Subespacios vectoriales

1. SUBESPACIOS VECTORIALES - En álgebra lineal , un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial , que debe cumplir ciertas características específicas. -Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V. -De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. V S

2. Condición de existencia de subespacio El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V , es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K ) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S . Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si :

3. 1. S no es un conjunto vacío. 2. S es igual o está incluido en V . 3. La suma es ley de composición interna. 4. El producto es ley de composición externa. - Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

4. TEOREMA -Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial S ⊆ V, S≠ ∅, S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple que: ∀u, v ∊ S / u+v ∊ S 2. ∀ α ∊ K, ∀u ∊ S / α u ∊ S

5. Intersección: Se define la intersección ( ∩) de dos subespacios vectoriales S1 y S2 de V, como el subconjunto de V que verifica: a ∈ S1 ∩ S2 ⇔ a ∈ S1 y a ∈ S2 Teorema : La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es , a su vez, un subespacio vectorial de V.

6. Suma: Sea (V ; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V. Se llama suma de S1 y S2 al conjunto: S1 + S2 = { s1 + s2 / s1 ∈ S1 , s2 ∈ S2 } Teorema : El conjunto S1 + S2 es un subespacio de V; es el menor de todos los subespacios que contienen a S1 y S2.

7. Suma directa : Sean S1 y S2 subespacios de un espacio vectorial (V; K ;+; •) y sea L ⊆ V , decimos que L es suma directa de S1 y S2; lo que se denota L = S1 ⊕ S2 , si se verifica que : L = S1 + S2 y S1∩S2 = . Si L = V ; a los subespacios S1 y S2 se les denominan subespacios complementarios.

8. Unión : S1 υ S2 = { α ∈ V / α ∈ S1 ^ α ∈ S2 } En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V , pues no se cumple con la ley de composición interna. P ertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S1 este contenido en S2 o viceversa.