Solutions Manual for Thomas Calculus 12th Edition by Thomas

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1. Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
CHAPTER 17 SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
17.1 SECOND-ORDER LINEAR EQUATIONS
1. y y 12y 0 r r 12 0 r 4 r 3 0 r 4 or r 3 y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 4x 3x
12

2. 3y y 0 3r r 0 r 3r 1 0 r or r y c e c e y c c e
ww w †
"
œÊ œÊ œÊœ! œÊœ Êœ
2 0x x x1
3
12 2

11
33
3. y 3y 4y 0 r 3r 4 0 r 4 r 1 0 r 4 or r 1 y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 4x x
12

4. y 9y 0 r 9 0 r 3 r 3 0 r 3 or r 3 y c e c e
ww
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 3x 3x
12

5. y 4y 0 r 4 0 r 2 r 2 0 r 2 or r 2 y c e c e
ww
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 2x 2x
12

6. y 64y 0 r 64 0 r 8 r 8 0 r 8 or r 8 y c e c e
ww
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 8x 8x
12

7. 2y y 3y 0 2r r 3 0 2r 3 r 1 0 r or r 1 y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx3
2
12

3
2
8. 9y y 0 9r 1 0 3r 1 3r 1 0 r or r y c e c e
ww
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx11
33
12

11
33
9. 8y 10y 3y 0 8r 10r 3 0 4r 1 2r 3 0 r or r y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx13
42
12

13
42
10. 3y 20y 12y 0 3r 20r 12 0 3r 2 r 6 0 r or r y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œ'Êœ
2 x6x2
3
12

2
3
11. y 9y 0 r 9 0 r 3i y e c cos 3x c sin 3x y c cos 3x c sin 3x
ww †
œÊœÊœ!„Êœ Êœ
20x
12 12

12. y 4y 5y 0 r 4r 5 0 r 2 i y e c cos x c sin x
ww w „
œÊ œÊœ œ„Êœ
2 2x44415
21
12
È

2

13. y 25y 0 r 25 0 r 5i y e c cos 5x c sin 5x y c cos 5x c sin 5x
ww †
œÊœÊœ!„Êœ Êœ
20x
12 12

14. y y 0 r 1 0 r i y e c cos x c sin x y c cos x c sin x
ww †
œÊ œÊœ!„Êœ Êœ
20x
12 12

15. y 2y 5y 0 r 2r 5 0 r 1 2i y e c cos 2x c sin 2x
ww w
„
œÊ œÊœ œ„ Êœ
2 x
22415
21
12
É

2

16. y 16y 0 r 16 0 r 4i y e c cos 4x c sin 4x y c cos 4x c sin 4x
ww †
œÊœÊœ!„Êœ Êœ
20x
12 12

17. y 2y 4y 0 r 2r 0 r 1 3 i y e c cos 3 x c sin 3 x
ww w „ %
œÊ%œÊœ œ„ Êœ
2 x2241
21
12
È

2
ÈÈÈ
Š‹
18. y 2y 3y 0 r 2r 3 0 r 1 2 i y e c cos 2 x c sin 2 x
ww w
„
œÊ œÊœ œ„ Êœ
2 x
22413
21
12
É

2
ÈÈÈ
Š‹
19. y 4y 9y 0 r 4r 9 0 r 2 5 i y e c cos 5 x c sin 5 x
ww w „
œÊ œÊœ œ„ Êœ
2 2x44419
21
12
È

2
ÈÈÈ
Š‹
Solutions Manual for Thomas Calculus 12th Edition by Thomas
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2. 1004 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
20. 4y 4y 13y 0 4r 4r 13 0 r 3 i
ww w
„
œÊ œÊœ œ„
2
444413
24 2
1
É

2
È
y e ccos 3x csin 3xʜ
1
2
x
12
Š‹
ÈÈ
21. y 0 r 0 r , repeated twice y c e c x e y c c x
ww † †
œÊ œÊœ! Êœ Êœ
20x0x
12 12
22. y 8y 16y 0 r 8r 16 0 r 4 0 r 4, repeated twice y c e c x e
ww w
œÊ œÊ œÊœ Êœ
2 4x 4x2
12

23. 4 4y 0 r 4r 4 0 r 2 0 r 2, repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx
2 2x 2x2
12
2
2
œÊ œÊ œÊœ Êœ

24. 6 9y 0 r 6r 9 0 r 3 0 r 3, repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx
2 3x 3x2
12
2
2
œÊ œÊ œÊœ Êœ
25. 6 9y 0 r 6r 9 0 r 3 0 r 3, repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx
2 3x 3x2
12
2
2
œÊ œÊ œÊœ Êœ

26. 4 12 9y 0 4r 12r 9 0 2r 3 0 r , repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx 2
2 xx2 3
12
2
2
33
22
œÊ œÊ œÊœ Êœ
27. 4 4 y 0 4r 4r 1 0 2r 1 0 r , repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx 2
2 xx2 1
12
2
2
11
22
œÊ œÊ œÊœ Êœ

28. 4 4 y 0 4r 4r 1 0 2r 1 0 r , repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx 2
2 xx2 1
12
2
2
11
22
œÊ œÊ œÊœ Êœ
29. 9 6 y 0 9r 6r 1 0 3r 1 0 r , repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx 3
2 xx2 1
12
2
2
11
33
œÊ œÊ œÊœ Êœ

30. 9 12 4y 0 9r 12r 4 0 3r 2 0 r , repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx 3
2 xx2 2
12
2
2
22
33
œÊ œÊ œÊœ Êœ
31. y 6y 5y 0, y 0 0, y 0 3 r 6r 5 0 r 5 r 1 0 r 5 or r 1
ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊœ œ
2
y c e c e y 5c e c e ; y 0 0 c c 0, and y 0 3 5c c 3Êœ Ê œ œÊ œ œÊ œ12 12 12 12
5x x 5x xw w
c and c y e eÊœ œÊœ 12
3333
4444
5x x
32. y 16y 0, y 0 2, y 0 2 r 16 0 r 0 4i y c cos 4x c sin 4x
ww w
œ œ œÊœÊœ„Êœ
2
12
y 4c sin 4x 4c cos 4x; y 0 2 c 2, and y 0 2 4c 2 c 2 and cÊ œ œ Ê œ œ Ê œ Ê œ œ
ww
12 1 2 12
1
2

y2cos4x sin4xʜ
1
2
33. y 12y 0, y 0 0, y 0 1 r 12 0 r 0 2 3 i y c cos 2 3 x c sin 2 3 x
ww w
œ œ œÊœÊœ„ Êœ
ÈÈÈ
2
12
y 2 3 c sin 2 3 x 2 3 c cos 2 3 x; y 0 c 0, and y 0 1 2 3 c 1Êœ œ!Êœ œÊ œ
w w ÈÈÈ È È

12 1 2
c 0 and c y sin 2 3 xÊœ œ Êœ12
11
23 23
ÈÈ
È
34. 12y 5y 2y 0, y 0 1, y 0 1 12r 5r 2 0 4r 1 r 0 r or r
ww w w
œ œ œ Ê œ Ê $ # œ Ê œ œ
2 12
43
y c e c e y c e c e ; y 0 1 c c 1, and y 0 1Êœ Ê œ œÊ œ œ12 1 2 12
14x 23x 14x 23x 12
43
ÎÎw Î Î w
c c 1 c and c y e eʜʜ œÊœ
12 4 15 4 15
4 3 11 11 11 11
12 1 2
14x 23x ??
35. y 8y 0, y 0 1, y 0 2 r 8 0 r 0 2 2 i y c cos 2 2 x c sin 2 2 x
ww w
œ œ œÊœÊœ„ Êœ
ÈÈÈ
2
12
y 2 2 c sin 2 2 x 2 2 c cos 2 2 x; y 0 1 c 1, and y 0 2 2 2 c 2Êœ œÊœ œÊ œ
w w ÈÈÈ È È

12 1 2
c 1 and c y cos 2 2 x sin 2 2 xÊœ œ Êœ 12
11
22
ÈÈ
ÈÈ

3. Section 17.1 Second-Order Linear Equations 1005
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
36. y 4y 4y 0, y 0 0, y 0 1 r 4r 4 0 r 2 0 r 2 repeated twice
ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊœ
2 2
y c e c x e y 2c e c e 2c x e ; y 0 0 c 0, andÊœ Ê œ œÊ œ12 12 2 1
2x 2x 2x 2x 2xw
y 0 1 2c c 1 c 0 and c 1 y x e
w
œÊ œÊ œ œÊœ12 1 2
2x
37. y 4y 4y 0, y 0 1, y 0 0 r 4r 4 0 r 2 0 r 2 repeated twice
ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊœ
2 2
y c e c x e y 2c e c e 2c x e ; y 0 1 c 1, and y 0 0 2c c 0Êœ Ê œ œÊ œ œÊ œ12 12 2 1 12
2x 2x 2x 2x 2x w w
c 1 and c 2 y e 2x eÊœ œÊœ
12
2x 2x
38. 4y 4y y 0, y 0 4, y 0 4 4r 4r 1 0 2r 1 0 r repeated twice
ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊœ
2 2 1
2
ycecxe y cece cxe; y04c4,Êœ Ê œ œÊ œ12 12 2 1
xx xx x 11
22
11 11 1
22 22 2
w

and y 0 4 c c 4 c 4 and c 2 y 4e 2x e
w
œÊ œÊ œ œÊœ
1
2
12 1 2
xx
11
22
39. 4 12 9y 0, y 0 2, 0 1 4r 12r 9 0 2r 3 0 r repeated twice
d y dy dy
dx dx dx 2
2 2 3
2
2
œ œ œÊ œÊ œÊœ
y c e c x e c e c e c x e ; y 0 2 c 2, and 0 1Êœ Ê œ œÊ œ œ12 12 2 1
xx xx x dy dy
dx 2 2 dx
33
33 33 3
22 22 2

c c 1 c 2 and c 4 y 2e 4x eÊ œ Ê œ œ Ê œ
3
2
12 1 2
xx
33
22
40. 9 12 4y 0, y 0 1, 0 1 9r 12r 4 0 r 0 r repeated twice
d y dy dy
dx dx dx 3
2 2 2
2
2
œ œ œ?œ?$#œ?œ
y c e c x e c e c e c x e ; y 0 1 c 1, and 0 1Êœ Ê œ œÊ œ œ12 12 2 1
xx xx x dy dy
dx 3 3 dx
22
22 22 2
33 33 3

c c 1 c 1 and c y e x eÊ œ Ê œ œ Ê œ
255
333
12 1 2
xx
22
33
41. y 2y 3y 0 r 2r 3 0 r 3 r 1 0 r 3 or r 1 y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 3x x
12

42. 6y y y 0 6r r 1 0 2r 1 3r 1 0 r or r y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx11
23
12

11
23
43. 4y 4y y 0 4r 4r 1 0 2r 1 0 r repeated twice y c e c x e
ww w
œÊ œÊ œÊœ Êœ
2 xx2 1
2
12

11
22
44. 9y 12y 4y 0 9r 12r 4 0 3r 2 0 r repeated twice y c e c x e
ww w
œÊ œÊ œÊœ Êœ
2 xx2 2
3
12

22
33
45. 4y 20y 0 4r 20 0 r 5i y e c cos 5 x c sin 5 x y c cos 5 x c sin 5 x
ww †
œÊœÊœ!„Êœ Êœ
20x
12 12
Š‹
ÈÈ ÈÈ
46. y 2y 2y 0 r 2r 2 0 r 1 i y e c cos x c sin x
ww w
„
œÊ œÊœ œ„Êœ
2 x
22412
21
12
É

2

47. 25y 10y y 0 25r 10r 1 0 5r 1 0 r repeated twice y c e c x e
ww w
œÊ œÊ œÊœ Êœ
2 xx2 1
5
12

11
55
48. 6y 13y 5y 0 6r 13r 5 0 3r 1 2r 5 0 r or r y c e c e
ww w
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx15
32
12

15
32
49. 4y 4y 5y 0 4r 4r 5 0 r i y e c cos x c sin x
ww w
„
œÊ œÊœ œ„Êœ
2 x
44445
24 2
1
12
É

2
1
2

50. y 4y 6y 0 r 4r 6 0 r 2 2 i y e c cos 2 x c sin 2 x
ww w
„
œÊ œÊœ œ„ Êœ
2 2x
44416
21
12
É

2
ÈÈÈ
Š‹
51. 16y 24y 9y 0 16r 24r 9 0 4r 3 0 r repeated twice y c e c x e
ww w
œÊ œÊ œÊœ Êœ
2 xx2 3
4
12

33
44

4. 1006 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
52. 6y 5y 6y 0 6r 5r 6 0 2r 3 3r 2 0 r or r y c e c e
ww w α
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx32
23
12

32
23
53. 9y 24y 16y 0 9r 24r 16 0 3r 4 0 r repeated twice y c e c x e
ww w αα
œÊ œÊ œÊœ Êœ
2 xx2 4
3
12

44
33
54. 4y 16y 52y 0 4r 16r 52 0 r 2 3i y e c cos 3x c sin 3x
ww w α
α? α
œÊ œÊœ œ„ Êœ
2 2x
16 16 4 4 52
24
12
É

2

55. 6y 5y 4y 0 6r 5r 4 0 3r 4 2r 1 0 r or r y c e c e
ww w α
œÊ œÊ œÊœ œÊœ
2 xx41
32
12

41
32
56. y 2y 2y 0, y 0 0, y 0 2 r 2r 2 0 r 1 i
ww w w
αα ? α α
œ œ œÊ œÊœ œ„
2
22412
21
É

2
y e c cos x c sin x y e c cos x c sin x e c sin x c cos x ; y 0 0 c 0, andÊœ Ê œ œÊ œ
xxx
12 12 12 1

w
y02cc2c0 and c2y2esinx
w
œÊ œÊ œ œÊœ12 1 2
x
57. y 2y y 0, y 0 1, y 0 1 r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice
ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊœ
2 2
y c e c x e y c e c x e c e ; y 0 1 c 1, and y 0 1 c c 1Êœ Ê œ œÊ œ œÊ œ12 12 2 1 12
xx xxxααwααα w
c 1 and c 2 y e 2x eÊœ œÊœ
12
xxαα
58. 4y 4y y 0, y 0 1, y 0 2 4r 4r 1 0 r 1 0 r , repeated twice
ww w w
? ? ????#?ʜ
2 2 1
2
y c e c xe y c e c xe c e ; y 0 1 c 1, andy 0 2Êœ Ê œ œÊ œ œ12 1 2 2 1
xx x xx 11
22
11 1 11
22 2 22
w w

c c 2 c 1 and c y e x eÊ œ Ê œ œ Ê œ
155
222
12 1 2
xx
11
22
59. 3y y 14y 0, y 0 2, y 0 1 3r r 14 0 3r 7 r 2 0 r or r 2
ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊœ œ
2 7
3
y c e c e y c e 2c e ; y 0 2 c c 2, and y 0 1 c 2c 1Ê œ Ê œ œ Ê œ œ Ê œ12 1 2 12 12
x2x x 2x 7 7
3 3
αwα w
77
33

c and c y e eÊœ œÊœ 12
15 11 15 11
13 13 13 13
73x 2x?
60. 4y 4y 5y 0, y 1, y 0 4r 4r 5 0 r i
ww w w
α? α
œ œ œÊ œÊœ œ„ 11
2
44445
24 2
1
É

2
y e c cos x c sin x y e c cos x c sin x e c sin x c cos x ; y 1Êœ Ê œ œ
αwαα
111
222
xxx
12 12 12
1
2
1
e c 1, and y 0 e c e c 0 c e and c eÊ œ œ Ê œ Ê œ œ
αw αα
11111
22222
11212
11
22 1
ye ecosx esinxʜ α α
α
1
22 2
x 1
2ˆ‰
11
61. Let r and r be real roots with r r . If e and e are linearly independent, then e is not a constant multiple of e12 12
rx rx rx Á
12 1 rx2
(and vice versa). Assume that e is a constant multiple of e , then for some nonzero constant c, e c e c
rx rx rx rx e
e12 12
rx
1
rx
2
œÊœ
e c e c. Since r r , c is not a constant, which is a contridiction. Thus e and e are linearlyÊœÊ œ Á
rx rx r r x rx rx
1212 12 12αα
independent.
62. Let r be the only repeated real root. If e and x e are linearly independent, then e is not a constant multiple of x e
rx rx rx rx
(and vice versa). Assume that x e is a constant multiple of e , then for some nonzero constant c, x e c e
rx rx rx rx
œ
x e c e 0 e x c 0 e 0 or x c 0. Since e 0 x c, thus c is not a constant, which? α ?? α ?? ? α? ?ʜ
rx rx rx rx rx

is a contridiction. Thus e and x e are linearly independent.
rx rx

5. Section 17.1 Second-Order Linear Equations 1007
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
63. Let r i and r i be complex roots. If e cos x and e sin x are linearly independent, then e cos x
12
xx x? ?α" α" " " "
αα α
is not a constant multiple of e sin x (and vice versa). Assume that e cos x is a constant multiple of e sin x, then
αααxxx
"""
for some nonzero constant c, e cos x c e sin x e cos x c e sin x 0 e cos x c sin x 0
αααα αxxxx x
"""" ""œ?œ?œ
e 0 or cos x c sin x 0. Since e 0 c cot x, thus c is not a constant, which is a contridiction.ʜ α ? ?ʜ
ααxx
"" "
Thus e cos x and e sin x are linearly independent.
ααxx
""
64. Let y and y be linearly independent solutions of P x y Q x y R x y 0. Let y y y y y y
12 312 3 12
ww w w w w
œ œÊ œ
y y y. Then Pxy Qxy Rxy Pxy y Qxy y Rxy yÊœ œ
ww ww ww ww w ww ww w w
33312 12 12 312

Pxy Pxy Qxy Qxy Rxy Rxy?
ww ww w w
1212 12
Pxy QxyRxyPxy QxyRxy000. Let yyy y yyœ œœ œÊ œ
ww w ww w w w w
11 2 2 12 12412 4
y y y. Then Pxy Qxy Rxy Pxy y Qxy y Rxy yÊœ œ
ww ww ww ww w ww ww w w
44 12 4 12 12 412

Pxy Pxy Qxy Qxy Rxy Rxy?
ww ww w w
1212 12
P x y Q x y R x y P x y Q x y R x y 0 0 0. Thus y and y are both solutions.œ œœ c d
ww w ww w
11 2 2 1234
Suppose that y is a constant multiple of y , then there is a nonzero constant c such that y c y .34 34 œ
y y c y y . If we solve this equation for y we obtain y y y is a constant multiple of y ,?? α ?α ?12 12 1 1 2 2
1c
1c

α
"
which is a contradiction since y and y are linearly independent y y and y y are linearly independent.1 2 12 12 ? α
65. (a) y 4y 0, y 0 0, y 1 r 4 0 r 2i y e c cos 2x c sin 2x
ww †
œ œ œÊœÊœ!„Êœ 1
20x
12
y c cos 2x c sin 2x; y 0 0 c 0, and y 1 c 1 no solutionÊœ œÊ œ œÊ œÊ12 1 1 1
(b) y 4y 0, y 0 0, y 0 r 4 0 r 2i y e c cos 2x c sin 2x
ww †
œ œ œÊœÊœ!„Êœ 1
20x
12
y c cos 2x c sin 2x; y 0 0 c 0, and y 0 c 0 c 0, c can be any real numberÊœ œÊ œ œÊ œÊ œ12 1 112 1
ycsin2xʜ
2
66. Let a, b, and c be positive constants, then r . There are three cases to consider.???
α? α αb b 4ac b 4ac
2a 2a 2a
b
ÈÈ
##
Case I: Two distinct real solutions b 4ac 0. Since a, b, and c are positive 4ac 0 and b 0? ∞ ? ∞ ∞
#
4ac 0 and b 0 0 b 4ac b 0 b 4ac b b b 4acÊ Ê Ê Ê !
## ## ÈÈ
and b b 4ac . Since 2a 0 0. Thus r 0 and!∞?œ
È
# α? α α αbb4ac bb4ac
2a 2a
1
ÈÈ
##
r 0. The general solution to the differential equation is y c e c e .2 12
bb4ac
2a
rx rx? ?
αα α
È
#
12
ce ce 0 0 0.lim
x
12
rx rx
Ä∞

12
??
Case II: One repeated real solution b 4ac 0. Since a, b, and c are positive a 0 and b 0?α ? ?# α
#
r 0. The general solution to the differential equation is y c e c x e . Since Êœ œ
b
2a
12
rx rx
r 0 r 0. ce cxe ce ceÊ œ œ lim lim lim lim
xxxx
12 1 1
rx rx rx rx cx cx
ee
Ä∞ Ä∞ Ä∞ Ä∞
ˆ‰ ˆ‰
22
rx rx

0 0, using L'hopital's rule to evaluate the limit of the second expression.? ?lim
x
c
re
Ä∞
α
ˆ‰
2
rx

Case III: Two complex, nonreal solutions b 4ac 0 4ac b 0. Since a, b, and c are positive a 0 andÊ Ê Ê#
##
b 0 0. The roots are r i and r i, thus 0 and Ê œ œ œ
bbbb
2a 2a 2a 2a 2a 2a
12
4ac b 4ac b
ÈÈ
αα
##
α
0. The general solution to the differential equation is y e c cos x c sin x . Since" ""œ œ
È
4ac b
2a
x
2
α
" #
α

1 sin x 1 and 1 cos x 1 c c sin x c and c c cos x cα? ? α? ? ?α ? ? α ? ?"" " " kk kk kk kk
## # "" "
ccccosxcsinxcc???kk kk kk kk "#" # "# ""
e c c e c cos x c sin x e c cÊ Ÿ Ÿ
αα αxx x
kk kk kk kk"# " # "# ""
e c c c c e 0 and e c c c c e 0lim lim lim lim
xxxx
xxxx
Ä∞ Ä∞ Ä∞ Ä∞
"# "# "# "#
cd cd kk kk kk kkkk kk kk kk
αααα
œœ œœ
thus by the Sandwich theorem, e c cos x c sin x 0.lim
x
x
Ä∞
"#
cd
α
""?

6. 1008 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
17.2 NONHOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS
1. y 3y 10y 3 r 3r 10 0 r 5 r 2 0 r 5 or r 2 y c e c e ; y A
ww w
œ Ê œ Ê œ Ê œ œ Ê œ œ
2 5x 2x
c1 2 p

y 0 y 0 0 3 0 10A 3 A y c e c eÊœÊ œÊ œÊœÊœ
www
pp
33
10 10
12
5x 2x

2. y 3y 10y 2x 3 r 3r 10 0 r 5 r 2 0 r 5 or r 2 y c e c e ;
ww w
œÊœÊ œÊœ œÊœ
2 5x 2x
c1 2

y Ax B y A y 0 0 3A 10 Ax B 2x 3 10Ax 3A 10B 2x 3
p ppœÊœÊœÊ œÊ œ
www

10A 2, 3A 10B 3 A , B y c e c e xÊ œ œ Ê œ œ Ê œ
19 19
525 525
12
5x 2x
3. y y sin x r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e ;
ww w # †
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ c1 2 12
0x x x
y A sin x B cos x y A cos x B sin x y A sin x B cos xp ppœÊœ Êœ
www
A sin x B cos x A cos x B sin x sin x A B sin x A B cos x sin xÊ œ Ê œ
A B 1, A B 0 A , B y c c e sin x cos xÊ œ œ Ê œ œ Ê œ
11 1 1
22 2 2
12
x
4. y 2y y x r 2r 1 0 r 1 0 r 1 repeated twice y c e c x e ;
ww w # #
œÊœÊœÊœ Êœ
2 xx
c1 2

y Ax Bx C y 2Ax B y 2A Ax Bx C 2 2Ax B 2A x
p ppœ Êœ Êœ Ê œ
#w ww# #

Ax 4A B x 2A 2B C x A 1, 4A B 0, 2A 2B C 0 A 1, B 4,?œ?œœœ?œœ
##

C6 yce cxe x 4x6œÊœ
12
xx#
5. y y cos 3x r 1 0 r 0 i y e c cos x c sin x c cos x c sin x;
ww # †
œ Ê œÊœ„Ê œ œ c1 2 1 2
0x
y A sin 3x B cos 3x y 3A cos 3x 3B sin 3x y 9A sin 3x 9B cos 3x
p ppœÊœ Êœ
www
9A sin 3x 9B cos 3x A sin 3x B cos 3x cos 3x 8A sin x 8B cos x cos 3xÊ œ Ê œ
8A 0, 8B 1 A 0, B y c cos x c sin x cos 3xÊ œ œ Ê œ œ Ê œ
11
8
12
)
6. y y e r 1 0 r 0 i y e c cos x c sin x c cos x c sin x;
ww # # †
œ Ê œÊœ„Ê œ œ
x0x
c1 2 1 2

yAey2Aey4Ae4AeAee5Aee5A1
p
x x x x xx xx
ppœ?œ?œ?œ?œ?œ
#w #ww # # ## ##
A y c cos x c sin x eʜʜ
11
55
12
x#
7. y y 2y 20cos x r r 2 0 r 2 r 1 0 r 2 or r 1 y c e c e ;
ww w
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ
2 2x x
c1 2

y A sin x B cos x y A cos x B sin x y A sin x B cos x
p ppœÊœ Êœ
www
A sin x B cos x A cos x B sin x 2 A sin x B cos x 20cos xÊ œ
3A B sin x A 3B cos x 20cos x 3A B 0, A 3B 20 A 2, BÊ œ Ê œ œ Ê œ œ'
y c e c e 2sinx 6cosxʜ
12
2x x
8. y y 2x 3e r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x; y Ax B Ce y A Ce
ww w
œ Ê œÊœ„Ê œ œ Ê œ
x2 xx
c1 2 p p
y Ce Ce Ax B Ce 2x 3e Ax B 2Ce 2x 3e A 2, B 0, 2C 3Êœ Ê œ Ê œ Êœ œ œ
ww
p
xx x x x x

A 2, B 0, C y c cos x c sin x 2x eÊœœœÊœ
33
22
12
x
9. y y e x r 1 0 r 1 r 1 0 r 1 or r 1 y c e c e ;
ww #
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ
x2 xx
c1 2

y Axe Bx Cx D y Ae Axe 2Bx C y 2Ae Axe 2B
p
xxxxx
ppœ?œ?œ
#w ww
2AeAxe2B AxeBxCxDex 2AeBxCx2BDexÊ œÊ œ
xx x x x x ### # 2A 1, B 1, C 0, 2B D 0 A , B 1, C 0, D 2Ê œ œ œ œÊ œ œ œ œ
1
2
ycece xex2ʜ 12
xxx 1
2
#

7. Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1009
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
10. y 2y y 6sin 2x r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice y c e c xe ;
ww w #
œ ʜʜʜ Êœ
2 xx
c1 2

y A sin 2x B cos 2x y 2A cos 2x 2B sin 2x y 4A sin 2x 4B cos 2x
p ppœÊœ Êœ
www
4A sin 2x 4B cos 2x 2 2A cos 2x 2B sin 2x A sin 2x B cos 2x 6sin 2xÊ œ
3A 4B sin 2x 4A 3B cos 2x 6sin 2x 3A 4B 6, 4A 3B 0 A , BÊ œ Êœ œÊœ œ
24 18
25 25
y c e c xe sin 2x cos 2xʜ 12
xx 24 18
25 25

11. y y 6y e 7cos x r r 6 0 r 3 r 2 0 r 3 or r 2 y c e c e ;
ww w
œ ÊœÊ œÊœ œÊ œ
x2 3x 2x
c1 2

y Ae B sin x C cos x y Ae B cos x C sin x y Ae B sin x C cos x
p
xxx
ppœ Êœ Êœ
www
Ae B sin x C cos x Ae B cos x C sin x 6 Ae B sin x C cos x e 7cos xÊ œ
xx xx

4Ae 7B C sin x B 7C cos x e 7cos x 4A 1, 7B C 0, B 7C 7Ê œ Ê œ œ œ
xx

A , B , C y c e c e e sin x cos xÊœ œ œ Êœ
1749 1 7 49
45050 4 50 50
12
3x 2x x
12. y 3y 2y e e x r 3r 2 0 r 1 r 2 0 r 1 or r 2 y c e c e ;
ww w
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ
x2x 2 x2x
c1 2

y Axe Bxe Cx D y Ae Axe Be 2Bxe C
p
x2x xx2x 2x
pœ Êœ
w
y 2Ae Ax e 4Be 4Bx e 2Ae Ax e 4Be 4Bx eÊœ Ê
ww
p
x x 2x 2x x x 2x 2x
3 Ae Ax e B e 2Bx e C 2 Ax e Bx e Cx D e e x œ
x x 2x 2x x 2x x 2x
Ax e B e 2Cx 3C 2D e e x A 1, B 1, 2C 1, 3C 2D 0Ê œÊœœ œ œ
x2x x2x

A 1, B 1, C , D y c e c e x e x e xÊ œ œ œ œ Ê œ
11 11
24 24
12
x 2xx2x
13. 5 15x r 5r 0 r r 5 0 r 0 or r 5 y c e c e c c e ;
dy dy
dx dx
2 0 x 5x 5x
c1 2 12
2
2
œ ʜʜʜ œÊœ œ
# †

y Ax Bx Cx y 3Ax 2Bx C y 6Ax 2B 6Ax 2B 5 3Ax 2Bx C 15x
p ppœÊœ ÊœÊ œ
$# w # ww # #

15Ax 6A 10B x 2B 5C 15x 15A 15, 6A 10B 0, 2B 5C 0 A 1, B , C?œ?œœœ?œœœ
##

36
525
yc ce x x xʜ 12
5x 36
525
$#
14. 8x 3 r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e ;
dy dy
dx dx
20x1xx
c1 2 12
2
2
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ
††
y Ax Bx y 2Ax B y 2Ax 2A 2Ax B 8x 3 2Ax 2A B 8x 3p
2
ppœÊœÊœ Ê œÊœ
www

2A 8, 2A B 3 A 4, B 5 y c c e 4x 5xÊ œ œ Ê œ œ Ê œ
12
x #15. 3 e 12x r 3r 0 r r 3 0 r 0 or r 3 y c e c e c c e ;
dy dy
dx dx
3x 2 0 x 3x 3x
c1 2 12
2
2
œÊœÊœÊœ œÊœ œ
†
yAxeBxCxyAe3Axe2BxCy6Ae9Axe2Bp
3x 3x 3x 3x 3x
ppœÊœ Êœ
#w ww
6Ae 9Axe 2B 3 Ae 3Ax e 2Bx C e 12x 3Ae 6Bx 2B 3C e 12xÊ œÊœ
3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x
3A 1, 6B 12, 2B 3C 0 A , B 2, C y c c e x e 2x xÊœœ œÊœ œ œÊœ
14 1 4
33 3 3
12
3x 3x #
16. 7 42x 5x 1 r 7r 0 r r 7 0 r 0 or r 7 y c e c e c c e ;
dy dy
dx dx
2 0 x 7x 7x
c1 2 12
2
2
œ ʜʜʜ œÊœ œ
# †

yAxBxCxy3Ax2BxCy 6Ax2B
p ppœÊœ Êœ
$# w # ww
6Ax 2B 7 3Ax 2Bx C 42x 5x 1 21Ax 6A 14B x 2B 7C 42x 5x 1Ê œ Ê œ
### #
21A 42, 6A 14B 5, 2B 7C 1 A 2, B , C y c c e 2x x xÊœ œ œÊœœœÊœ
12 12
27 17
12
7x$#
17. y y x, r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e y 1, y e
ww w †
œ?œ?œ?œœ?œœ?œœ
2 0x x x x
c1 2 12 1 2

v x and v x e v x dx x and?œ œ œ œ œ œ ?œ œ
ww #



12
0e 10
xe 0x
1e 1e
0e 0e
xe x 1
ee2
x
1
ºº ºº
ºº ºº





x
x
xx
xx
x
xx
'
v xedx xee y x1 xeee xx1ycce xx2p 12
xxx xxx x 11 1
22 2œ œ Êœ œ Êœ ' ## #

8. 1010 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
18. y y tan x, x r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x y cos x, y sin x
ww
œ Ê œÊœ„Ê œ Ê œ œ
11
22
2
c1 2 1 2
v sin x and v?œ œ œ † œ œ œ
w w
α α
α α
1 2
0sinx cosx 0
tanx cosx sinx tanx
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sinxtanx sinx sin x cosxta
1 cos x cos x
ºº º º
ºº ºº
#
nx sinx
1cosx
œ†œcos x sin x
v dx dx dx cos x sec x dx sin x ln sec x tan x andÊœ œ œ œ œ 1
sin x cos x 1 cos x 1
cos x cos x cos x cos x
'' ' '
## #
α
kk
v sinxdx cosx y sinx lnsecx tanx cosx cosx sinx cosx lnsecx tanx
2pœœÊœ œ ' kkkk
y c cos x c sin x cos x ln sec x tan xʜ
12 k k
19. y y sin x r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x y cos x, y sin x
ww
œ Ê œÊœ„Ê œ Ê œ œ
2
c1 2 1 2
v sin x and v sin x cos x?œ œ œ œ œ œ
w#w
αα
α α
12
0sinx cosx 0
sin x cos x sin x sin x
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sin x sin x cos x
11
ºº º º
ºº ºº
#
v sin x dx dx sin 2x x, and v sin x cos x dx sin xʜα ? ? α ? ?12
cos 2x 1 1 1
242 2
'' '# #α"
y sin 2x x cos x sin x sin x sin x cos x x cos x sin x sin x cos xÊœ œ p
11 1 1 1 11
42 2 2 2 22
ˆ‰ˆ‰
## #
x cos x sin x y c cos x c sin x x cos xœ Ê œ
11 1
22 2
12
20. y 2y y e r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice y c e c x e
ww w αα#
œÊœÊœÊœ Êœ
x2 xx
c1 2

ye, yxeÊœ œ
12
xxαα
v x e and v e v x e dx x e?œ œœ œ œœ?œ œ
w#w###
αα
αα αα
α
12
0xe e 0
ee xe e e
exe exe
ee xe ee xe
x11
ee2
xxx
1
ºº ºº
ºº ºº




# #xx
xx x xx
xx xx
xx x xx x
x x
'
xx1
4
e
#
and v e dx e y x e e e e x e e y c e c x e e2p 12
xx xxxxxx xxx11111 1
22424 4œœÊœ œÊœ'## ##α#α αα ˆ‰ˆ‰
21. y 2y y e r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice y c e c x e
ww w α αα#
œ ʜʜʜ Êœ
x2 xx
c1 2

ye, yxeÊœ œ
12
xxαα
v x and v 1 v x dx x?œ œ œ œ œ œ?œ œ
ww #
αα
αα αα
α
12
0xe e 0
ee xe ee
exe exe
ee xe ee xe
xe e 1
ee2
1
ºº ºº
ºº ºº




##
# #xx
xx x xx
xx xx
xx x xx x
xx
x x
'
and v 1dx x y x e x x e x e y c e c x e x e2p 12
11 1
22 2
xxx xxxœœÊœ œ Êœ ' ˆ‰
#α α #α α α #α
22. y y x r 1 0 r 1 r 1 0 r 1 or r 1 y c e c e y e , y e
ww αα
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ Ê œ œ
2 xx x x
c1 2 1 2

v x e and v x e v x e dx x e eʜ ? ? ? ? ?α ʜ ?α α
wαw ααα
α
αα
α
αα12
0e e0
xe ex
ee ee
ee ee
xe 1 xe 1 1 1 1
22 2 2 2 2 2
xxxxx
1
ºº ºº
ºº ºº




xx
xx
xx xx
xx xx
xx
' and v xedx xeey xe ee xeee x2p
111 1111
222 2222
xxx xxxxxxœ œ Ê œ œ' ˆ‰ˆ‰
αα α
yce ce xʜ 12
xx α
23. y y e r 1 0 r 1 r 1 0 r 1 or r 1 y c e c e y e , y e
ww αα
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ Ê œ œ
x2 xx x x
c1 2 1 2

v and v e v dx x and v e dx e?œ œ œ œ œ œ ?œ œ œ œ
ww
α
αα
α
αα12
0e e0
ee ee
ee ee
ee ee
11 e 1 1 1 1 1
22 2 2 2 2 2 4
2x 2x 2x
12
ºº ºº
ºº ºº



xx
xx xx
xx xx
xx xx
2x
''
yxe eexeeycecexeÊœ œ Êœ p12
11 11 1
24 24 2
x2xxxx xxx
ˆ‰ ˆ ‰
αα

9. Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1011
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
24. y y sin x r 1 0 r 1 r 1 0 r 1 or r 1 y c e c e y e , y e
ww αα
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ Ê œ œ
2 xx x x
c1 2 1 2

v e sin x and v e sin x?œ œ œ œ œ œ
wαw
α
αα
α
αα12
0e e0
sin x e e sin x
ee ee
ee ee
e sin x 1 e sin x 1
22 2 2
xx
ºº ºº
ºº ºº




xx
xx
xx xx
xx xx
x x
v e sinxdx e cosx e sinx and v e sinxdx e cosx e sinxʜ ?α α ?α ? α12
111 111
244 244
xxx xxx
''ααα
y e cos x e sin x e e cos x e sin x e sin x y c e c e e sin xÊœ œ Êœ p 12
11 11 1 1
44 44 2 2
xxxxxx xxx
ˆ‰ˆ‰
αα α α
25. y 4y 5y 10 r 4r 5 0 r 2 i y e c cos x c sin x
ww w αα? α
œÊœÊœ œ„Êœ
2 2x44415
21
12
È

2

yecosx, yesinxvÊœ œ Êœ œ12
2x 2x
1
0esinx
10 e cos x 2e sin x
ecosx esinx
esinxecosxecosx2esinx
10e sinααw α
αα# α
α
ºº
ºº




2x
2x 2x
2x 2x
2x 2x 2x 2x
2x
x
e
2x
4x?10e sin x
and v 10e cos x
w αα#
αα# α
2
ecosx 0
esinxecosx10
ecosx esinx
esinxecosxecosx2esinx
10e cos x
e
2x
œœœ
ºº
ºº





2x
2x 2x
2x 2x
2x 2x 2x 2x
2x
4x
v 10e sin x dx 2e cos x 4e sin x and v 10e cos x dx 2e sin x 4e cos xÊœ œ œ œ 12
2x x x 2x x x
'' ## ##
y 2e cos x 4e sin x e cos x 2e sin x 4e cos x e sin x 2 y e c cos x c sin x 2Êœ œÊœ p 12
x x 2x x x 2x 2x
##α ##α α
26. y y 2 r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e y 1, y e
ww w †
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ Ê œ œ
x2 0x x x x
c1 2 12 1 2

v 2 and v v 2 dx 2 and?œ œ œ œ œœ ?œ œ
ww α
12
0e 10
2e 02
1e 1e
0e 0e
2e 2 2 1
eeeln2
xxx
x
1
ºº ºº
ºº ºº
x
xx x
xx
xx
xx x
xx
ˆ‰ ' vdx y21 e 2 22p
212 1 12 11 ln21
e ln2 1 e ln2 ln2 1 e ln2 ln2 1 ln2 ln2 1
xx x
xxxxœœ Êœ œœ'ˆ‰ ˆ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ‰
αααα
α

yc ce 2ʜ 12
xx ln 2 1
ln 2 ln 2 1
α
α
27. y sec x, x r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x y cos x, y sin x
dy
dx 2 2
2
c1 2 1 2
2
2
œ Ê œÊœ„Ê œ Ê œ œ
11
v tan x and v sin x v tan x dx?œ œ œ œ œœ ?œ
ww
αα
α α
12
0sinx cosx 0
sec x cos x sin x sec x
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sinxsecx 1
11
1
ºº º º
ºº ºº '
dx ln cos x and v 1 dx x y ln cos x cos x x sin x cos x ln cos x x sin xœ œ œ œ Ê œ œ ''sin x
cos x
2p
kk kk kk
y c cos x c sin x cos x ln cos x x sin xʜ
12 kk
28. e cos x r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e
dy dy
dx dx
x2 0xx x
c1 2 12
2
2
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ
†
y 1, y e v e cos x and v cos x?œ œ?œ œ œ œ œ œ12
xx
12
0e 10
ecosxe 0ecosx
1e 1e
0e 0e
ecosx ecosx
ee
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ºº ºº
ºº ºº
x
xx x
x x
x x
2x x
x x
v e cos x dx e sin x e cos x and and v cos x dx sin xʜα ?α α ? ?12
xxx 11
22
''
y e sin x e cos x 1 sin x e e sin x e cos x y c c e e sin x e cos xÊœ œ Êœ p 12
11 11 11
22 22 22
xx xxx xxx
ˆ‰
29. y 5y x e , y Ax e Bx e y 5Ax e 2Ax e 5Bx e B e
ww w # w #
œ œ Êœ
5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x
p p
y 25Ax e 20Ax e 2Ae 25Bx e 10B eʜ
ww #
p
5x 5x 5x 5x 5x
25Ax e 20Ax e 2Ae 25Bx e 10B e 5 5Ax e 2Ax e 5Bx e B e x e?œ
# #5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x
10Ax e 2A 5B e x e 10A 1, 2A 5B 0 A , B y x e x e ;?œ?œœ?œœ?œ
5x 5x 5x 5x 5x11 11
10 25 10 25
p

#
r 5r0 rr5 0 r0 or r5 y ce ce c ce
2 0 x 5x 5x
c1 2 12
œÊ œÊœ œÊœ œ
†
yc ce xe xeʜ 12
5x 5x 5x11
10 25
#

10. 1012 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
30. y y cos x sin x, y A cos x B sin x y A sin x B cos x y A cos x B sin x
ww w w ww
œ œ Ê œ Ê œ p pp
A cos x B sin x A sin x B cos x cos x sin x A B sin x A B cos x cos x sin xÊ œÊ œ
A B 1, A B 1 A 0, B 1 y sin x; r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1ÊœœÊœ œÊ œ œÊ œÊœ œ
p
2
y ce ce c ce y c ce sinxÊœ œÊœ
c1 2 12 12
0x x x 5x†
31. y y 2cos x sin x, y Ax sin x Bx cos x y Ax cos x A sin x Bx sin x B cos x
ww w
œ œ Ê œ p p
y Axsinx2AcosxBxcosx2Bsinxʜ
ww
p
Ax sin x 2A cos x Bx cos x 2B sin x Ax sin x Bx cos x cos x sin xÊ œ
2B sin x 2A cos x cos x sin x 2B 1, 2A 2 A 1, B y x sin x x cos x;Ê œ# Ê œ œ Ê œ œ Ê œ
11
22
p
r10r0iy ccosxcsinxyccosxcsinxxsinx xcosx
2
c1 2 1 2
1
2
œÊœ„Ê œ Êœ
32. y y 2y x e , y Ax e Bx e y Ax e 2Ax e Bx e B e
ww w # w #
œ œ Ê œ
xxx xxxx
p p
y Ax e 4Ax e 2Ae Bx e 2B eʜ
ww #
p
x xxxx
Ax e 4Ax e 2Ae Bx e 2B e Ax e 2Ax e Bx e B e 2 Ax e Bx e x eÊ œ
###x xxxx x xxx xxx
6Ax e 2A 3B e x e 6A 1, 2A 3B 0 A , B y x e x e ;?œ?œœ?œœ?œ
xx5x xx11 11
69 69
p

#
r r 2 0 r 2 r 1 0 r 2 or r 1 y c e c e y c e c e x e x e
2 2x x 2x x x x
c1 2 1 2
11
69
œÊ œÊœ œÊ œ Êœ
#
33. e e r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e
dy dy
dx dx
xx2 0x x x
c1 2 12
2
2
œ ʜʜʜ œÊœ œ
†

(a) y 1, y e v e e and v 1 e12
xxx 2x
12
0e 10
ee e 0ee
1e 1e
0e 0e
e1 ee
eeœœ?œ œ œ œ œ œ
ww

ºº ºº
ºº ºº
x
xxx xx
x x
x x
2x xx
x x


v e e dx e e and v 1 e dx x eÊœ œ œ œ12
x x x x 2x 2x 1
2
''

y e e 1 x e e e xe e y c cexe eÊœ œ Êœ p 12
xx 2xx xx x xx x 11 1
22 2 ˆ‰

(b) y Axe Be y Axe Ae Be y Axe 2Ae Bep
xx xxx xxx
ppœ?œ?œ
w ww
Axe2AeBe AxeAeBe ee Ae2Be eeÊ œ Ê œ
x x x x x xxx x xxx
A 1, 2B 1 A 1, B y c c e x e eÊœ œÊœ œÊœ
11
22
12
xx x
34. 4 4y 2e r 4r 4 0 r 2 0 r 2, repeated twice y c e c x e
dy dy
dx dx
2x 2 2x 2x
c1 2
2
2
œ ʜʜʜ Êœ
#
(a) y e , y x e v 2x and v12
2x 2x
12
0xe e0
2e e 2x e 2e 2e
exe exe
2e e 2x e 2e e 2x e
2x e 2
eœœ?œ œœ œ œ
ww


ºº ºº
ºº ºº
2x 2x
2x 2x 2x 2x 2x
2x 2x 2x 2x
2x 2x 2x 2x 2x 2x
4x
4x
e
e
4x
4x
œ2
v 2x dx x and v 2 dx 2x y x e 2x x e x eÊœ œ œ œÊœ œ
12p
2x 2x x
''
###
yce cxe xeʜ 12
2x 2x x #
(b) y Ax e y Ax e Ax e y A e 8Ax e 4Ax ep
2x 2x 2x 2x 2x 2x
ppœ?œ##?œ#
#w #ww #
A e 8Ax e 4Ax e 4 Ax e Ax e 4Ax e 2e A e 2eÊ# # # œ Ê# œ
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x###
2A2A1yce cxe xeʜʜʜ 12
2x 2x x #
35. 4 5y e 4 r 4r 5 0 r 5 r 1 0 r 5 or r 1 y c e c e
dy dy
dx dx
x2 5x x
c1 2
2
2
œÊœÊ œÊœ œÊœ

(a) y e , y e v e e and v12
5x x 4x 5x
12
0e e 0
e4 e
ee ee
5e e 5e e
1e 1 2 e 4e
6e 6 3
5e e 4œœ?œ œ œ œ œ
w w


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ºº ºº
ºº ºº




x 5x
xx
5x x 5x x
5x x 5x x
x 6x 5
4x
5x x
x
4x
6e 6 3
122x x
œ ee
v e e dx e e and v e e dx e eÊœ œ œ œ 12
12 1 2 12 12
6 3 24 15 6 3 12 3
4x 5x 4x 5x 2x x 2x x
''ˆ‰ ˆ‰

yeee eeeeyceceeÊœ œ Êœ p 12
1 2 1 2 14 14
24 15 12 3 8 5 8 5
4x 5x 5x 2x x x x 5x x x
ˆ‰ˆ‰

(b) y Ae B y Ae y Ae Ae 4Ae 5 Ae B e 4 8A e 5B e 4p
xxxxxxxxx
ppœÊœÊœÊ œÊ œ
www

8A 1, 5B 4 A , B y c e c e eÊ œ œ Ê œ œ Ê œ
14 14
85 85
12
5x x x

11. Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1013
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
36. 9 9e r 9r 0 r r 9 0 r 0 or r 9 y c e c e c c e
dy dy
dx dx
9x 2 0 x 9x 9x
c1 2 12
2
2
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ
†
(a) y 1, y e v e and v 112
9x 9x
12
0e
9e 9e
1e 1e
09e 09e
9e 9e
9e 9e
10
09eœœ?œ œ œ œ œœ
ww α
ºº
ºº ºº
ºº
9x
9x 9x
9x 9x
9x 9x
18x 9x
9x 9x
9x
v e dx e and v 1 dx x y e 1 x e e x e?œœ œ œ?œœ12p
9x 9x 9x 9x 9x 9x111
999
'' ˆ‰
yc ce xeʜ
12
9x 9x
(b) y Ax e y 9Ax e A e y 81Ax e 18A ep
9x 9x 9x 9x 9x
ppœÊœ Êœ
www
81Ax e 18A e 9 9Ax e A e 9e 9A e 9e 9A 9 A 1Ê œÊ œÊœÊœ
9x 9x 9x 9x 9x 9x 9x
yc ce xeʜ 12
9x 9x
37. y y cot x, 0 x r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x y cos x, y sin x
ww
œ Ê œÊœ„Ê œ Ê œ œ1
2
c1 2 1 2
v sin x cos x and v co?œ œ œ œ œ œ œ
w w
α α
α α
1 2
0sinx cosx 0
cot x cos x sin x cot x
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sin x cot x cos x cos x cot x
1sinx 1
ºº º º
ºº ºº
sx†œ
cos x cos x
sin x sin x
#
v cos x dx sin x and v dx dx dx csc x sin x dxʜα ? ? ? ? α ? α12
cos x 1 sin x 1 sin x
sin x sin x sin x sin x
'''''
## #
α
ln csc x cot x sin x y sin x cos x ln csc x cot x sin x sin x sin x ln csc x cot xœÊœ œ k k k k kk p
y c cos x c sin x sin x ln csc x cot xʜ 12 k k
38. y y csc x, 0 x r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x y cos x, y sin x
ww
œ Ê œÊœ„Ê œ Ê œ œ1
2
c1 2 1 2
v sin x 1 and v cos x?œ œ œ œ œ œ œ †
ww
αα
α α
12
0sinx cosx 0
csc x cos x sin x csc x
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sin x csc x 1 cos x csc x 1
1sinx 1si
ºº º º
ºº ºº
nx sinx
cos x
œ
v 1 dx x and v dx ln sin x y x cos x ln sin x sin xÊœ œ œ œ Êœ 12 p
cos x
sin x
'' k k kk
x cos x sin x ln sin x y c cos x c sin x x cos x sin x ln sin xœ Ê œ kk kk
12
39. y 8y e r 8r 0 r r 8 0 r 0 or r 8 y c e c e c c e ;
ww w †
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ
8x 2 0 x 8x 8x
c1 2 12

y Ax e y Ae 8Ax e y 16Ae 64Ax e 16Ae 64Ax e 8 Ae 8Ax e e
p
8x 8x 8x 8x x 8x x 8x 8x 8x
ppœÊœ Êœ Ê œ
www

8Ae e 8A 1 A y c c e x e?œ?œ?œ?œ
8x 8x 8x 8x 11
88
12
40. y 4y sin x r 4 0 r 0 2i y e c cos 2x c sin 2x c cos 2x c sin 2x;
ww # †
œ ʜʜ„Êœ œ c1 2 1 2
0x
y A sin x B cos x y A cos x B sin x y A sin x B cos x
p pp?ʜ αʜαα
www
A sin x B cos x 4 A sin x B cos x sin x 3A sin x 3B cos x sin x 3A 1, 3B 0Ê œ Ê œ Ê œ œ A, B0yccos2xcsin2xsinxÊœ œÊœ
11
33
12
41. y y x r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1 y c e c e c c e ;
ww w †
œ Ê œÊ œÊœ œÊ œ œ
32 0x x x
c1 2 12

yAxBxCxDxy4Ax3Bx2CxDy 12Ax6Bx2C
p ppœÊœ Êœ
%$# w $ # ww #
12Ax 6Bx 2C 4Ax 3Bx 2Cx D x?œ
#$# 3
4Ax 12A 3B x 6B 2C x 2C D x 4A 1, 12A 3B 0, 6B 2C 0, 2C D 0Ê œÊœ œ œ œ
$#

3
A , B 1, C 3, D y c c e x x 3x 6xʜα ?α ?α ?α'ʜ α αα α
11
44
12
x %$ #
42. y 4y 5y x 2 r 4r 5 0 r 2 i y e c cos x c sin x
ww w αα? α
œÊ œÊœ œ„Ê œ
2 2x44415
21
c12
È

2

y Ax B y A y 0 0 4A 5 Ax B x 2 5Ax 4A 5B x 2 5A 1,
p ppœ Ê œ Ê œÊ œÊ œÊ œ
www

4A 5B 2 A , B y e c cos x c sin x xœÊœ œÊœ
16 16
525 525
2x
12
α

12. 1014 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
43. y 2y x e r 2r 0 r r 2 0 r 0 or r 2 y c e c e c c e ;
ww w # ?α α
œÊœÊ œÊœ œÊœ œ
x2 0 x 2x 2x
c1 2 12

yAxBxCxDe y3Ax2BxCDe y 6Ax2BDe
p
xxx
ppœÊœ Êœ
$# w # ww
6Ax 2B De 2 3Ax 2Bx C De x e 6Ax 6A 4B x 2B 2C 3De x eÊ œÊ œ
xxx xx ### #
6A 1, 6A 4B 0, 2B 2C 0, 3D 1 A , B , C , DÊœ œ œ œÊœ œ œ œ
1111
6483
ycce xxxeʜ 12
2x x1111
6483
α$#
44. y 9y 9x cos x r 9 0 r 0 3i y e c cos 3x c sin 3x c cos 3x c sin 3x;
ww # †
œ ʜʜ„Êœ œ c1 2 1 2
0x
y AxBCsinxDcosx y ACcosxDsinx y CsinxDcosx
p ppœ Êœ Êœ
www
CsinxDcosx 9AxBCsinxDcosx 9xcosx 9Ax9B8Csinx8Dcosx9xcosxÊ œ Ê œ
9A 9, 9B 0, 8C 0, 8D 1 A 1, B 0, C 0, D y c cos 3x c sin 3x x cos xÊ œ œ œ œ Ê œ œ œ œ Ê œ
11
88
12
45. y sec x tan x, x r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x y cos x, y sin x
dy
dx 2 2
2
c1 2 1 2
2
2
œ Ê œÊœ„Ê œ Ê œ œ
11
v tan x and v?œ œ œ œ œ
w#w
αα
α α
12
0sinx cosx 0
sec x tan x cos x sin x sec x tan x
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sinxsecxtanx cosxsecxtanx
11
ºº º º
ºº ºº
œtan x
v tan x dx 1 sec x dx x tan x and v tan x dx dx ln cos xʜα ? α ?α ? ? ?α12
sin x
cos x
'' ''##
kk
y x tan x cos x ln cos x sin x x cos x sin x sin x ln cos xÊœ œ
p k kkk
y c cos x c sin x x cos x sin x ln cos xʜ
12 k k
46. y 3y 2y e 2e r 3r 2 0 r 1 r 2 0 r 1 or r 2 y c e c e ;
ww w
œ ÊœÊ œÊœ œÊœ
x2x2 x2x
c1 2

y Ax e Bx e y 2Ax e A e Bx e Be y 4Ax e 4A e Bx e 2Be
p
2xx 2x2xxx 2x2xxx
ppœÊœ Êœ
www
4Ax e 4A e Bx e 2Be 3 2Ax e A e Bx e Be 2 Ax e Bx e e 2eÊ œ
2x 2x x x 2x 2x x x 2x x x 2x
A e Be e 2e A 2, B 1 A 2, B 1 y c e c e 2x e x eÊ œ Ê œ œ Ê œ œ Ê œ
2x x x 2x x 2x 2x x
12
47. y 3y e r 3 0 r 3 y c e ; y Ae y Ae Ae 3Ae e 2A e e
w w
α ? ?α?ʜ? ? ? ? ? ? α ? ?α ?
x3xxxxxxxx
c1 p p
2A 1 A y c e e?α ? ? ?α ? ? α
11
22
1
3x x
48. y 4y x r 4 0 r 4 y c e ; y Ax B y A A 4 Ax B x
wαw
œÊœÊœÊœ œ ÊœÊ œ c1 p
4x
p
4Ax A 4B x 4A 1, A 4B 0 A , B y c e xʜʜœÊœœÊœ
11 11
416 416
1
4xα
49. y 3y 5e r 3 0 r 3 y c e ; y Ax e y 3Ax e A e
w w
œ ÊœÊœÊ œ œ Ê œ
3x 3x 3x 3x 3x
c1 p p
3Ax e A e 3Ax e 5e A e 5e A 5 y c e 5x e?œ?œ?œ?œ
3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x
1
50. y y sin x r 1 0 r 1 y c e ; y A sin x B cos x y A cos x B sin x
wαw
œ ÊœÊœÊ œ œ Ê œ c1 p
x
p
A cos x B sin x A sin x B cos x sin x A B sin x A B cos x sin x A B 1, A B 0? α ??α??α?? A, B yce sinxcosxÊœ œÊœ
11 11
22 22
1
xα
51. y sec x, x y 0 y 0 1 r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x
dy
dx 2 2
2
c1 2
2
2
œ ß œ œ Ê œ Êœ„Ê œ
#w 11

y cos x, y sin xÊœ œ
12
v sec x tan x and v sec x?œ œ œ œ œ œ
ww
αα
α α
12
0sinx cosx 0
sec x cos x sin x sec x
cos x sin x cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
sinxsec x cosxsec x
11
ºº º º
ºº ºº
# #
# #
v sec x tan x dx sec x and v sec x dx ln sec x tan xÊœ œ œ œ 12
'' kk
y sec x cos x ln sec x tan x sin x 1 sin x ln sec x tan xÊœ œ
p k kkk
y c cos x c sin x 1 sin x ln sec x tan x ; y 0 1 1 c 1 c 2;Êœ œÊœ Ê œ
12 1 1 k k

13. Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1015
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
c sin x c cos x cos x ln sec x tan x sin x sec x, y 0 1 1 c
dy
dx
12 2
œ œ Ê œk k
w
y 2cos x sin x 1 sin x ln sec x tan xʜ k k
52. y e , y 0 0, y 0 r 1 0 r 0 i y c cos x c sin x
dy
dx 5
2x 2 2
c1 2
2
2
œ œ œ Ê œÊœ„Ê œ
w
yAey2Aey4Ae4AeAee5Aee5A1Ap
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
pp
1
5œ?œ?œ?œ?œ?œ?œ
www
yccosxcsinxe y csinxccosxe; y00c 0c ;Êœ Ê œ œÊ œÊ œ12 12 1 1
1211
5555
2x 2xw
y0 c c 0 y cosx e
w
œÊ œÊ œÊœ
222 11
555 55
22
2x
53. y y x, y x, y 0 0, y 0 0; y x y x y 1 y y 1 x x
ww w w w ww ww w
œ œ œ œ œ?œ"?œ?œ"œpp
xx
22 pp
##

x x y satisfies the differential equation. y y 0 r r 0 r r 1 0 r 0 or r 1ÊœÊ œÊ œÊ œÊœ œ
p
2ww w
y ce ce c ce y c ce x y ce x 1;?œœ?œ?œc1 2 12 12 2
0x x x x x x
2
† w
#
y0 0 0c cy0 0 c 10 c 1, c 1 y1e x œÊœ ß œÊœÊ œ œÊœ 12 2 1 2
xx
2
w
#
54. y y x, y 2sin x x, y 0 0, y 0 0; y 2sin x x y 2cos x 1 y 2sin x
ww w w ww
œœ œ œœÊœ Êœpp pp
y y 2sin x 2sin x x x x x y satisfies the differential equation. y y 0 r 1 0Ê œ œÊœÊ œÊ œ
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p
2
r0i y ccosxcsinx yccosxcsinx2sinxx y csinxccosx2cosx1;Êœ„Ê œ Ê œ Ê œ c1 2 1 2 1 2
w
y0 00c; y0 00c3c 3y 3sinx2sinxx sinxx œÊœ œÊœ Ê œÊœ œ 122
w
55. y y y 4e cos x sin x , y 2e cos x , y 0 0, y 0 1; y 2e cos x y 2e cos x 2e sin x
1
2
xx xxx
pp p
ww w w w
œ œ œ œ œ Ê œ
y 4e sin x y y y 4e sin x 2e cos x 2e sin x 2e cos x 4e cos x 4e sin xʜʜ œ
ww ww w
p
xxxxxxx 11
22

4e cos x 4e sin x 4e cos x sin x y satisfies the differential equation. y y y 0 r r 1 0Ê œ Ê œÊ œ
xxx
p
11
22

ww w #
r 1 i y e ccosx csinx y e ccosx csinx 2ecosxÊœ œ„Ê œ Ê œ
„

114 1
2
c1 2 1 2
xxx
É ˆ‰
ˆ‰
2 1
2
1
2

y e c cos x c sin x e c sin x c cos x 2e cos x 2e sin x; y 0 0 c 2 0 c 2;Êœ œÊœÊœ
w xx xx
12 12 1 1

y 0 1 c c 2 1 c 3 y e 2cos x 3sin x 2e cos x 2 e e cos x 3e sin x
w
œÊ œÊ œÊœ œ 12 2
xxxxx
56. y y 2y 1 2x, y x 1, y 0 0, y 0 1; y x 1 y 1 y 0
ww w w w ww
œ œ œ œ œÊ œÊ œpp pp
y y 2y 0 1 2 x 1 1 2x 1 2x 1 2x y satisfies the differential equationÊœ œÊœÊ Þ
ww w
p
y y 2y 0 r r 2 0 r 2 r 1 0 r 2 or r 1 y c e c e
ww w # #
œÊ œÊ œÊœ œÊ œ c1 2
xx
yce ce x1y2ce ce 1; y0 0cc10cc 1,Êœ Ê œ œÊ œÊ œ12 12 12 12
xx xx# w #
y 0 1 2c c 1 1 2c c 0. Thus c c 1, 2c c 0 c , c
w
œÊ œÊ œ œ œÊœ œ12 12 12 12 1 2
12
33
ye e x1ʜ
12
33
xx#
57. y 2y y 2e , y x e , y 0 1, y 0 0; y x e y x e 2x e y x e 4x e 2 e
ww w # w # w # ww #
œ œ œ œ œ Êœ Êœ
xx x xx xxx
pp pp

y 2y y x e 4x e 2 e 2 x e 2x e x e x e x e x e y satisfies the differentialÊ œ œ Ê œ Ê
ww w # # # # # #

xxx xx xx xx
p
equation y 2y y 0 r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice y c e c xeÞ œÊ œÊ œÊœ Ê œ
ww w # #
c1 2
xx
y c e c xe x e y c e c xe c e x e 2x e ; y 0 1 c 1; y 0 0 c c 0?œ?œ œ?œ œ?œ12 12 2 1 12
xxx xxxxx #w # w
c1yexexeʜʜ
2
xx x #
58. y 2y y x e , x 0, y x e ln x, y 1 e, y 1 0; y x e ln x y e x e ln x e ln x
ww w w w
œ œ œ œ œ Êœ
1x x x x x x
pp p

y 2e xelnx elnxʜ
ww
p
xx x e
x
x
y 2y y 2e xe lnx e lnx 2 e xe lnx e lnx xe lnx x e?œœ?œ
ww w ˆ‰
xx x xx x x 1x eee
xxx
x xx
y satisfies the differential equation y 2y y 0 r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twiceÊ Þ œÊ œÊ œÊœp
ww w # #
ycecxe ycecxexelnxycecxeceexelnxelnx;ʜ ʜ ʜ
c1 2 1 2 1 2 2
xx xxx xxxxx x w

14. 1016 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
y 1 e c e c e e, y 1 0 c e 2c e e 0 c e 2c e e c c 1, c 2c 1 œÊ œ œÊ œÊ œÊ œ œ
12 12 12 12 12
w
c 3, c 2 y 3e 2xe x e ln xÊœ œÊœ 12
xxx
59. x y 2xy 2y x y x , y x
#ww w # α#
œ?œ œ 12
v x and v?œ œœ œ œœ
ww
αα
α
α
12
0x
1
xx xx
2x 1 2x 1
x1 x1
3x 3 3x 3
3
x0
2x
»» » »
ºº ºº
x
x
33
3x
x
#
#
# #

# #
#

#
#
#
v x dx x and v dx x y x x x x xÊœ œ œ œ Êœ œ12p
11 11 1 11
312 33 12 34
34 4 2
'' ˆ‰ ˆ‰
α#
60. x y xy y x y x , y x
#ww w α
œ?œ œ 12
1
v x and v x?œ œœ œ œœ
wwα
αα
α
α
12
0x
1
xx xx
x1 x1
11 x1
2x 2 2x 2
x0
x
1
ºº
ºº ºº
»»
x
x
11
22
11
1
2x
x
#





# #
v x dx x and v x dx ln x y x x ln x x x x ln xÊœ œ œ œ llÊœ ll œ ll12p
11 11 1 1 11
24 22 4 2 42
21 21
'' αα ˆ‰ ˆ ‰
17.3 APPLICATIONS
1. mg 16 m ; k 1; 1 1 1y y , y 2, y 2œÊœ œ œÊ œ!Ê œ!!œ !œ
16 16 1
32 32 dt dt 2 dt dt
dy dy dy dy
$
22
22

w
2. mg 8 lb m ; 8 k 4 k 2; 1.5 1.5 2y 2y , y 2,œ Ê œ œ†Êœ œ Ê œ!Ê œ! !œ
8813
32 32 dt dt 4 dt 2 dt
dy dy dy dy
$
22
22

y3
w
!œ
3. 20 k k 40; w 25 lb m ; 0 0 40y . If w 25 lb, it stretches theœ†Êœ œ Ê œ œÊ † œ! œ
12525
23232dtdt
dy dy
$
2
2
spring 25 40x x ft spring is now stretched ft below equilibrium y 0 ; initial velocity?ʜ? α? ? ?
56557 7
8 12 8 24 24


is v y . Thus we have 40y , y 0 , y!
wwin ft 25 7
sec 12 sec 12 32 dt 24 12
vv v dyœ Ê !œ œ! œ !œ
!! !

2
2
4. w 10 lb m ; 10 k k 60 ; 60yœÊœ œ†Êœ œœÊ œ!
10 2 lb 20 20 10 20
32 12 ft g 32 dt dt 32 32
dy dy
ˆ‰ $
ÈÈ È
2
2
60y , y , y 0?œ!!œ!œ
10 5 1
32 dt dt 4
dy dy
2
2
2
È

w
5. E t 20cos t; R 4 ; q 10q; L 2 2 4 10q 20cos t q 0 2, q 0 3 œœœœ?œ?œœ
dq dq d q d q dq
dt dt C dt dt dt dt
1di
##
##
w
6. L 2, R 12, C , E t 300 2 12 16q 300 q 0 0, q 0 0œœ œ œÊ œß œ œ
1
16 dt dt
dq dq

#
#
w
7. mg 16 m ; k 1; resistance velocity 1 1 1y , y 2, y 2œ Ê œ œ œ Ê œ Ê œ! !œ !œ
16 1
32 2 dt dt
dy dy
$
2
2

w
rr1 r2r20r 1iyeccostcsint,Êœ!ʜʜ œ„Êœ
1
221
22 t22412
12
α? α α
È

2

y e c sin t c cos t e c cos t c sin t ; y 2 c 2; y 2 c c 2 c 4Ê œ !œ Ê œ !œ Ê œ Ê œ
wα α wtt
12 1 2 1 21 2

y t e 2 cos t 4 sin t . At t , y e 2 cos 4sin 2e 0.0864 0.0864 ft aboveÊ œ œ œ œ ¸ Ê
αααt
111
11
equilibrium.
8. w 8 m ; 8 k 4 k 2; resistance 1.5 v 1.5 1.5 2y , y 2, y 3œÊ œ œ†Êœ œ Êœ Ê œ! !œ !œ
8 1
32 4 dt dt
dy dy
$
2
2

w
r 1.5r 2 r 6r 8 0 r 4 r 2 r 4 or r 2 y c e c eÊ œ!ÊœÊ Êœ œÊœ
1
4
22 4t 2t
12

αα
y 4c e 2c e ; y 2 c c 2; y 3 4c 2c 3 c , cÊ œ !œÊ œ Ê !œ Ê œ Ê œ œ
wαα w
12 12 12 12
4t 2t 15
22

y t e e . At t 2, y e e 0.0456 0.0456 ft above equilibrium.ʜ α ??α?α ?
15 15
22 22
4t 2t 8 2αα αα

15. Section 17.3 Applications 1017
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
9. 20 k k 40; w 25 lb m ; 0 0 40y . If w 25 lb, it stretches the springœ†Êœ œ Ê œ œÊ † œ! œ
12525
23232dtdt
dy dy
$
2
2
25 40x x ft spring is now stretched ft below equilibrium y 0 ; initial velocity is?ʜ? α? ? ?
56557 7
8 12 8 24 24


v y . Thus we have 40y , y 0 , y r 40 r!
ww##in ft 25 7 25 256
sec 12 sec 12 32 dt 24 12 32 5
vv v dyœ Ê !œ œ! œ !œ Ê œ!Ê œ!
!! !

2
2
r 0 i y e c cos t c sin t c cos t c sin t , y 0 c ;Êœ„ Ê œ œ œ Ê œ
16 16 16 16 16 7 7
55555
0t
12 12 1
24 24ÈÈÈÈÈ
†
Š ‹ Š‹ Š‹Š‹ Š‹
y c sin t c cos t , y c c
ww
œ !œÊ œÊœ
16 16 16 16 16
555 5 5
12 22
vv
12 12 192
v5
ÈÈÈ È È
È
Š‹ Š‹
!! !
y t cos t sin t (in feet) or y t cos t sin t (in inches)Êœ œ Š‹ Š‹ Š‹ Š‹
7 16 16 7 16 16
24 192 2 1655 55
v5 v5
ÈÈ ÈÈ
ÈÈ ! !
10. m 1, k , 3 1 3 y , y 0 1, y 3 r 3rœ œ œÊ† œ! œ !œÊ œ!
25 25 25
4dtdt4 4
dy dy 2
$
2
2

w
4r 12r 25 0 r 2i y e c cos 2t c sin 2tʜʜ œ„Êœ
2 t12 12 4 4 25
24 2
3
12
α? α α
È

2 3
2

y e c 2c cos 2t 2c c sin 2t ; y 0 1 c 1, y 3 c 2c 3Êœ œÊœ !œÊ œ
wα w
3
2
t 33 3
22 2
12 1 2 1 12ˆ‰ˆ‰ˆ‰
c 1, c y t e cos 2t sin 2tÊœ œÊ œ 12
33
44
t ˆ‰
α
3
2
11. mg 10 m ; 10 k k 60; 5 2 5 2 60y , y 0 , y 0œÊœ œ†Êœ œ œ Ê œ! œ !œ
51 40 5 1
16 6 16 dt dt 4 32
dy dy
$
È
ÈÈ

2
2
w
r 5 2 r 60 r 16 2r 192 0 r 8 2 8iÊ œ!Ê œÊœ œ„
5
16 21
22
16 2 16 2 4 1 192ÈÈ È
α? α
ÈÈ
ÊŠ‹

2
y e c cos 8t c sin 8t y e 8 2 c 8c cos 8t 8c 8 2 c sin 8t ;Êœ Ê œ
αwα82t 82t
12 12 12
ÈÈ
Š‹Š‹Š‹
ÈÈ
y 0 c , y 0 8 2 c 8c 0 c , c y e cos 8t sin 8t
È
Š‹œÊ œ !œÊ œÊ œ œ Êœ
11 1 1
44 44 4 4
11212
22 82tw α
ÈÈ È
Solve y t 0 e cos 8t sin 8t 0 cos 8t sin 8t 0 tan 8t t 0.3157 sec Š‹œÊ œÊ œÊ œ ʸ
α82t 11 1
44 44
22
2
È ÈÈ
È
12. w mg; mg k k 2mg 64m; 0 m 0 64m y y 0 , y m r 64m ,œ œ † Ê œ œ œ Ê † œ !ß œ ! œ Ê œ !
1 11
2dtdt66
dy dy 2
$
2
2

w
r 64 0 r 0 8i y e c cos 8t c sin 8t c cos 8t c sin 8t y 8c sin 8t 8c cos 8tÊ œÊœ„Êœ œ Êœ
20t
12 12 1 2
†w

y 0 c , y 8c c , c y t cos 8t sin 8t œÊ œ !œÊ œÊ œ œ Ê œ
11 1 111 11
66 6 6648 648
1212
w
(a) Solve y t 0 cos 8t sin 8t 0 tan 8t 8 t 0.1808, first positive solution is t 0.1808œ Ê œ Ê œ Ê ¸ œ
11
648 8
1
0.2119 sec¸
(b) y sin 8t cos 8t, solve y t 0 sin 8t cos 8t 0 tan 8t t 0.4082 sec
ww
œ œ Ê œ Ê œ Ê ¸
41 41 1
36 36 8

y 0.4082 0.1680 ftʸ
(c) y cos 8t sin 8t, solve y t 0 cos 8t sin 8t 0 tan 8t 8 t , first positive
ww ww α
?α α ? ?α α ? ? ?α ? ?
32 4 32 4
33 33 8
tan 8

1

solution where maximum occurs is at t yœÊ
tan 8 tan 8
84 84
11
αα w11
Š‹
sin 8 cos 8 sin tan 8 2 cos tan 8 2œ œ
41 4 1
3846 843 6
tan 8 tan 8 11
Š‹Š‹
11
αα αα11
11
sin tan 8 cos 2 cos tan 8 sin 2 cos tan 8 cos 2 sin tan 8 sin 2œ
41
36
11 11
cdc d
αα αα
11 11
0 0 65 12 65 2 65 . Note that 2 2g 1 2 65œ œ œ Ê œ œ
48 11 65 1 ft 1 in
3 6 6 sec 6 sec65 65 6 65
’“’“ Š‹
ÈÈÈ È È
ÈÈÈ
when g 32.œ
13. First weight: w 10 lb m ; 10 k k 12 ; 0 0 12y , y 0 , yœ Ê œ œ † Ê œ œ Ê † œ! œ ! œ
55 lb5 11
16 6 ft 16 dt dt 6 3
dy dy
ˆ‰ $
2
2
w
r 12 5r 192 0 r 0 i y e c cos t c sin tÊœ!ʜʜ„ Êœ
5
16 5 5 5
22 0t 815 815 815
12
ÈÈÈ
†
Š‹
c cos t c sin t y c sin t c cos t; y 0 c , yœÊœ œÊœ!œ12 1 2 1
815 815 815 815 815 815
55 5555663
11 1
ÈÈ ÈÈÈÈ
w w
c c , c y cos t sin t. The amplitude is Cʜαʜ?αʜ α ?α
8 15 15 8 15 15 8 15 15
53 6 72 65725 6 72
212
11 1 1
ÈÈÈÈÈ È
ʈ‰ Š‹
#
#
.œ
È
159
72

16. 1018 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
Second weight: x c cos t c sin t, x 0 , x 0 2 x c sin t c cos t; x 0œ œ œÊœ œ 34 3 4
159 159
72 72== ====
È È
ww
c , x 0 2 c 2 c , c x cos t sin t. Since amplitude of secondÊ œ œÊ œÊ œ œ Êœ 3434
159 159 159
72 72 72
22
ÈÈÈ
w ===
==
spring 2C 2 m mg 32œÊ œ Êœ Ê œ œ Êœ ÊœŠ‹ Š‹ Ê ˆ‰ ˆ ‰ É É
ÈÈ
ÈÈ
159 159
72 72 m m 192 192
2 48 48 k 12 53 53
53 53
#
#
=
=
8.8333 lbsœ
14. First spring: m g k k 128m ; 0 m 0 128m y , y 0 , y 011 1 11 1 1
1 1
4dtdt12
dy dyœ†Êœ œÊ † œ! œ !œ$
2
2

w
m r 128 m r 128 0 r 0 8 2i y e c cos 8 2 t c sin 8 2 tÊ œ!ʜʜ„ Êœ 11 1 2
22 0t
ÈÈÈ
Š‹ †
c cos8 2t c sin8 2t y 8 2c sin8 2t 8 2c cos8 2t; y 0 c y 0œÊœ œÊœß!œ12 1 2 1
11
12 12
ÈÈ ÈÈÈÈ
w w
8 2 c c , c y t cos 8 2tÊ œ!Ê œ œ!Ê œ
ÈÈ
212
11
12 12
Second spring: m g k k m ; 0 m 0 m x , x 0 , x 022 1 22 2 2
3 128 d x dx 128 1
4 3 dt dt 3 12œ†Êœ œÊ † œ! œ !œ$
2
2

w
xr 0r08ixeccos8tcsin8tÊ œ!ʜʜ„ Êœ
d x 128 128 2 2 2
dt 3 3 3 3 3
20t
34
2
2
ÉÉÉ Š‹
†
ccos8tcsin8ty 8csin8t8ccos8t; x0 c x 0œÊœ œÊœß!œ34 3 4 3
22 222211
3 3 3 3 3 3 12 12ÉÉ ÉÉÉÉ
w w
8 c c , c x t cos 8 tÊ œ!Ê œ œ!Ê œÉÉ
21 12
312 123
434
Equal velocities y x sin 8 2t sin 8 t t 0.2237 sec?œ? œ ʸ
ww 22
3333
22 2
È È ÉÉ
15. mg 16 m ; 16 k 4 k 4; 0 0 4y , y 0 5, y 0 r 4œ Ê œ œ†Êœ œÊ † œ! œ !œÊ œ!
11 1
2 2 dt dt 2
dy dy 2
$
2
2

w
r 8 0 r 0 2 2i y e c cos2 2t c sin2 2t c cos2 2t c sin2 2tʜʜ„ Êœ œ
20t
12 12 ÈÈÈÈÈ
Š‹ †
y 2 2c sin2 2t 2 2c cos2 2t; y 0 5 c 5 y 0 2 2c 0 c 5, c 0Êœ œÊœß !œÊ œÊœ œ
w w ÈÈÈ È È

12 1 212
y t 5 cos 2 2 t. The amplitude is C 5 0 5Êœ œ œ
ÈÈ
##
y c cos 2 2 t c sin 2 2 t, y 0 5, y 0 v y 2 2 c sin 2 2 t 2 2 c cos 2 2 t; y 0 5 c 5œ œœÊœ œÊœ34 0 3 4 3
ÈÈ ÈÈÈÈ
ww
y 0 v 2 2 c v c 5, c y t 5 cos 2 2 t sin 2 2 t, and the new amplitude is 2 5
w

ÈÈÈ
œÊ œÊœ œ Ê œ †04034
vv
22 22
00
ÈÈ
10 5 v 10 6 24.4949 Êœ Êœ ¸Ê Š‹
È
#
#
v
22
0
ft
sec 0
È
16. mg 8 m ; 8 k k 32; 2 2 32y , y 0 0, y r 2r 32œÊ œ œ† Êœ œÊ œ! œ !œÊ œ!
13 1 11
4 12 4 dt dt 3 4
dy dy 2
$
2
2

w
r 8r 128 0 r 4 4 7i y e c cos4 7t c sin4 7tÊ œÊœ œ„ Êœ
2 4t8 8 4 1 128
21
12
α? α α
È

2
ÈÈÈ
Š‹
y e 4c 4 7c cos 4 7 t 4 7c 4c sin 4 7 t ; y 0 0 c 0, yÊœ œÊœ !œ
wα w4t
12 12 1
1
3
’“Š‹Š‹
ÈÈÈ È

4c 4 7c c 0, c y t e sin4 7t. Solve y t 0 e sin4 7t 0Ê œ Ê œ œ Ê œ œ Ê œ12 12
111 1
3 12 7 12 7 12 7
4t 4t
ÈÈÈ
ÈÈ È
αα
sin 4 7 t 0 t 0.2969 secʜʜ¸È
1
47
È
17. decreases by 90% in 10 sec 10% remains e b ln 2b m$ $??œ?œœ?œ?œ
α10b 1 1 1 ln10 ln10
10 10 10 10 m 5 ˆ‰
$
period 2 sec 2 4 bœ ?œ ?œ ?œœ œ ?œ
24 ln10 k
b
b 10 100 m 100
100 ln 10 100 ln 1011
=
=
11
È

##
#
##
## ##
α
α
####
#
=1 1 ˆ‰
k m m m m y . When y and y 2, thenœ? œ!œœ
100 ln 10 100 ln 10
100 dt 5 dt 100 4
dy dyln 10 111
# ## #
w
2
2
ˆ‰ Š‹
m m 2 m 1.5596
dy dy
dt 5 100 4 dt 5 400 sec
ln 10 1 2 ln 10 ft100 ln 10 100 ln 10
2 2
2 2
œ!?œ ?ˆ‰ ˆ‰ Š‹
11
# ## #
#

17. Section 17.3 Applications 1019
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
18. mg 10 m ; 10 k 2 k 5; 5y , y 0 , y 0œ Ê œ œ†Êœ œ œ Ê œ! œ !œ
5105 1
16 4 16 dt 4 dt 2 32
52 52 dy dy
$
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ÈÈ
2
2

w
rr5r42r160r 2222iÊ œ!Ê œÊœ œ„
5
16 4 2 1
2252
42 42 4116
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ÊŠ‹
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α? α
2
yt e ccos2 2t csin2 2tÊœ Š‹
ÈÈ
α22t
12
È
y e 2 2c 2 2c cos2 2t 2 2c 2 2c sin2 2t ; y 0 c ,Êœ œÊœ
wα 22t
12 12 1
11
22
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’“Š‹Š‹
ÈÈ È ÈÈ È

y 0 22c 22c 0 c , c y e cos22t sin22t
w α

ÈÈ È È
Š‹!œ Ê œ Ê œ œ Ê œ 1212
11 1 1
22 2 2
22t
È
To find maximum, solve y t 0 y t 2 2 e sin 2 2 t 2 2 e sin 2 2 t 0
ww α α

ÈÈÈÈ
œ? œ ? œ
22t 22t
ÈÈ
sin 2 2 t 0 t 0, , , and at t , y 0.02161 ft 0.2593 in (above equilibrium)?œ?œ œ ??
È
Š‹
11 1 1
22 2 22 22
ÈÈ È È
19. L , R 1, C , E t 0 1 q 0 q 0 2, q 0 4 r r 0??? ?Ê??ߜ ?Ê?
151 6 16
565dtdt5 55
dq dq

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#
w#
r 5r 6 0 r 3 r 2 0 r 3 or r 2 q t c e c e q 3c e 2c eÊœÊ œÊœ œÊ œ Êœ
# ααw α α
12 1 2
3t 2t 3t 2t
q 0 2 c c 2; q 0 4 3c 2c 4 c 8, c 10 q 8e 10e œÊ œ œÊ œÊ œ œ Êœ 12 1 2 1 2
3t 2tw αα
q 8e 10e 0lim lim
tt
3t 2t
Ä∞ Ä∞
αα
œ œ
20. q 10q; R 4 ; L 2 , E t 0 2 4 10q 0 q 0 2, q 0 3 2r 4r 10 0
1di
Cdtdtdtdt dtdt
dq dq d q d q dq
œœœ œ?œ?œœ?œ
##
##

w#
r 2r 5 0 r 1 2i q t e c cos 2t c sin 2tʜʜ œ„Ê œ
# αα? α22415
21
t
12
È

2

q e c 2c cos 2t 2c c sin 2t ; q 0 2 c c 2; q 0 3 c 2c 3Êœ œÊœ œÊ œ
wα wt
12 12 12 12

c , c q t e cos 2t sin 2tÊœ œÊ œ 12
15 1 5
33 3 3
t ˆ‰
α
21. mg 16 m ; 16 k 4 k 4; 4.5; f t 4 e 4.5 4y 4 e , y 2, y 4œ Ê œ œ†Êœ œ œ Ê œ !œ !œ
16 1
32 2 dt dt
2t 2tdy dy
$
ααw
2
2
r 4.5r 4 0 r 9r 8 0 r 8 r 1 0 r 8 or r 1 y c e c e ;Ê œÊ œÊ œÊœ œÊ œ
1
2
c1 2
8t t## αα

y A Be y 2Be y 4Be 4Be 4.5 2Be 4 A Be 4 ep
2t 2t 2t 2t 2t 2t 2t
pp
1
2œ Ê œ Ê œ Ê œ
αw αww α α α α α

4A 3Be 4 e 4A 4, 3B 1 A 1, B y t c e c e 1 eÊ œ ÊœœÊœ œÊ œ
αα αα α2t 2t 8t t 2t11
33
12

y 8c e c e e ; y 2 c c 2 c c , y 4 8c c 4Ê œ !œÊ œÊ œ !œÊ œ
wααα w
1 2 12 12 12
8t t 2t 2242
3333

8c c c , c 2 y t e 2e 1 eÊ œ Ê œ œ Ê œ 12 1 2
10 2 2 1
33 3 3
8t t 2t
αα α
22. m 10; k 140; 90; f t 5sin t 10 90 140y 5sin t, y 0, y 1 10r 90r 140 0œ œ œ œ Ê œ !œ !œÊ œ$
dy dy
dt dt
2
2
w#
r 9r 14 0 r 2 r 7 0 r 2 or r 7 y c e c e ; y Asin t Bcos tÊ œÊ œÊœ œÊ œ œ
# αα
c1 2 p
2t 7t
y Acos t Bsin t y Asin t Bcos tʜ α ʜα α
www
pp
10 Asin t Bcos t 90 Acos t Bsin t 140 Asin t Bcos t 5sin tÊ œ
130A 90B sin t 90A 130B cos t 5sin t A , BÊ œÊœœ
13 9
500 500
yt ce c e sint cost y 2ce 7c e cost sint;ʜ ʜ 12 1 2
2t 7t 2t 7t 13 9 13 9
500 500 500 500
αα w α α
y 0 c c 0, y 1 2c 7c 1 c c , 2c 7c !œ Ê œ !œÊ œÊ œ œ12 12 12 12
9 13 9 513
500 500 500 500
w
c , c y t e e sin t cos tÊœ œ Ê œ 12
9 99 9 99 13 9
50 500 50 500 500 500
2t 7t
αα
23. m 2 mg 2 9.8 19.6; 19.6 k 1.96 k 10; 4; f t 20cos t 2 4 10y 20cos t,œÊ œ œ œ† Êœ œ œ Ê œ $
dy dy
dt dt
2
2
y 2, y 3 2r 4r 10 0 r 1 2i y e c cos 2t c sin 2t !œ !œ Ê œ Ê œ œ„ Ê œ
w# αα? α444210
22
c1 2
t
È

2
y Asin t Bcos t y Acos t Bsin t y Asin t Bcos tp pp?ʜ αʜαα
www
2 Asin t Bcos t 4 Acos t Bsin t 10 Asin t Bcos t 20cos tÊ œ
8A 4B sin t 4A 8B cos t 20cos t 8A 4B 0, 4A 8B 20 A 1, B 2Ê œ Êœ œÊœ œ
y t e c cos 2t c sin 2t sin t 2cos t y e c 2c cos 2t 2c c sin 2t cos t 2sin t;ʜ ʜ
αwαtt
12 12 12

18. 1020 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
y 2 c 2 2, y 3 c 2c 1 3 c 0, c 2c 2 c 0, c 1 !œÊ œ !œÊ œÊ œ œÊ œ œ
11211212
w
y t e sin 2t sin t 2cos t; y 2 2 m above equilibriumÊœ œÊ
αt
1
24. mg 8 m ; 8 k 4 k 2; 1.5; f t 6 e 1.5 2y 6 e , y 2, y 3œÊ œ œ†Êœ œ œ Ê œ !œ !œ
81
32 4 dt dt
tt dy dy
$
ααw
2
2
r 1.5r 2 0 r 6r 8 0 r 2 r 4 0 r 2 or r 4 y c e c e ;Ê œÊ œÊ œÊœ œÊ œ
1
4
c1 2
2t 4t## αα

y A Be y Be y Be Be 1.5 Be 2 A Be 6 ep
ttttttt
pp
1
4œ Ê œ Ê œ Ê œ
αw αww α α α α α

2A Be 6 e 2A 6, B 1 A 3, B y t c e c e 3 eÊ œÊœ œÊœ œÊ œ
334 4
443 3
t t 2t 4t t
12
αα αα α

y 2c e 4c e e ; y 2 c c 2 c c , y 3ʜα α α !?α? ?α??α !?
wααα w
12 12 12
2t 4t t 41319
333

2c 4c 3 2c 4c c , c y t e e 3 e ;Ê œÊ œÊœ œÊ œ 12 12 1 2
413212521254
3326263
2t 4t t
αα α
y 2 2.98953 2.99 ft below equilibrium¸Ê
25. L 10, R 10, C , E t 100 10 10 500q 100 q 0 10, q 0 0 10r 10r 500 0œœœ œ?œ?œ œ?œ
1
500 dt dt
dq dq

#
#
w#
r r 50 0 r i q e c cos t c sin tÊ œÊœ œ„ Ê œ
# αα? α114150
21 2 2 2 2
1 199 199 199
c1 2
t
ÈÈ ÈÈ

2 1
2
Š‹
q A q 0 q 0 10 0 10 0 500A 100 500A 100 Ap pp
1
5œ Ê œÊ œÊ œ Ê œ Ê œ
www

qt e ccos t csin t q e c ccos t c csin tÊœ Êœ Š‹’ “ Š‹Š‹
αwα
1 1
2 2
tt
12 12 12
199 199 199 199 199 199
225 222222
11 1
ÈÈ ÈÈÈ È
q 0 10 c 10 c , q 0 0 c c 0 c , c œ Ê œ Ê œ œÊ œÊ œ œ11 1212
149 1 49
5 5 2 2 5 995
199 49 199w
ÈÈ
q t e cos t sin tÊœ Š‹
α
1
2
t49 1
5 2 995 2 5
199 49 199 199
ÈÈÈ
26. R 4 ; q 10q; L 2 , E t 20cos t 2 4 10q 0 q 0 2, q 0 3 2r 4r 10 0
dq dq d q d q dq
dt dt C dt dt dt dt
1di
œœ œ œ?œ?œœ?œ
##
##

w#
r 2r 5 0 r 1 2i q e c cos 2t c sin 2t ; q Asin t Bcos tʜʜ œ„Ê œ œ
# αα? α22415
21
c1 2 p
t
È

2

q Acos t Bsin t q Asin t Bcos tʜ α ʜα α
www
pp
2 Asin t Bcos t 4 Acos t Bsin t 10 Asin t Bcos t 20cos tÊ œ
8A 4B sin t 4A 8B cos t 20cos t 8A 4B 0, 4A 8B 20 A 1, B 2Ê œ Êœ œÊœ œ
q t e c cos 2t c sin 2t sin t 2cos t q e c 2c cos 2t 2c c sin 2t cos t 2sin t;ʜ ʜ
αwαtt
12 12 12
q 0 2 c 2 2; q 0 3 c 2c 1 3 c 1 q t 2e sin 2t sin t 2cos t; y 10 2.222 œÊ œ œÊ œÊ œÊ œ ¸1122
twα
2.222 ft above equilbriumÊ
17.4 EULER EQUATIONS
1. x y 2x y 2y 0 r 2 1 r 2 0 r r 2 0 r 1 r 2 0 r 1 or r 2
#ww w
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22

yce ce ce ce ycxÊœ œ Êœ 12 1 2 1
z 2z lnx 2lnx c
x
αα
2
#
2. x y x y 4y 0 r 1 1 r 4 0 r 4 0 r 2 r 2 0 r 2 or r 2
#ww w
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22

yce ce ce ce ycxÊœ œ Êœ 12 1 2 1
2z 2z 2ln x 2ln x c
x
αα#
2
#
3. x y 6y 0 r 0 1 r 6 0 r r 6 0 r 3 r 2 0 r 3 or r 2
#ww
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22

yce ce ce ce ycxÊœ œ Êœ 12 1 2 1
3z 2z 3ln x 2ln x 3 c
x
αα
2
#
4. x y x y y 0 r 1 1 r 1 0 r 1 0 r 1 r 1 0 r 1 or r 1
#ww w
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22

yce ce ce ce ycxÊœ œ Êœ 12 1 2 1
zzlnxlnx c
x
αα
2
5. x y 5x y 8y 0 r 5 1 r 8 0 r 6r 8 0 r 4 r 2 0 r 4 or r 2
#ww w
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22

yce ce ce ce ycx cx?œœ?œ
12 1 2 12
4z 2z 4ln x 2ln x %#

19. Section 17.4 Euler Equations 1021
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
6. 2x y 7x y 2y 0 2r 7 2 r 2 0 2r 5r 2 0 2r 1 r 2 0 r or r 2
#ww w
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22 1
2

yce ce ce ce yÊœ œ Êœ 121 2
z 2z lnx 2lnx cc
x x

""
##
#
12
È
7. 3x y 4x y 0 3r 4 3 r 0 3r r 0 r 3r 1 0 r 0 or r y c e c e
#ww w ?
œÊœÊœÊ œÊœ œÊœ
22 0z z1
3
12

1
3
ce ce y c? ʜ12 1
0lnx lnx c
x
?
1
3
2
3
È
8. x y 6x y 4y 0 r 6 1 r 4 0 r 5r 4 0 r 1 r 4 0 r 1 or r 4
#ww w
œÊ œÊ œÊ œÊœ œ
22

yce ce ce ce yÊœ œ Êœ 12 1 2
z 4z lnx 4lnx cc
xx

12
4
9. x y x y y 0 r 1 1 r 1 0 r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice
#ww w #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22

y c e c ze c e c lnxe y c x c xlnxÊœ œ Êœ
12 1 2 12
zzlnx lnx
10. x y x y 2y 0 r 1 1 r 2 0 r 2r 2 0 r 1 i
#ww w
„
œÊ œÊ œÊœ œ„
22
22412
21

É

2
y e c cos z c sin z e c cos ln x c sin ln x y x c cos ln x c sin ln xÊœ œ Êœ
zlnx
12 12 12

11. x y x y 5y 0 r 1 1 r 5 0 r 2r 5 0 r 1 2i
#ww w
„
œÊ œÊ œÊœ œ„
22
22415
21

É

2
y e c cos 2z c sin 2z e c cos 2 ln x c sin 2 ln x y x c cos 2 ln x c sin 2 ln xÊœ œ Êœ
zlnx
12 12 12

12. x y 7x y 13y 0 r 7 1 r 13 0 r 6r 13 0 r 3 2i
#ww w
„
œÊ œÊœÊœ œ„
22
664113
21

É

2
y e c cos 2z c sin 2z e c cos 2 ln x c sin 2 ln x y c cos 2 ln x c sin 2 ln xÊœ œ Êœ
3z 3ln x
12 12 12
1
x

$
13. x y 3x y 10y 0 r 3 1 r 10 0 r 2r 10 0 r 1 3i
#ww w
„
œÊ œÊœÊœ œ„
22
224110
21

É

2
y e c cos 3z c sin 3z e c cos 3 ln x c sin 3 ln x y c cos 3 ln x c sin 3 ln xÊœ œ Êœ
zlnx
12 12 12
1
x

14. x y 5x y 10y 0 r 5 1 r 10 0 r 6r 10 0 r 3 i
#ww w
„
œÊ œÊ œÊœ œ„
22
664110
21

É

2
y e c cos z c sin z e c cos ln x c sin ln x y x c cos ln x c sin ln xÊœ œ Êœ
3z 3ln x
12 12 12

$
15. 4x y 8x y 5y 0 r 8 4 r 5 0 4r 4r 5 0 r i
#ww w
„
œÊ œÊ œÊœ œ„
22
44445
24 2
1

É

2
y e ccosz csinz e ccoslnx csinlnx y ccoslnx csinlnxÊœ œ Êœ

""
##
zlnx
12 12 12
1
x

È
16. 4x y 4x y 5y 0 4r 4 4 r 5 0 4r 8r 5 0 r 1 i
#ww w
„
œÊ œÊ œÊœ œ„
22
88445
24 2
1

É

2
y e c cos z c sin z e c cos ln x c sin ln x y x c cos ln x c sin ln xÊœ œ Êœ
zlnx
12 12 12
11 11 11
22 22 22ˆ‰ˆ‰ˆ‰ˆ‰ ˆ‰ ˆ‰ ˆ‰ ˆ‰ ˆ‰
17. x y 3x y y 0 r 3 1 r 1 0 r 2r 1 0 r 1 0 r 1, repeated twice
#ww w #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22

y c e c ze c e c lnxe yÊœ œ Êœ 12 1 2
zzlnx lnx cclnx
xx

12
18. x y 3x y 9y 0 r 3 1 r 9 0 r 4r 9 0 r 2 5 i
#ww w
„
œÊ œÊ œÊœ œ„
22
4 4 419
21

È
É

2
y e c cos 5 z c sin 5 z e c cos 5 ln x c sin 5 ln xÊœ œ
2z 2ln x
12 1 2
Š‹Š ‹Š‹ Š‹ Š ‹ Š ‹
ÈÈ È È
y x c cos 5lnx c sin 5lnxʜ
#
Š‹Š‹Š‹
ÈÈ12

20. 1022 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
19. x y x y 0 r 1 r 0 r 0 r 0, repeated twice y c e c z e c e c ln x e
#ww w ††† †
œÊ " œÊ œÊœ Êœ œ
2 2 0z 0z 0lnx 0lnx
12 1 2

yc clnxʜ
12
20. 4x y y 0 4r 0 4 r 1 0 4r 4r 1 0 2r 1 0 r , repeated twice
#ww #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22 1
2

y c e c ze c e c lnxe y c x c xlnxÊœ œ Êœ 12 1 2 1 2
zzlnx lnx
111 1
222 2
ÈÈ
21. 9x y 15x y y 0 9r 15 9 r 1 0 9r 6r 1 0 3r 1 0 r , repeated twice
#ww w #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22 1
3

y c e c ze c e c lnxe yÊœ œ Êœ 12 1 2
zzlnx lnx cclnx
xx

111 1
333 3
12
33
ÈÈ
22. 16x y 8x y 9y 0 16r 8 16 r 9 0 16r 24r 9 0 4r 3 0 r , repeated
#ww w #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22 3
4

twice y c e c z e c e c ln x e y c x c x ln xÊœ œ Êœ 12 1 2 1 2
z z lnx lnx 34 34
333 3
444 4
ÎÎ
23. 16x y 56x y 25y 0 16r 56 16 r 25 0 16r 40r 25 0 4r 5 0 r ,
#ww w #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22 5
4

repeated twice y c e c z e c e c ln x e yÊœ œ Êœ 12 1 2
zzlnx lnx cclnx
xx

555 5
444 4
12
54 54
ÎÎ
24. 4x y 16x y 25y 0 4r 16 4 r 25 0 4r 20r 25 0 2r 5 0 r , repeated
#ww w #
œÊ œÊ œÊ œÊœ
22 5
2

twice y c e c z e c e c ln x e y c x c x ln xÊœ œ Êœ 12 1 2 1 2
z z lnx lnx 52 52
555 5
222 2
ÎÎ
25. x y 3x y 3y 0, y 1 1, y 1 1 r 3 1 r 3 0 r 2r 3 0 r 1 r 3 0
#ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊ œ
22
r 1 or r 3 y c e c e c e c e y c x y c ;Êœ œÊ œ œ Ê œ Ê œ 12 1 2 1 1
z 3z lnx 3lnx c3c
xx
w
22
4
$
y1 1cc 1; y1 1c3c 1c , c y x œ Ê œ œ Ê œ Ê œ œ Ê œ 12 1 2 1 2
11 11
22 22x
w $
26. 6x y 7x y 2y 0, y 1 0, y 1 1 6r 7 6 r 2 0 6r r 2 0 2r 1 3r 2 0
#ww w w
œ œ œÊ œÊ œÊ œ
22
r or r y ce ce ce ce y c x y ;Êœ œÊ œ œ Ê œ Ê œ
12
23
12 1 2 1
zzlnxlnx cc2c
x3x 2x
121 2
232 3
212
23 53
w È
ÎÎ È y10cc0; y11 c c1c , c y x ÈœÊ œ œÊ œÊ œ œÊœ 12 1 2 1 2
12 6 6 6 6
23 7 7 7 7x
w 23Î
27. x y x y y 0, y 1 1, y 1 1 r 1 1 r 1 0 r 2r 1 0 r 1 0 r 1,
#ww w w #
œ œ œÊ œÊ œÊ œÊœ
22
repeated twice y c e c ze c e c lnxe y c x c xlnx y c c lnx c ;Êœ œ Êœ Ê œ 12 1 2 12 12 2
zzlnx lnx w
y 1 1 c 1; y 1 1 c c 1 c 1, c 0 y x œÊ œ œÊ œÊ œ œÊœ11212
w
28. x y 7x y 9y 0, y 1 1, y 1 0 r 7 1 r 9 0 r 6r 9 0 r 3 0 r 3,
#ww w w #
œ œ œÊ œÊ œÊ œÊœ
22
repeated twice y c e c z e c e c ln x e y y c ;Êœ œ Êœ Ê œ 12 1 2 2
3z 3z 3ln x 3ln x cclnx 3c
xx xx
13lnx w
12 1
$$ %%
y 1 1 c 1; y 1 0 3c c 0 c 1, c 3 y œÊ œ œÊ œÊ œ œÊœ 11212
13lnx
xx
w $$
29. x y x y 2y 0, y 1 1, y 1 1 r 1 1 r 2 0 r 2r 2 0 r
#ww w w
„
œ œ œÊ œÊœÊœ
22
22412
21
É

2
1 i y e c cos z c sin z e c cos ln x c sin ln x y x c cos ln x c sin ln xœ„Êœ œ Êœ
zlnx
12 12 12

y c c cos ln x c c sin ln x ; y 1 1 c 1; y 1 1 c c 1 c 1, c 2Êœ œÊœ œÊœÊœ œ
w w
12 21 1 12 1 2
y x cos lnx 2sin lnxʜ
30. x y 3x y 5y 0, y 1 1, y 1 0 r 3 1 r 5 0 r 2r 5 0 r
#ww w w
„
œ œ œÊ œÊ œÊœ
22
22415
21
É

2
1 2i y e c cos2z c sin2z e c cos 2lnx c sin 2lnx y c cos 2lnx c sin 2lnxœ „ Ê œ œ Ê œ
zlnx
12 12 12
1
x

y c 2c cos 2 ln x 2c c sin 2 ln x ; y 1 1 c 1; y 1 0 c 2c 0 c 1,Êœ œÊœ œÊ œÊœ
w w1
x
12 12 1 12 1
#
c y cos 2 ln x sin 2 ln x2
11 1
2x 2œÊœ ˆ‰

21. Section 17.5 Power-Series Soutions 1023
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
17.5 POWER-SERIES SOLUTIONS
1. y 2y 0 nn 1cx 2 ncx 0 nn 1cx 2ncx 0
ww w
œœœœ
∞∞∞∞
œÊ œÊ œ∞∞∞∞
n2 n1 n2 n1
nn nn
n2 n1 n2 n1

x 21c 21c 0 c c
x 32c 22c 0 c c c
x 43c 23c 0 c c c
x 54c
power of x
coefficient equation
0
21 21
1
32 321
22
33
2
4 3 431
11
23
3
5




œ ?œ
œ ?œœ
œ ?œœ

24c 0 c c c
x 65c 25c 0 c c c
x n 2 n 1c 2n 1c 0 c c


4541
22
515
4
65 65 1
12
345
n
n2 n1 n2 n1
2
n2œ?œœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊœ


or c c c c c , n 2. Thusnn1 n2 n3 1
222 222
nnn nnn2 n
2œœœœ  
" " x

ˆ‰ˆ ‰ˆ‰ˆ ‰ˆ ‰

n1
y c cx cx cx cx cx cx c c x x x x x xœ áœá01 1 1 1 1 1 01
234 5 6 2345621 2 2 2122
331545 331545
ˆ‰
or y c 2xœ?0
cccccccc
2 2 2 22 23 24 25 26
2x 2x 2x 2x 2x
11111111
23456


xxxxx
yc 12x cœ ᜈ‰ ˆ‰ Š‹ ∞ 0 0
cc cc
22 23456 22n
2x 2x 2x 2x 2x 2x
n0
11 11
23456 n
xxxxx x
œ
∞

c e a be , where a c and b? ? ? ?ˆ‰ 00
cc c c
22 2 2
2x 2x
11 1 1
2. y 2 y y 0 n n 1 c x 2 n c x c x 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x 2nc x c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
œœœ
∞∞∞


x 21c 21c c 0 c c c
x 32c 22c c 0 c c c c c
x 43c 23c c 0
power of x coefficient equation
0
210 210
1
2
1
3 21 3 21 10
21 11
36 23
2
432



œ ?œ
œ Êœœ
?
Êœ œ
œ Êœœ
œ ?œœ
ãã ã
ccccc
x 54c 24c c 0 c c c c c
x 65c 25c c 0 c c c c c
x43210
11 11
212 68
3
5 43 5 43 10
21 1 1
520 2430
4
654 654 10
11 1 1
3 30 120 144
n


n2n1c 2n1c c 0 c c c œÊœ n2 n1 n n2 n1 n
21
n2 n2n1


yccx ccx ccx ccx c cx c cxœ á01 10 10 10 1 0 1 0
111 11 11 11
2 2 3 6 8 24 30 120 144
23 4 5 6
ˆ‰ˆ‰ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰
ccxcxcx cx cx cxcxcxcx cx cxœ á á0000 0 0 1111 1 1
111 1 1 111 1
23830144 2624120
234 5 6 234 5 6
c1xxx x x cxxxx x xœ á á01
111 1 1 11 1 1
23830144 2624120
234 5 6 234 5 6
ˆ‰ˆ‰
Note that in each coefficient equation, the coefficient of c can be given by . To find the coefficient of c , not10
1
n1



x
n1
e that:
1 , , , œ œ œ œœ œ œ œ œ
1 1 11111 111 11 111 1 1 11
2 2 1 2326 2 3 8 624 3 430241204 5
ˆ‰ˆ‰ ˆ‰ˆ‰
xx xx xx xx
so the coefficient of c can be given by 1 . Thus c c0 n0
n1 11 11 111
n1 n n1 n n1 n ’“ ’ “? ?

x x x x x x

n1 n n1 n n1
n1
1
x
c
or c c c c for n 2. Thus y c c x c c c xn0 01 01 0 01
11 11
nn1 nn1
n2
nœ   œ



xx xx
œ
∞
nn1 nn1
∞Š‹
ccxc xc xc xœ 01 0 0 1
n2 n2 n2
11 1
nn1n1
nnn
∞∞ ∞
œœ œ
∞∞ ∞

xxx


nn1n1
c cxc x cxc x cxc xœ 00 0 0 0 1 1
n2 n2 n2
11 1
nn1n1
nnn
∞∞ ∞
œœ œ
∞∞ ∞

xxx


nn1n1
cxcx xcx xcxccx xœ œ00 1 0 01
n0 n1 n1 n0 n1
11 1 1 1
nn1 n1 n n1
nn1n1n n1
∞∞ ∞ ∞ ∞
œœ œ œ œ
∞∞ ∞ ∞ ∞

xx x x x


nn1 n1 n n1
c x c c x x c e c c x e a e b x e , where a c and b c c? ?? ??001 001 001
n0
11
nk
nkxxxx
k0
∞∞
œ
∞∞

xx
œ

nk

22. 1024 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
3. y 4y 0 n n 1 c x 4 c x 0 n n 1 c x 4c x 0
ww
œœœœ
∞∞∞∞
œÊ œÊ œ∞∞∞∞
n2 n0 n2 n0
nn nn
n2 n n2 n

x 2 1 c 4c 0 c 2c
x 32c 4c 0 c c
x 43c 4c 0 c c c
x 54c 4c 0 c c
power of x
coefficient equation
0
20 2 0
1
31 3 1
2
3
2
42 4 2 0
12
33
3
53 5 3
1
5




œ ?œ
œ ?œ
œ ?œœ
œ ?œ
œ
œ ?œ œ
ãã ã
œÊœ
2
15
1
4
64 640
24
15 45
n
n2 n n2 n
4
n2n1
c
x 65c 4c 0 c c c
x n 2 n 1 c 4c 0 c c




yccx2cxcxcx cx cxœ á0101010
234 5 622 2 4
331545
c 2cx cx cx cx cx cxœ á á00 0 0 1 1 1
24 6 3 524 22
345 315
c 1 2x c 2x 2xœ á ᜠ0 0
2x 2x 2x 2x 2x 1 2n 1 2n 1
246 2 35 2n 22n1
cc
n0 n0Š‹Š‹ ∞∞


24 6 35 n n
1 1
xxx xx x x
œœ
∞∞

c cos 2x sin 2x a cos 2x b sin 2x, where a c and b?? ??00
cc
22
1 1
4. y 3 y 2y 0 n n 1 c x 3 n c x 2 c x 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x 3nc x 2c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
œœœ
∞∞∞


x 21c 31c 2c 0 c c c
x 32c 32c 2c 0 c c c c c
x 43c 33c 2c 0 c
power of x coefficient equation
0
210 210
3
2
1
321 32110
17
36
2
432 4



œ ?œ
œ Êœœ
œ ?
??
œ ?œœ
œ Êœœ
ãã ã

31 5 7
46 812
32 1 0
3
543 54310
31 311
5 10 120 4
4
654 65410
11 7 31
215 80360
n
ccc c
x 54c 34c 2c 0 c c c c c
x 65c 35c 2c 0 c c c c c
xn2



n1c 3n1c 2c 0 c c cœÊœ n2 n1 n n2 n1 n
32
n2 n2n1


y c cx c cx c cx c cx c cx c cxœ á01 10 10 1 0 1 0 1 0
3757311731
2 6 8 12 120 4 80 360
23 4 5 6
ˆ‰ˆ‰ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰
ccxcx cxcx cx cxcxcxcx cx cxœ á á000 0 0 0 1111 1 1
23 4 5 6 234 5 67 1 31 3 7 5 31 7
12 4 360 2 6 8 120 80
c1xx xx x cxxxx x xœ á á01
23 45 6 234 5 617131 37531 7
3 12 4 360 2 6 8 120 80
ˆ‰ˆ ‰
Note that if we use the techniques of Section 17.2, our solution is y a e b e a b . Thusœ œ
x2x
n0 n0
x
nn
2x ∞∞
œœ
∞∞
xx
n
n
ab a2bx c cx c cx c cx c cx c cx ˆ‰ˆ‰ˆ ‰ˆ ‰áœ á 01 10 10 1 0 1 0
3757311
2 6 8 12 120 4
23 4 5
If the series are equivalent, then take c a b and c a 2b and substitute in our first series for c and c to obtain01 01? ?
y a b a 2b x a 2b a b x a 2b a b x a 2b a b xœ ˆ‰ˆ‰ˆ ‰
3757
26812
23 4
a2b abx a2b abx?ˆ‰ˆ ‰
31 1 7 31
120 4 80 360
56
ab a2bx a2bx a bx a bx a bx a bxœ á ˆ‰ˆ‰ˆ‰ˆ‰ˆ‰
114121414
2 6 3 24 3 120 15 720 45
23 4 5 6
a ax ax ax ax ax ax b 2bx 2bx bx bx bx bxœ á á
11 1 1 1 42 4 4
2 6 24 120 720 3 3 15 45
23 4 5 6 234 5 6
a1xxxxxx b12xœ? ?ˆ‰ Š‹
11111
23456 2 3 4 5 6
2345 6 2x 2x 2x 2x 2x
xxxxx xxxxx

2345 6
ab aebe? ?∞∞
n0 n0
x
nn
2x x2x
œœ
∞∞
xx
n
n

23. Section 17.5 Power-Series Soutions 1025
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
5. x y 2xy 2y 0 x n n 1 c x 2x n c x 2 c x 0
#ww w #
œœœ
∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x 2nc x 2c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
nnn
œœœ
∞∞∞

x 2c0 c0
x 21c 2c 0 0 0
x 21c 22c 2c 0 0 0
x 32c 23c 2c 0 c 0
x 43c 24c
power of x
coefficient equation
0
00
1
11
2
222
3
333 3
4
4
œÊœ
œ ?œ
œ?œ
œ?œ





44 4
n
nnn nœ ?œ
ãã ã
œÊœ 
2c 0 c 0
x n n 1 c 2n c 2c 0 c 0, n 3
ycxcx?
12
2
6. y xy y 0 nn 1cx x ncx cx 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nc x c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n n
œœœ
∞∞∞


x 21c c 0 c c
x 32c 1c c 0 c 0
x 43c 2c c 0 c c c
x 54c 3c
power of x coefficient equation
0
20 2 0
1
2
1
311 3
2
422 42 0
11
12 24
3
53




œ ?œ
œ ?œ
œ ?œœ

c0 c c0
x 65c 4c c 0 c c c
xn2n1cncc0c c353
1
10
4
644 64 0
21
15 180
n
n2 n n n2 n
n1
n2n1œÊœœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊœ





y c cx cx cx cx c 1 x x x cxœ ᜠá01 0 0 0 0 1
11 1 111
2 24 180 2 24 180
24 6 246
ˆ‰
7. 1 x y y 0 1 x n n 1 c x c x 0 ∞∞œÊ œ
ww
œœ
∞∞
n2 n0
nn
n2 n
nn 1c x nn 1c x c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n2 n0
nnn
n2 n1 n
œœœ
∞∞∞


x 21c c 0 c c
x 32c 21c c 0 c c c c c
x 43c 32c c 0 c c
power of x coefficient equation
0
20 2 0
1
2
1
3 21 3 21 10
11 11
36 66
2
432 43
11
2



œ ?œ
œ Êœœ
œ ?œ
12 12 8
210
11
3
5 43 5 43 10
31 7 1
5 12 120 12
4
654 654 10
21 1 43
330 24720
n
ccc
x 54c 43c c 0 c c c c c
x 65c 54c c 0 c c c c c
xn2n
œ
œ ?œœ
œ ?œœ
ãã ã




1c nn 1c c 0 c c cn2 n1 n n2 n1 n
n1
n2 n2n1

œ Ê œ

y c cx cx c c x c c x c c x c c xœ á01010101010
111 11 71 143
2 6 6 12 8 120 12 24 720
23 4 5 6
ˆ‰ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰
c1 x x x x x cx x x x xœ á á01
111 1 43 1 1 7 1
26812720 61212024
234 5 6 3 4 5 6
ˆ‰ˆ‰

24. 1026 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
8. 1 x y 4xy 6y 0 1 x n n 1 c x 4x n c x 6 c x 0 ∞∞∞œÊ œ
#ww w #
œœœ
∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nn 1c x 4nc x 6c x 0Ê œ∞∞∞∞
n2 n2 n1 n0
nnnn
n2 n n n
œœœœ
∞∞∞∞


x 2 1 c 6c 0 c 3c
x 32c 41c 6c 0 c c
x 43c 21c 42c 6c 0 c c c
x5
power of x
coefficient equation
0
20 2 0
1
311 31
1
3
2
4222 420
1
3
3




œ ?œ
œ ?œ
œ ?œœ


4c 32c 43c 6c 0 c c c
x 65c 43c 44c 6c 0 c c c
x n 2 n 1c nn 1c 4nc 6c 0 c5333 531
31
55
4
6444 64 0
11 11
15 15
n
n2 n n n n2œ ?œœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊ

œ
n3n6
n2n1
n
#


c
yccx3cxcxcxcx cxœ á010101 0
2345 61111
3515
c1 3x x x cx x xœ á á01
24 6 3 511 1 1
15 3 5
ˆ‰ˆ‰
9. x 1 y 2xy 2y 0 x 1 n n 1 c x 2x n c x 2 c x 0 ∞∞∞
#ww w #
œœœ
∞∞∞
œÊ œ
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nn 1c x 2nc x 2c x 0Ê œ∞∞ ∞∞
n2 n2 n1 n0
nnnn
nn2nn
œœ œœ
∞∞ ∞∞


x 21c 2c 0 c c
x 32c 21c 2c 0 c
x 21c 43c 22c 2c 0 c c c
x3
power of x
coefficient equation
0
20 2 0
1
311 3
2
2422 420
11
33
3
œ ?œ
œ Êœ!
œ ?œœ




2c 54c 23c 2c 0 c c
x 43c 65c 24c 2c 0 c c c
x n n 1 c n 2 n 1 c 2nc 2c 0 c3533 53
1
2
4
4644 640
31
55
n
nn2nnn2
n1
n1œ ?œœ!
œ ?œœ
ãã ã
œÊ œ





cn
y c cx cx cx cx c 1 x x x cxœ ᜠá01000 0 1
24 6 24611 11
35 35
ˆ‰
10. y y x y 0 n n 1 c x n c x x c x 0
www# #
œœœ
∞∞∞
œÊ œ∞∞∞
n2 n1 n0
nn n
n2 n1 n
nn 1c x nc x c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n2
œœœ
∞∞∞


x 21c 1c 0 c c
x 32c 2c 0 c c c
x 43c 3c c 0 c c c c
power of x coefficient equation
0
21 2 1
1
2
1
32 3 21
11
36
2
430 4 30 1
11 1
412 24



œ ?œ
œ ?œœ
œ ?œœ

œ ?œœ
œ ?œœ
ãã ã

1
12
0
3
5 41 5 41 10
11 1 1
5 20 120 30
4
652 6 52 10
11 13 1
6 30 720 180
n
n2
c
x 54c 4c c 0 c c c c c
x 65c 5c c 0 c c c c c
xn2n1cn1




cc0c c cn1 n2 n2 n1 n2
11
n2 n2n1

œÊœ

y c cx cx cx c c x c c x c c xœ á01 0 1 10 10 1 0
11 11 11 131
2 6 24 12 120 30 720 180
23 4 5 6
ˆ‰ˆ‰ˆ ‰
c1xxx x cxxx x xœ á á01
1111 11113
2 12 30 180 6 24 120 720
245 6 34 5 6
ˆ‰ˆ ‰

25. Section 17.5 Power-Series Soutions 1027
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
11. x 1 y 6y 0 x 1 n n 1 c x 6 c x 0 ∞∞
#ww #
œœ
∞∞
œÊ œ
n2 n0
nn
n2 n
nn 1c x nn 1c x 6c x 0Ê œ∞∞ ∞
n2 n2 n0
nnn
nn2n
œœ œ
∞∞ ∞


x 2 1 c 6c 0 c 3c
x 32c 6c 0 c c
x 21c 43c c 0 c c c
x 32c 54c c
power of x
coefficient equation
0
20 2 0
1
31 3 1
2
242 420
1
3
3
35
œ ?œ
œ ?œ
'œ ?œœ
'




35
4
4 64 640
11
55
n
nn2nn2n
n3
n1œÊœ!
'œ ?œœ
ãã ã
œÊ œ
0c
x 43c 65c c 0 c c c
x n n 1 c n 2 n 1 c 6c 0 c c





yccx3cxcxcx cx c13xx x cxxœ ᜠá 01 010 0 0 1
234 6 246 11
55
ˆ‰
$
12. xy x 2 y 2y 0 x n n 1 c x x 2 n c x 2 c x 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nc x 2nc x 2c x 0Ê œ∞∞∞∞
n2 n1 n1 n0
nnnn
n1 n n1 n
œœœœ
∞∞∞∞


x 21c 2c 0 c c
x 21c 1c 22c 2c 0 c c c
x 32c 2c 23c 2c 0
x4
power of x coefficient equation
0
10 10
1
21 21 21
11
22
2
32 32
3
œ ?œ
œ Êœœ
œ Ê!œ!




!



3c 3c 24c 2c 0 c c
x 54c 4c 25c 2c 0 c c c
x n1ncnc2n1c2c0c c43 43 43
1
4
4
54 54 543
11
520
n
n1 n n1 n n1 n
1
n1 œ Êœ
œ Êœœ
ãã ã
œ?œ


y c cx cx cx cx cx c 1 x x c x x xœ áœá00 0 3 3 3 0 3
111 1 11
2 4 20 2 4 20
23 4 5 2 4 5
ˆ‰ˆ ‰
$
13. x 1 y 4xy 2y 0 x 1 n n 1 c x 4x n c x 2 c x 0 ∞∞∞
#ww w #
œœœ
∞∞∞
œÊ œ
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nn 1c x 4nc x 2c x 0Ê œ∞∞ ∞∞
n2 n2 n1 n0
nnnn
nn2nn
œœ œœ
∞∞ ∞∞


x 21c 2c 0 c c
x 32c 41c 2c 0 c c
x 21c 43c 42c 2c 0 c c c
x 32c 5
power of x
coefficient equation
0
20 20
1
311 31
2
2422 420
3
3
œ ?œ
œ Êœ
œ ?œœ







4c 43c 2c 0 c c c
x 43c 65c 44c 2c 0 c c c
x n n 1 c n 2 n 1 c 4nc 2c 0 c c
5 3 3 531
4
4644 640
n
nn2nnn2nœ ?œœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊ œ

y c cx cx cx cx cx cx c 1 x x x c x x xœ ᜠá á010311 0 0 1
23456 246 35

26. 1028 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
14. y 2xy 4y 0 n n 1 c x 2x n c x 4 c x 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x 2nc x 4c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n n
œœœ
∞∞∞


x 2 1 c 4c 0 c 2c
x 32c 21c 4c 0 c c
x 43c 22c 4c 0 c 0
x 54c 23c 4c
power of x coefficient equation
0
20 2 0
1
311 31
1
3
2
422 4
3
53




œ ?œ
œ ?œ
œ ?œ

3531
11
10 30
4
644 64
2
15
n
n2 n n n2 n
2n 1
n2n1œ?œœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊœ
0ccc
x 65c 24c 4c 0 c c 0
xn2n1c2nc4c0c c







y c c x 2c x c x c x c 1 2x c x x xœ ᜠá01 0 1 1 0 1
23 5 2 3511 11
330 330 ˆ‰
15. y 2xy 3y 0 n n 1 c x 2x n c x 3 c x 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x 2nc x 3c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n n
œœœ
∞∞∞


x 21c 3c 0 c c
x 32c 21c 3c 0 c c
x 43c 22c 3c 0 c c c
x 54c
power of x
coefficient equation
0
20 2 0
3
2
1
311 31
1
6
2
422 420
11
12 8
3




œ ?œ
œ ?œ
œ ?œœ533 53 1
31
20 40
4
644 64 0
11
648
n
n2 n n n2 n
2n 3
n2n1œ ?œœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊœ
23c 3c 0 c c c
x 65c 24c 3c 0 c c c
xn2n1c2nc3c0c c






y c cx cx cx cx cx cxœ á01010 1 0
311 1 1
26840 48
234 5 6
c1 x x x cx x xœ á á01
31 1 1 1
2848 640
24 6 3 5
ˆ‰ˆ‰
16. 1 x y xy 4y 0 1 x n n 1 c x x n c x 4 c x 0 ∞∞∞œÊ œ
#ww w #
œœœ
∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nn 1c x nc x 4c x 0Ê œ∞∞∞∞
n2 n2 n1 n0
nnnn
n2 n n n
œœœœ
∞∞∞∞


x 2 1 c 4c 0 c 2c
x 32c 1c 4c 0 c c
x 43c 21c 2c 4c 0 c 0
x 54c 32
power of x coefficient equation
0
20 2 0
1
311 3 1
1
2
2
4222 4
3
5




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œ ?œ
œ ?œ

c3c4c0 c c c
x 65c 43c 4c 4c 0 c c 0
x n 2 n 1c nn 1c nc 4c 0 c c333 53 1
11
48
4
6444 64
2
5
n
n2 n n n n2 n
n2
n1œ ?œœ
œ ?œœ
ãã ã
œÊœ






yccx2cxcxcx c1xcxxxœ ᜠá01 0 1 1 0 1
25 23511 11
28 28 ˆ‰

27. Section 17.5 Power-Series Soutions 1029
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
17. y xy 3y 0 n n 1 c x x n c x 3 c x 0
ww w
œœœ
∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x nc x 3c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n n
œœœ
∞∞∞


x 21c 3c 0 c c
x 32c 1c 3c 0 c c
x 43c 2c 3c 0 c c c
x 54c
power of x coefficient equation
0
20 2 0
3
2
1
311 3 1
1
3
2
422 4 20
11
12 8
3
5




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œ ?œ
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3 c 3c 0 c 0
x 65c 4c 3c 0 c c c
x n 2 n 1 c n c 3c 0 c c33 5
4
644 64 0
11
30 240
n
n2 n n n2 n
n3
n2n1œ ?œ
œ ?œœ
ãã ã
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y c cx cx cx cx cx c 1 x x x c x xœ áœá01010 0 0 1
311 1 311 1
2 6 8 240 2 8 240 3
234 6 246 3
ˆ‰ˆ‰
18. x y 4xy 6y 0 x n n 1 c x 4x n c x 6 c x 0
#ww w #
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∞∞∞
œÊ œ ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
n2 n1 n
nn 1c x 4nc x 6c x 0Ê œ∞∞∞
n2 n1 n0
nnn
nnn
œœœ
∞∞∞

x 6c0 c0
x 41c 6c 0 c 0
x 21c 42c 6c 0 0 0
x 32c 43c 6c 0 0 0
x 43c 44c
power of x
coefficient equation
0
00
1
11 1
2
222
3
333
4
4
œÊœ
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œ?œ





44 4
n
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6c 0 c 0
x n n 1 c 4n c 6c 0 c 0
ycx cx?
23
23
Solutions Manual for Thomas Calculus 12th Edition by Thomas
Full Download: https://downloadlink.org/p/solutions-manual-for-thomas-calculus-12th-edition-by-thomas/
Full download all chapters instantly please go to Solutions Manual, Test Bank site: TestBankLive.com