Sucesiones Matemáticas

Sucesiones Matemáticas - SAIA PSM - Matemática II.

1. SUCESIONES MATEMÁTICAS Daniel Alfredo De Jesús Contreras CI. V-23.-721.529 Mérida, julio 2014

2. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada, de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero, cuarto,… Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión : a 1 , a 2 , a 3….. Ejemplo: (2, 5, 8, 11) a 1 = 2 , a 2 = 5 , a 3 = 8 , a 4 = 11 TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN . Se llama término general de una sucesión a la expresión que representa a un término cualquiera de la secesión, y se simboliza: a n . Para la sucesión anterior se tiene como término general: a n = 3n – 1 . E l primer valor será: a 1 = 3x1 -1 = 2; el segundo a 2 = 3x2-1 = 5 y así sucesivamente: a 3 = 8 , a 4 = 11

3. Formas de expresar una sucesión S e puede hacer de las siguientes maneras: M ostrando los términos de la sucesión : {1; 3; 5; 7;...} M ediante una frase que describa la sucesión , por ejemplo: El conjunto de los números naturales. A través del  término general , que permite conocer el valor de cada  elemento dependiendo de la posición que ocupa (n).   P or recurrencia, son sucesiones que para conocer un término es necesario conocer los anteriores. Sea por ejemplo la relación recurrente a n = a n −1 + a n −2. S e tiene que los dos primeros son a 1 = 1, a 2 = 2 , el tercero es a 3 = a 2 +a 1 =1+1 = 2 , el cuarto es a 4 = a 3 + a 2 = 2 + 1 = 3 , el quinto es a 5 = a 4 + a 3 = 3 + 2 = 5 , el sexto a 6 = 5 + 3 = 8 , el séptimo a 7 = 8+5 = 13 y el octavo a 8 = 13 + 8 = 21 .

4. TIPOS DE SUCESIONES a) Progresiones Aritméticas : es una sucesión de números reales en la que cada uno de sus términos se obtiene del anterior sumando una cantidad fija “d” llamada diferencia. Por ello, se puede decir que en toda sucesión aritmética de diferencia ‘d’ se verifica que : a n = a n−1 + d , a partir de a 1 conocido. Ejemplo : sea la sucesión ( a n ): 10, 12, 14, 16, 18, Esta sucesión es una sucesión aritmética, ya que cada uno de los elementos se obtiene del anterior sumando una cantidad fija igual a 2, llamada diferencia (d). Así, en este caso, a 1 = 10, d = 2, y se verifica que para cualquier n -1 a n = a n−1 +d = a n−1 + 2. Igualmente, se verifica que a n = a 1 +(n −1) d = 10+(n − 1)2, esto es: a n = 8+2n , que es el término general.

5. Suma de términos de una progresión aritmética. Sea la sucesión aritmética de números reales ( a n ) : a 1 , a 2 , a 3 , Sea S n a la suma de los n primeros términos de la sucesión; Sn = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n−1 + a n . Se verifica entonces que S n es igual a la mitad de n veces la suma del primero con el último, es decir: S n = (a 1 + a n )n / 2 Ejemplo . Un jardinero tiene que echar un cubo de agua a cada uno de los 15 árboles que están a lo largo de un camino recto. Los arboles están separados entre sí 6 m, y el pozo se encuentra a 10 m del primer árbol. Si el jardinero solo lleva un cubo de agua en cada viaje ¿qué camino habrá recorrido tras regar los 15 árboles y devolver el cubo al pozo? Solución. Para regar el primer árbol y devolver el cubo al pozo, el jardinero debe recorrer 10 + 10m = 20m. Para regar el segundo y devolver el cubo al pozo, el jardinero habrá recorrer (10+6)+(6+10)m = 32m = 20+12m, para regar el tercer árbol recorrerá (10+6+6)+(6+6+10)m = 44m = 32 + 12m. Por lo tanto, para regar el enésimo árbol deberá recorrer a n = 20 + 12(n − 1) metros. Es decir: a 15 = 20 + 12(15 − 1) = 188 m.   En total la distancia recorrida por el jardinero será: Sn = (a1 + an )n / 2   S n = (20 + 188) 15 / 2 = 1.560 m

6. b) Progresiones geométricas. Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando a éste por una cantidad fija positiva r , llamada razón de la progresión. Por ello, la expresión que describe el comportamiento de una sucesión geométrica es a n = a n−1 r para r > 0 a partir de a 1 conocido. El término general de una progresión geométrica es: a n = a 1 * r n-1 Ejemplo 1. Sea la progresión geométrica con a 1 = 2 y r = 3. ¿Qué valor tendrá a 6 ? Esta sucesión la forman los números a n : 2, 6, 18, 54, 162, 486. Se multiplica por r = 3 cada uno de los números anteriores, que se calculan a partir de a 1 = 2 y se llega: a 6 = 486. Pero, por ejemplo, para llegar al número a 20 se deben de realizar, sin equivoco, muchas multiplicaciones . En consecuencia, es conveniente emplear el término general a n = a 1 * r n-1 . a 20 = 2 * 3 (20-1) = 2*3 19 = 2.324.522.934

7. Ejemplo 2. En un banco se ha depositado la cantidad de 10.000 Bs a un interés del 5 % anual, ¿qué capital se tendrá al finalizar el quinto año? Nota: Un capital C que se deposita en un banco al i% de interés, produce unos beneficios al cabo de un año. Si sumamos los beneficios al capital, C + iC = C(1+i), y esta nueva cantidad la se pone de nuevo a un interés i %, al finalizar el segundo año se tendrá un capital total C( i+i )+C(1+i)i = C(1+i) 2 .por tanto, al finalizar el año n, desde que se puso el dinero en el banco, se dispondrá de un capital total igual a C(1+i) n−1 , donde los valores que genera esta fórmula pueden ser entendidos como términos de una progresión geométrica con a1 = C y razón (1 + i ). Solución. Se aplica: a n = a 1 * r n-1 , donde a 1 = 10.000 r = ( 1 + 0,05) a 5 = 10.000 (1,05) 4 = 12.155 Bs

8. Suma de términos en una progresión geométrica. Sea la progresión geométrica de números reales ( a n ) : a 1 , a 2 , a 3 , y S n la suma de los n primeros términos de la sucesión; S n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n−1 + a n . Se verifica entonces que S n es igual al cociente del primero menos el siguiente al último entre 1 − r, esto es: S n = (a 1 – a 1 r n ) / (1- r) Ejemplo 3. Cuenta la Historia, que el Rey de Persia aburrido en los ratos de ocio , de repente quedó fascinado por el juego del ajedrez, el cual le presentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que quedó tan agradecido que el rey ofreció al matemático oriental lo que deseara. A lo que el inventor respondió ¡Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero! Solución . Esta propuesta del inventor, aunque para el rey fuese ridícula según lo marca la Historia, resulta sorprendente, pues se trata de una suma de términos de una progresión geométrica de razón 2. Aplicando S n = (a 1 – a 1 r n ) / (1- r) se tiene: S n = (1 – 1* 2 64 ) / (1- 2) = 18.446.744.073.709.551.616 granos . Como cada kilogramo de trigo ocupa unos 28.220 granos, la cifra anterior equivaldría a unas 653.676.260.585 toneladas de trigo.

9. Sucesiones especiales. Son sucesiones que guardan otro tipo de ley de formación que no está orientado específicamente a una razón constante, su ley de formación guarda un orden lógico diferente que debe ser analizado muy ingeniosamente. Números pares : 2, 4, 6, 8, 10, ..... a n = 2n   Números impares : 1, 3, 5, 7, 9, .... a n = 2n – 1   Números al cuadrados : 1, 4, 9, 16, 25, .... a n = n 2   Números al cubos : 1, 8, 27, 81, 125, .... a n = n 3   Potencias : 2, 4, 8, 16,...... a n = 2 n   Números triangulares : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 , …… a n  = n(n+1)/2  

10. Sucesión de Fibonacci . De las tantas sucesiones matemáticas que existen, ninguna es tan famosa, tan interesante y tan asombrosa como la que inventó LenardoFibonacci , matemático italiano del siglo XIII. A lo largo de los años, hombres de ciencia, artistas de todo tipo y arquitectos, la han utilizado en su campo con resultados impresionantes. Es una sucesión matemática infinita . Consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 .. Se trata de una sucesión recurrente de orden dos donde a 1 = 1, a 2 = 1, y a partir estos dos términos, conocidos, el resto se calcula haciendo: a n+2 = a n +a n+1 . Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero .

11. La sucesión de Fibonacci está presente prácticamente en todas las cosas del universo. Tiene aplicaciones en matemáticas, computación y juegos, y que aparece en los más diversos elementos biológicos. Ejemplos claros son la disposición de las ramas de los árboles, las semillas de las flores, las hojas de un tallo, otros más complejos y aún mucho más sorprendentes es que también se cumple en los huracanes e incluso hasta en las galaxias enteras, desde donde obtenemos la idea del espiral de Fibonacci .

12. La Espiral de Fibonacci Se puede construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión. Se construye un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Luego otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1. Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2. Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21... Se puede llegar a un rectángulo de 34x55, de 55x89... Se dibujan así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2Si y uniendo los vértices de estos rectángulos se va formando una curva que ya resulta familiar: una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos; es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal.