Stanford Torus with an elliptical cross-section.pdf

Volumen de un Toroide de sección elíptica.
Inspirado en el toro de stanford, esta vez se optó por elegir una sección elíptica en lugar de una sección circular.

1. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga





















.


TORO DE STANFORD

2. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga

Volumen del Toroide de Sección Elíptica








1º) Cálculo de área de la sección elíptica:
La ecuación de la elipse viene dada por
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1 1.1
Se busca dejar a � como función de �:
�
2
�
2
=1−
�
2
�
2
1.2

�
2
�
2
=
�
2
−�
2
�
2
1.3

�
2
=
�
2
�
2
(�
2
−�
2
) 1.4

� =±
�
�
√�
2
−�
2
1.5

�
�
(0;�)
(�;0)
����??????ó� ��í��??????��
0

3. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga


El área total de la elipse es cuatro veces el área de la porción del primer cuadrante. En el primer cuadrante la
ecuación de la elipse es:
� =
�
�
√�
2
−�
2
0≤�≤� 1.6

Y el área del cuarto de elipse sombreado:
1
4
??????=∫
�
�
√�
2
−�
2
�
0
�� 1.7

El área total de la elipse, ?????? viene dada por:
??????=4
�
�
∫√�
2
−�
2
�
0
�� 1.8

Haciendo la sustitución trigonométrica:
�=� ��� (??????) donde: 0≤??????≤
??????
2
(�����??????�????????????��� �� ���??????�??????� ?????? ���� ��� � ��� �??????�����,�� ���??????�,���??????� ??????������)
Además, debe tenerse en cuenta que si:
�=� ��� (??????) entonces: ��=�cos??????�??????
Los límites de integración cambian a:
Si �=0→??????=0 y cuando �=�→??????=
??????
2


??????=4
�
�
∫√�
2
−�
2
sin
2
??????
??????
2
0
�cos??????�?????? 1.9

4. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga

??????=4
�
�
∫√�
2
(1−sin
2
??????)
??????
2
0
�cos??????�?????? 1.10
??????=4
�
�
∫�
2
√(1−sin
2
??????)
??????
2
0
cos??????�?????? 1.11 ??????=4
�
�
∫�
2
√(1−sin
2
??????)
??????
2
0
cos??????�?????? 1.10
Teniendo en cuenta que: 1−sin
2
??????= cos
2
??????
??????=4��∫√cos
2
??????
??????
2
0
cos??????�?????? 1.12
??????=4��∫|cos??????|
??????
2
0
cos??????�?????? 1.13
Pero como 0≤??????≤
??????
2
→ |cos??????|= cos?????? por lo que la integral queda:
??????=4��∫cos
2
??????
??????
2
0
�?????? 1.14
Teniendo en cuenta la siguiente identidad trigonométrica: cos
2
??????=
1
2
(1+cos2??????)
??????=4��∫
1
2
(1+cos2??????)
??????
2
0
�?????? 1.15
??????=2��∫(1+cos2??????)
??????
2
0
�?????? 1.16
??????=2��∫1 �??????
??????
2
0
+∫cos2??????
??????
2
0
�?????? 1.17
??????=2��[??????+
1
2
sin2??????]
0
??????
2
1.18

5. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga

??????=2��[
??????
2
+0−0]


1.19
Por lo que finalmente el área de la sección elíptica es:
??????=??????�� 1.20

2º) Ahora, a partir de la sección elíptica se genera el toroide de revolución y se calculará el volumen.














�
�
0
�
−�
?????? −??????
??????+� ??????−�
� 0
La ecuación de la elipse que está desplazada a la
derecha ?????? unidades, es:

(�−??????)
2
�
2
+
�
2
�
2
=1 2.1
Despejamos a � como función de �:

(�−??????)
2
�
2
=1−
�
2
�
2
2.2
(�−??????)
2
=�
2
(1−
�
2
�
2
) 2.3
�−??????

=±�√1−
�
2
�
2
2.4
�

=??????±�√1−
�
2
�
2
2.5

Δ�

6. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga
El volumen del toroide se puede calcular como:
??????=2∫[?????? ((??????+�√1−
�
2
�
2
)
2
−(??????−�√1−
�
2
�
2
)
2
)]dy
�
0
2.6


??????=2??????∫[??????
2
+2??????� √1−
�
2
�
2
+�
2
(1−
�
2
�
2
)−??????
2
+2??????�√1−
�
2
�
2
−�
2
(1−
�
2
�
2
)]dy
�
0
2.7


??????=2??????∫ [4??????�√1−
�
2
�
2
] dy
�
0
=8????????????�∫ √1−
�
2
�
2
dy
�
0
=8????????????�∫ √
1
�
2
(�
2
−�
2) dy
�
0
2.8


??????=2??????∫ [4??????�√1−
�
2
�
2
] dy
�
0
=8????????????�∫ √1−
�
2
�
2
dy
�
0
=8????????????�∫ √
1
�
2
(�
2
−�
2) dy
�
0
2.9



??????=8????????????�∫
1
�
√ (�
2
−�
2) dy
�
0
=8????????????
�
�
∫ √ (�
2
−�
2) dy
�
0
2.10


Ahora queda resolver la integral. Para esto hacemos la sustitución trigonométrica:
�=� sen?????? donde: 0≤??????≤
??????
2
(�����??????�????????????��� �� ���??????�??????� ?????? ���� ��� �(??????) ��� �??????�����,�� ���??????�,���??????� ??????������)
Además, debe tenerse en cuenta que si:
�=� sen?????? entonces: ��=�cos??????�??????
Los límites de integración cambian a:
Si �=0→??????=0 y cuando �=�→??????=
??????
2

7. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga
??????=8????????????
�
�
∫ √ �
2(1−sen
2
??????) �cos??????�??????
??????
2
0
2.11


??????=8????????????��∫ √ (1−sen
2
??????) cos??????�??????
??????
2
0
2.12


Teniendo en cuenta que: 1−sen
2
??????= cos
2
??????
??????=8????????????��∫ √ cos
2
?????? cos??????�??????
??????
2
0
2.13


??????=8????????????��∫|cos??????|cos??????�??????
??????
2
0
2.14


Pero como 0≤??????≤
??????
2
→ |cos??????|= cos?????? por lo que la integral queda:
??????=8????????????��∫cos
2
??????�??????
??????
2
0
2.15


Teniendo en cuenta la siguiente identidad trigonométrica: cos
2
??????=
1
2
(1+cos2??????)
??????=8????????????��∫
1
2
(1+cos2??????)�??????
??????
2
0
2.16


??????=4????????????��[∫1�??????
??????
2
0
+∫cos2??????�??????
??????
2
0
] 2.17


??????=4????????????��[??????+
1
2
sen2??????]
0
??????
2
2.18


??????=4????????????��[
??????
2
+0−0]


2.19

8. Ing. Diego Rafael Ariza Quiroga

Por lo que el volumen del toroide de sección elíptica es:

??????=2??????
2
??????�� 2.20


En el caso particular en que �=�=� la elipse se transforma en una circunferencia y el toroide elíptico se
transforma en el clásico toro de sección circular donde el volumen es la conocida fórmula ??????=2??????
2
??????�
2
siendo
� el radio del círculo generatriz.
En el caso de la construcción de la colonia espacial la elipse generatriz estaría rotada 90° lo cual no modifica el
cálculo del volumen.