मानक विचलन (standard deviation)

मानक विचलन स्कोर्स के विस्तार की डिग्री का सूचकांक और उस जनसंख्या का जिसमे में से नमूना लिया गया है की विचलनशीलता का एक अनुमान होता है (Guilford & Fruchter, 1976)।

1. मानक विचलन डॉ राजेश वर्मा असिस्टेंट प्रोफेसर राजकीय महाविद्यालय आदमपुर, हिसार, हरियाणा PC Mahalanobis , Indian Legend

2. अर्थ एवं परिभाषा यह एक ऐसी मात्रा होती है जो यह दर्शाती है कि किसी समूह के सदस्य समूह के औसत मान से कितने भिन्न हैं। मानक विचलन स्कोर्स के विस्तार की डिग्री का सूचकांक और उस जनसंख्या का जिसमे में से नमूना लिया गया है की विचलनशीलता का एक अनुमान होता है (Guilford & Fruchter , 1976) ।

3. परिचय मानक विचलन को विचलनशीलता ( Coefficient of Variation) के गुणांक के रूप में भी जाना जाता है। मध्यमान से स्कोर्स के विचलन का यह एक विशेष प्रकार की औसत होती है। विशेष का मतलब मानक विचलन का साधारण अंकगणितीय मध्यमान से अलग होने से होता है। प्रसार, अर्ध-अंतःचतुर्थक प्रसार, औसत विचलन के साथ यह डेटा सेट की विचलनशीलता दर्शाने का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला एकल नंबर होता है।

4. विचलनशीलता केंद्रीय प्रवृत्ति के इर्द - गिर्द अलग-अलग स्कोर का बिखराव या प्रसार होता है (Garret, 2014) । मानक विचलन विचलनशीलता का सबसे स्थिर सूचकांक होता है, जिसकी गणना मध्यमान (mean) से स्कोर्स के विचलन का वर्ग निकालकर की जाती है अर्थात इसमें माध्य और बहुलक की कोई भूमिका नहीं होती है। मानक विचलन को ग्रीक भाषा के छोटे अक्षर σ ( सिग्मा ) द्वारा दर्शाया जाता है।

5. विशेषताएं (i) एस डी के उच्च मान का मतलब होता है कि अधिकांश स्कोर मध्यमान से दूर हैं और इसके विपरीत भी। (ii) यह माध्यम से हर उस स्कोर के प्रसार का सूचकांक होता है जो किसी डाटा सेट में होता है। (iii) अगर एस डी का मान मध्यमान से अधिक होता है तो वह ये इंगित करता है कि वितरण में कम मूल्य वाले स्कोर्स का बहुमत है। (iv) अगर एस डी मध्यमान से कम होता है तो वह ये इंगित करता है कि वितरण में अधिक मूल्य वाले स्कोर्स का बहुमत है। (v) यह ये दर्शाने में भी सक्षम होता है कि वितरण में प्रसार है या उसकी केंद्रीय प्रवृत्ति है।

6. (vi) जिन इकाइयों में डाटा को व्यक्त किया जाता है इसे भी उन्ही इकाइयों में दर्शाया जाता है अर्थात डाटा और एस डी की इकाइयां सामान होती हैं। (vii) दो या दो से अधिक समूहों के मानक विचलन की संयुक्त रूप से गणना संभव होती है। (viii) दो या दो से अधिक समूहों की विचलनशीलता की तुलना के लिए एस डी को सबसे उपयुक्त सांख्यिकीय तकनीक माना जाता है। (ix) सामान्य संभाव्यता वितरण में इसका उपयोग माप की इकाई (Unit of measurement) के रूप में किया जाता है। (x) एस डी कई सांख्यिकीय तकनीकों जैसे कि स्क्युनस, कुकुदता (Kurtosis) , एनोवा आदि के लिए आधार का काम करता है।

7. कितना एस डीअच्छा या अनुचित होता है एस डी का कोई भी मान अच्छा या अनुचित नहीं होता है क्योंकि यह तो स्कोर के प्रसार का संकेतक मात्र होता है। यदि कोई अनुसन्धानकर्त्ता अपने स्कोर्स में अगर कम विचलनशीलता चाहता है तो एस डी ≤ 1 उचित माना गया है और यदि कोई अनुसन्धानकर्त्ता प्रसार की अधिक मात्रा में रुचि रखता है तो एस डी ≥ 1 उचित माना गया है। मोटे तौर पर 1 या 1 से अधिक एस डी उच्च विचलन को दर्शाता है जबकि 1 या 1 से कम निम्न विचलन को। इसे एक प्रकार का अनुभवसिद्ध नियम (Rule of thumb) माना गया है। वास्तव में एस डी शोधकर्ता के डेटा सेट और उद्देश्यों पर निर्भर करता है।

8. एस डी की गणना ( असमूहीकृत डेटा के लिए ) आइए हम काल्पनिक डेटा लेते हैं। जैसे – 12, 50, 22, 41, 24, 58, 21, 33, 31, 48 चरण I – सबसे पहले मध्यमान ( इसे से दर्शाया जाता है ) ज्ञात कीजिये । मध्यमान ( जहां, x = स्कोर N = स्कोर की कुल संख्या अतः 12+50+22+41+24, 58+21 +33+31+48 = 340 = 34  

9. चरण II – मध्यमान से प्रत्येक स्कोर का विचलन ( d) ज्ञात कीजिए। ( i ) इसे प्रत्येक स्कोर में से मध्यमान को घटाने से प्राप्त किया जाता है , (ii) प्रत्येक विचलन का वर्ग निकालिए , (iii) और फिर वर्ग में परिवर्तित किये गए विचलन को जोड़ दीजिए। चरण III – निम्न फॉर्मूले द्वारा एस डी निकालिए => => = 14.085  

10. SD of Grouped Data आइए हम एस डी निकालने के लिए काल्पनिक डेटा लेते हैं जैसा कि निकटवर्ती तालिका में दिखाया गया है। चरण I - सबसे पहले मध्यमान की गणना कीजिए जिसके लिए हमें निम्नलिखित कुछ चरणों का पालन करना होगा।

11. मध्यमान निकालने के चरण ( i ) वर्ग अंतराल के मध्य - बिन्दु (x) निकालिए। (ii) अपनी संबंधित आवृत्ति ( f) के साथ प्रत्येक मध्यबिंदु ( x) को गुणा कीजिए। (iii) फिर सभी गुणनफल ( fx ) का योग निकालिए। (iv) फिर इस योग ( ) को आवृत्तियों के कुल योग (50) से भाग कीजिए। अतः मध्यमान = = 33  

12. चरण II- वर्ग अंतराल के हर मध्य - बिंदु से मध्यमान को घटाइए अर्थात , , चरण III- इस प्रकार प्राप्त हुई संख्यायों का वर्ग निकालिए (x`), चरण IV- फिर हर वर्ग को अपनी - अपनी आवृति से गुना कीजिए ( fx `), चरण V- फिर आवृति और वर्ग के गुणनफल ( fx `) को जोड़ दीजिए , अंत में , फॉर्मूले में सभी मान रख कर एस डी निकालिए। = = 110.24) = 10.499  

13. सन्दर्भ : 1. https://dictionary.apa.org/quartile-deviation. 2. Guilford, J. P. and Fruchter , B. (1978). Fundamental Statistics in Psychology and Education, 6th ed. Tokyo: McGraw-Hill. 3. https://todayinsci.com/M/Mahalanobis_Prasanta/ MahalanobisPrasanta-Quotations.htm. 4. Garrett, H. E. (2014). Statistics in Psychology and Education. New Delhi: Pragon International. 5. Levin, J. & Fox, J. A. (2006). Elementary Statistics. New Delhi: Pearson.

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