que -1 < 0 < 5
c)

Falsa, puesto que 1 no esta comprendido dentro
del segundo intervalo.
d)

Verdadera, puesto que -1 < 0 < + ; y + esta
dentro del intervalo.
e)

Falso, puesto que en el primer intervalo se incluye
al 0 y en el segundo es hasta 0 sin incluirlo.
f)

Falso, puesto que 3 < 3,00001 < 8.
Página 11
31.
Las representaciones de los intervalos en la recta real
son:
a) (-3, 2) (5, +)
-3 2 5

-

5. 1-7
b) (-, -1) (-1, +)

c) (-, 0) (-5, 6]
6

d) [-3, 8] (-4, 1)
-3 1

e) (-, 3] (-4, +)
-4 3

f)

(-2, 1) (1, +) Conjunto vacío, .
32.
Para a = 3 y r = 0,3 el intervalo es:
(a – r, a + r) (2,7, 3,3)
La representación del entorno en la recta real es:
2,7 3,33

33.
El centro y el radio del intervalo (-3,99, 4,01) son:
Se tiene que cumplir:
a – r = -3,99 a + r = 4,01
De a – r = -3,99 r = 3,99 + a
Lo introducimos en a + r = 4,01:
a + 3,99 + a = 4,01
Por tanto el centro es:
a = (4,01 – 3,99) / 2 = 0,01
Y el radio es:
r = 3,99 + 0,01 = 4
Página 14
P1.
Reales (), racionales (), enteros () y naturales
().

Un número puede pertenecer a más de un conjunto,
así un número natural es también entero, racional y
real.
P2.
Utilizando el teorema de Pitágoras
13
es:






P3.
Redondeamos un número hasta un determinado orden
de aproximación, suprimimos las cifras a partir de ese
orden, procediendo del siguiente modo con el ejemplo
1,247:
- Si la primera cifra que suprimimos es menor que 5,
dejamos igual la última cifra anterior. Si redon-
deamos el ejemplo hasta las décimas:
1,2
- Si es mayor o igual a 5, aumentamos en una uni-
dad la última cifra anterior. Si redondeamos el
ejemplo hasta las centésimas:
Al aproximar un número real se cometen errores:
- El error absoluto es el valor absoluto de la dife-
rencia entre el número real y la aproximación. Por
ejemplo al aproximar 1,247 por 1,2:
E
a
= 1,247 – 1,2 = 0,047
- El error relativo es el cociente entre el error
absoluto y el número real. Para el ejemplo ante-
rior:
E
r
= 0,047 / 1,247 0,03 3 %
P4.
Las cifras significativas de una medida son las que se
conocen con certeza más una última sujeta al error.
Por ejemplo si medimos una pieza con un instrumento
que mide hasta la décima de centímetro y la lectura
dada es 15,5. Las cifras conocidas con certeza serán
15, la cifra sujeta a error de medida ,5 y las tres cifras
significativas 15,5.
P5.
El valor absoluto de un número real x, x, se define
como su valor numérico sin tener en cuenta su signo,
es decir:
-x x x o como
0xsix
0xsi0
0xsix
x

La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se
definen como:
d (x, y) = x – y
P6.
Respuesta personal. A modo de ejemplo:
a)

Intervalo abierto: (3, 8)
b) Intervalo cerrado: [3, 8]
c)

Intervalo semiabierto por la izquierda: (3, 8]
d)

Intervalo semiabierto por la derecha: [3, 8)

e)

Semirrecta cerrada por la izquierda: [3, +)
f)

Semirrecta abierta por la derecha: (-, 8)
34.
El menor conjunto al que pertenecen los siguientes
números son:
a) d)

g)

j)
b) e) h)

k)
c) f) i)

l)
35.
No podemos escribir ningún número entero que no
sea racional, puesto que todos los números enteros son
racionales. Y tampoco podemos escribir ningún nú-
mero racional que no sea real, porque todos los núme-
ro racionales son reales.
3
4
13
13

0
-

6. 1-8
36. Los dos términos siguientes de cada sucesión son:
a) 1,29999; 1,299999.
b) -0,19999; -0,199999.
c) 3 + 0,5 + 0,05 + 0,005 + 0,0005; 3 + 0,5 + 0,05 +
+ 0,005 + 0,0005 + 0,00005.
37. Los números expresados en forma de fracción son:
2,3 23 / 10
2,135555… (2135 – 213) / 900 = 961 / 450
0,0023 23 / 10000
2,100 21 / 10
16,777777… (167 – 16) / 9 = 151 / 9
38.
La sucesión para aproximar el número por defecto
(a izquierda de la igualdad) y por exceso (a la dere-
cha) son:
3 4
3,1 3,2
3,14 3,15
3,141 3,142
3,1415 3,1416
39.
La representación de los números en la recta real es:







40.
Utilizando el teorema de Pitágoras representamos en
la recta real:
a)

22
123




b)

22
112




c)

22
13




d)

22
14





e)
22
15



41. La suma de dos números racionales puede ser un nú-
mero entero, por ejemplo: 1,5 + 2,5 = 4.
El producto de dos números racionales puede ser un
número entero, por ejemplo: 2,5 · 1,6 = 4
42.
La suma de un número racional y otro irracional será
un número irracional, por ejemplo: 1,5 + = 4,6415…
La resta de un número racional y otro irracional será
un número irracional: 1,5 – = -1,6415…
43.
Respuesta personal. A modo de ejemplo:
Los tres números irracionales famosos: = 3,1415…;
= 1,6180…; e = 2,7182…
Y los otros dos que faltan pueden ser el resultado de
alguna operación con estos número: 3 · = 9,4247…;
e – 1 = 1,7182…
44.
Las siguientes afirmaciones son:
a)

Verdadera. Puesto que los número racionales están
incluidos en los reales.
b)

Verdadera. Cualquier número que este entre dos
número racionales será real, sea irracional, racio-
nal, entero o natural.
c)

Verdadera. Puesto que entre los números enteros
hay números racionales y entre números racionales
hay infinitos números racionales.
d)

Falsa. Por ejemplo entre -1,5 y 1,5 solo hay tres
números enteros: -1, 0 y 1.
e) Falsa. Los números irracionales son reales y no
pueden expresarse en forma de fracción.
f)

Falsa. Por ejemplo 2 es un número positivo par y
su raíz cuadrada es un número irracional.
45.
Las demostraciones y contraejemplos son:
a)

Falsa. Un contraejemplo sería 1,5 · = 4,7123…
b)

Verdadera. Por ejemplo 1,5 + = 4,6415…
c)

Falsa. Un contra ejemplo sería: / e = 1,1557…
46.
Los valores son:
A
= 211
22

B
= 312
2
2

C
= 2413
2
2

D
= 512
22

-1,3 0 5/4 2 7
2,7
5
0 5 35
2
1
2 22 0
1
1
10 0
3
1
17 0
4
1
26 0
5
1

7. 1-9
47. Los redondeos y errores absolutos y relativos son:
a) 67,4781
Hasta las décimas: 67,5
E
a
= 67,4781 – 67,5 = 0,0219
E
r
= 0,0219 / 67,4781 0,0003
Hasta las centésimas: 67,48
E
a
= 67,4781 – 67,48 = 0,0019
E
r
= 0,0019 / 67,4781 0,00003
Hasta las milésimas: 67,478
E
a
= 67,4781 – 67,478 = 0,0001
E
r
= 0,0001 / 67,4781 0,000001
b) 16,8734
Hasta las décimas: 16,9
E
a
= 16,8734 – 16,9 = 0,0266
E
r
= 0,0266 / 16,8734 0,002
Hasta las centésimas: 16,87
E
a
= 16,8734 – 16,87 = 0,0034
E
r
= 0,0034 / 16,8734 0,0002
Hasta las milésimas: 16,873
E
a
= 16,8734 – 16,873 = 0,0004
E
r
= 0,0004 / 16,8734 0,00002
c) 84,5065
Hasta las décimas: 84,5
E
a
= 84,5065 – 84,5 = 0,0065
E
r
= 0,0065 / 84,5065 0,00008
Hasta las centésimas: 84,51
E
a
= 84,5065 – 84,51 = 0,0035
E
r
= 0,0035 / 84,5065 0,00004
Hasta las milésimas: 84,507
E
a
= 84,5065 – 84,507 = 0,0005
E
r
= 0,0005 / 84,5065 0,000006
Página 15
48.
Calculando el error absoluto y el relativo como en el
ejercicio anterior, la parte que falta de completar de la
tabla es. Es importante recordar que el valor del error
relativo es aproximado y todos los datos del error
relativo están dados en tanto por uno:
número aprox. E
a
E
r
2/5 0,39 0,01 0,025
3/11 0,27 0,002727… 0,01
2,7777... 2,27 0,5077… 0,183
2,751111... 2,751 0,00011… 0,00004
2,32721694... 2,3272 0,00001694… 0,000007
1,1111... 1,12 0,0089… 0,008
0,00001... 0,0001 0,00009 9
49. Si ...709975947,15
3
:
La aproximación hasta las centésimas: 1,71.
Para calcular el E
r
necesitamos calcular el E
a
:
E
a
= 1,709975947 – 1,71 = 0,000024053
E
r
= 0,000024053 / 1,709975947 0,00001
50. Si redondeamos hasta el numerador, aprox. = 12:
E
a
= 12,33287 – 12 = 0,33287
E
r
= 0,33287 / 12,33287 0,03 3 % > 1 %.
Redondeamos hasta las décimas, aprox. = 12,3
E
a
= 12,33287 – 12,3 = 0,03287
E
r
= 0,03287 / 12,33287 0,003 0,3 % < 1 %
Por tanto la aproximación ha sido hasta las centésimas.
51.
Porque podemos asegurar que es menor que el valor
absoluto de ladiferencia entre las aproximaciones por
exceso y por defecto. Debido a esto el error absoluto
cometido es menor que la unidad del orden de aprox-
imación.
52.
Depende del valor de la medida. Si por ejemplo
tenemos una medida de 13,5 km. Primero calculamos
el valor absoluto como si redondeáramos por exceso:
E
a
= 13,5 – 14 = 0,5
Si redondeáramos por defecto:
E
a
= 13,5 – 13 = 0,5
Por tanto el error absoluto se acota entre:
E
a
= 0,5
Pero si la medida fuera de 13,4:
Por defecto: E
a
= 13,4 – 13 = 0,4
Por exceso: E
a
= 13,4 – 14 = 0,6
Y el error absoluto quedaría acotado entre:
0,4 E
a
0,6
53.
Si la medida del lápiz es de 11,7 cm, la longitud real
del lápiz se encuentra entre: 11,6 y 11,8 cm.
54.
Si el instrumento mide hasta l0 mm y el valor de la
medida es de 35,4 cm:
a)

La longitud real esta comprendida entre35,3 y
35,5 cm.
b)

Se expresa con 3 cifras significativas.
55.
El error absoluto por defecto será:
E
a
= 5,3 – 4 = 1,3
El errror absoluto cometido al redondear por exceso:
E
a
= 5,3 – 7 = 1,7
Por tanto el erro absoluto estara acotado entre:
1,3 E
a
1,7
El error relativo cometido al aproximarse por defecto:
E
r
= 1,3 / 5,3 0,25 25 %

8. 1-10
El error relativo cometido al aproximarse por exceso:
E
r
= 1,7 / 5,3 0,32 32 %
Por tanto el error relativo estará acotado entre:
25 % E
r
32 %
56. Primero calculamos el error absoluto:
E
a
= E
r
· 2,131= (0,05 / 100) · 2,131= 0,00106…
0,001
Por tanto la distancia real se encuentra entre 2,230 y
2,232 km.

57. Al medir una casa supondremos que toman las medi-
das en metros. El láser de Andrea mide hasta las déci-
mas de milímetros, por ejemplo su medida seria de
2,1324 m (2132,4 mm). Por tanto Andrea cometerá un
absoluto de 0,0001 m y un error relativo de 0,005 %.
Mientras que el de Sandra mide hasta los centímetros,
y su medida por ejemplo sería de 2,13 m (213 cm).
Por tanto Sandra cometerá un error absoluto de 0,01
m y un error relativo del 0,5 %.
Comparando los errores relativos: 0,5 / 0,005 = 100.
Luego el láser de Andrea será 100 veces más preciso
que el láser de Sandra.
58.
Actividad personal. El número a parte de ser irracio-
nal tiene que ser mayor que 2 = 1,4142… y =
= 3,1415… A modo de ejemplo:
(2 + ) / 2= 2,2779…
59.
El número e
2
= 7,389… se encuentra entre los número
enteros 7 y 8, y
23
= -4,795… entre -4 y -5.
60.
Los conjuntos ordenados de menor a mayor son:
a) -2,1988723 < 2,344444 < 3,14159 < < 3,97
b) -1,8 < -0,018 < -0,0018 < 0,018 < 1 / 8 < / 3
61
Los resultados son:
a)

2 – 9 = -7 = 7

b)

36 = 36

c)

(-2) · (-3) = 6 = 6

d)

1 – -4 = 1 – 4 = -3 = 3

e)

-2 – 3 – 9= --10 = -10

f)

-2 + -2 = -2 + 2 = -4
62.
Si
x
2
>
y
2
podemos afirmar que
x
>
y
si los dos son de
signo positivo, por ejemplo
x
= 3,
y
= 2, se cumple 3
2
> 2
2
. Pero no se cumple si
x
e
y
son de signo negativo,
por ejemplo
x
= -2 e
y
= -3, cumple
x
>
y
, pero no
cumple (-2)
2
> (-3)
2
.
63.
Si d (x, y) = x – y = 7. Y también ha de cumplir
que x = -y:
Despejamos de la definición de distancia:
x = 7 + y
Lo igualamos a la segunda condición x = -y:
-y = 7 + y y = -7 / 2 x = 7 / 2
Por tanto es válido para:
x = 7 / 2, y = -7 / 2 y x = -7 / 2, y = 7 / 2
64. El intervalo en el que trabajamos es:
(0,01 – 0,25, 0,01 + 0,25) = (-0,24, 0,26)
Por ejemplo, dos números racionales que disten lo
mismo del centro (0,01) son: 0,03 y -0,01, con un
radio de 0,02.
Dos número racionales que los cumplan son:
3e / 100 y –e / 100, con un radio de e / 50.
65. Los valores de x que verifican x < 4 son:
Cualquier valor comprendido en el intervalo (-4, 4).
Y los valores de
x
que cumplen x – 1 > 3 son:
Los comprendidos en [-, -2) (4, +)
66.
Las desigualdades son:
a)

Falsa. Puesto que -3x = 3x.
b)

Falsa. Puesto que -5 (-x) = 5x = 5x.
c)

Falsa. Puesto que si x = 0 la igualdad no se cum-
ple: 4 < 4.

d)

Falsa. Puesto que si x = 0 la igualdad no se cum-
ple: 0 < 0.
67.
Las expresiones en forma de conjunto y su representa-
ción en la recta real son:
a)

x 2 < x < 5
El intervalo abierto de extremos 2 y 5.
b)

x 0 < x 4
El intervalo semiabierto por la izquierda de extre-
mos 0 y 4.
c)

x x < 4
La semirrecta abierta a la izquierda de 4.
d)

x x -3
La semirrecta cerrada la izquierda de -3.
e) x -3 < x
La semirrecta abierta a la derecha de -3.
f)

x x
R


Toda la recta.
g)

x 5 x
La semirrecta cerrada la derecha de 5.
h)

x -5 x 2
El intervalo cerrado de extremos -5 y 2.
i)

x -7 x < 3
El intervalo semiabierto por la derecha de extre-
mos -7 y 3.
68.
Actividad personal. A modo de ejemplo:

Para el intervalo (-2,34, -2,3404):
Número racional: -2, 3402

9. 1-11
Número irracional: -1,351 3 = -2,3400006…
Para el intervalo (2, 4):
Número racional: 3,5
Número irracional: 5 = 2,23606…
Para el intervalo (0,001, 0,1):
Número racional: 0,03
Número irracional: / 100 = 0,0314…
69. La expresión mediante intervalos es:
a) [1, +); semirrecta cerrada a la derecha de 1.
b) (3, 7); intervalo abierto de extremos 3 y 7.
c) (-5, +); semirrecta abierta a la derecha de -5.
d) [-2, 10); intervalo semiabierto por la derecha de
extremos -2 y 10.

e)

(
-
, 3); semirrecta abierta a la izquierda de 3.
f) (-5, 5]; intervalo semiabierto por la izquierda de
extremos -5 y 5.
70.
Los intervalos son:
a)

[-3, -1) [2, 4)
b)

(-1, 1) (1, 2] [4, +)
c)

(-, -7) (-7, -3) (-3, 1] [5, +)
71.
Las representaciones son:
a)
-2 7 1113
b)
-2 1 2-4
c)
1 2

d)
-2 1 73
Página 16
72.
Las representaciones son:
a)
-2 3-3
b)

-7 -1 10 42

73.
Los centros y radios de los entornos son:
a)

a =
-
1, r = 3 b)

a = 1, r = 4 c)

a = -3,5, r =0,5
d) a = 1, r = 1
74.
Los intervalos son:
a)

(2, 5) (5, 7)
b) (-, 3) [5, 7) (7, +)
c) (-1, 1)
75. El intervalo (-3, 11) expresado en forma de entorno
es:
El centro sería: a = (11 + (– 3)) / 2 = 4
El radio: r = 11 – 4 = 7
Y por tanto expresaríamos el entorno como:
E
7
(4)
76. El entorno de a = 2 y r = 0,5, expresado en forma de
intervalo es:
(2 – 0,5, 2 + 0,5) = (1,5, 2,5)
Y su representación en la recta real:
1,5 2,52

77.
Los entornos en forma de intervalos son:
a)

(5 – 3, 5 + 3) = (2, 8)
2 85

b)

(-2 – 4, -2 + 4) = (-6, 2)
-6 2-2

c)

(-1,6 – 0,5, -1,6 + 0,5) = (-2,1, -1,1)
-2,1 -1,1-1,6

-2,1 -1,6 -1,1
d)

(0,1 – 0,1, 0,1 + 0,1) = (0, 0,2)
0 0,20,1

78.
Para el intervalo (-2,36, -1,45) el centro y el radio del
entorno correspondiente son:
a = (-1,45 + (-2,36)) / 2 = -1,905
r = -1,45 – (-1,905) = 0,455
79.
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto:
a)

-5 x + 3 5

-8 x 2 [-8, 2]
b)

-4 < 3 – x < 4
-
7 < – x < 1

7 > x > -1 (-1, 7)
c)

Hay dos posibilidades, o mejor dicho es una unión
de intervalos.
7x –5 2
7x 7
x 1 [1, +)
7x – 5 - 2

10. 1-12
7x 3
x 3 / 7 (-, 3 / 7]
El intervalo es: (-, 3 / 7] [1, +)
d) Unión de intervalos
3x – 1 > 3
x > 4 / 3 (4 / 3, +)
3x – 1 < -3
x < -2 / 3 (-, -2 / 3)
(-, -2 / 3) (4 / 3, +)
e) -9 7x – 5 9
-4 / 7 x 2 [-4 / 7, 2]
f) -8 < 4x < 8

-2 < x < 2 [-2, 2]
80.
Los entornos que corresponden son:
a)

a = (7 + 3) / 2 = 5, r = 5 – 3= 2 E
2
(5)
b)

Interpretación: x – 0 < 2,5
a = 0, r = 2,5 E
2,5
(0)
c)

-2 < x + 7 < 2
-9 < x < -5
a = (-9 + (-5)) / 2 = -7, r = -7 – (-9) = 2
E
2
(-7)
81.
Actividad personal. A modo de ejemplo:
a) Cualquiera.
b) Todos los números tienen que poder expresarse
como fracciones, sin que el denominador sea la
unidad. Por ejemplo: (1, 2).
c)

(-, 0]
d)

(-, 0) (0, +)
82.
Empezando por [-3, 2] de amplitud 5:
[-0,5, 2] de amplitud 2,5
[0,75, 2] de amplitud 1,25
[11 / 8, 2] de amplitud 5 / 8
[27 / 16] de amplitud 5 / 16
83.
Dado (-4, 3):
a)

Sería el entorno de a = 2 y r = 1 definido por el
intervalo (1, 3).
b)

r = 3,5
84.
Los intervalos correspondientes son, teniendo en cu-
enta que el intervalo correspondiente a A es (-, 1]
son:
a)

(-, 1] (0,2) [-1, 3) (-, 3)
b)

(-, 1] (0,2) (0, 1]

c)

(-, 1] [-1, 3) [-1, 1]
d)

(-, 1] (0,2) [-1, 3) (0, 1]
85. Siendo los intervalos:
A = (-, 1] B = (-4, 3] D = (1,3, 2,7)
Las expresiones en forma de intervalos son:
a) (-, 1] (-4, 3] (0, 2) (-, 2) (2, 3]
b) (-, 1] (-4, 3] (-4, 1]
c) (-, 1] (0, 2) (0, 1]
d) (-, 1] (-4, 3] (0, 2) (0, 1]
e) (0, 2) (1,3, 2,7) (1,3, 2)
f) (0, 2) (1,3, 2,7) (0, 2) (2, 2,7)
86. Primero lo calculamos:
2413
2
2

Por tanto es cierta, puesto que se trata de un número
natural que están incluidos dentro de los racionales.
87.
Si la medida es de 102,4 m
2
y el E
a
= 0,6 m
2
el
intervalo en el que se encuentra la medida es (103,0,
101,8).
88.
Las respuestas son:
a)

(40.847.371 – 18.830.649) / 18.830.649 · 100
117 % respecto a la población de 1900.
b)

E
a
= 40.847.371 – 40.000.000 = 847371 habts.

Er = 847371 / 40.847.371 0,02 2 %
89.
Primero calculamos lo que le queda a Juan:
3.700.000 / 5 = 740.000 euros
3.700.000 – 740.000 = 2.960.000 euros le quedan
E
a
= 2.960.000 – 2.900.00= 60.000 euros
E
r
= 60.000 / 2.960.000 0,02 2 %
90.
Primero calculamos lo que se ha destinado a investi-
gación:
0,25 / 100 · 34.550.000 = 86.375 euros
E
a
= 86.375 – 86.000= 375 euros
E
r
= 375 / 86.375 0,004 0,4 %
91.
Primero calculamos el sueldo mensual de cada emple-
ado, teniendo en cuenta que un 1 año tiene 12 meses:
25 / 100 · 643.517 / 12 / 7 = 1888,4 € / mes / empleado
E
a
= 1888,4 – 1800= 88,4 euros
E
r
= 88,4 / 1888,4 0,05 5 %
92.
Tomando como medida real 29,7 / 7 cm:
E
a
= E
r
· núm. real = 0,0001 · 29,7 / 7 0,0004 cm =
= 0,004 mm.
Por tanto la precisiónha de ser hasta las centésimas de
milimetro.
93.
Primero calculamos el área del rectángulo:
A
rectángulo
= 24 · 40 = 960 cm
2

Y el área de los cuadrados será el resultado de dividir
el área del rectángulo entre el núm. de cuadrados.

11. 1-13
A
cuadrados
= 960 / 81 cm
2
= 11,85185185
Entonces calcularemos el error absoluto si E
r
= 1 · 10
-5

E
a
= 0,0001 cm
2

Por tanto la precisión con que se tomó el valor del área
de los cuadrados fue hasta las diezmilésimas de cm
2
.
Por tanto se tomó como valor del área de un cuadrado
11,8518 cm
2
= 1185,18 mm
2

Por lo que el lado de los cuadrados mide:
L = mm43,3418,1185área
Página 17
94.
Suponemos que
7
es un número racional. Luego
podemos escribir:
b
a
7, siendo
b
a
la fracción irreducible.
Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la
igualdad resulta:
2
2
b
a
7 a
2
= 7b
2

Luego
a
2
es múltiplo de 7 , ya que tiene el factor 7.
Por lo tanto,
a
es divisible entre 7.
Pero
a
2
es cuadrado perfecto, luego si a tiene7 como
factor,
a
2
lo debe tener 2 veces. Por tanto
b
2
debe
tener también factor 7.
Luego
b
2
es múltiplo de 7, y como consecuencia,
b
es
múltiplo de 7.
Por tanto si
a
y
b
son múltiplos de 7, la fracción
a
/
b
no es irreducible, contradiciendo la hipótesis inicial.
Por consiguiente
7
no es racional.
95.
Los resultados hasta las milésimas y los errores relati-
vos cometidos son:
a)

3,2305 + 3,1415 – 0,0002 = 6,3718 6,372
E
a
= 6,3718 – 6,372 = 0,0002

Er = 0,0002 / 6,3718 0,00003
b)

1,9129 + 1,7099 – 2,2361 – 2,6458 = -1,2591
-1,259
E
a
= -1,2591 – (-1,259) = 0,0001

Er = 0,0001 / -1,2591 0,00008
c)

2 + 1,4142 – 2,2361 = 1,1781 1,178
E
a
= 1,1781 – 1,178 = 0,0001

Er = 0,0001 / 1,1781 0,00008
d)

3,1415 · 2,2361 = 7,0247 7,025
E
a
= 7,0247 – 7,025 = 0,0003

Er = 0,0003 / 7,0247 0,00004
96.
Es falsa. Puesto que por ejemplo para
a
= -7 y
b
= -2,
no se cumple la condición de
a
> 0 y
b
> 0, pero sí
que se cumple con las igualdades:
a · b = -7 · (-2) = 14 > 0
a – b = -7 – (-2) = -5 < 0
Por lo tanto que a y b sean positivos no es una condi-
ción.
97. Si a y b son número reales y a > 0 y b < 0:
a) Verdadero, puesto que independientemente del
signo de a y b, el resultado será un número natural.
b) Falso. Por ejemplo no se cumple para a = 5 y b = -1,
que cumplen la primera condición (a > 0 y b <0):
(-5 – 2 · (-1))
2
= 9 > 0
c) Verdadero, puesto que sean cuales sean los valores
de a y b, si cumplen la primera condición, cumpli-
rán con la igualdad, puesto que el signo siempre
será negativo.
d)

Verdadero, puesto que si se cumple la primera
condición, la fracción 1 /
a
siempre será positiva, y
la fracción 1 /
b
negativa, y el resultado de multi-
plicarlos siempre será negativo.
98.
Siendo
a
y
b
número reales y
a
<
b
,
a
> 0 y
b
> 0:
a)

Falsa, ya que por ejemplo, para
a
= 0,25 y
b
= 0,5,
que cumplen las condiciones iniciales,no se cumple
la igualdad:

1 / 0,25 = 4; 1 / 0,5 = 2 4 > 2
b)

Falsa, por ejemplo, para
a
= 2 y
b
= 3 que cumplen
con las condiciones iniciales, pero no cumplen con
la igualdad:

1 / 2 > -1 / 3
c)

Verdadera, puesto que si se cumplen las condicio-
nes iniciales, la fracción -1 / b siempre será más
grande (un número negativo más pequeño) que la
fracción -1 / a.
99.
Siendo
a
,
b
y
c
números reales que cumplen
a
> 0,
b
< 0 y
c
< 0:
a)

Verdadera, puesto que si se cumplen las condicio-
nes iniciales, la fracción a / b siempre resultará
negativa, yaque el conciente entre un número
positivo (
a
) y otro negativo (
b
) resultaránegativo,
mientras que –
a
/
b
siempre resultarápositiva,
porque el numerador (-
a
) siempre será negativo y
el denominador (
b
) siempre será negativo, resul-
tando el cociente de la división siempre positivo.
b) Falsa, por ejemplo para
a
= 4 y
b
= -2, que
cumplen las condiciones iniciales, nose cumple la
condición de la igualdad:

4 / -(-2) = 2; -4 / -2 = 2 2 = 2
c)

Falsa, puesto que si se cumplen las condiciones
iniciales, la fracción
b
/
c
siempre resultará positi-
va, mientras que –
b
/
c
siempre resultaránegativa,
y por tanto la igualdad sería:

b / c > -b / c

12. 1-14
100. Siendo a < 0, b > 0 y a < b:
a) Verdadera, puesto que al ser b positivo y a nega-
tivo y tener un signo menos delante, pasa a tener
signo positivo, y el resultado de la igualdad
siempre será positivo. Y tampoco será cero pues-
to que el valor absoluto de a es menor que el de b.
b) Verdadera, puesto que al ser a negativo y b
positivo, pero tener un signo menos delante, pasa
a tener signo negativo, el resultado de la igual-
dad siempre será positivo. Tampoco será igual a
cero.
c) Verdadera, puesto que el valor absoluto de aes
menor que el valor absoluto de b y nunca resulta-
rá cero la igualdad.
d) Verdadera, puesto que al ser
b
positivo y
a
negativo y
b
>
a
, el valor resultante de b –a será
mayor que
a
–
b
.
101.
Algunos de los contraejemplos que demuestran la
falsedad de estas desigualdades, siendo
a
y
b
núme-
ros reales:
a)

Por ejemplo no es válida para
a
= 3 y
b
= -3

3 – (-3) < 3 – -3
6 < 0 6 > 0
b)

Por ejemplo no es válido para
a
= 2 y
b
= 1

2 – 1
>
2 – 1


1 > 1 1 = 1
102.
Los intervalos son:

a) -4 < x + x + 2 < 4
-4 < 2x + 2 < 4
-3 < x < 1 (-3, 1)
-3 1

b)

-2,1 < 0,25x – 0,6 + x < 2,1

-2,1 < 1,25x – 0,6 < 2,1
-1,5<1,25x<2,7
-1,2 < x < 2 (-1,2; 2,18)
-1,2 2,18

103.
Los intervalos cuya unión es (1, 3) y la intersección
(1,5, 1,55) son:
(1, 1,55) y (1,5, 3)
104.
Siendo A B es un entorno de
a
= 2 y
r
= 0,7:
A B = (
a
–
r
,
a
+
r
) = (1,3, 2,7)
Puesto que el entorno A tiene su centro en 0,5, el
radio será la diferencia el extremo mayor del inter-
valo A B y el centro de A:
r
A
= 2,7 – 0,5 = 2,2
Y el entorno B con centro 5, y cuyo radio será la
diferencia entre el centro de B y el extremo menor
del intervalo A B: r
B
= 5 – 1,3 = 3,7.
105. Los resultados de las intersecciones son:
a) Todos los números reales excepto los enteros:
R – {}
b) cero.
c) El conjunto vacío.
Evaluación de estándares
1. Las siguientes afirmaciones son:
a) Falsa, puesto que por ejemplo para x = 1 e y = -2
se cumple la condición x > y, pero el valor abso-
luto de
y
será mayor que el de
x
y no se cumplirá
la segunda afirmación.
b)

Falsa, ya que si
y
es positiva y su valor absoluto es
mayor que el valor absoluto de
x
, siendo
x
negativa, la desigualdad
x
< -
y
es errónea,puesto
que –
y
<
x
.
2.
Las aproximaciones y los errores son:
a)

Hasta las décimas: 0,1

E
a
= 0,10302 – 0,1 = 0,00302
E
r
= 0,00302 / 0,10302 0,03
Hasta las centésimas: 0,10

E
a
= 0,10302 – 0,10 = 0,00302
E
r
= 0,00302 / 0,10302 0,03
Hasta las milésimas: 0,103

E
a
= 0,10302 – 0,103 = 0,00002
E
r
= 0,00002 / 0,10302 0,0002
b)

Hasta las décimas: 23,5

E
a
= 23,45112 – 23,5 0,049
E
r
= 0,049 / 23,45112 0,0021
Hasta las centésimas: 23,45

E
a
= 23,45112 – 23,45 = 0,00112
E
r
= 0,00112 / 23,45112 0,000048
Hasta las milésimas: 23,451

E
a
= 23,45112 – 23,451 = 0,00012
E
r
= 0,00012 / 23,45112 0,000005
c)

Hasta las décimas: 5,0

E
a
= 5,001 – 5,0 = 0,001
E
r
= 0,001 / 5,001 0,0002
Hasta las centésimas: 5,00

E
a
= 5,001 – 5,00 = 0,001
E
r
= 0,001 / 5,001 0,0002
Hasta las milésimas: 5,001

No hay error puesto que la aproximación es exac-
tamente igual al número real.

13. 1-15
3. El peso real de Andrea se encontrará entre 57,3 y 57,5
kg.
4. Las mediciones con menor error relativo son:
a) Para la medida del ordenador de 4,5 kg su valor re-
al se encuentra entre 4,4 y 4,6 kg, por tanto su E
a
=
= 0,1 kg y su E
r
será menor de 0,02.
El valor real de la medida del peso del ratón, de
124 g, se encuentra entre 123 y 125 g, así su E
a
= 1
g y su E
r
será menor de 0,009
Por lo tanto se ha efectuado menor error relativo al
medir el ratón.
b) El valor real de la medida de la anchura, 75 mm,
se encuentra situado entre 74 y 76 mm, por tanto
su E
a
= 1 mm y su E
r
será menor a 0,01
3
.
Y el valor real de la medida del grosor, 0,5 cm, se
encuentra situada entre 0,4 y 0,6 cm, por tanto su
E
a
= 0,1 cm y su E
r
será menor a 0,25.
Por consiguiente se ha cometido menor error rela-
tivo al medir la anchura del móvil.
5.
Los cálculos son:
a)

-6 – 7 = -13 = 13
b)

3 – -5 – 12 = 3 – -17 = 3 – 17 = -14
c)

3 – -3 – -13 + 1 = 3 – 3 – 13 + 1 =
= -12 = 12
d)

- -10 + 2 · (-3 – 9) = -10 + 2 · (-12) = 10 +
+ (-24) = -14
6.
Sus intervalos y representaciones son:
a)

(-5, -3)


b) (5 – 10, 5 + 10) = (-5, 15)

-5 155

7. Los entornos en forma de intervalo y sus representa-
ciones en la recta real son:
a) (3 – 6, 3 + 6) = (-3, 9)
b) (0 – 0,4, 0 + 0,4) = (-0,4, 0,4)
c) (-7 – 3,2, -7 + 3,2) = (-10,2, -3,8)
8. Los intervalos correspondientes son:
a) [-5, -3) [1, 3)
b) (-, -1) (-1, 1) (2) (4, +)
9.
Las expresiones en forma de intervalos y sus repre-
sentación en la recta real son:
a)

(-2, 6]

-2 6

b)

(-2, +)

-2

10.
Los intervalos correspondientes y sus representacio-
nes en la recta real son:
a)

-5 < 3 – 2x < 5
4 > x > -1 (-1, 4)


b)

-1 3x – 9 1

8 / 3 x 10 / 3 [8 / 3, 10 / 3]


-1 4
-

5

-3

8/3 10/3

14. 1-16

D
IRECCIONES DE
I
NTERNET


T
ICHING
W
EBS


www.tiching.com/741185 https://www.youtube.com/watch?v=JHPpIMk4k1U

www.tiching.com/741186 https://www.youtube.com/watch?v=WRJK5A22zDk

www.tiching.com/741187
http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/BS1%2001%20Reales
.pdf

www.tiching.com/741188
http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Resueltos/Reales_BC1_Resueltos_
01.pdf

www.tiching.com/741189
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximacione
s/numeros7.htm

www.tiching.com/741190
http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Resueltos/Reales_BC1_Resueltos_
03.pdf