SUCESIONES-SERIES-INFINITAS-Chavez-2021 (1).docx
JoelEynerTurpoCondor
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Apr 11, 2022
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About This Presentation
calculo iv
Slide Content
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
FACULTAD DE CIENCIAS
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Dr. DIONICIO MILTON CHÁVEZ MUÑOZ
(DOCENTE. UN/J. BASADRE G.)
2021
TACNA PERÚ
FACULTAD DE CIENCIAS
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Dr. DIONICIO MILTON CHÁVEZ MUÑOZ
(DOCENTE. UN/J. BASADRE G.)
2021
TACNA PERÚ
CAPÍTULO I
SUCESIONES INFINITAS.
1. SUCESIONES.
DEFINICIÓN 1. Una sucesión infinita de números reales es una función que se denota por {�
�
}
�≥1 o
también por {�
�
}
�∈?????? , cuya regla de correspondencia es:
�:??????→� tal que �(�):={�
�
}
�∈?????? ∈�;
Siendo ?????? el conjunto de números naturales y � el conjunto de números reales. El dominio es ??????, la
imagen es un subconjunto de �.
En forma abreviada una sucesión se representa por {�
�
}
�≥1 o {�
�
}
�∈?????? .
Forma desarrollada es dada por: {�
�
}
�≥1: �
1; �
2 ; �
3;…; �
�;…
Cada elemento �
1; �
2 ; �
3;…; �
�;… es llamado término de la sucesión, siendo �
� el término general.
EJEMPLO 1. Son sucesiones infinitas:
a) 2;1;
2
3
;
1
2
;
2
5
;
1
3
;…;
2
�
;… = {
2
�
}
�≥1
b) {√�}
�≥1
= 1;√2;√3;2;√5;…;√�;…
c) {(−1)
�+1
(2�−1)}
�≥1= 1;−3;5;−7;9;…;(−1)
�+1
(2�−1);…
d) {
2�−1
�
}
�≥1
=1;
3
2
;
5
3
;
7
4
;
9
5
;…;{
2�−1
�
};…
EJEMPLO 2. Graficar las sucesiones del Ejemplo 1, anterior.
a) {
2
�
}
�≥1
=2;1;
2
3
;
1
2
;
2
5
;
1
3
;…;
2
�
;…
0
0.5
1
1.5
2
2.5
012345678910
SUCESIONES INFINITAS.
1. SUCESIONES.
DEFINICIÓN 1. Una sucesión infinita de números reales es una función que se denota por {�
�
}
�≥1 o
también por {�
�
}
�∈?????? , cuya regla de correspondencia es:
�:??????→� tal que �(�):={�
�
}
�∈?????? ∈�;
Siendo ?????? el conjunto de números naturales y � el conjunto de números reales. El dominio es ??????, la
imagen es un subconjunto de �.
En forma abreviada una sucesión se representa por {�
�
}
�≥1 o {�
�
}
�∈?????? .
Forma desarrollada es dada por: {�
�
}
�≥1: �
1; �
2 ; �
3;…; �
�;…
Cada elemento �
1; �
2 ; �
3;…; �
�;… es llamado término de la sucesión, siendo �
� el término general.
EJEMPLO 1. Son sucesiones infinitas:
a) 2;1;
2
3
;
1
2
;
2
5
;
1
3
;…;
2
�
;… = {
2
�
}
�≥1
b) {√�}
�≥1
= 1;√2;√3;2;√5;…;√�;…
c) {(−1)
�+1
(2�−1)}
�≥1= 1;−3;5;−7;9;…;(−1)
�+1
(2�−1);…
d) {
2�−1
�
}
�≥1
=1;
3
2
;
5
3
;
7
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9
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;…;{
2�−1
�
};…
EJEMPLO 2. Graficar las sucesiones del Ejemplo 1, anterior.
a) {
2
�
}
�≥1
=2;1;
2
3
;
1
2
;
2
5
;
1
3
;…;
2
�
;…
0
0.5
1
1.5
2
2.5
012345678910
b) {√�}
�≥1
= 1;√2;√3;2;√5;…;√�;…
c) {(−1)
�+1
(2�−1)}
�≥1= 1;−3;5;−7;9;…;(−1)
�+1
(2�−1);…
d) {
2�−1
�
}
�≥1
=1;
3
2
;
5
3
;
7
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;
9
5
;…;{
2�−1
�
};…
DEFINICIÓN 2. Dos sucesiones {�
�
}
�≥1 y {�
�
}
�≥1 son iguales si �
�=�
�, ∀�∈??????.
EJEMPLO 2. Las sucesiones infinitas {�
�
}={1;
1
2
;
1
3
;
1
4
;…;
1
�
;…} y {�
�
}={
1
2
;
1
3
;
1
4
;…;
1
�+1
;…} son
diferentes a pesar que se diferencian en un único valor.
2. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
DEFINICIÓN 1. Se dice que la sucesión {�
�
}
�≥1 tiene un valor �∈� como su límite si éste número real
� es el último término de dicha sucesión.
Equivalentemente: �
��→∞
??????í�
=� ∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |�
�−�|<?????? .
EJEMPLO 1. Demostrar que el límite de la sucesión {
�
2�+1
}
�≥1
es �=
1
2
0
1
2
3
4
012345678910
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
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012345678910
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10
�≥1
= 1;√2;√3;2;√5;…;√�;…
c) {(−1)
�+1
(2�−1)}
�≥1= 1;−3;5;−7;9;…;(−1)
�+1
(2�−1);…
d) {
2�−1
�
}
�≥1
=1;
3
2
;
5
3
;
7
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;
9
5
;…;{
2�−1
�
};…
DEFINICIÓN 2. Dos sucesiones {�
�
}
�≥1 y {�
�
}
�≥1 son iguales si �
�=�
�, ∀�∈??????.
EJEMPLO 2. Las sucesiones infinitas {�
�
}={1;
1
2
;
1
3
;
1
4
;…;
1
�
;…} y {�
�
}={
1
2
;
1
3
;
1
4
;…;
1
�+1
;…} son
diferentes a pesar que se diferencian en un único valor.
2. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
DEFINICIÓN 1. Se dice que la sucesión {�
�
}
�≥1 tiene un valor �∈� como su límite si éste número real
� es el último término de dicha sucesión.
Equivalentemente: �
��→∞
??????í�
=� ∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |�
�−�|<?????? .
EJEMPLO 1. Demostrar que el límite de la sucesión {
�
2�+1
}
�≥1
es �=
1
2
0
1
2
3
4
012345678910
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
012345678910
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10
En efecto: Usando �
��→∞
??????í�
=� ∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |�
�−�|<?????? .
{
�
2�+1
}
�→∞
??????í�
=
1
2
∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |
�
2�+1
−
1
2
|<?????? .
Se debe cumplir: |
�
2�+1
−
1
2
|<?????? |
−1
4�+2
|<??????
1
4�+2
<?????? 4�+2>
1
??????
�>
1−2??????
4??????
Tomando como ??????=
1−2??????
4??????
, el limite queda demostrado, es decir que {
�
2�+1
}
�→∞
??????í�
=
1
2
NOTA 1. Hay diferencia con el cálculo del límite de la sucesión:
El cálculo del límite es: {
�
2�+1
}
�→∞
??????í�
= {
�/�
2�/�+1/�
}
�→∞
??????í�
= {
1
2+1/�
}
�→∞
??????í�
=
1
2
OBSERVACIÓN 1. Si la {�
�
}
�≥1 tiene un límite �∈� se dice que es convergente y converge a �. Si la
sucesión no tiene un límite � se dice que es divergente.
EJEMPLO 2. Determinar si cada sucesión es convergente o divergente.
a) {
�+1
2�
}
�≥1
b) {
�
2
−1
�+1
}
�≥1
c) {
√�
√�+1
}
�≥1
Solución.
�) {
�+1
2�
}
�→∞
??????í�
= {
1
2
+
1
2�
}
�→∞
??????í�
=
1
2
; es convergente.
b) {
�
2
−1
�+1
}
�→∞
??????í�
=
(�+1)(�−1)
�+1
�→∞
??????í�
= (�−1)=∞
�→∞
??????í�
; es divergente.
c) {
√�
√�+1
}
�→∞
??????í�
= {
√�/√�
(√�+1)/√�
}
�→∞
??????í�
= {
1
1+1/√�
}
�→∞
??????í�
= 1 ; es convergente.
EJEMPLO 3. Demostrar que la sucesión {�
�
}
�≥1 con 0<|�|<1 converge a cero �=0.
En efecto: {�
�
}=0
�→∞
??????í�
∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |�
�
−0|<??????
Se debe cumplir: |�
�
−0|<?????? |�
�
|<?????? ��|�
�
|<��(??????) � ��|�|<��(??????) �>
??????�(??????)
??????�|�|
Tomando como ??????=
??????�(??????)
??????�|�|
, el limite queda demostrado, es decir que la sucesión {�
�
}
�≥1 con 0<|�|<
1 converge a cero.
EJERCICIO 1. Demostrar que la sucesión {�
�
}
�≥1 con |�|>1 es divergente �=∞.
��→∞
??????í�
=� ∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |�
�−�|<?????? .
{
�
2�+1
}
�→∞
??????í�
=
1
2
∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |
�
2�+1
−
1
2
|<?????? .
Se debe cumplir: |
�
2�+1
−
1
2
|<?????? |
−1
4�+2
|<??????
1
4�+2
<?????? 4�+2>
1
??????
�>
1−2??????
4??????
Tomando como ??????=
1−2??????
4??????
, el limite queda demostrado, es decir que {
�
2�+1
}
�→∞
??????í�
=
1
2
NOTA 1. Hay diferencia con el cálculo del límite de la sucesión:
El cálculo del límite es: {
�
2�+1
}
�→∞
??????í�
= {
�/�
2�/�+1/�
}
�→∞
??????í�
= {
1
2+1/�
}
�→∞
??????í�
=
1
2
OBSERVACIÓN 1. Si la {�
�
}
�≥1 tiene un límite �∈� se dice que es convergente y converge a �. Si la
sucesión no tiene un límite � se dice que es divergente.
EJEMPLO 2. Determinar si cada sucesión es convergente o divergente.
a) {
�+1
2�
}
�≥1
b) {
�
2
−1
�+1
}
�≥1
c) {
√�
√�+1
}
�≥1
Solución.
�) {
�+1
2�
}
�→∞
??????í�
= {
1
2
+
1
2�
}
�→∞
??????í�
=
1
2
; es convergente.
b) {
�
2
−1
�+1
}
�→∞
??????í�
=
(�+1)(�−1)
�+1
�→∞
??????í�
= (�−1)=∞
�→∞
??????í�
; es divergente.
c) {
√�
√�+1
}
�→∞
??????í�
= {
√�/√�
(√�+1)/√�
}
�→∞
??????í�
= {
1
1+1/√�
}
�→∞
??????í�
= 1 ; es convergente.
EJEMPLO 3. Demostrar que la sucesión {�
�
}
�≥1 con 0<|�|<1 converge a cero �=0.
En efecto: {�
�
}=0
�→∞
??????í�
∀??????>0,∃ ??????>0/ ∀�>?????? |�
�
−0|<??????
Se debe cumplir: |�
�
−0|<?????? |�
�
|<?????? ��|�
�
|<��(??????) � ��|�|<��(??????) �>
??????�(??????)
??????�|�|
Tomando como ??????=
??????�(??????)
??????�|�|
, el limite queda demostrado, es decir que la sucesión {�
�
}
�≥1 con 0<|�|<
1 converge a cero.
EJERCICIO 1. Demostrar que la sucesión {�
�
}
�≥1 con |�|>1 es divergente �=∞.
EJERCICIOS.
1) Exhibir los 5 primeros términos de cada sucesión:
a) {
1
�
2
}
�≥1
b) {
1
�
2
+1
}
�≥1
c) {
�+1
�
}
�≥1
d) {
2�−1
�
}
�≥1
e) {
(−1)
�
�
}
�≥1
f) {
(−1)
�+1
�+1
}
�≥1
2) Demostrar que la sucesión {
�+1
�
}
�≥1
converge a 1.
3) Escriba el término general de cada sucesión dada:
a) 1;4;7;10;… b) 1;
1
4
;
1
9
;
1
16
;…
c) 2;1;
4
5
;
5
7
;
6
9
;… d) 3;7;11;15;… e) {2}
�≥1:2;2;2;2;…;2;…
3. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES .
Sean {�
�
}
�≥1
y {�
�
}
�≥1 dos sucesiones convergentes y sea � una constante real, entonces se cumplen:
a) �
�→∞
??????í�
=� b) �
�→∞
??????í�
�
�=�
�→∞
??????í�
�
�
c) (
�→∞
??????í�
�
�+�
�)=
�→∞
??????í�
�
�+
�→∞
??????í�
�
� d) (
�→∞
??????í�
�
�−�
�)=
�→∞
??????í�
�
�−
�→∞
??????í�
�
�
e)
�→∞
??????í�
[(�
�)(�
�
)]=(
�→∞
??????í�
�
�
)(
�→∞
??????í�
�
�
)
f)
�→∞
??????í�
[(�
�)÷(�
�
)]=(
�→∞
??????í�
�
�
)÷(
�→∞
??????í�
�
�
), con
�→∞
??????í�
�
�≠0
TEOREMA 1. Validez del límite de una sucesión. Sea �=�(�) una función real de variable real tal que
�(�)=�
??????→∞
??????í�
; si {�
�
}
�≥1es una sucesión tal que �(�)=�
� para todo �∈??????, entonces �
��→∞
??????í�
=�.
b) {√�}
�≥1
= 1;√2;√3;2;√5;…;√�;…
0
1
2
3
4
012345678910
1) Exhibir los 5 primeros términos de cada sucesión:
a) {
1
�
2
}
�≥1
b) {
1
�
2
+1
}
�≥1
c) {
�+1
�
}
�≥1
d) {
2�−1
�
}
�≥1
e) {
(−1)
�
�
}
�≥1
f) {
(−1)
�+1
�+1
}
�≥1
2) Demostrar que la sucesión {
�+1
�
}
�≥1
converge a 1.
3) Escriba el término general de cada sucesión dada:
a) 1;4;7;10;… b) 1;
1
4
;
1
9
;
1
16
;…
c) 2;1;
4
5
;
5
7
;
6
9
;… d) 3;7;11;15;… e) {2}
�≥1:2;2;2;2;…;2;…
3. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES .
Sean {�
�
}
�≥1
y {�
�
}
�≥1 dos sucesiones convergentes y sea � una constante real, entonces se cumplen:
a) �
�→∞
??????í�
=� b) �
�→∞
??????í�
�
�=�
�→∞
??????í�
�
�
c) (
�→∞
??????í�
�
�+�
�)=
�→∞
??????í�
�
�+
�→∞
??????í�
�
� d) (
�→∞
??????í�
�
�−�
�)=
�→∞
??????í�
�
�−
�→∞
??????í�
�
�
e)
�→∞
??????í�
[(�
�)(�
�
)]=(
�→∞
??????í�
�
�
)(
�→∞
??????í�
�
�
)
f)
�→∞
??????í�
[(�
�)÷(�
�
)]=(
�→∞
??????í�
�
�
)÷(
�→∞
??????í�
�
�
), con
�→∞
??????í�
�
�≠0
TEOREMA 1. Validez del límite de una sucesión. Sea �=�(�) una función real de variable real tal que
�(�)=�
??????→∞
??????í�
; si {�
�
}
�≥1es una sucesión tal que �(�)=�
� para todo �∈??????, entonces �
��→∞
??????í�
=�.
b) {√�}
�≥1
= 1;√2;√3;2;√5;…;√�;…
0
1
2
3
4
012345678910
NOTA 1. Este teorema garantiza la aplicación del límite y sus propiedades a todas las sucesiones,
considerando que ??????� y que la sucesión {�
�
}
�≥1 es representada por la función real �=�(�). es
decir cada valor �
� de la sucesión es un valor de la función �=�(�).
EJEMPLO 1. Probar que la sucesión {�
�
}
�≥1 cuyo término general es �
�=
�
2
2
�
−1
converge.
En efecto:
Considérese la función �(�)=
??????
2
2
??????
−1
, se calcula (por L´Hopital) �(�)
??????→∞
??????í�
= {
??????
2
2
??????
−1
}
??????→∞
??????í�
=0 .
Por el teorema de validez, como �(�)=�
� para todo �∈?????? entonces �
�??????→∞
??????í�
= {
�
2
2
�
−1
}
�→∞
??????í�
=0 .
OBSERVACIÓN 1. Por lo anterior, para calcular el límite de sucesiones se pueden usar todas las
propiedades y teoremas sobre límites usados para las funciones reales.
TEOREMA 2. (DE ENCAJE) Si para todos los números enteros � (�∈�), se tiene �
�≤�
�≤�
� . Si
�→∞
??????í�
�
�=� y
�→∞
??????í�
�
�=� entonces
�→∞
??????í�
�
�=� .
EJEMPLO 2. Probar que la sucesión {
��� �
�
}
�≥1
converge a cero.
En efecto. Se sabe que −1≤��� �≤1
−1
�
≤
��� �
�
≤
1
�
Como
�→∞
??????í�
−1
�
=0 y
�→∞
??????í�
1
�
=0
�→∞
??????í�
��� �
�
=0 .
TEOREMA 3. (Teorema del cero) Si {�
�
}
�≥1 es una sucesión convergente tal que �
��→∞
??????í�
=0 y {�
�
}
�≥1
es una sucesión acotada (no necesariamente convergente), entonces la sucesión {(�
�)(�
�)}
�≥1 es
convergente y (�
�)(�
�)
�→∞
??????í�
=0.
4. PRUEBA DE LA RAZÓN PARA CONVERGENCIA DE SUCESIONES .
TEOREMA. Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión de números reales. Si
�→∞
??????í�
|
��+1
��
|<1 entonces
�→∞
??????í�
�
�=0.
EJEMPLO 1. Determinar si la sucesión {
5
�
�!
}
�≥1
es convergente o divergente.
Solución. Primero: �
�=
5
�
�!
, �
�+1=
5
�+1
(�+1)!
Luego: |
��+1
��
| = |
(5
�+1
)/(�+1)!
5
�
/�!
| = |
5
�
5 �!
5
�(�+1)�!
| =
5
�+1
considerando que ??????� y que la sucesión {�
�
}
�≥1 es representada por la función real �=�(�). es
decir cada valor �
� de la sucesión es un valor de la función �=�(�).
EJEMPLO 1. Probar que la sucesión {�
�
}
�≥1 cuyo término general es �
�=
�
2
2
�
−1
converge.
En efecto:
Considérese la función �(�)=
??????
2
2
??????
−1
, se calcula (por L´Hopital) �(�)
??????→∞
??????í�
= {
??????
2
2
??????
−1
}
??????→∞
??????í�
=0 .
Por el teorema de validez, como �(�)=�
� para todo �∈?????? entonces �
�??????→∞
??????í�
= {
�
2
2
�
−1
}
�→∞
??????í�
=0 .
OBSERVACIÓN 1. Por lo anterior, para calcular el límite de sucesiones se pueden usar todas las
propiedades y teoremas sobre límites usados para las funciones reales.
TEOREMA 2. (DE ENCAJE) Si para todos los números enteros � (�∈�), se tiene �
�≤�
�≤�
� . Si
�→∞
??????í�
�
�=� y
�→∞
??????í�
�
�=� entonces
�→∞
??????í�
�
�=� .
EJEMPLO 2. Probar que la sucesión {
��� �
�
}
�≥1
converge a cero.
En efecto. Se sabe que −1≤��� �≤1
−1
�
≤
��� �
�
≤
1
�
Como
�→∞
??????í�
−1
�
=0 y
�→∞
??????í�
1
�
=0
�→∞
??????í�
��� �
�
=0 .
TEOREMA 3. (Teorema del cero) Si {�
�
}
�≥1 es una sucesión convergente tal que �
��→∞
??????í�
=0 y {�
�
}
�≥1
es una sucesión acotada (no necesariamente convergente), entonces la sucesión {(�
�)(�
�)}
�≥1 es
convergente y (�
�)(�
�)
�→∞
??????í�
=0.
4. PRUEBA DE LA RAZÓN PARA CONVERGENCIA DE SUCESIONES .
TEOREMA. Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión de números reales. Si
�→∞
??????í�
|
��+1
��
|<1 entonces
�→∞
??????í�
�
�=0.
EJEMPLO 1. Determinar si la sucesión {
5
�
�!
}
�≥1
es convergente o divergente.
Solución. Primero: �
�=
5
�
�!
, �
�+1=
5
�+1
(�+1)!
Luego: |
��+1
��
| = |
(5
�+1
)/(�+1)!
5
�
/�!
| = |
5
�
5 �!
5
�(�+1)�!
| =
5
�+1
Finalmente:
�→∞
??????í�
|
��+1
��
| =
�→∞
??????í�
|
5
�+1
|=0<1
Por lo tanto {
5
�
�!
}
�≥1
es convergente.
5. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS .
DEFINICIÓN 1. Dada la sucesión {�
�
}
�≥1, decimos que es:
a) Creciente si �
�≤�
�+1, ∀ �∈??????
b) Estrictamente creciente si �
�<�
�+1, ∀ �∈??????
c) Decreciente si �
�≥�
�+1, ∀ �∈??????
d) Estrictamente decreciente si �
�>�
�+1, ∀ �∈??????
e) Monótona si cumple (a), (b), (c) o (d).
EJEMPLO 1. Clasificar las sucesiones según la definición anterior:
a) {
1
�
}
�≥1
b) {(−1)
�
}
�≥1 c) {
(−1)
�+1
�+1
}
�≥1
d) {
3�−1
4�+5
}
�≥1
e) {
2
�
1+2
�
}
�≥1
f) {
�!
3
�
}
�≥1
DEFINICIÓN 2. Se dice que la sucesión {�
�
}
�≥1:
a) Es acotada inferiormente si y solo si ∃ �∈�/ �≤�
�, ∀ �∈??????
b) Es acotada superiormente si y solo si ∃ �∈�/ �
�≤�, ∀ �∈??????
c) Es acotada si y solo si ∃ �;�∈�/ �≤�
�≤�, ∀ �∈??????
EJEMPLO 2. Determinar el tipo de acotación de cada sucesión y hallar las cotas:
a) {
1
�
}
�≥1
b) {�
2
}
�≥1 c) {
�−1
�
}
�≥1
d) {
2�−1
�+5
}
�≥1
TEOREMA 1. Si la sucesión {�
�
}
�≥1 es monótona y acotada, entonces es convergente.
EJEMPLO 3.
a) Escribir el término general para cada sucesión:
�→∞
??????í�
|
��+1
��
| =
�→∞
??????í�
|
5
�+1
|=0<1
Por lo tanto {
5
�
�!
}
�≥1
es convergente.
5. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS .
DEFINICIÓN 1. Dada la sucesión {�
�
}
�≥1, decimos que es:
a) Creciente si �
�≤�
�+1, ∀ �∈??????
b) Estrictamente creciente si �
�<�
�+1, ∀ �∈??????
c) Decreciente si �
�≥�
�+1, ∀ �∈??????
d) Estrictamente decreciente si �
�>�
�+1, ∀ �∈??????
e) Monótona si cumple (a), (b), (c) o (d).
EJEMPLO 1. Clasificar las sucesiones según la definición anterior:
a) {
1
�
}
�≥1
b) {(−1)
�
}
�≥1 c) {
(−1)
�+1
�+1
}
�≥1
d) {
3�−1
4�+5
}
�≥1
e) {
2
�
1+2
�
}
�≥1
f) {
�!
3
�
}
�≥1
DEFINICIÓN 2. Se dice que la sucesión {�
�
}
�≥1:
a) Es acotada inferiormente si y solo si ∃ �∈�/ �≤�
�, ∀ �∈??????
b) Es acotada superiormente si y solo si ∃ �∈�/ �
�≤�, ∀ �∈??????
c) Es acotada si y solo si ∃ �;�∈�/ �≤�
�≤�, ∀ �∈??????
EJEMPLO 2. Determinar el tipo de acotación de cada sucesión y hallar las cotas:
a) {
1
�
}
�≥1
b) {�
2
}
�≥1 c) {
�−1
�
}
�≥1
d) {
2�−1
�+5
}
�≥1
TEOREMA 1. Si la sucesión {�
�
}
�≥1 es monótona y acotada, entonces es convergente.
EJEMPLO 3.
a) Escribir el término general para cada sucesión:
i)
1
6
;
2
12
;
3
20
;
4
30
;
5
42
;… ii)
1
2
;1;
9
8
;1;
25
32
;
36
64
;
49
128
;…
b) Calcular el límite de las siguientes sucesiones:
i) {
3�
2
−�+4
2�
2
+1
}
�≥1
ii) {
�
??????
�
�
}
�≥1
, �>0
c) Determinar si es convergente o divergente cada sucesión. Si es convergente hallar su límite.
i) {(−1)
�
�
�+1
}
�≥1
ii) {
(�−2)!
�!
}
�≥1
d) Determine si la sucesión cuyo elemento general es dado por �
�=
4
3
(1−
1
3
�
) es monótona. Si lo es
hallar su límite.
OBSERVACIÓN 1.
a) Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión creciente y supongamos que tiene cota superior L, entonces {�
�
}
�≥1 es
convergente y
�→∞
??????í�
�
�≤� .
b) Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión decreciente y supongamos que tiene cota inferior K, entonces {�
�
}
�≥1 es
convergente y
�→∞
??????í�
�
�≥� .
EJEMPLO 4. Use el teorema de sucesiones monótonas y acotadas para probar que la sucesión {3−
4
�
}
converge.
Solución. Siendo �
�=3−
4
�
y �
�+1=3−
4
�+1
entonces �
�≤�
�+1 3−
4
�
<3−
4
�+1
�<�+1
Por lo tanto, la sucesión es estrictamente creciente.
Por otro lado, la cota inferior se da para el menor valor de �, es decir �=−1; la cota superior se logra
con el límite
�→∞
??????í�
{3−
4
�
}=3. La sucesión es acotada inferiormente por �=−1 y superiormente por
�=3 .
Finalmente, como la sucesión {3−
4
�
}
�≥1
es creciente y tiene cota superior �=3, entonces es
convergente.
EJEMPLO 5. Considere la sucesión {??????
�
}
�≥1 con término general, donde ?????? es la inversión inicial, ??????
� es
el capital luego de � meses de interés compuesto y �=0,115 es el porcentaje anual de interés.
a) Hallar los cinco (5) primeros términos si ??????=9000 dólares y �=0,115. Interpretar.
1
6
;
2
12
;
3
20
;
4
30
;
5
42
;… ii)
1
2
;1;
9
8
;1;
25
32
;
36
64
;
49
128
;…
b) Calcular el límite de las siguientes sucesiones:
i) {
3�
2
−�+4
2�
2
+1
}
�≥1
ii) {
�
??????
�
�
}
�≥1
, �>0
c) Determinar si es convergente o divergente cada sucesión. Si es convergente hallar su límite.
i) {(−1)
�
�
�+1
}
�≥1
ii) {
(�−2)!
�!
}
�≥1
d) Determine si la sucesión cuyo elemento general es dado por �
�=
4
3
(1−
1
3
�
) es monótona. Si lo es
hallar su límite.
OBSERVACIÓN 1.
a) Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión creciente y supongamos que tiene cota superior L, entonces {�
�
}
�≥1 es
convergente y
�→∞
??????í�
�
�≤� .
b) Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión decreciente y supongamos que tiene cota inferior K, entonces {�
�
}
�≥1 es
convergente y
�→∞
??????í�
�
�≥� .
EJEMPLO 4. Use el teorema de sucesiones monótonas y acotadas para probar que la sucesión {3−
4
�
}
converge.
Solución. Siendo �
�=3−
4
�
y �
�+1=3−
4
�+1
entonces �
�≤�
�+1 3−
4
�
<3−
4
�+1
�<�+1
Por lo tanto, la sucesión es estrictamente creciente.
Por otro lado, la cota inferior se da para el menor valor de �, es decir �=−1; la cota superior se logra
con el límite
�→∞
??????í�
{3−
4
�
}=3. La sucesión es acotada inferiormente por �=−1 y superiormente por
�=3 .
Finalmente, como la sucesión {3−
4
�
}
�≥1
es creciente y tiene cota superior �=3, entonces es
convergente.
EJEMPLO 5. Considere la sucesión {??????
�
}
�≥1 con término general, donde ?????? es la inversión inicial, ??????
� es
el capital luego de � meses de interés compuesto y �=0,115 es el porcentaje anual de interés.
a) Hallar los cinco (5) primeros términos si ??????=9000 dólares y �=0,115. Interpretar.
b) ¿Es la sucesión {??????
�
}
�≥1 convergente?
Solución.
a) Reemplazando � desde 1 hasta 5 en ??????
�=??????(1+
�
12
)
�
, se tienen:
� 1 2 3 4 5
??????
� 9086,25 9173,33 9261,24 9349,99 9439,6
b) No es convergente, pues
�→∞
??????í�
??????{3−
4
�
}
�
=∞
EJEMPLO 6. Si el precio medio de un automóvil nuevo crece en 5,5 % al año y hoy es de 11000 dólares,
el precio medio tras � años será dado por ??????
� =11000(1,055)
�
. Calcular el precio medio para los 5
primeros años. ¿Tiene un límite real cuando �→∞?
Solución. Usando ??????
� =11 000(1,055)
�
se tiene:
� 1 2 3 4 5
??????
� 11605 12243,275 12916,665 13627,071 14376,56
Significa que pasado el primer año, un automóvil nuevo tendrá en promedio un precio promedio de
11 605 dólares. Su valor va aumentando cada año.
OBSERVACIÓN 2. Se debe complementar la teoría sobre sucesiones infinitas mediante el acceso a
información de la Internet.
7. SUCESIONES CON LÍMITE INFINITO .
DEFINICIÓN 1. Una sucesión {�
�
}
�≥1 tiene como límite +∞ si para todo número real ??????>0 existe un
entero ?????? tal que ∀�>??????, �
�>??????. Lo cual se denota por
�→∞
??????í�
�
�=+∞.
DEFINICIÓN 2. Una sucesión {�
�
}
�≥1 tiene como límite −∞ si para todo número real ??????<0 existe un
entero ?????? tal que ∀�>??????, �
�<??????. Lo cual se denota por
�→∞
??????í�
�
�=−∞.
8. ARITMÉTICA DE LOS LÍMITES.
OBSERVACIÓN 1.
�
}
�≥1 convergente?
Solución.
a) Reemplazando � desde 1 hasta 5 en ??????
�=??????(1+
�
12
)
�
, se tienen:
� 1 2 3 4 5
??????
� 9086,25 9173,33 9261,24 9349,99 9439,6
b) No es convergente, pues
�→∞
??????í�
??????{3−
4
�
}
�
=∞
EJEMPLO 6. Si el precio medio de un automóvil nuevo crece en 5,5 % al año y hoy es de 11000 dólares,
el precio medio tras � años será dado por ??????
� =11000(1,055)
�
. Calcular el precio medio para los 5
primeros años. ¿Tiene un límite real cuando �→∞?
Solución. Usando ??????
� =11 000(1,055)
�
se tiene:
� 1 2 3 4 5
??????
� 11605 12243,275 12916,665 13627,071 14376,56
Significa que pasado el primer año, un automóvil nuevo tendrá en promedio un precio promedio de
11 605 dólares. Su valor va aumentando cada año.
OBSERVACIÓN 2. Se debe complementar la teoría sobre sucesiones infinitas mediante el acceso a
información de la Internet.
7. SUCESIONES CON LÍMITE INFINITO .
DEFINICIÓN 1. Una sucesión {�
�
}
�≥1 tiene como límite +∞ si para todo número real ??????>0 existe un
entero ?????? tal que ∀�>??????, �
�>??????. Lo cual se denota por
�→∞
??????í�
�
�=+∞.
DEFINICIÓN 2. Una sucesión {�
�
}
�≥1 tiene como límite −∞ si para todo número real ??????<0 existe un
entero ?????? tal que ∀�>??????, �
�<??????. Lo cual se denota por
�→∞
??????í�
�
�=−∞.
8. ARITMÉTICA DE LOS LÍMITES.
OBSERVACIÓN 1.
a) En la aritmética de los límites finitos, todos los casos son determinados.
b) En la aritmética de los límites infinitos, aparecen casos indeterminados y no es posible determinar
a priori el valor del límite.
c) A continuación se presentan tablas que restringen el límite de una suma, de un producto y de una
potencia de series infinitas:
i)
�→∞
??????í�
(�
�+�
�
)=
�→∞
??????í�
(�
�+�
�
) =
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ � +∞
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ −∞ −∞ ¿?
� −∞ �+� +∞
+∞ ¿? +∞ +∞
Siendo: �,�∈�
ii)
�→∞
??????í�
(�
�)(�
�
)=
�→∞
??????í�
(�
�)(�
�
) =
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ 0 � +∞
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ +∞ ¿? −�??????��(�)(∞) −∞
0 ¿? 0 0 ¿?
� −�??????��(�)(∞) 0 �� �??????��(�)(∞)
+∞ −∞ ¿? �??????��(�)(∞) +∞
Siendo: �,�∈�−{0} y �??????��(�)={
−1,�?????? �>0
1,�?????? �>0
iii)
�→∞
??????í�
(�
�)
��=
�→∞
??????í�
(�
�)
�� =
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ 0 � +∞
�→∞
??????í�
�
�=
0 +∞ ¿? 0 0
� +∞ 1 �
�
0
1 ¿? 1 1 ¿?
� 0 1 +∞ +∞
+∞ 0 ¿? +∞ +∞
Siendo: �∈〈0;1〉, �>1 y �∈�−{0}
b) En la aritmética de los límites infinitos, aparecen casos indeterminados y no es posible determinar
a priori el valor del límite.
c) A continuación se presentan tablas que restringen el límite de una suma, de un producto y de una
potencia de series infinitas:
i)
�→∞
??????í�
(�
�+�
�
)=
�→∞
??????í�
(�
�+�
�
) =
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ � +∞
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ −∞ −∞ ¿?
� −∞ �+� +∞
+∞ ¿? +∞ +∞
Siendo: �,�∈�
ii)
�→∞
??????í�
(�
�)(�
�
)=
�→∞
??????í�
(�
�)(�
�
) =
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ 0 � +∞
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ +∞ ¿? −�??????��(�)(∞) −∞
0 ¿? 0 0 ¿?
� −�??????��(�)(∞) 0 �� �??????��(�)(∞)
+∞ −∞ ¿? �??????��(�)(∞) +∞
Siendo: �,�∈�−{0} y �??????��(�)={
−1,�?????? �>0
1,�?????? �>0
iii)
�→∞
??????í�
(�
�)
��=
�→∞
??????í�
(�
�)
�� =
�→∞
??????í�
�
�=
−∞ 0 � +∞
�→∞
??????í�
�
�=
0 +∞ ¿? 0 0
� +∞ 1 �
�
0
1 ¿? 1 1 ¿?
� 0 1 +∞ +∞
+∞ 0 ¿? +∞ +∞
Siendo: �∈〈0;1〉, �>1 y �∈�−{0}
9. RESOLUCIÓN DE ALGUNAS INDETERMINACIONES .
NOTA. A pesar que no hay reglas generales, se pueden dar algunas indicaciones:
9.1 MÉTODO GENERAL. Si se tiene el término general �
�=�(�), siendo que �(�) está bien definida
para � lo bastante grande.
Si �(�)
??????→∞
??????í�
existe, entonces
�→∞
??????í�
�
�=
??????→∞
??????í�
�(�)
OBSERVACIÓN.
a) Este método no es aplicable si aparecen expresiones de la forma (−1)
�
, �! o sumas en las que el
número de términos depende de �.
b) Si el �(�)
??????→∞
??????í�
no existe, entonces
�→∞
??????í�
�
� puede existir o no.
EJEMPLO 1. Calcular el
�→∞
??????í�
� ���(
1
�
)
Solución.
Obsérvese que
�→∞
??????í�
�=∞ y que
�→∞
??????í�
���(
1
�
)=0, entonces
�→∞
??????í�
� ���(
1
�
) es un límite de la forma
0∙∞, es decir indeterminado.
Se calculará el limite suponiendo que la variables � es continua y se le debe transformar en un límite
de la forma
0
0
y aplicar la regla de L’Hopital.
??????→∞
??????í�
� ���(
1
??????
)=
??????→∞
??????í�
���(
1
??????
)
1
??????
=
??????→∞
??????í�
���(
1
??????
)(−
1
??????
2
)
−
1
??????
2
=
??????→∞
??????í�
���(
1
??????
)=���(0)=1
Dado que el límite existe, se tiene:
�→∞
??????í�
� ���(
1
�
)=1
EJEMPLO 2. Calcular el
�→∞
??????í�
[�+(�+1)+(�+2)+⋯+2�]
Solución.
No es aplicable el método general porque la cantidad de sumandos del término general depende de
�.
EJEMPLO 3. Calcular el
�→∞
??????í�
��� (2??????�)
NOTA. A pesar que no hay reglas generales, se pueden dar algunas indicaciones:
9.1 MÉTODO GENERAL. Si se tiene el término general �
�=�(�), siendo que �(�) está bien definida
para � lo bastante grande.
Si �(�)
??????→∞
??????í�
existe, entonces
�→∞
??????í�
�
�=
??????→∞
??????í�
�(�)
OBSERVACIÓN.
a) Este método no es aplicable si aparecen expresiones de la forma (−1)
�
, �! o sumas en las que el
número de términos depende de �.
b) Si el �(�)
??????→∞
??????í�
no existe, entonces
�→∞
??????í�
�
� puede existir o no.
EJEMPLO 1. Calcular el
�→∞
??????í�
� ���(
1
�
)
Solución.
Obsérvese que
�→∞
??????í�
�=∞ y que
�→∞
??????í�
���(
1
�
)=0, entonces
�→∞
??????í�
� ���(
1
�
) es un límite de la forma
0∙∞, es decir indeterminado.
Se calculará el limite suponiendo que la variables � es continua y se le debe transformar en un límite
de la forma
0
0
y aplicar la regla de L’Hopital.
??????→∞
??????í�
� ���(
1
??????
)=
??????→∞
??????í�
���(
1
??????
)
1
??????
=
??????→∞
??????í�
���(
1
??????
)(−
1
??????
2
)
−
1
??????
2
=
??????→∞
??????í�
���(
1
??????
)=���(0)=1
Dado que el límite existe, se tiene:
�→∞
??????í�
� ���(
1
�
)=1
EJEMPLO 2. Calcular el
�→∞
??????í�
[�+(�+1)+(�+2)+⋯+2�]
Solución.
No es aplicable el método general porque la cantidad de sumandos del término general depende de
�.
EJEMPLO 3. Calcular el
�→∞
??????í�
��� (2??????�)
Solución.
Aplicando el método general, el
??????→∞
??????í�
��� (2??????�) no existe, pero el ��� (2??????�)=0, ∀�∈??????; por lo tanto
�→∞
??????í�
��� (2??????�)
9.2 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA : 0
0
e ∞
0
.
Al desear calcular
�→∞
??????í�
(�
�)
��, se hace el cambio de variable
�→∞
??????í�
(�
�)
��=�.
Tomando logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad se tiene que
�→∞
??????í�
�
���(�
�)=��(�)
De lo anterior se tiene: �=�
�→∞
??????í�
��??????�(��)
Se reduce a calcular un límite de la forma 0∙∞
EJEMPLO 1. Calcular
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
.
Solución.
El
�→∞
??????í�
�=∞ y el
�→∞
??????í�
1
�
2
=0, o cual quiere decir que el límite
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
es de la forma ∞
0
, es decir
indeterminado.
De lo anterior se tiene: �=�
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
.
Calculando
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
=�
�→∞
??????í� 1
�
2
??????� �
= �
�→∞
??????í� ??????� �
�
2
.
Hay una indeterminación de la forma
∞
∞
; usando la forma general (7.1)
�→∞
??????í�
??????� �
�
2
=
??????→∞
??????í�
??????� ??????
??????
2
=
??????→∞
??????í�
1
??????
2??????
=
??????→∞
??????í�
1
2??????
2
=0
Por lo tanto: �=�
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
=�
0
=1.
9.3 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA : 1
∞
.
Sea la sucesión (1+
1
�
)
�
Esta sucesión es acotada y creciente, y por lo tanto existe su límite. El límite de esta sucesión es �. Es
decir
�→∞
??????í�
(1+
1
�
)
�
=�.
Aplicando el método general, el
??????→∞
??????í�
��� (2??????�) no existe, pero el ��� (2??????�)=0, ∀�∈??????; por lo tanto
�→∞
??????í�
��� (2??????�)
9.2 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA : 0
0
e ∞
0
.
Al desear calcular
�→∞
??????í�
(�
�)
��, se hace el cambio de variable
�→∞
??????í�
(�
�)
��=�.
Tomando logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad se tiene que
�→∞
??????í�
�
���(�
�)=��(�)
De lo anterior se tiene: �=�
�→∞
??????í�
��??????�(��)
Se reduce a calcular un límite de la forma 0∙∞
EJEMPLO 1. Calcular
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
.
Solución.
El
�→∞
??????í�
�=∞ y el
�→∞
??????í�
1
�
2
=0, o cual quiere decir que el límite
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
es de la forma ∞
0
, es decir
indeterminado.
De lo anterior se tiene: �=�
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
.
Calculando
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
=�
�→∞
??????í� 1
�
2
??????� �
= �
�→∞
??????í� ??????� �
�
2
.
Hay una indeterminación de la forma
∞
∞
; usando la forma general (7.1)
�→∞
??????í�
??????� �
�
2
=
??????→∞
??????í�
??????� ??????
??????
2
=
??????→∞
??????í�
1
??????
2??????
=
??????→∞
??????í�
1
2??????
2
=0
Por lo tanto: �=�
�→∞
??????í�
(�)
1/�
2
=�
0
=1.
9.3 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA : 1
∞
.
Sea la sucesión (1+
1
�
)
�
Esta sucesión es acotada y creciente, y por lo tanto existe su límite. El límite de esta sucesión es �. Es
decir
�→∞
??????í�
(1+
1
�
)
�
=�.
En general si {�
�
}
�≥1 es una sucesión de números reales tales que
�→∞
??????í�
�
�=∞, entonces
�→∞
??????í�
(1+
1
??????�
)
??????�
=�.
OBSERVACIÓN 1. La indeterminación 1
∞
se la convierte en 0∙∞
Si
�→∞
??????í�
�
�=1y
�→∞
??????í�
�
�=∞, entonces
�→∞
??????í�
(�
�)
��=�
�→∞
??????í�
(��−1)��
EJEMPLO 1. Calcular
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
)
�
, con �>0, �>0.
Solución.
Dado que
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
�→∞
??????í�
=1 y
�→∞
??????í�
�=∞. Este límite es de la forma 1
∞
. Para resolver se aplica:
�→∞
??????í�
(�
�)
��=�
�→∞
??????í�
(��−1)��
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
)
�
= �
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
−1)�
Cambiando � por � se tiene:
�
??????→∞
??????í�
(
�
1??????⁄
+�
1??????⁄
2
−1)??????
=
??????→∞
??????í�
�
1??????⁄
+�
1??????⁄
2
−1
1
??????
=
??????→∞
??????í�
�
1??????⁄
??????� �+�
1??????⁄
??????� �
2
(−
1
??????
2
)
−
1
??????
2
=
??????→∞
??????í�
�
1??????⁄
??????� �+�
1??????⁄
??????� �
2
=
??????� �+??????� �
2
= ��√��
Luego:
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
)
�
= �
??????�√��
= √��
9.4 EL CRITERIO DE STOLZ.
Este criterio es útil para para determinar el límite de sucesiones en las que aparecen sumas de
términos que se incrementan con �.
Criterio de Stolz: Sean las sucesiones {�
�
}
�≥1 y {�
�
}
�≥1 donde {�
�
}
�≥1 es monótona creciente o
decreciente con �
�≠0, ∀�∈?????? tales que: �
�
�→∞
??????í�
= �
�
�→∞
??????í�
=0
O bien �
�
�→∞
??????í�
=∞
Si existe �=
��+1−��
��+1−��
�→∞
??????í�
∈�∪{−∞;+∞}, entonces se tiene que
��
��
�→∞
??????í�
=�
EJEMPLO 1. Calcular �=
1
2
+2
2
+3
2
+…+�
2
�
3�→∞
??????í�
�
}
�≥1 es una sucesión de números reales tales que
�→∞
??????í�
�
�=∞, entonces
�→∞
??????í�
(1+
1
??????�
)
??????�
=�.
OBSERVACIÓN 1. La indeterminación 1
∞
se la convierte en 0∙∞
Si
�→∞
??????í�
�
�=1y
�→∞
??????í�
�
�=∞, entonces
�→∞
??????í�
(�
�)
��=�
�→∞
??????í�
(��−1)��
EJEMPLO 1. Calcular
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
)
�
, con �>0, �>0.
Solución.
Dado que
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
�→∞
??????í�
=1 y
�→∞
??????í�
�=∞. Este límite es de la forma 1
∞
. Para resolver se aplica:
�→∞
??????í�
(�
�)
��=�
�→∞
??????í�
(��−1)��
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
)
�
= �
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
−1)�
Cambiando � por � se tiene:
�
??????→∞
??????í�
(
�
1??????⁄
+�
1??????⁄
2
−1)??????
=
??????→∞
??????í�
�
1??????⁄
+�
1??????⁄
2
−1
1
??????
=
??????→∞
??????í�
�
1??????⁄
??????� �+�
1??????⁄
??????� �
2
(−
1
??????
2
)
−
1
??????
2
=
??????→∞
??????í�
�
1??????⁄
??????� �+�
1??????⁄
??????� �
2
=
??????� �+??????� �
2
= ��√��
Luego:
�→∞
??????í�
(
�
1�⁄
+�
1�⁄
2
)
�
= �
??????�√��
= √��
9.4 EL CRITERIO DE STOLZ.
Este criterio es útil para para determinar el límite de sucesiones en las que aparecen sumas de
términos que se incrementan con �.
Criterio de Stolz: Sean las sucesiones {�
�
}
�≥1 y {�
�
}
�≥1 donde {�
�
}
�≥1 es monótona creciente o
decreciente con �
�≠0, ∀�∈?????? tales que: �
�
�→∞
??????í�
= �
�
�→∞
??????í�
=0
O bien �
�
�→∞
??????í�
=∞
Si existe �=
��+1−��
��+1−��
�→∞
??????í�
∈�∪{−∞;+∞}, entonces se tiene que
��
��
�→∞
??????í�
=�
EJEMPLO 1. Calcular �=
1
2
+2
2
+3
2
+…+�
2
�
3�→∞
??????í�
Solución.
Dado que la sucesión {�
�
}
�≥1={�
3
}
�≥1 es creciente y que {�
3
}=∞
�→∞
??????í�
; es aplicable el criterio de
Stolz �=
��+1−��
��+1−��
�→∞
??????í�
, siendo {�
�
}
�≥1=1
2
+2
2
+3
2
+…+�
2
, y {�
�
}
�≥1=�
3
.
Entonces �=
��+1−��
��+1−��
�→∞
??????í�
=
(�+1)
2
3�
2
+3�+1
�→∞
??????í�
=
1
3
.
CAPÍTULO II
SERIES INFINITAS.
DEFINICIÓN 1. Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión infinita. Llamaremos SERIE INFINITA o simplemente SERIE
a la sumatoria:
∑�
�
∞
�=1
=�
1+�
2+�
3+⋯+�
�+⋯; a los elementos; �
1; �
2; �
3; …; �
�;… se les llama términos
de la serie, siendo �
� el término general.
DEFINICIÓN 2. Las sumas parciales de una serie son:
�
1=�
1
�
2=�
1+�
2
�
3=�
1+�
2+�
3
… …
�
�=�
1+�
2+�
3+⋯+�
� (es la �-ésima suma parcial)
… …
S = �
1+�
2+�
3+⋯+�
�+⋯
a) Si las sucesión de sumas parciales {�
�
}
�≥1 converge a �, decimos que la serie ∑�
�
∞
�=1
converge a
�; y que � es la suma de la serie; es decir: ∑�
�
∞
�=1
=S.
b) Si la sucesión de sumas parciales {�
�
}
�≥1diverge, decimos que la serie ∑�
�
∞
�=1
diverge.
2. PROPIEDADES DE LAS SERIES .
Para las series ∑�
�
∞
�=1
=� y ∑�
�
∞
�=1
=�, siendo � un número real, se cumplen:
a) ∑�∙�
�
∞
�=1
= �∑�
�
∞
�=1
=�∙�
b) ∑(�
�+�
�)
∞
�=1
= ∑�
�
∞
�=1
+∑�
�
∞
�=1
=�+�
Dado que la sucesión {�
�
}
�≥1={�
3
}
�≥1 es creciente y que {�
3
}=∞
�→∞
??????í�
; es aplicable el criterio de
Stolz �=
��+1−��
��+1−��
�→∞
??????í�
, siendo {�
�
}
�≥1=1
2
+2
2
+3
2
+…+�
2
, y {�
�
}
�≥1=�
3
.
Entonces �=
��+1−��
��+1−��
�→∞
??????í�
=
(�+1)
2
3�
2
+3�+1
�→∞
??????í�
=
1
3
.
CAPÍTULO II
SERIES INFINITAS.
DEFINICIÓN 1. Sea {�
�
}
�≥1 una sucesión infinita. Llamaremos SERIE INFINITA o simplemente SERIE
a la sumatoria:
∑�
�
∞
�=1
=�
1+�
2+�
3+⋯+�
�+⋯; a los elementos; �
1; �
2; �
3; …; �
�;… se les llama términos
de la serie, siendo �
� el término general.
DEFINICIÓN 2. Las sumas parciales de una serie son:
�
1=�
1
�
2=�
1+�
2
�
3=�
1+�
2+�
3
… …
�
�=�
1+�
2+�
3+⋯+�
� (es la �-ésima suma parcial)
… …
S = �
1+�
2+�
3+⋯+�
�+⋯
a) Si las sucesión de sumas parciales {�
�
}
�≥1 converge a �, decimos que la serie ∑�
�
∞
�=1
converge a
�; y que � es la suma de la serie; es decir: ∑�
�
∞
�=1
=S.
b) Si la sucesión de sumas parciales {�
�
}
�≥1diverge, decimos que la serie ∑�
�
∞
�=1
diverge.
2. PROPIEDADES DE LAS SERIES .
Para las series ∑�
�
∞
�=1
=� y ∑�
�
∞
�=1
=�, siendo � un número real, se cumplen:
a) ∑�∙�
�
∞
�=1
= �∑�
�
∞
�=1
=�∙�
b) ∑(�
�+�
�)
∞
�=1
= ∑�
�
∞
�=1
+∑�
�
∞
�=1
=�+�
c) ∑(�
�−�
�)
∞
�=1
= ∑�
�
∞
�=1
−∑�
�
∞
�=1
=�−�
d) También se pueden multiplicar y dividir adecuadamente.
3. CRITERIO DE DIVERGENCIA DE UNA SERIE.
TEOREMA 1. Si la sucesión {�
�
}
�≥1 no converge a cero, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
es divergente.
OBSERVACIÓN 2. Cuidado. Si la sucesión {�
�
}
�≥1 converge a cero no implica que la serie
∑�
�
∞
�=1
converge.
EJEMPLO 1. ¿Cuáles de las series dadas diverge?
a)
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+⋯ b) ∑
�
2
�
2
+1
∞
�=1
c) ∑
??????
�
∞
�=1
Solución.
a) Siendo a serie
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+⋯ El término general es �
�=
�
�+1
Aplicando límite
�→∞
??????í�
�
�+1
=
�→∞
??????í�
�/�
�/�+1/�
=
�→∞
??????í�
1
1+1/�
=1≠0
Como la sucesión no converge a cero, entonces dicha serie
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+⋯ = ∑
�
�+1
∞
�=1
es
divergente.
b) Siendo la serie ∑
�
2
�
2
+1
∞
�=1
. El término general es �
�=
�
2
�
2
+1
.
Aplicando el límite
�→∞
??????í�
�
2
�
2
+1
=
�→∞
??????í�
�
2
/�
2
�
2
/�
2
+1/�
2
=
�→∞
??????í�
1
1+1/�
2
=1≠0 .
Como la sucesión no converge a cero, entonces la serie ∑
�
2
�
2
+1
∞
�=1
es divergente.
c) Siendo la serie ∑
??????
�
∞
�=1
. El término general es �
�=
??????
�
. Aplicando el límite
�→∞
??????í�
??????
�
=0 .
Como la sucesión converge a cero, entonces con este criterio no se sabe si la serie converge o diverge.
EJEMPLO 2. Usando sumas parciales muestre que la serie ∑
1
�(�+1)
∞
�=1
converge.
Solución. La serie ∑
1
�(�+1)
∞
�=1
usando fracciones parciales, se puede escribir como: ∑(
1
�
−
1
�+1
)
∞
�=1
Desarrollando hasta �: �
�=(1−
1
2
)+(
1
2
−
1
3
)+(
1
3
−
1
4
)+⋯+(
1
�
−
1
�+1
) suma telescópica.
�−�
�)
∞
�=1
= ∑�
�
∞
�=1
−∑�
�
∞
�=1
=�−�
d) También se pueden multiplicar y dividir adecuadamente.
3. CRITERIO DE DIVERGENCIA DE UNA SERIE.
TEOREMA 1. Si la sucesión {�
�
}
�≥1 no converge a cero, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
es divergente.
OBSERVACIÓN 2. Cuidado. Si la sucesión {�
�
}
�≥1 converge a cero no implica que la serie
∑�
�
∞
�=1
converge.
EJEMPLO 1. ¿Cuáles de las series dadas diverge?
a)
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+⋯ b) ∑
�
2
�
2
+1
∞
�=1
c) ∑
??????
�
∞
�=1
Solución.
a) Siendo a serie
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+⋯ El término general es �
�=
�
�+1
Aplicando límite
�→∞
??????í�
�
�+1
=
�→∞
??????í�
�/�
�/�+1/�
=
�→∞
??????í�
1
1+1/�
=1≠0
Como la sucesión no converge a cero, entonces dicha serie
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+⋯ = ∑
�
�+1
∞
�=1
es
divergente.
b) Siendo la serie ∑
�
2
�
2
+1
∞
�=1
. El término general es �
�=
�
2
�
2
+1
.
Aplicando el límite
�→∞
??????í�
�
2
�
2
+1
=
�→∞
??????í�
�
2
/�
2
�
2
/�
2
+1/�
2
=
�→∞
??????í�
1
1+1/�
2
=1≠0 .
Como la sucesión no converge a cero, entonces la serie ∑
�
2
�
2
+1
∞
�=1
es divergente.
c) Siendo la serie ∑
??????
�
∞
�=1
. El término general es �
�=
??????
�
. Aplicando el límite
�→∞
??????í�
??????
�
=0 .
Como la sucesión converge a cero, entonces con este criterio no se sabe si la serie converge o diverge.
EJEMPLO 2. Usando sumas parciales muestre que la serie ∑
1
�(�+1)
∞
�=1
converge.
Solución. La serie ∑
1
�(�+1)
∞
�=1
usando fracciones parciales, se puede escribir como: ∑(
1
�
−
1
�+1
)
∞
�=1
Desarrollando hasta �: �
�=(1−
1
2
)+(
1
2
−
1
3
)+(
1
3
−
1
4
)+⋯+(
1
�
−
1
�+1
) suma telescópica.
Retirando paréntesis y simplificando: �
�=1−
1
�+1
.
Aplicando límite cuando �→ se tiene: �=
�→∞
??????í�
�
�=
�→∞
??????í�
(1−
1
�+1
)=1. Es decir, que la suma de
la serie es 1.
EJERCICIO 1. Muestre que la serie 2−1+
1
2
−
1
4
+
1
8
−⋯ converge y hallar su suma.
4. LA SERIE GEOMÉTRICA.
DEFINICIÓN 1. Una Serie Geométrica es la que tiene la forma ∑�∙�
�∞
�=0
con �≠0, siendo � la razón.
El desarrollo de la serie de potencias es:
∑�∙�
�∞
�=0
= �+��+��
2
+��
3
+⋯+��
�
+⋯ = �(1+�+�
2
+�
3
+⋯+�
�
+⋯)
TEOREMA (Convergencia de la Serie Geométrica). Una Serie Geométrica de la forma ∑�∙�
�∞
�=0
:
a) Es divergente si |�|≥1
b) Es convergente si 0<|�|<1; y, la suma de la serie es �=
�
1−�
.
EJEMPLO 1. Determinar si las series son convergentes o divergentes.
a) ∑
4
3
�
∞
�=0
b) 0,3+0,03+0,003+⋯
Solución. Usando Series Geométricas:
a) ∑
4
3
�
∞
�=0
= 4(1+
1
3
+
1
9
+
1
27
+⋯) , entonces �=4 y la razón �=
1
3
entonces es convergente y la
suma es: �=
4
1−
1
3
=6
b) 0,3+0,03+0,003+0,0003+⋯ =
3
10
+
3
100
+
3
1000
+⋯ =
3
10
(1+
1
10
+
1
100
+⋯), entonces �=
3
10
y �=
1
10
, la suma será: �=
3/10
1−1/10
=
3/10
9/10
=
1
3
.
EJERCICIO 1. Usando series, expresar cada decimal periódico como el cociente de números enteros:
a) 0,535353… b) 0,123123123…
Solución.
�=1−
1
�+1
.
Aplicando límite cuando �→ se tiene: �=
�→∞
??????í�
�
�=
�→∞
??????í�
(1−
1
�+1
)=1. Es decir, que la suma de
la serie es 1.
EJERCICIO 1. Muestre que la serie 2−1+
1
2
−
1
4
+
1
8
−⋯ converge y hallar su suma.
4. LA SERIE GEOMÉTRICA.
DEFINICIÓN 1. Una Serie Geométrica es la que tiene la forma ∑�∙�
�∞
�=0
con �≠0, siendo � la razón.
El desarrollo de la serie de potencias es:
∑�∙�
�∞
�=0
= �+��+��
2
+��
3
+⋯+��
�
+⋯ = �(1+�+�
2
+�
3
+⋯+�
�
+⋯)
TEOREMA (Convergencia de la Serie Geométrica). Una Serie Geométrica de la forma ∑�∙�
�∞
�=0
:
a) Es divergente si |�|≥1
b) Es convergente si 0<|�|<1; y, la suma de la serie es �=
�
1−�
.
EJEMPLO 1. Determinar si las series son convergentes o divergentes.
a) ∑
4
3
�
∞
�=0
b) 0,3+0,03+0,003+⋯
Solución. Usando Series Geométricas:
a) ∑
4
3
�
∞
�=0
= 4(1+
1
3
+
1
9
+
1
27
+⋯) , entonces �=4 y la razón �=
1
3
entonces es convergente y la
suma es: �=
4
1−
1
3
=6
b) 0,3+0,03+0,003+0,0003+⋯ =
3
10
+
3
100
+
3
1000
+⋯ =
3
10
(1+
1
10
+
1
100
+⋯), entonces �=
3
10
y �=
1
10
, la suma será: �=
3/10
1−1/10
=
3/10
9/10
=
1
3
.
EJERCICIO 1. Usando series, expresar cada decimal periódico como el cociente de números enteros:
a) 0,535353… b) 0,123123123…
Solución.
a) 0,535353…=
53
100
b) 0,123123123…=
123
1000
TEOREMA 2. En una serie se pueden suprimir un número finito de términos, �
1; �
2;…; �
?????? , sin afectar
la convergencia o divergencia. Es decir, para cualquier entero positivo ??????, las series siguientes, son
ambas convergentes o ambas divergentes:
∑�
�
∞
�=1
=�
1+�
2+�
3+⋯ y ∑ �
�
∞
�=??????+1
=�
??????+1+�
??????+2+�
??????+3+⋯
5. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES.
TEOREMA. (CRITERIO DE LA INTEGRAL). Si � es una función continua, positiva y decreciente para
�≥1 y �
�=�(�), entonces la serie infinita ∑�
�
∞
�=0
y la integral impropia ∫�(�)��
∞
1
, o ambas
convergen o ambas divergen.
La función �=�(�) contiene a los elementos de la sucesión {�
�
}
�≥1.
EJEMPLO 1. Usando el criterio de la integral analizar la convergencia o divergencia de las series:
a) ∑
�
�
�
∞
�=1
b) ∑
�
�
2
+1
∞
�=1
c) ∑
??????�(�)
�
∞
�=1
Solución.
El elemento general es �
�=
�
�
�
, �≥1. La función real que la representa es: �(�)=
??????
�
??????
y para �≥1
es positiva continua y decreciente, pues �
�≥�
�+1
??????
�
??????
≥
??????+1
�
??????+1
??????
�
??????
≥
??????+1
�∙�
??????
��≥�+1, ∀ �≥1 .
Luego: ∫
??????
�
??????
��
∞
1
= ∫��
−??????
��
∞
1
=
�→∞
??????í�
∫��
−??????
��
�
1
=
�→∞
??????í�
[−�
−??????
(�+1)]
1
�
=
�→∞
??????í�
[−�
−�
(�+1)+�
−1
(1+1)] =
�→∞
??????í�
[−
(�+1)
�
�
+
2
�
] =
�→∞
??????í�
[−
1
�
�
+
2
�
] =
2
�
.
Por tanto, la integral ∫
??????
�
??????
��
∞
1
es convergente; lo cual implica que la serie ∑
�
�
�
∞
�=1
es convergente.
b) ∑
�
�
2
+1
∞
�=1
Solución.
El elemento general es �
�=
�
�
2
+1
, �≥1. La función real que la representa es: �(�)=
??????
??????
2
+1
y para �≥
1 es positiva continua y decreciente, pues �
�≥�
�+1
??????
??????
2
+1
≥
??????+1
(??????+1)
2
+1
�(�
2
+2�+2)≥(�+
1)(�
2
+1) �
3
+2�
2
+2�≥�
3
+�
2
+�+1 �
2
+�≥1 , ∀ �≥1 .
53
100
b) 0,123123123…=
123
1000
TEOREMA 2. En una serie se pueden suprimir un número finito de términos, �
1; �
2;…; �
?????? , sin afectar
la convergencia o divergencia. Es decir, para cualquier entero positivo ??????, las series siguientes, son
ambas convergentes o ambas divergentes:
∑�
�
∞
�=1
=�
1+�
2+�
3+⋯ y ∑ �
�
∞
�=??????+1
=�
??????+1+�
??????+2+�
??????+3+⋯
5. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES.
TEOREMA. (CRITERIO DE LA INTEGRAL). Si � es una función continua, positiva y decreciente para
�≥1 y �
�=�(�), entonces la serie infinita ∑�
�
∞
�=0
y la integral impropia ∫�(�)��
∞
1
, o ambas
convergen o ambas divergen.
La función �=�(�) contiene a los elementos de la sucesión {�
�
}
�≥1.
EJEMPLO 1. Usando el criterio de la integral analizar la convergencia o divergencia de las series:
a) ∑
�
�
�
∞
�=1
b) ∑
�
�
2
+1
∞
�=1
c) ∑
??????�(�)
�
∞
�=1
Solución.
El elemento general es �
�=
�
�
�
, �≥1. La función real que la representa es: �(�)=
??????
�
??????
y para �≥1
es positiva continua y decreciente, pues �
�≥�
�+1
??????
�
??????
≥
??????+1
�
??????+1
??????
�
??????
≥
??????+1
�∙�
??????
��≥�+1, ∀ �≥1 .
Luego: ∫
??????
�
??????
��
∞
1
= ∫��
−??????
��
∞
1
=
�→∞
??????í�
∫��
−??????
��
�
1
=
�→∞
??????í�
[−�
−??????
(�+1)]
1
�
=
�→∞
??????í�
[−�
−�
(�+1)+�
−1
(1+1)] =
�→∞
??????í�
[−
(�+1)
�
�
+
2
�
] =
�→∞
??????í�
[−
1
�
�
+
2
�
] =
2
�
.
Por tanto, la integral ∫
??????
�
??????
��
∞
1
es convergente; lo cual implica que la serie ∑
�
�
�
∞
�=1
es convergente.
b) ∑
�
�
2
+1
∞
�=1
Solución.
El elemento general es �
�=
�
�
2
+1
, �≥1. La función real que la representa es: �(�)=
??????
??????
2
+1
y para �≥
1 es positiva continua y decreciente, pues �
�≥�
�+1
??????
??????
2
+1
≥
??????+1
(??????+1)
2
+1
�(�
2
+2�+2)≥(�+
1)(�
2
+1) �
3
+2�
2
+2�≥�
3
+�
2
+�+1 �
2
+�≥1 , ∀ �≥1 .
Luego desarrollando: ∫
??????
??????
2
+1
��
∞
1
=
�→∞
??????í�
1
2
∫
2??????
??????
2
+1
��
�
1
=
1
2
�→∞
??????í�
[��(�
2
+1)]
1
�
=
�→∞
??????í�
[��(�
2
+1)−
��(2)]=∞ .
Por tanto, la integral ∫
??????
??????
2
+1
��
∞
1
es divergente; es decir que la serie ∑
�
�
2
+1
∞
�=1
es divergente.
c) ∑
??????�(�)
�
∞
�=1
Solución.
El elemento general es �
�=
??????� �
�
, �≥1. La función real que la representa es: �(�)=
??????� ??????
??????
y para �≥
1 es positiva continua y decreciente, pues �
�≥�
�+1
??????� ??????
??????
≥
??????�(??????+1)
??????+1
(�+1) �� �≥� ��(�+1)
�
??????+1
≥(�+1)
??????
, ∀ �≥3 .
Luego desarrollando: ∫
??????� ??????
??????
��
∞
1
=
�→∞
??????í�
∫
??????� ??????
??????
��
�
1
=
�→∞
??????í�
[
1
2
��
2
�]
1
�
=
�→∞
??????í�
[��
2
(�)−��
2
(3)]=∞ .
Por tanto, la integral ∫
??????� ??????
??????
��
∞
1
es divergente; es decir la serie ∑
??????�(�)
�
∞
�=1
es divergente.
TEOREMA (CONVERGENCIA DE LAS P-SERIES).
La p-serie es definida por: ∑
1
�
??????
∞
�=1
=
1
1
??????
+
1
2
??????
+
1
3
??????
+⋯
a) La p-serie es divergente si 0<�≤1. Cuando �=1, la serie es llamada serie armónica divergente
y toma la forma: ∑
1
�
∞
�=1
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+⋯
b) La p-serie es convergente si �>1.
EJEMPLO 1. Determinar la convergencia o divergencia de las series:
a) ∑
1
�
2
∞
�=1
b) ∑
1
�
??????
∞
�=1
c) ∑
1
√�
5
∞
�=1
Solución. a) La serie ∑
1
�
??????
∞
�=1
es �-serie con �=2>1, entonces es convergente.
Solución b) La serie ∑
1
�
??????
∞
�=1
, es �-serie con �=�>1, entonces es convergente.
Solución c) La serie ∑
1
√�
5
∞
�=1
= ∑
1
�
1/5
∞
�=1
es �-serie con �=
1
5
<1, entonces es divergente.
TEOREMA. (CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA ). Si se cumple que
0≤�
�≤�
� , ∀ �≥1 ,
??????
??????
2
+1
��
∞
1
=
�→∞
??????í�
1
2
∫
2??????
??????
2
+1
��
�
1
=
1
2
�→∞
??????í�
[��(�
2
+1)]
1
�
=
�→∞
??????í�
[��(�
2
+1)−
��(2)]=∞ .
Por tanto, la integral ∫
??????
??????
2
+1
��
∞
1
es divergente; es decir que la serie ∑
�
�
2
+1
∞
�=1
es divergente.
c) ∑
??????�(�)
�
∞
�=1
Solución.
El elemento general es �
�=
??????� �
�
, �≥1. La función real que la representa es: �(�)=
??????� ??????
??????
y para �≥
1 es positiva continua y decreciente, pues �
�≥�
�+1
??????� ??????
??????
≥
??????�(??????+1)
??????+1
(�+1) �� �≥� ��(�+1)
�
??????+1
≥(�+1)
??????
, ∀ �≥3 .
Luego desarrollando: ∫
??????� ??????
??????
��
∞
1
=
�→∞
??????í�
∫
??????� ??????
??????
��
�
1
=
�→∞
??????í�
[
1
2
��
2
�]
1
�
=
�→∞
??????í�
[��
2
(�)−��
2
(3)]=∞ .
Por tanto, la integral ∫
??????� ??????
??????
��
∞
1
es divergente; es decir la serie ∑
??????�(�)
�
∞
�=1
es divergente.
TEOREMA (CONVERGENCIA DE LAS P-SERIES).
La p-serie es definida por: ∑
1
�
??????
∞
�=1
=
1
1
??????
+
1
2
??????
+
1
3
??????
+⋯
a) La p-serie es divergente si 0<�≤1. Cuando �=1, la serie es llamada serie armónica divergente
y toma la forma: ∑
1
�
∞
�=1
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+⋯
b) La p-serie es convergente si �>1.
EJEMPLO 1. Determinar la convergencia o divergencia de las series:
a) ∑
1
�
2
∞
�=1
b) ∑
1
�
??????
∞
�=1
c) ∑
1
√�
5
∞
�=1
Solución. a) La serie ∑
1
�
??????
∞
�=1
es �-serie con �=2>1, entonces es convergente.
Solución b) La serie ∑
1
�
??????
∞
�=1
, es �-serie con �=�>1, entonces es convergente.
Solución c) La serie ∑
1
√�
5
∞
�=1
= ∑
1
�
1/5
∞
�=1
es �-serie con �=
1
5
<1, entonces es divergente.
TEOREMA. (CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA ). Si se cumple que
0≤�
�≤�
� , ∀ �≥1 ,
a) Si la serie ∑�
�
∞
�=1
converge, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
converge.
b) Si la serie ∑�
�
∞
�=1
diverge, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
diverge.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑
1
??????� �
∞
�=1
,
Solución. Buscamos una serie para compararla: �≥�� �, ∀ �≥1
1
�
≤
1
??????� �
0≤
1
�
≤
1
??????� �
. Como la serie armónica: ∑
1
�
∞
�=1
diverge, entonces la serie dada ∑
1
??????� �
∞
�=2
diverge.
b) ∑
1
√�+1
∞
�=1
,
Solución. Buscamos una serie para compararla: �
2
≥�+1 , ∀ �≥1
1
�
2
≤
1
�+1
0≤
1
�
≤
1
√�+1
.
Como la serie armónica: ∑
1
�
∞
�=1
diverge, entonces la serie dada ∑
1
√�+1
∞
�=1
diverge.
c) ∑
1
2+3
�
∞
�=1
,
Solución. Buscamos una serie para compararla: 3
�
=3
�
∀ �≥1 2+3
�
≥3
�
0≤
1
2+3
�
≤
1
3
�
.
La serie de comparación es: ∑
1
3
�
∞
�=1
geométrica y converge, pues 0<�=
1
3
<1 .
Luego como la serie geométrica ∑
1
3
�
∞
�=1
converge, entonces la serie dada ∑
1
2+3
�
∞
�=1
converge.
TEOREMA. (CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE). Suponga que si se cumple que �
�>0 , �
�>
0 , y cumple que
�→∞
??????í�
��
��
=�, donde � es un número real, finito y positivo; entonces las dos series
∑�
�
∞
�=1
y ∑�
�
∞
�=1
son ambas convergentes o ambas divergentes.
OBSERVACIÓN 1. Este criterio es eficaz para series algebraicas molestas, comparándolas con una p-
serie apropiada. Generalmente se toma como serie de comparación, la que tiene el término general
con máxima potencia en el numerador y denominador, a partir de la serie dada.
EJEMPLO 1. Analice la convergencia de las series que se dan:
a) ∑
1
3�
2
−4�+5
∞
�=1
Solución. Tomamos como serie de comparación la p-serie convergente ∑
1
�
2
∞
�=1
.
�
∞
�=1
converge, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
converge.
b) Si la serie ∑�
�
∞
�=1
diverge, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
diverge.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑
1
??????� �
∞
�=1
,
Solución. Buscamos una serie para compararla: �≥�� �, ∀ �≥1
1
�
≤
1
??????� �
0≤
1
�
≤
1
??????� �
. Como la serie armónica: ∑
1
�
∞
�=1
diverge, entonces la serie dada ∑
1
??????� �
∞
�=2
diverge.
b) ∑
1
√�+1
∞
�=1
,
Solución. Buscamos una serie para compararla: �
2
≥�+1 , ∀ �≥1
1
�
2
≤
1
�+1
0≤
1
�
≤
1
√�+1
.
Como la serie armónica: ∑
1
�
∞
�=1
diverge, entonces la serie dada ∑
1
√�+1
∞
�=1
diverge.
c) ∑
1
2+3
�
∞
�=1
,
Solución. Buscamos una serie para compararla: 3
�
=3
�
∀ �≥1 2+3
�
≥3
�
0≤
1
2+3
�
≤
1
3
�
.
La serie de comparación es: ∑
1
3
�
∞
�=1
geométrica y converge, pues 0<�=
1
3
<1 .
Luego como la serie geométrica ∑
1
3
�
∞
�=1
converge, entonces la serie dada ∑
1
2+3
�
∞
�=1
converge.
TEOREMA. (CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE). Suponga que si se cumple que �
�>0 , �
�>
0 , y cumple que
�→∞
??????í�
��
��
=�, donde � es un número real, finito y positivo; entonces las dos series
∑�
�
∞
�=1
y ∑�
�
∞
�=1
son ambas convergentes o ambas divergentes.
OBSERVACIÓN 1. Este criterio es eficaz para series algebraicas molestas, comparándolas con una p-
serie apropiada. Generalmente se toma como serie de comparación, la que tiene el término general
con máxima potencia en el numerador y denominador, a partir de la serie dada.
EJEMPLO 1. Analice la convergencia de las series que se dan:
a) ∑
1
3�
2
−4�+5
∞
�=1
Solución. Tomamos como serie de comparación la p-serie convergente ∑
1
�
2
∞
�=1
.
Los términos generales son: �
�=
1
3�
2
−4�+5
, �
�=
1
�
2
.
Aplicando el límite
�→∞
??????í�
��
��
=
�→∞
??????í�
1/�
2
1/(3�
2
−4�+5)
=
�→∞
??????í�
3�
2
−4�+5
�
2
=
�→∞
??????í�
(3−
4
�
+
5
�
2
)=3 que es un
número real, finito y positivo, entonces la serie dada es convergente.
b) ∑
1
√3�−2
∞
�=1
,
Solución. Tomamos como serie de comparación la p-serie divergente ∑
1
�
1/2
∞
�=1
.
Los términos generales son: �
�=
1
√3�−2
, �
�=
1
�
1/2
.
Aplicando el límite
�→∞
??????í�
��
��
=
�→∞
??????í�
1/�
1/2
1/(3�−2)
1/2
=
�→∞
??????í�
√
3�−2
�
=
�→∞
??????í�
√3−
2
�
=√3 que es un número real,
finito y positivo, entonces la serie dada es divergente.
c) ∑
�
2
+10
4�
5
−�
3
∞
�=1
,
Solución.
Según la observación tomamos como serie de comparación la �-serie convergente ∑
1
�
3
∞
�=1
.
Los términos generales son: �
�=
�
2
+10
4�
5
−�
3
, �
�=
1
�
3
. Aplicando el límite
�→∞
??????í�
��
��
=
�→∞
??????í�
�
2
+10
4�
5
−�
3
1
�
3
=
�→∞
??????í�
�
3
(�
2
+10)
4�
5
−�
3
=
�→∞
??????í�
�
2
+10
4�
2
−1
=
�→∞
??????í�
�
2
+10
�
2
4�
2
−1
�
2
=
�→∞
??????í�
1+
1
�
2
4−
1
�
2
=
1
4
, que es un número real, finito y positivo,
entonces la serie dada es convergente.
Como el resultado es real finito y positivo, entonces la serie dada es convergente.
e) ∑
1
√�
3
+1
∞
�=1
. Use la serie de comparación ∑
1
�
3/2
∞
�=1
.
f) ∑
1
2
�
−5
∞
�=1
. Use la serie de comparación ∑
1
2
�
∞
�=1
.
TEOREMA. (CRITERIO PARA SERIES ALTERNADAS). Sea �
�>0; las series alternadas ∑(−1)
�
�
�
∞
�=1
o ∑(−1)
�−1
�
�
∞
�=1
convergen si cumplen las condiciones:
i) 0<�
�+1≤�
� , ∀ �≥1 (decreciente) y ii)
�→∞
??????í�
�
�=0
�=
1
3�
2
−4�+5
, �
�=
1
�
2
.
Aplicando el límite
�→∞
??????í�
��
��
=
�→∞
??????í�
1/�
2
1/(3�
2
−4�+5)
=
�→∞
??????í�
3�
2
−4�+5
�
2
=
�→∞
??????í�
(3−
4
�
+
5
�
2
)=3 que es un
número real, finito y positivo, entonces la serie dada es convergente.
b) ∑
1
√3�−2
∞
�=1
,
Solución. Tomamos como serie de comparación la p-serie divergente ∑
1
�
1/2
∞
�=1
.
Los términos generales son: �
�=
1
√3�−2
, �
�=
1
�
1/2
.
Aplicando el límite
�→∞
??????í�
��
��
=
�→∞
??????í�
1/�
1/2
1/(3�−2)
1/2
=
�→∞
??????í�
√
3�−2
�
=
�→∞
??????í�
√3−
2
�
=√3 que es un número real,
finito y positivo, entonces la serie dada es divergente.
c) ∑
�
2
+10
4�
5
−�
3
∞
�=1
,
Solución.
Según la observación tomamos como serie de comparación la �-serie convergente ∑
1
�
3
∞
�=1
.
Los términos generales son: �
�=
�
2
+10
4�
5
−�
3
, �
�=
1
�
3
. Aplicando el límite
�→∞
??????í�
��
��
=
�→∞
??????í�
�
2
+10
4�
5
−�
3
1
�
3
=
�→∞
??????í�
�
3
(�
2
+10)
4�
5
−�
3
=
�→∞
??????í�
�
2
+10
4�
2
−1
=
�→∞
??????í�
�
2
+10
�
2
4�
2
−1
�
2
=
�→∞
??????í�
1+
1
�
2
4−
1
�
2
=
1
4
, que es un número real, finito y positivo,
entonces la serie dada es convergente.
Como el resultado es real finito y positivo, entonces la serie dada es convergente.
e) ∑
1
√�
3
+1
∞
�=1
. Use la serie de comparación ∑
1
�
3/2
∞
�=1
.
f) ∑
1
2
�
−5
∞
�=1
. Use la serie de comparación ∑
1
2
�
∞
�=1
.
TEOREMA. (CRITERIO PARA SERIES ALTERNADAS). Sea �
�>0; las series alternadas ∑(−1)
�
�
�
∞
�=1
o ∑(−1)
�−1
�
�
∞
�=1
convergen si cumplen las condiciones:
i) 0<�
�+1≤�
� , ∀ �≥1 (decreciente) y ii)
�→∞
??????í�
�
�=0
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑
(−1)
�+1
2�−1
∞
�=1
b) ∑
(−1)
�
�
2
�
2
+1
∞
�=1
Solución.
a) ∑
(−1)
�+1
2�−1
∞
�=1
= ∑(−1)
�+1
1
2�−1
∞
�=1
de donde �
�=
1
2�−1
y �
�+1=
1
2�+1
Cumple (i) 0<�
�+1≤�
�. En efecto:
1
2�+1
≤
1
2�−1
2�+1≥2�−1 1≥−1
Cumple (ii) pues Lím
�→∞
�
�= Lím
�→∞
1
2�−1
=0
Por tanto, la serie ∑
(−1)
�+1
2�−1
∞
�=1
converge.
b) ∑
(−1)
�
�
2
2�−1
∞
�=1
= ∑(−1)
�
�
2
�
2
+1
∞
�=1
de donde �
�=
�
2
�
2
+1
y �
�+1=
(�+1)
2
(�+1)
2
+1
Se cumple (i) 0<�
�+1≤�
�.
En efecto:
(�+1)
2
(�+1)
2
+1
≤
�
2
�
2
+1
(�+1)
2
(�
2
+1)≤�
2
(�
2
+2�+2) 2�+1≤1,∀�>1
No cumple (ii), pues Lím
�→∞
�
�= Lím
�→∞
�
2
�
2
+1
=1≠0
Por tanto, la serie ∑
(−1)
�
�
2
�
2
+1
∞
�=1
diverge.
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL .
DEFINICIÓN 1. La serie ∑�
�
∞
�=1
:
a) Es absolutamente convergente si la serie ∑|�
�
|
∞
�=1
converge.
b) Es condicionalmente convergente si la serie ∑�
�
∞
�=1
converge, pero la serie ∑|�
�
|
∞
�=1
diverge.
TEOREMA (Convergencia absoluta). Si la serie ∑|�
�
|
∞
�=1
converge, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
converge.
EJEMPLO 1. Muestre que la serie ∑
2(−1)
�+1
3
�
∞
�=1
es absolutamente convergente.
En efecto: ∑|
2(−1)
�+1
3
�
|
∞
�=1
= ∑
2
3
�
∞
�=1
es una serie geométrica convergente, pues �=
1
3
; por lo tanto la
serie dada ∑
2(−1)
�+1
3
�
∞
�=1
es absolutamente convergente.
a) ∑
(−1)
�+1
2�−1
∞
�=1
b) ∑
(−1)
�
�
2
�
2
+1
∞
�=1
Solución.
a) ∑
(−1)
�+1
2�−1
∞
�=1
= ∑(−1)
�+1
1
2�−1
∞
�=1
de donde �
�=
1
2�−1
y �
�+1=
1
2�+1
Cumple (i) 0<�
�+1≤�
�. En efecto:
1
2�+1
≤
1
2�−1
2�+1≥2�−1 1≥−1
Cumple (ii) pues Lím
�→∞
�
�= Lím
�→∞
1
2�−1
=0
Por tanto, la serie ∑
(−1)
�+1
2�−1
∞
�=1
converge.
b) ∑
(−1)
�
�
2
2�−1
∞
�=1
= ∑(−1)
�
�
2
�
2
+1
∞
�=1
de donde �
�=
�
2
�
2
+1
y �
�+1=
(�+1)
2
(�+1)
2
+1
Se cumple (i) 0<�
�+1≤�
�.
En efecto:
(�+1)
2
(�+1)
2
+1
≤
�
2
�
2
+1
(�+1)
2
(�
2
+1)≤�
2
(�
2
+2�+2) 2�+1≤1,∀�>1
No cumple (ii), pues Lím
�→∞
�
�= Lím
�→∞
�
2
�
2
+1
=1≠0
Por tanto, la serie ∑
(−1)
�
�
2
�
2
+1
∞
�=1
diverge.
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL .
DEFINICIÓN 1. La serie ∑�
�
∞
�=1
:
a) Es absolutamente convergente si la serie ∑|�
�
|
∞
�=1
converge.
b) Es condicionalmente convergente si la serie ∑�
�
∞
�=1
converge, pero la serie ∑|�
�
|
∞
�=1
diverge.
TEOREMA (Convergencia absoluta). Si la serie ∑|�
�
|
∞
�=1
converge, entonces la serie ∑�
�
∞
�=1
converge.
EJEMPLO 1. Muestre que la serie ∑
2(−1)
�+1
3
�
∞
�=1
es absolutamente convergente.
En efecto: ∑|
2(−1)
�+1
3
�
|
∞
�=1
= ∑
2
3
�
∞
�=1
es una serie geométrica convergente, pues �=
1
3
; por lo tanto la
serie dada ∑
2(−1)
�+1
3
�
∞
�=1
es absolutamente convergente.
EJEMPLO 2. Muestre que la serie ∑
(−1)
�
�
∞
�=1
es condicionalmente convergente.
En efecto. ∑|
(−1)
�
�
|
∞
�=1
= ∑
1
�
∞
�=1
es la serie armónica divergente, sin embargo la serie alternada
∑
(−1)
�
�
∞
�=1
es convergente, pues �
�=
1
�
, �
�+1=
1
�+1
Cumple (i) 0<�
�+1≤�
�. En efecto:
1
�+1
≤
1
�
Cumple (ii), pues Lím
�→∞
�
�= Lím
�→∞
1
�
=0
Por tanto, la serie ∑
(−1)
�
�
∞
�=1
es condicionalmente convergente.
TEOREMA. (CRITERIO DEL COCIENTE).
Sea ∑�
�
∞
�=1
una serie de términos diferentes de cero y sea r=Lím
�→∞
|
��+1
��
|, entonces:
i) Si �<1 la serie converge.
ii) Si �>1 la serie diverge.
iii) Si �=1 el criterio no decide.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑
�!
�3
�
∞
�=1
b) 1+3+
3
2
2!
+
3
3
3!
+
+3
4
4!
…
c) ∑
�
�
�!
∞
�=1
d) ∑
(2�)!
�
5
∞
�=1
Solución.
a) De la serie dada ∑
�!
�3
�
∞
�=1
: �
�=
�!
�3
�
y �
�+1=
(�+1)!
(�+1)3
�+1
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
(�+1)!
(�+1)3
�+1
�!
�3
�
| = Lím
�→∞
(�+1)(�!)�3
�
(�!)(�+1)3
�
3
= Lím
�→∞
�
3
=∞ �=∞>1
Por lo tanto, la serie dada ∑
�!
�3
�
∞
�=1
es divergente.
b) De la serie dada 1+3+
3
2
2!
+
3
3
3!
+
+3
4
4!
… = ∑
3
�
�!
∞
�=1
: �
�=
3
�
�!
y �
�+1=
3
�+1
(�+1)!
(−1)
�
�
∞
�=1
es condicionalmente convergente.
En efecto. ∑|
(−1)
�
�
|
∞
�=1
= ∑
1
�
∞
�=1
es la serie armónica divergente, sin embargo la serie alternada
∑
(−1)
�
�
∞
�=1
es convergente, pues �
�=
1
�
, �
�+1=
1
�+1
Cumple (i) 0<�
�+1≤�
�. En efecto:
1
�+1
≤
1
�
Cumple (ii), pues Lím
�→∞
�
�= Lím
�→∞
1
�
=0
Por tanto, la serie ∑
(−1)
�
�
∞
�=1
es condicionalmente convergente.
TEOREMA. (CRITERIO DEL COCIENTE).
Sea ∑�
�
∞
�=1
una serie de términos diferentes de cero y sea r=Lím
�→∞
|
��+1
��
|, entonces:
i) Si �<1 la serie converge.
ii) Si �>1 la serie diverge.
iii) Si �=1 el criterio no decide.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑
�!
�3
�
∞
�=1
b) 1+3+
3
2
2!
+
3
3
3!
+
+3
4
4!
…
c) ∑
�
�
�!
∞
�=1
d) ∑
(2�)!
�
5
∞
�=1
Solución.
a) De la serie dada ∑
�!
�3
�
∞
�=1
: �
�=
�!
�3
�
y �
�+1=
(�+1)!
(�+1)3
�+1
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
(�+1)!
(�+1)3
�+1
�!
�3
�
| = Lím
�→∞
(�+1)(�!)�3
�
(�!)(�+1)3
�
3
= Lím
�→∞
�
3
=∞ �=∞>1
Por lo tanto, la serie dada ∑
�!
�3
�
∞
�=1
es divergente.
b) De la serie dada 1+3+
3
2
2!
+
3
3
3!
+
+3
4
4!
… = ∑
3
�
�!
∞
�=1
: �
�=
3
�
�!
y �
�+1=
3
�+1
(�+1)!
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
3
�+1
(�+1)!
3
�
�!
| = Lím
�→∞
(�!)(3)
(�+1)(�!)3
�
= Lím
�→∞
3
(�+1)
=0 �=0<1
Por lo tanto, la serie dada 1+3+
3
2
2!
+
3
3
3!
+
+3
4
4!
… es convergente.
c) De la serie dada ∑
�
�
�!
∞
�=1
: �
�=
�
�
�!
y �
�+1=
(�+1)
�+1
(�+1)!
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
(�+1)
�+1
(�+1)!
3
�
�!
| = Lím
�→∞
(�!)(�+1)(�+1)
�
�
�
(�+1)(�!)
= Lím
�→∞
(
�+1
�
)
�
= Lím
�→∞
(�+
1
�
)
�
=�
�=�>1
Por lo tanto, la serie dada ∑
�
�
�!
∞
�=1
es divergente.
TEOREMA (CRITERIO DE LA RAÍZ). Sea ∑�
�
∞
�=1
una serie de términos diferentes de cero y sea
�=Lím
�→∞
√|�
�
|
�
, entonces:
i) Si �<1 la serie converge.
ii) Si �>1 la serie diverge.
iii) Si �=1 el criterio no decide.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑(
�
2�+1
)
�
∞
�=1
b) ∑(2√�
�
+1)
�
∞
�=1
c) ∑(√�
�
−1)
�
∞
�=1
d) ∑(
ln�
�
)
�
∞
�=2
Solución a) ∑(
�
2�+1
)
�
∞
�=1
�=Lím
�→∞
√|(
�
2�+1
)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(
�
2�+1
)
�
�
=Lím
�→∞
�
2�+1
=Lím
�→∞
1
2+1/�
=
1
2
Por lo tanto, como �=
1
2
<1, la serie converge.
b) ∑(2√�
�
+1)
�
∞
�=1
�=Lím
�→∞
√|(2√�
�
+1)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(2√�
�
+1)
��
=Lím
�→∞
(2√�
�
+1) = 2(1)+1=3
Por lo tanto, como �=3>1, la serie diverge.
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
3
�+1
(�+1)!
3
�
�!
| = Lím
�→∞
(�!)(3)
(�+1)(�!)3
�
= Lím
�→∞
3
(�+1)
=0 �=0<1
Por lo tanto, la serie dada 1+3+
3
2
2!
+
3
3
3!
+
+3
4
4!
… es convergente.
c) De la serie dada ∑
�
�
�!
∞
�=1
: �
�=
�
�
�!
y �
�+1=
(�+1)
�+1
(�+1)!
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
(�+1)
�+1
(�+1)!
3
�
�!
| = Lím
�→∞
(�!)(�+1)(�+1)
�
�
�
(�+1)(�!)
= Lím
�→∞
(
�+1
�
)
�
= Lím
�→∞
(�+
1
�
)
�
=�
�=�>1
Por lo tanto, la serie dada ∑
�
�
�!
∞
�=1
es divergente.
TEOREMA (CRITERIO DE LA RAÍZ). Sea ∑�
�
∞
�=1
una serie de términos diferentes de cero y sea
�=Lím
�→∞
√|�
�
|
�
, entonces:
i) Si �<1 la serie converge.
ii) Si �>1 la serie diverge.
iii) Si �=1 el criterio no decide.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑(
�
2�+1
)
�
∞
�=1
b) ∑(2√�
�
+1)
�
∞
�=1
c) ∑(√�
�
−1)
�
∞
�=1
d) ∑(
ln�
�
)
�
∞
�=2
Solución a) ∑(
�
2�+1
)
�
∞
�=1
�=Lím
�→∞
√|(
�
2�+1
)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(
�
2�+1
)
�
�
=Lím
�→∞
�
2�+1
=Lím
�→∞
1
2+1/�
=
1
2
Por lo tanto, como �=
1
2
<1, la serie converge.
b) ∑(2√�
�
+1)
�
∞
�=1
�=Lím
�→∞
√|(2√�
�
+1)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(2√�
�
+1)
��
=Lím
�→∞
(2√�
�
+1) = 2(1)+1=3
Por lo tanto, como �=3>1, la serie diverge.
c) ∑(√�
�
−1)
�
∞
�=1
�=Lím
�→∞
√|(√�
�
−1)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(√�
�
−1)
��
=Lím
�→∞
(√�
�
−1) = 1−1=0
Por lo tanto, como �=0<1, la serie converge.
d) ∑(
ln�
�
)
�
∞
�=2
�=Lím
�→∞
√|(
ln�
�
)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(
ln�
�
)
�
�
=Lím
�→∞
??????� �
�
=Lím
�→∞
1
�
⁄
1
= 0
Por lo tanto, como �=0<1, la serie converge.
LA SERIE DE POTENCIAS Y SU CONVERGENCIA .
DEFINICIÓN 1. Sea � una variable real. Las series infinitas de la forma:
a) Serie en � centrada en cero, 0: ∑�
��
�∞
�=0
= �
0+�
1�+�
2�
2
+⋯+�
��
�
+⋯
b) Serie en � centrada en �:
∑�
�(�−�)
�∞
�=0
= �
0+�
1
(�−�)+�
2
(�−�)
2
+�
3
(�−�)
3
+⋯+�
�(�−�)
�
+⋯
c) Serie en �(�): ∑�
�[�(�)]
�∞
�=0
= �
0+�
1�(�)+�
2[�(�)]
2
+�
3[�(�)]
3
…+�
�[�(�)]
�
+⋯,
son llamada Serie de Potencias.
TEOREMA (Convergencia de la Serie de Potencias). Una serie de Potencias ∑�
�(�−�)
�∞
�=0
centrada
en � cumple exactamente una de las siguientes condiciones:
a) La serie converge únicamente en �.
�
−1)
�
∞
�=1
�=Lím
�→∞
√|(√�
�
−1)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(√�
�
−1)
��
=Lím
�→∞
(√�
�
−1) = 1−1=0
Por lo tanto, como �=0<1, la serie converge.
d) ∑(
ln�
�
)
�
∞
�=2
�=Lím
�→∞
√|(
ln�
�
)
�
|
�
=Lím
�→∞
√(
ln�
�
)
�
�
=Lím
�→∞
??????� �
�
=Lím
�→∞
1
�
⁄
1
= 0
Por lo tanto, como �=0<1, la serie converge.
LA SERIE DE POTENCIAS Y SU CONVERGENCIA .
DEFINICIÓN 1. Sea � una variable real. Las series infinitas de la forma:
a) Serie en � centrada en cero, 0: ∑�
��
�∞
�=0
= �
0+�
1�+�
2�
2
+⋯+�
��
�
+⋯
b) Serie en � centrada en �:
∑�
�(�−�)
�∞
�=0
= �
0+�
1
(�−�)+�
2
(�−�)
2
+�
3
(�−�)
3
+⋯+�
�(�−�)
�
+⋯
c) Serie en �(�): ∑�
�[�(�)]
�∞
�=0
= �
0+�
1�(�)+�
2[�(�)]
2
+�
3[�(�)]
3
…+�
�[�(�)]
�
+⋯,
son llamada Serie de Potencias.
TEOREMA (Convergencia de la Serie de Potencias). Una serie de Potencias ∑�
�(�−�)
�∞
�=0
centrada
en � cumple exactamente una de las siguientes condiciones:
a) La serie converge únicamente en �.
b) La serie converge en todo valor real.
c) Existe un �>0 tal que la serie:
i) Converge para todos los � de |�−�|<�, y
ii) Diverge para los � de |�−�|>�.
El � es llamado radio de convergencia.
OBSERVACIONES.
a) El teorema es válido cuando la serie está centrada en cero.
b) El intervalo de convergencia será:
|�−�|<� −�<�−�<� �−�<�<�+� �∈〈�−�;�+�〉
c) El teorema no da información para |�−�|=� que son los puntos extremos del intervalo de
convergencia. Estos deben ser analizados por separado para unirlos o no a dicho intervalo de
convergencia.
Finalmente el intervalo de convergencia puede tomar la forma: 〈�;�〉, ⟨�;�], [�;�⟩ o [�;�].
d) Para la convergencia en los extremos del intervalo se usan los criterios estudiados para las series
infinitas.
e) El criterio del cociente aplicado a la serie de potencias ∑�
�(�−�)
�∞
�=0
para hallar el intervalo de
convergencia ?????? se obtiene del siguiente modo. Si �=Lím
�→∞
|
��+1
��
|=�={
0 �=∞
∞ �=0
�≠0 �=
1
??????
, siendo � el
radio de convergencia.
f) Una serie de potencias se la puede denotar como una función real en la forma:
�(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
EJEMPLO 1. Hallar el intervalo de convergencia de las series dadas incluyendo un análisis en los
extremos de dicho intervalo.
a) �(�)=∑�!�
�∞
�=0
. Aquí �
�=�!; �
�+1=(�+1)! Serie centrada en �=0.
Calculamos �=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
(�+1)!
�!
| =Lím
�→∞
(�+1)!
�!
=Lím
�→∞
(�+1) �!
�!
=Lím
�→∞
(�+1) = ∞
c) Existe un �>0 tal que la serie:
i) Converge para todos los � de |�−�|<�, y
ii) Diverge para los � de |�−�|>�.
El � es llamado radio de convergencia.
OBSERVACIONES.
a) El teorema es válido cuando la serie está centrada en cero.
b) El intervalo de convergencia será:
|�−�|<� −�<�−�<� �−�<�<�+� �∈〈�−�;�+�〉
c) El teorema no da información para |�−�|=� que son los puntos extremos del intervalo de
convergencia. Estos deben ser analizados por separado para unirlos o no a dicho intervalo de
convergencia.
Finalmente el intervalo de convergencia puede tomar la forma: 〈�;�〉, ⟨�;�], [�;�⟩ o [�;�].
d) Para la convergencia en los extremos del intervalo se usan los criterios estudiados para las series
infinitas.
e) El criterio del cociente aplicado a la serie de potencias ∑�
�(�−�)
�∞
�=0
para hallar el intervalo de
convergencia ?????? se obtiene del siguiente modo. Si �=Lím
�→∞
|
��+1
��
|=�={
0 �=∞
∞ �=0
�≠0 �=
1
??????
, siendo � el
radio de convergencia.
f) Una serie de potencias se la puede denotar como una función real en la forma:
�(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
EJEMPLO 1. Hallar el intervalo de convergencia de las series dadas incluyendo un análisis en los
extremos de dicho intervalo.
a) �(�)=∑�!�
�∞
�=0
. Aquí �
�=�!; �
�+1=(�+1)! Serie centrada en �=0.
Calculamos �=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
(�+1)!
�!
| =Lím
�→∞
(�+1)!
�!
=Lím
�→∞
(�+1) �!
�!
=Lím
�→∞
(�+1) = ∞
Entonces, según el Teorema, el radio de convergencia es �=0. Lo cual implica que la serie converge
únicamente en el punto �=0.
b) �(�)=∑
(−1)
�+1
??????
2�−1
(2�−1)!
∞
�=0
. Aquí �
�=
(−1)
�+1
(2�−1)!
; �
�+1=
(−1)
�+2
(2�+1)!
. Serie centrada en �=0.
Calculamos �=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
(−1)
�+2
(2�+1)!
(−1)
�+1
(2�−1)!
| =Lím
�→∞
1
(2�+1)!
1
(2�−1)!
=Lím
�→∞
(2�−1)!
(2�+1)2�(2�−1)!
=Lím
�→∞
1
(2�+1)2�
= 0
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=∞. Lo cual implica que la serie converge
para todo � real o �∈�.
c) �(�)=∑
??????
�
�
∞
�=1
. Aquí �
�=
1
�
; �
�+1=
1
�+1
. Serie centrada en �=0.
Calculamos �=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
1
�+1
1
�
| =Lím
�→∞
1
�+1
1
�
=Lím
�→∞
�
�+1
=Lím
�→∞
1
1+1/�
= 1
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=1. Lo cual implica que la serie converge
inicialmente para todo �∈〈−1;1〉.
Analizando los extremos del intervalo:
Para �=−1, la serie queda �(−1)=∑
(−1)
�
�
∞
�=1
. La cual es una serie alternada convergente, pues
siendo �
�=
1
�
es decreciente y cumple Lím
�→∞
1
�
=0. Se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=1, la serie queda: �(1)=∑
(1)
�
�
∞
�=1
= ∑
1
�
∞
�=1
. La cual es la serie armónica divergente. No se
cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie �(�)=∑
??????
�
�
∞
�=1
será ??????=[−1; 1⟩
d) �(�)=∑
(??????−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
. Aquí �
�=
1
3
�
�
2
; �
�+1=
1
3
�+1
(�+1)
2
. Serie centrada en �=2.
Calculamos
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
1
3
�+1
(�+1)
2
1
3
�
�
2
| =Lím
�→∞
1
3
�+1
(�+1)
2
1
3
�
�
2
=Lím
�→∞
3
�
�
2
3
�
(3)�
2
=Lím
�→∞
�
2
3(�+1)
2
=
1
3
Lím
�→∞
(
�
�+1
)
2
=
1
3
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=
1
1
3
⁄
=3. Lo cual implica que la serie
converge inicialmente para todo �∈|�−2|<3 → −3<�−2<3 → −1<�<5
→�∈〈−1;5〉
únicamente en el punto �=0.
b) �(�)=∑
(−1)
�+1
??????
2�−1
(2�−1)!
∞
�=0
. Aquí �
�=
(−1)
�+1
(2�−1)!
; �
�+1=
(−1)
�+2
(2�+1)!
. Serie centrada en �=0.
Calculamos �=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
(−1)
�+2
(2�+1)!
(−1)
�+1
(2�−1)!
| =Lím
�→∞
1
(2�+1)!
1
(2�−1)!
=Lím
�→∞
(2�−1)!
(2�+1)2�(2�−1)!
=Lím
�→∞
1
(2�+1)2�
= 0
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=∞. Lo cual implica que la serie converge
para todo � real o �∈�.
c) �(�)=∑
??????
�
�
∞
�=1
. Aquí �
�=
1
�
; �
�+1=
1
�+1
. Serie centrada en �=0.
Calculamos �=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
1
�+1
1
�
| =Lím
�→∞
1
�+1
1
�
=Lím
�→∞
�
�+1
=Lím
�→∞
1
1+1/�
= 1
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=1. Lo cual implica que la serie converge
inicialmente para todo �∈〈−1;1〉.
Analizando los extremos del intervalo:
Para �=−1, la serie queda �(−1)=∑
(−1)
�
�
∞
�=1
. La cual es una serie alternada convergente, pues
siendo �
�=
1
�
es decreciente y cumple Lím
�→∞
1
�
=0. Se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=1, la serie queda: �(1)=∑
(1)
�
�
∞
�=1
= ∑
1
�
∞
�=1
. La cual es la serie armónica divergente. No se
cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie �(�)=∑
??????
�
�
∞
�=1
será ??????=[−1; 1⟩
d) �(�)=∑
(??????−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
. Aquí �
�=
1
3
�
�
2
; �
�+1=
1
3
�+1
(�+1)
2
. Serie centrada en �=2.
Calculamos
�=Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
1
3
�+1
(�+1)
2
1
3
�
�
2
| =Lím
�→∞
1
3
�+1
(�+1)
2
1
3
�
�
2
=Lím
�→∞
3
�
�
2
3
�
(3)�
2
=Lím
�→∞
�
2
3(�+1)
2
=
1
3
Lím
�→∞
(
�
�+1
)
2
=
1
3
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=
1
1
3
⁄
=3. Lo cual implica que la serie
converge inicialmente para todo �∈|�−2|<3 → −3<�−2<3 → −1<�<5
→�∈〈−1;5〉
Analizando los extremos del intervalo:
Para �=−1, la serie queda: �(−1)=∑
(−1−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(−3)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(−1)
�
3
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(−1)
�
�
2
∞
�=1
La cual es una serie alternada convergente, pues siendo �
�=
1
�
2
es decreciente y cumple Lím
�→∞
1
�
2
=0.
Se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=5, la serie queda: �(5)=∑
(5−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(3)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
1
�
2
∞
�=1
.
La cual es la serie �-serie con �=2, convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie �(�)=∑
(??????−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
será ??????=[−1; 5]
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE POTENCIAS.
TEOREMA 1. Si la función � es definida mediante la serie de potencias
�(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
= �
0+�
1
(�−�)+�
2
(�−�)
2
+�
3
(�−�)
3
+⋯+�
�(�−�)
�
+⋯ que
tiene un radio de convergencia �>0, entonces en el intervalo ??????=〈�−�;�+�〉, � es continua,
derivable e integrable, por ser polinómica. Además se cumple:
a) �′(�)=∑� �
�(�−�)
�−1∞
�=1
= �
1+2�
2
(�−�)+3�
3
(�−�)
2
+4�
4
(�−�)
3
+⋯+� �
�(�−�)
�−1
+⋯
b) ∫�(�)��=∑
��
�+1
(�−�)
�+1
+�
0
∞
�=0
= �
0+�
0
(�−�)+
�1
2
(�−�)
2
+
�4
3
(�−�)
3
+⋯+
��
�+1
(�−�)
�+1
+⋯
OBSERVACIONES.
a) El intervalo inicial de convergencia de �(�), �′(�), �′′(�) e ∫�(�)�� es el mismo, y coincide con el
dominio, es decir ���(�)=���(�
′
)=���(�
′′
)=���(∫�(�)��), salvo en los puntos terminales
del intervalo de convergencia; en estos puntos tiene que analizarse por separado, para cada caso.
b) �′′(�)=∑�(�−1) �
�(�−�)
�−2∞
�=2
y así se puede tener derivada de orden � para �>2.
c) Una serie también puede integrarse por segunda vez, tercera vez, según se le necesite.
EJEMPLO 1. Hallar los intervalos de convergencia para las series siguientes �(�), �′(�), �′′(�) e
∫�(�)��, si �(�)=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�
� 5
�
∞
�=1
.
Para �=−1, la serie queda: �(−1)=∑
(−1−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(−3)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(−1)
�
3
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(−1)
�
�
2
∞
�=1
La cual es una serie alternada convergente, pues siendo �
�=
1
�
2
es decreciente y cumple Lím
�→∞
1
�
2
=0.
Se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=5, la serie queda: �(5)=∑
(5−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
(3)
�
3
�
�
2
∞
�=1
=∑
1
�
2
∞
�=1
.
La cual es la serie �-serie con �=2, convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie �(�)=∑
(??????−2)
�
3
�
�
2
∞
�=1
será ??????=[−1; 5]
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE POTENCIAS.
TEOREMA 1. Si la función � es definida mediante la serie de potencias
�(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
= �
0+�
1
(�−�)+�
2
(�−�)
2
+�
3
(�−�)
3
+⋯+�
�(�−�)
�
+⋯ que
tiene un radio de convergencia �>0, entonces en el intervalo ??????=〈�−�;�+�〉, � es continua,
derivable e integrable, por ser polinómica. Además se cumple:
a) �′(�)=∑� �
�(�−�)
�−1∞
�=1
= �
1+2�
2
(�−�)+3�
3
(�−�)
2
+4�
4
(�−�)
3
+⋯+� �
�(�−�)
�−1
+⋯
b) ∫�(�)��=∑
��
�+1
(�−�)
�+1
+�
0
∞
�=0
= �
0+�
0
(�−�)+
�1
2
(�−�)
2
+
�4
3
(�−�)
3
+⋯+
��
�+1
(�−�)
�+1
+⋯
OBSERVACIONES.
a) El intervalo inicial de convergencia de �(�), �′(�), �′′(�) e ∫�(�)�� es el mismo, y coincide con el
dominio, es decir ���(�)=���(�
′
)=���(�
′′
)=���(∫�(�)��), salvo en los puntos terminales
del intervalo de convergencia; en estos puntos tiene que analizarse por separado, para cada caso.
b) �′′(�)=∑�(�−1) �
�(�−�)
�−2∞
�=2
y así se puede tener derivada de orden � para �>2.
c) Una serie también puede integrarse por segunda vez, tercera vez, según se le necesite.
EJEMPLO 1. Hallar los intervalos de convergencia para las series siguientes �(�), �′(�), �′′(�) e
∫�(�)��, si �(�)=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�
� 5
�
∞
�=1
.
Solución.
a) �(�)=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�
� 5
�
∞
�=1
. Aquí �
�=
(−1)
�+1
� 5
�
; �
�+1=
(−1)
�+2
(�+1)5
�+1
. Serie centrada en �=5.
Calculamos Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
(−1)
�+2
(�+1)5
�+1
(−1)
�+1
� 5
�
| =Lím
�→∞
1
(�+1)5
�+1
1
� 5
�
=Lím
�→∞
� 5
�
(�+1)5
�
5
=
1
5
Lím
�→∞
�
�+1
=
1
5
Lím
�→∞
1
1+
1
�
⁄
=
1
5
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=
1
1
5
⁄
=5. Lo cual implica que la serie
converge inicialmente para todo �∈|�−5|<5 → −5<�−5<5 → 0<�<10
→�∈〈0;10〉
Analizando los extremos del intervalo:
Para �=0, la serie queda �(0)=∑
(−1)
�+1
(0−5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(−5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(−1)
�
5
�
� 5
�
∞
�=1
=
∑
(−1)
2�+1
5
�
� 5
�
∞
�=1
=−∑
(−1)
2�
�
∞
�=1
=−∑
1
�
∞
�=1
.
La cual es la serie armónica divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: �(10)=∑
(−1)
�+1
(10−5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
5
�
� 5
�
∞
�=1
=
∑
(−1)
�+1
�
∞
�=1
La cual es una serie alternada convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será ??????=⟨0;10].
b) �′(�)=∑
(−1)
�+1
� (??????−5)
�−1
� 5
�
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�−1
5
�
∞
�=2
. Aquí �
�=
(−1)
�+1
5
�
; �
�+1=
(−1)
�+2
5
�+1
. Serie
centrada en �=5.
Recordemos que el intervalo inicial de convergencia de �(�), �′(�), �′′(�) e ∫�(�)�� es el mismo, es
decir ??????=〈0;10〉. Verifiquemos para este caso.
Calculamos Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
(−1)
�+2
5
�+1
(−1)
�+1
5
�
| = Lím
�→∞
1
5
�+1
1
5
�
= Lím
�→∞
5
�
5
�
5
= Lím
�→∞
1
5
=
1
5
, lo cual implica que el
intervalo inicial de convergencia es 〈0;10〉, como se esperaba.
Analizando los extremos del intervalo:
a) �(�)=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�
� 5
�
∞
�=1
. Aquí �
�=
(−1)
�+1
� 5
�
; �
�+1=
(−1)
�+2
(�+1)5
�+1
. Serie centrada en �=5.
Calculamos Lím
�→∞
|
��+1
��
| =Lím
�→∞
|
(−1)
�+2
(�+1)5
�+1
(−1)
�+1
� 5
�
| =Lím
�→∞
1
(�+1)5
�+1
1
� 5
�
=Lím
�→∞
� 5
�
(�+1)5
�
5
=
1
5
Lím
�→∞
�
�+1
=
1
5
Lím
�→∞
1
1+
1
�
⁄
=
1
5
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es �=
1
1
5
⁄
=5. Lo cual implica que la serie
converge inicialmente para todo �∈|�−5|<5 → −5<�−5<5 → 0<�<10
→�∈〈0;10〉
Analizando los extremos del intervalo:
Para �=0, la serie queda �(0)=∑
(−1)
�+1
(0−5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(−5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(−1)
�
5
�
� 5
�
∞
�=1
=
∑
(−1)
2�+1
5
�
� 5
�
∞
�=1
=−∑
(−1)
2�
�
∞
�=1
=−∑
1
�
∞
�=1
.
La cual es la serie armónica divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: �(10)=∑
(−1)
�+1
(10−5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(5)
�
� 5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
5
�
� 5
�
∞
�=1
=
∑
(−1)
�+1
�
∞
�=1
La cual es una serie alternada convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será ??????=⟨0;10].
b) �′(�)=∑
(−1)
�+1
� (??????−5)
�−1
� 5
�
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�−1
5
�
∞
�=2
. Aquí �
�=
(−1)
�+1
5
�
; �
�+1=
(−1)
�+2
5
�+1
. Serie
centrada en �=5.
Recordemos que el intervalo inicial de convergencia de �(�), �′(�), �′′(�) e ∫�(�)�� es el mismo, es
decir ??????=〈0;10〉. Verifiquemos para este caso.
Calculamos Lím
�→∞
|
��+1
��
| = Lím
�→∞
|
(−1)
�+2
5
�+1
(−1)
�+1
5
�
| = Lím
�→∞
1
5
�+1
1
5
�
= Lím
�→∞
5
�
5
�
5
= Lím
�→∞
1
5
=
1
5
, lo cual implica que el
intervalo inicial de convergencia es 〈0;10〉, como se esperaba.
Analizando los extremos del intervalo:
Para �=0, la serie queda �′(0)=∑
(−1)
�+1
(0−5)
�−1
5
�
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
(−1)
�−1
5
�−1
5
�
∞
�=2
=
∑
(−1)
�+1
(−1)
�−1
5
�−1
5
�−1
5
∞
�=2
=∑
(−1)
2�
5
∞
�=2
=∑
1
5
∞
�=2
.
La cual es la serie constante divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: �′(10)=∑
(−1)
�+1
(10−5)
�−1
5
�
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
(5)
�−1
5
�−1
5
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
5
∞
�=2
La cual es una serie alternada divergente. No se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será ??????=〈0;10〉.
c) �′′(�)=∑
(−1)
�+1
�(�−1)(??????−5)
�−2
� 5
�
∞
�=3
=∑
(−1)
�+1
(�−1)(??????−5)
�−2
5
�
∞
�=3
El intervalo inicial de convergencia de �′′(�) es 〈0;10〉.
Para �=0, la serie queda �′′(0)=∑
(−1)
�+1
(�−1) (0−5)
�−2
5
�
∞
�=3
=∑
(−1)
�+1
(�−1)(−1)
�−2
5
�−2
5
�−2
5
2
∞
�=3
=
∑
(−1)
2�−1
(�−1)5
�−2
5
�−2
5
2
∞
�=3
=−∑
(�−1)
25
∞
�=3
.
La cual es una serie divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: �′′(10)=∑
(−1)
�+1
(�−1)(10−5)
�−2
5
�
∞
�=3
=∑
(−1)
�+1
(5)
�−2
5
�−2
5
2
∞
�=3
=
∑
(−1)
�+1
(�−1)
25
∞
�=3
La cual es una serie alternada divergente. No se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será 〈0;10〉.
d) ∫�(�)��=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�+1
�(�+1) 5
�
∞
�=1
+�
0
El intervalo inicial de convergencia de ∫�(�)�� es 〈0;10〉.
Para �=0, la serie queda: ??????(0)=∑
(−1)
�+1
(0−5)
�+1
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(−1)
�+1
5
�+1
�(�+1) 5
�
∞
�=1
=
∑
(−1)
2�+2
5
�
5
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
5
�(�+1)
∞
�=1
(−1)
�+1
(0−5)
�−1
5
�
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
(−1)
�−1
5
�−1
5
�
∞
�=2
=
∑
(−1)
�+1
(−1)
�−1
5
�−1
5
�−1
5
∞
�=2
=∑
(−1)
2�
5
∞
�=2
=∑
1
5
∞
�=2
.
La cual es la serie constante divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: �′(10)=∑
(−1)
�+1
(10−5)
�−1
5
�
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
(5)
�−1
5
�−1
5
∞
�=2
=∑
(−1)
�+1
5
∞
�=2
La cual es una serie alternada divergente. No se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será ??????=〈0;10〉.
c) �′′(�)=∑
(−1)
�+1
�(�−1)(??????−5)
�−2
� 5
�
∞
�=3
=∑
(−1)
�+1
(�−1)(??????−5)
�−2
5
�
∞
�=3
El intervalo inicial de convergencia de �′′(�) es 〈0;10〉.
Para �=0, la serie queda �′′(0)=∑
(−1)
�+1
(�−1) (0−5)
�−2
5
�
∞
�=3
=∑
(−1)
�+1
(�−1)(−1)
�−2
5
�−2
5
�−2
5
2
∞
�=3
=
∑
(−1)
2�−1
(�−1)5
�−2
5
�−2
5
2
∞
�=3
=−∑
(�−1)
25
∞
�=3
.
La cual es una serie divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: �′′(10)=∑
(−1)
�+1
(�−1)(10−5)
�−2
5
�
∞
�=3
=∑
(−1)
�+1
(5)
�−2
5
�−2
5
2
∞
�=3
=
∑
(−1)
�+1
(�−1)
25
∞
�=3
La cual es una serie alternada divergente. No se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será 〈0;10〉.
d) ∫�(�)��=∑
(−1)
�+1
(??????−5)
�+1
�(�+1) 5
�
∞
�=1
+�
0
El intervalo inicial de convergencia de ∫�(�)�� es 〈0;10〉.
Para �=0, la serie queda: ??????(0)=∑
(−1)
�+1
(0−5)
�+1
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(−1)
�+1
5
�+1
�(�+1) 5
�
∞
�=1
=
∑
(−1)
2�+2
5
�
5
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
5
�(�+1)
∞
�=1
La cual es una serie convergente, por el criterio de comparación directa con la p-serie ∑
1
�
2
∞
�=1
. Se
cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: ??????(10)=∑
(−1)
�+1
(10−5)
�+1
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(5)
�+1
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
5
�
5
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
5
�(�+1)
∞
�=1
La cual es una serie alternada convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será ??????=[0;10].
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS .
OBSERVACIÓN 1. Se pueden plantear las siguientes cuestiones para una función real �=�(�):
a) ¿Podrá ser representada por una serie de potencias? �(�)=�
??????
2
b) ¿Cuál será la serie que la representa? �(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
c) ¿En qué intervalo (o ���(�)) la representa? ??????=〈�;�〉
TEOREMA 1 (Serie de Potencias Geométrica). Para una función de la forma �(�)=
�
??????−�
, la serie de
potencias:
a) Centrada en �=0 es dada por: �(�)=
�
??????−�
=
−�
�
∑(
??????
�
)
�
∞
�=0
b) Centrada en �≠0 es dada por: �(�)=
�
??????−�
=
−�
�−�
∑(
??????−�
�−�
)
�
∞
�=0
Su radio de convergencia es: �=|�−�|
TEOREMA 2 (Operaciones con Series de Potencias). Dadas las series de potencias �(�)=∑�
��
�∞
�=0
y �(�)=∑�
��
�∞
�=0
, verifican las siguientes propiedades:
a) �(??????�)=∑�
�??????
�
�
�∞
�=0
, ??????∈� b) �(�
??????
)=∑�
��
??????�∞
�=0
, ??????∈�
c) �(�)+�(�)=∑(�
�+�
�)�
�∞
�=0
d) �(�)−�(�)=∑(�
�−�
�)�
�∞
�=0
1
�
2
∞
�=1
. Se
cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para �=10, la serie queda: ??????(10)=∑
(−1)
�+1
(10−5)
�+1
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
(5)
�+1
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
5
�
5
�(�+1)5
�
∞
�=1
=∑
(−1)
�+1
5
�(�+1)
∞
�=1
La cual es una serie alternada convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será ??????=[0;10].
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS .
OBSERVACIÓN 1. Se pueden plantear las siguientes cuestiones para una función real �=�(�):
a) ¿Podrá ser representada por una serie de potencias? �(�)=�
??????
2
b) ¿Cuál será la serie que la representa? �(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
c) ¿En qué intervalo (o ���(�)) la representa? ??????=〈�;�〉
TEOREMA 1 (Serie de Potencias Geométrica). Para una función de la forma �(�)=
�
??????−�
, la serie de
potencias:
a) Centrada en �=0 es dada por: �(�)=
�
??????−�
=
−�
�
∑(
??????
�
)
�
∞
�=0
b) Centrada en �≠0 es dada por: �(�)=
�
??????−�
=
−�
�−�
∑(
??????−�
�−�
)
�
∞
�=0
Su radio de convergencia es: �=|�−�|
TEOREMA 2 (Operaciones con Series de Potencias). Dadas las series de potencias �(�)=∑�
��
�∞
�=0
y �(�)=∑�
��
�∞
�=0
, verifican las siguientes propiedades:
a) �(??????�)=∑�
�??????
�
�
�∞
�=0
, ??????∈� b) �(�
??????
)=∑�
��
??????�∞
�=0
, ??????∈�
c) �(�)+�(�)=∑(�
�+�
�)�
�∞
�=0
d) �(�)−�(�)=∑(�
�−�
�)�
�∞
�=0
e) �(�)�(�)=(∑�
��
�∞
�=0
)(∑�
��
�∞
�=0
)
EJEMPLO 1. Hallar la serie de potencias para cada función:
a) �(�)=
1
1−??????
, centrada en �=0.
b) �(�)=
2
??????+3
, centrada en �=0.
c) �(�)=
3
4−??????
, centrada en �=−2.
d) �(�)=
3??????
??????
2
+??????−2
, centrada en �=0.
Solución.
a) �(�)=
1
1−??????
=
−1
??????−1
, centrada en �=0, �=−1, �=1.
Luego �(�)=
1
1−??????
=
−1
??????−1
=
−(−1)
1
∑(
??????
1
)
�
∞
�=0
= ∑�
�∞
�=0
.
El radio de convergencia es �=|�−�| =|1−0| = 1.
Finalmente �(�)=
−1
??????−1
=∑�
�∞
�=0
= 1+�+�
2
+�
3
+⋯+�
�
+⋯
El radio de convergencia es �=1 y el intervalo de convergencia es ??????=〈−1;1〉.
b) �(�)=
2
??????+3
=
2
??????−(−3)
, centrada en �=0, �=2, �=−3.
Luego �(�)=
2
??????+3
=
2
??????−(−3)
=
−2
−3
∑(
??????
−3
)
�
∞
�=0
=
2
3
∑(
??????
−3
)
�
∞
�=0
=
2
3
∑
(−1)
�
??????
�
3
�
∞
�=0
El radio de convergencia es �=|�−�| =|−3−0| = 3.
Finalmente �(�)=
2
??????+3
=∑
(−1)
�
??????
�
3
�
∞
�=0
=
2
3
(1−
??????
3
+
??????
2
9
−
??????
3
27
+⋯+
??????
�
3
�
+⋯)
El radio de convergencia es �=3 y el intervalo de convergencia es ??????=〈−3;3〉.
c) �(�)=
3
4−??????
=
−3
??????−4
, centrada en �=−2, �=−2, �=4.
��
�∞
�=0
)(∑�
��
�∞
�=0
)
EJEMPLO 1. Hallar la serie de potencias para cada función:
a) �(�)=
1
1−??????
, centrada en �=0.
b) �(�)=
2
??????+3
, centrada en �=0.
c) �(�)=
3
4−??????
, centrada en �=−2.
d) �(�)=
3??????
??????
2
+??????−2
, centrada en �=0.
Solución.
a) �(�)=
1
1−??????
=
−1
??????−1
, centrada en �=0, �=−1, �=1.
Luego �(�)=
1
1−??????
=
−1
??????−1
=
−(−1)
1
∑(
??????
1
)
�
∞
�=0
= ∑�
�∞
�=0
.
El radio de convergencia es �=|�−�| =|1−0| = 1.
Finalmente �(�)=
−1
??????−1
=∑�
�∞
�=0
= 1+�+�
2
+�
3
+⋯+�
�
+⋯
El radio de convergencia es �=1 y el intervalo de convergencia es ??????=〈−1;1〉.
b) �(�)=
2
??????+3
=
2
??????−(−3)
, centrada en �=0, �=2, �=−3.
Luego �(�)=
2
??????+3
=
2
??????−(−3)
=
−2
−3
∑(
??????
−3
)
�
∞
�=0
=
2
3
∑(
??????
−3
)
�
∞
�=0
=
2
3
∑
(−1)
�
??????
�
3
�
∞
�=0
El radio de convergencia es �=|�−�| =|−3−0| = 3.
Finalmente �(�)=
2
??????+3
=∑
(−1)
�
??????
�
3
�
∞
�=0
=
2
3
(1−
??????
3
+
??????
2
9
−
??????
3
27
+⋯+
??????
�
3
�
+⋯)
El radio de convergencia es �=3 y el intervalo de convergencia es ??????=〈−3;3〉.
c) �(�)=
3
4−??????
=
−3
??????−4
, centrada en �=−2, �=−2, �=4.
Luego �(�)=
3
4−??????
=
−3
??????−4
=
−(−3)
4−(−2)
∑(
??????−(−2)
4−(−2)
)
�
∞
�=0
=
3
6
∑(
??????+2
6
)
�
∞
�=0
=
1
2
∑(
??????+2
6
)
�
∞
�=0
El radio de convergencia es �=|�−�| =|4−(−2)| = 6.
Finalmente �(�)=
3
4−??????
=
−3
??????−4
=
1
2
∑(
??????+2
6
)
�
∞
�=0
=
1
2
(1−
??????+2
6
+
(??????+2)
2
6
2
−
(??????+2)
3
6
3
+⋯+
(??????+2)
�
6
�
+⋯)
El radio de convergencia es �=6 y el intervalo de convergencia es ??????=〈−8;4〉.
d) �(�)=
3??????
??????
2
+??????−2
, centrada en �=0, usando fracciones parciales.
Entonces �(�)=
3??????
??????
2
+??????−2
=
�
??????+2
+
�
??????−1
=
2
??????+2
+
1
??????−1
=
2
??????−(−2)
+
1
??????−1
=
−2
−2
∑(
??????
−2
)
�
+
−1
1
∑(
??????
1
)
�
∞
�=0
∞
�=0
= ∑
(−1)
�
??????
�
2
�
−∑�
�∞
�=0
∞
�=0
= ∑(
(−1)
�
2
�
−1)�
�∞
�=0
= −(
3??????
2
+
3??????
2
4
+
9??????
2
8
+
15??????
3
16
+⋯)
El radio de convergencia de
2
??????+2
es �
1=|�−�| =|−2−0| = 2, el intervalo será ??????
1=〈−2;2〉
El radio de convergencia de
1
??????−1
es �
2=|�−�|=|1−0| =|1| = 1, el intervalo será ??????
2=〈−1;1〉
De aquí, el intervalo final es la intersección de los intervalos y será ??????
1∩??????
2=〈−1;1〉
EJEMPLO 2. Hallar la serie de potencias para �(�)=�� � por integración de la serie dada para �(�)=
1
??????
centrada en �=1. Muestre el intervalo completo de convergencia.
Solución.
Hallando la serie para �(�)=
1
??????
, �=1, �=1, �=0.
Luego �(�)=
1
??????
=
1
??????−0
=
−1
0−1
∑(
??????−1)
0−1
)
�
∞
�=0
= ∑(−1)
�
(�−1)
�∞
�=0
.
El radio de convergencia es �=|�−�| =|0−1| = 1. El intervalo de convergencia es ??????=〈0;2〉.
Ahora, integrando �(�)=
1
??????
=∑(−1)
�
(�−1)
�∞
�=0
para hallar la serie de potencias de �(�)=���
3
4−??????
=
−3
??????−4
=
−(−3)
4−(−2)
∑(
??????−(−2)
4−(−2)
)
�
∞
�=0
=
3
6
∑(
??????+2
6
)
�
∞
�=0
=
1
2
∑(
??????+2
6
)
�
∞
�=0
El radio de convergencia es �=|�−�| =|4−(−2)| = 6.
Finalmente �(�)=
3
4−??????
=
−3
??????−4
=
1
2
∑(
??????+2
6
)
�
∞
�=0
=
1
2
(1−
??????+2
6
+
(??????+2)
2
6
2
−
(??????+2)
3
6
3
+⋯+
(??????+2)
�
6
�
+⋯)
El radio de convergencia es �=6 y el intervalo de convergencia es ??????=〈−8;4〉.
d) �(�)=
3??????
??????
2
+??????−2
, centrada en �=0, usando fracciones parciales.
Entonces �(�)=
3??????
??????
2
+??????−2
=
�
??????+2
+
�
??????−1
=
2
??????+2
+
1
??????−1
=
2
??????−(−2)
+
1
??????−1
=
−2
−2
∑(
??????
−2
)
�
+
−1
1
∑(
??????
1
)
�
∞
�=0
∞
�=0
= ∑
(−1)
�
??????
�
2
�
−∑�
�∞
�=0
∞
�=0
= ∑(
(−1)
�
2
�
−1)�
�∞
�=0
= −(
3??????
2
+
3??????
2
4
+
9??????
2
8
+
15??????
3
16
+⋯)
El radio de convergencia de
2
??????+2
es �
1=|�−�| =|−2−0| = 2, el intervalo será ??????
1=〈−2;2〉
El radio de convergencia de
1
??????−1
es �
2=|�−�|=|1−0| =|1| = 1, el intervalo será ??????
2=〈−1;1〉
De aquí, el intervalo final es la intersección de los intervalos y será ??????
1∩??????
2=〈−1;1〉
EJEMPLO 2. Hallar la serie de potencias para �(�)=�� � por integración de la serie dada para �(�)=
1
??????
centrada en �=1. Muestre el intervalo completo de convergencia.
Solución.
Hallando la serie para �(�)=
1
??????
, �=1, �=1, �=0.
Luego �(�)=
1
??????
=
1
??????−0
=
−1
0−1
∑(
??????−1)
0−1
)
�
∞
�=0
= ∑(−1)
�
(�−1)
�∞
�=0
.
El radio de convergencia es �=|�−�| =|0−1| = 1. El intervalo de convergencia es ??????=〈0;2〉.
Ahora, integrando �(�)=
1
??????
=∑(−1)
�
(�−1)
�∞
�=0
para hallar la serie de potencias de �(�)=���
∫
1
??????
�� = ∫∑(−1)
�
(�−1)
�∞
�=0
��
�� � =∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
+�
0.
Para hallar el valor de �
0 , se usa �=1: �� 1=�
0, de donde �
0=0.
Luego: �(�)=�� � = ∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
y su intervalo inicial de convergencia es 〈0;2〉,
analizando los extremos:
Si �=0, la serie no existe. No se cierra el lado izquierdo.
Si �=2, la serie queda �� 2 =∑
(−1)
�
�+1
(2−1)
�+1∞
�=0
= ∑
(−1)
�
�+1
∞
�=0
la cual es una serie alternada
convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente la serie es �� � = ∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
y el intervalo de convergencia es ??????=⟨0;2].
�(�)=�� � =∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
�� 2� = ∑
(−1)
�
�+1
(2�−1)
�+1∞
�=0
�� �
2
= ∑
(−1)
�
�+1
(�
2
−1)
�+1∞
�=0
�� √� = ∑
(−1)
�
�+1
(√�−1)
�+1∞
�=0
SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE MACLAURIN. SERIE TELESCÓPICA, SERIE BINOMICA, OTRAS.
TEOREMA. Sea � una función real que es representada por una serie de potencias centrada en �:
�(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
= �
0+�
1(�−�)+�
2(�−�)
2
+�
3(�−�)
3
…+�
�(�−�)
�
+⋯ para
todo �????????????, interalo abierto con �∈??????, entonces �
�=
�
(�)
(�)
�!
y además:
�(�)=∑
�
(�)
(�)
�!
(�−�)
�∞
�=0
=�(�)+�′(�)(�−�)+
�′′(�)
2!
(�−�)
2
+
�′′′(�)
3!
(�−�)
3
…+
�
(�)
(�)
�!
(�−
�)
�
+⋯
1
??????
�� = ∫∑(−1)
�
(�−1)
�∞
�=0
��
�� � =∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
+�
0.
Para hallar el valor de �
0 , se usa �=1: �� 1=�
0, de donde �
0=0.
Luego: �(�)=�� � = ∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
y su intervalo inicial de convergencia es 〈0;2〉,
analizando los extremos:
Si �=0, la serie no existe. No se cierra el lado izquierdo.
Si �=2, la serie queda �� 2 =∑
(−1)
�
�+1
(2−1)
�+1∞
�=0
= ∑
(−1)
�
�+1
∞
�=0
la cual es una serie alternada
convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente la serie es �� � = ∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
y el intervalo de convergencia es ??????=⟨0;2].
�(�)=�� � =∑
(−1)
�
�+1
(�−1)
�+1∞
�=0
�� 2� = ∑
(−1)
�
�+1
(2�−1)
�+1∞
�=0
�� �
2
= ∑
(−1)
�
�+1
(�
2
−1)
�+1∞
�=0
�� √� = ∑
(−1)
�
�+1
(√�−1)
�+1∞
�=0
SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE MACLAURIN. SERIE TELESCÓPICA, SERIE BINOMICA, OTRAS.
TEOREMA. Sea � una función real que es representada por una serie de potencias centrada en �:
�(�)=∑�
�(�−�)
�∞
�=0
= �
0+�
1(�−�)+�
2(�−�)
2
+�
3(�−�)
3
…+�
�(�−�)
�
+⋯ para
todo �????????????, interalo abierto con �∈??????, entonces �
�=
�
(�)
(�)
�!
y además:
�(�)=∑
�
(�)
(�)
�!
(�−�)
�∞
�=0
=�(�)+�′(�)(�−�)+
�′′(�)
2!
(�−�)
2
+
�′′′(�)
3!
(�−�)
3
…+
�
(�)
(�)
�!
(�−
�)
�
+⋯
DEFINICIÓN 1. Sea � una función real tal que posee derivada de todos los órdenes en �=�, entonces
la siguiente es llamada SERIE DE TAYLOR de � en �.
�(�)=∑
�
(�)
(�)
�!
(�−�)
�∞
�=0
�(�) = �(�)+�
′
(�)(�−�)+
�
′′
(�)
2!
(�−�)
2
+
�
′′′
(�)
3!
(�−�)
3
+⋯+
�
(�)
(�)
�!
(�−�)
�
+⋯
Si �=0, entonces la siguiente es llamada SERIE DE MACLAURIN de � en �=0.
�(�)=∑
�
(�)
(0)
�!
�
�∞
�=0
=�(0)+�
′
(0)�+
�
′′
(0)
2!
�
2
+
�
′′′
(0)
3!
�
3
+⋯+
�
(�)
(0)
�!
�
�
+⋯
EJEMPLO 1. Hallar la serie de Maclaurin para cada función dada:
a) �(�)=�
??????
, entrada en �=0
�(�)=�
??????
, �′(�)=�
??????
, �′′(�)=�
??????
, �′′′(�)=�
??????
, �
(4)
(�)=�
??????
, �
(5)
(�)=�
??????
, …
�(0)=1, �′(0)=1, �′′(0)=1, �′′′(0)=1, �
(4)
(0)=1, �
(5)
(0)=1, …
Reemplazando en �(�)=∑
�
(�)
(0)
�!
�
�∞
�=0
=�(0)+�
′
(0)�+
�
′′
(0)
2!
�
2
+
�
′′′
(0)
3!
�
3
+⋯+
�
(�)
(0)
�!
�
�
+⋯
Se tiene: �
??????
=1+�+
??????
2
2!
+
??????
3
3!
+⋯+
??????
�
�!
+⋯ �
??????
=∑
??????
�
�!
∞
�=0
b) �(�)=�
2??????
Por el teorema de operaciones en series de potencias usando (a)
Se tiene: �
2??????
=1+2�+
2
2
??????
2
2!
+
2
3
??????
3
3!
+⋯+
2
�
??????
�
�!
+⋯ �
2??????
=∑
2
�
??????
�
�!
∞
�=0
c) �(�)=�
??????
2
Por el teorema de operaciones en series de potencias usando (a)
�(�)=�
??????
2
= 1+�
2
+
??????
4
2!
+
??????
6
3!
+⋯+
??????
2�
�!
+⋯ �
??????
2
=∑
??????
2�
�!
∞
�=0
d) �(�)=��� �
�(�)=����, �
′
(�)=��� �, �
′′
(�)=−��� �,
la siguiente es llamada SERIE DE TAYLOR de � en �.
�(�)=∑
�
(�)
(�)
�!
(�−�)
�∞
�=0
�(�) = �(�)+�
′
(�)(�−�)+
�
′′
(�)
2!
(�−�)
2
+
�
′′′
(�)
3!
(�−�)
3
+⋯+
�
(�)
(�)
�!
(�−�)
�
+⋯
Si �=0, entonces la siguiente es llamada SERIE DE MACLAURIN de � en �=0.
�(�)=∑
�
(�)
(0)
�!
�
�∞
�=0
=�(0)+�
′
(0)�+
�
′′
(0)
2!
�
2
+
�
′′′
(0)
3!
�
3
+⋯+
�
(�)
(0)
�!
�
�
+⋯
EJEMPLO 1. Hallar la serie de Maclaurin para cada función dada:
a) �(�)=�
??????
, entrada en �=0
�(�)=�
??????
, �′(�)=�
??????
, �′′(�)=�
??????
, �′′′(�)=�
??????
, �
(4)
(�)=�
??????
, �
(5)
(�)=�
??????
, …
�(0)=1, �′(0)=1, �′′(0)=1, �′′′(0)=1, �
(4)
(0)=1, �
(5)
(0)=1, …
Reemplazando en �(�)=∑
�
(�)
(0)
�!
�
�∞
�=0
=�(0)+�
′
(0)�+
�
′′
(0)
2!
�
2
+
�
′′′
(0)
3!
�
3
+⋯+
�
(�)
(0)
�!
�
�
+⋯
Se tiene: �
??????
=1+�+
??????
2
2!
+
??????
3
3!
+⋯+
??????
�
�!
+⋯ �
??????
=∑
??????
�
�!
∞
�=0
b) �(�)=�
2??????
Por el teorema de operaciones en series de potencias usando (a)
Se tiene: �
2??????
=1+2�+
2
2
??????
2
2!
+
2
3
??????
3
3!
+⋯+
2
�
??????
�
�!
+⋯ �
2??????
=∑
2
�
??????
�
�!
∞
�=0
c) �(�)=�
??????
2
Por el teorema de operaciones en series de potencias usando (a)
�(�)=�
??????
2
= 1+�
2
+
??????
4
2!
+
??????
6
3!
+⋯+
??????
2�
�!
+⋯ �
??????
2
=∑
??????
2�
�!
∞
�=0
d) �(�)=��� �
�(�)=����, �
′
(�)=��� �, �
′′
(�)=−��� �,
�
′′′
(�)=−��� �, �
(4)
(�)=��� �, �
(5)
(�)=��� �, …
�(0)=0, �′(0)=1, �′′(0)=0, �
(3)
(0)=−1, �
(4)
(0)=0, �
(5)
(0)=1, …
Reemplazando en �(�)=∑
�
(�)
(0)
�!
�
�∞
�=0
=�(0)+�
′
(0)�+
�
′′
(0)
2!
�
2
+
�
′′′
(0)
3!
�
3
+⋯+
�
(�)
(0)
�!
�
�
+⋯
Se tiene: ��� �=0+�+
0
2!
�
2
+
−1
3!
�
3
+
0
4!
�
4
+⋯+
??????
�
�!
+⋯
��� � = �−
1
3!
�
3
+
1
5!
�
5
−
1
7!
�
7
+⋯+
(−1)
�
??????
2�+1
(2�+1)!
+⋯ ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�+1
(2�+1)!
∞
�=0
e) �(�)=��� �
2
Por el teorema de operaciones en series de potencias
�(�)=��� �
2
= �
2
−
1
3!
�
6
+
1
5!
�
10
−
1
7!
�
14
+⋯+
(−1)
�
??????
2(2�+1)
(2�+1)!
+⋯
��� �
2
=∑
(−1)
�
??????
2(2�+1)
(2�+1)!
∞
�=0
e) �(�)=��� �
Por el teorema de derivada de series usando (d) ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�+1
(2�+1)!
∞
�=0
Derivando: ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�
(2�)!
∞
�=1
��� � = 1−
??????
2
2!
+
??????
4
4!
−
??????
6
6!
+
??????
8
8!
…+
(−1)
�
??????
2�
(2�)!
+⋯ ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�
(2�)!
∞
�=0
EJEMPLO 2. Hallar la serie de Taylor para �(�)=�� �, centrada en �=1.
Solución.
En forma general �(�)=�� �, �′(�)=
1
??????
, �
′′
(�)=
−1
??????
2
, �′′′(�)=
2
??????
3
, �
(4)
(�)=
−6
??????
4
, �
(5)
(�)=
24
??????
5
, …
Reemplazando �=1 �(1)=0, �′(0)=1, �
′′
(0)=−1, �′′′(0)=2, �
(4)
(0)=−6, �
(4)
(0)=24, …
Reemplazando en la siguiente serie general:
′′′
(�)=−��� �, �
(4)
(�)=��� �, �
(5)
(�)=��� �, …
�(0)=0, �′(0)=1, �′′(0)=0, �
(3)
(0)=−1, �
(4)
(0)=0, �
(5)
(0)=1, …
Reemplazando en �(�)=∑
�
(�)
(0)
�!
�
�∞
�=0
=�(0)+�
′
(0)�+
�
′′
(0)
2!
�
2
+
�
′′′
(0)
3!
�
3
+⋯+
�
(�)
(0)
�!
�
�
+⋯
Se tiene: ��� �=0+�+
0
2!
�
2
+
−1
3!
�
3
+
0
4!
�
4
+⋯+
??????
�
�!
+⋯
��� � = �−
1
3!
�
3
+
1
5!
�
5
−
1
7!
�
7
+⋯+
(−1)
�
??????
2�+1
(2�+1)!
+⋯ ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�+1
(2�+1)!
∞
�=0
e) �(�)=��� �
2
Por el teorema de operaciones en series de potencias
�(�)=��� �
2
= �
2
−
1
3!
�
6
+
1
5!
�
10
−
1
7!
�
14
+⋯+
(−1)
�
??????
2(2�+1)
(2�+1)!
+⋯
��� �
2
=∑
(−1)
�
??????
2(2�+1)
(2�+1)!
∞
�=0
e) �(�)=��� �
Por el teorema de derivada de series usando (d) ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�+1
(2�+1)!
∞
�=0
Derivando: ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�
(2�)!
∞
�=1
��� � = 1−
??????
2
2!
+
??????
4
4!
−
??????
6
6!
+
??????
8
8!
…+
(−1)
�
??????
2�
(2�)!
+⋯ ��� �=∑
(−1)
�
??????
2�
(2�)!
∞
�=0
EJEMPLO 2. Hallar la serie de Taylor para �(�)=�� �, centrada en �=1.
Solución.
En forma general �(�)=�� �, �′(�)=
1
??????
, �
′′
(�)=
−1
??????
2
, �′′′(�)=
2
??????
3
, �
(4)
(�)=
−6
??????
4
, �
(5)
(�)=
24
??????
5
, …
Reemplazando �=1 �(1)=0, �′(0)=1, �
′′
(0)=−1, �′′′(0)=2, �
(4)
(0)=−6, �
(4)
(0)=24, …
Reemplazando en la siguiente serie general:
�(�)=∑
�
(�)
(1)
�!
�
�∞
�=0
�(�) = �(1)+�
′
(1)(�−1)+
�
′′
(1)
2!
(�−1)
2
+
�
′′′
(1)
3!
(�−1)
3
+⋯+
�
(�)
(1)
�!
(�−1)
�
+⋯
Se tiene:
�� � = 0+1(�−1)+
−1(??????−1)
2
2!
+
2(??????−1)
3
3!
+
−6(??????−1)
4
4!
+
24(??????−1)
5
5!
+
24(??????−1)
5
5!
+⋯+
(�−1)! (??????−1)
�
�!
+⋯
�� �=(�−1)+
−1(??????−1)
2
2!
+
2! (??????−1)
3
3!
+
−3! (??????−1)
4
4!
+
4! (??????−1)
5
5!
+⋯
(�−1)! (??????−1)
�
�!
+⋯
�� �=(�−1)−
(??????−1)
2
2
+
(??????−1)
3
3
−
(??????−1)
4
4
+
(??????−1)
5
5
…+
(−1)
�+1
(??????−1)
�
�
+⋯
�� �=∑
(−1)
�
(??????−1)
�
�
∞
�=1
LA SERIE BINÓMICA.
EJEMPLO 3. La serie de Maclaurin para �(�)=(1+�)
??????
es llamada SERIE BINÓMICA y resulta ser
dada por:
�(�)=(1+�)
??????
=1+
????????????
1!
+
??????(??????−1)??????
2
2!
+
??????(??????−1)(??????−2)??????
3
3!
y converge para ??????=〈−1;1〉.
a) En particular si ??????∈� la serie binómica es finita.
Si ??????=2, �(�)=(1+�)
2
=1+2�+�
2
.
Si ??????=3, �(�)=(1+�)
3
=1+3�+3�
2
+�
3
.
b) Hallar la serie de potencias para �(�)=(1+�)
1/3
, ??????=
1
3
.
�(�)=(1+�)
1/3
=1+
1
3
�+
1
3
−2
3
??????
2
2!
+
1
3
−2
3
−5
3
??????
3
3!
+
1
3
−2
3
−5
3
−8
3
??????
4
4!
+⋯
�(�)=(1+�)
1/3
=1+
1
3
�−
2
3
2
??????
2
2!
+
2∙5
3
3
??????
3
3!
−
2∙5∙8
3
4
??????
4
4!
+
2∙5∙8∙11
3
5
??????
5
5!
+⋯
c) Hallar la serie de potencias para �(�)=(1+�
2
)
1/3
, ??????=
1
3
.
Usando la parte (b) anterior se tiene:
�
(�)
(1)
�!
�
�∞
�=0
�(�) = �(1)+�
′
(1)(�−1)+
�
′′
(1)
2!
(�−1)
2
+
�
′′′
(1)
3!
(�−1)
3
+⋯+
�
(�)
(1)
�!
(�−1)
�
+⋯
Se tiene:
�� � = 0+1(�−1)+
−1(??????−1)
2
2!
+
2(??????−1)
3
3!
+
−6(??????−1)
4
4!
+
24(??????−1)
5
5!
+
24(??????−1)
5
5!
+⋯+
(�−1)! (??????−1)
�
�!
+⋯
�� �=(�−1)+
−1(??????−1)
2
2!
+
2! (??????−1)
3
3!
+
−3! (??????−1)
4
4!
+
4! (??????−1)
5
5!
+⋯
(�−1)! (??????−1)
�
�!
+⋯
�� �=(�−1)−
(??????−1)
2
2
+
(??????−1)
3
3
−
(??????−1)
4
4
+
(??????−1)
5
5
…+
(−1)
�+1
(??????−1)
�
�
+⋯
�� �=∑
(−1)
�
(??????−1)
�
�
∞
�=1
LA SERIE BINÓMICA.
EJEMPLO 3. La serie de Maclaurin para �(�)=(1+�)
??????
es llamada SERIE BINÓMICA y resulta ser
dada por:
�(�)=(1+�)
??????
=1+
????????????
1!
+
??????(??????−1)??????
2
2!
+
??????(??????−1)(??????−2)??????
3
3!
y converge para ??????=〈−1;1〉.
a) En particular si ??????∈� la serie binómica es finita.
Si ??????=2, �(�)=(1+�)
2
=1+2�+�
2
.
Si ??????=3, �(�)=(1+�)
3
=1+3�+3�
2
+�
3
.
b) Hallar la serie de potencias para �(�)=(1+�)
1/3
, ??????=
1
3
.
�(�)=(1+�)
1/3
=1+
1
3
�+
1
3
−2
3
??????
2
2!
+
1
3
−2
3
−5
3
??????
3
3!
+
1
3
−2
3
−5
3
−8
3
??????
4
4!
+⋯
�(�)=(1+�)
1/3
=1+
1
3
�−
2
3
2
??????
2
2!
+
2∙5
3
3
??????
3
3!
−
2∙5∙8
3
4
??????
4
4!
+
2∙5∙8∙11
3
5
??????
5
5!
+⋯
c) Hallar la serie de potencias para �(�)=(1+�
2
)
1/3
, ??????=
1
3
.
Usando la parte (b) anterior se tiene:
�(�)=(1+�
2
)
1/3
=1+
1
3
�
2
−
2
3
2
??????
4
2!
+
2∙5
3
3
??????
6
3!
−
2∙5∙8
3
4
??????
8
4!
+
2∙5∙8∙11
3
5
??????
10
5!
+⋯
OBSERVACIÓN.
Se observa que diversas funciones reales pueden ser representadas por una serie infinita en un
intervalo dado; �=�(�) en el intevalo de covergencia ??????.
A partir de series básicas conocidas se pueden obtener otras funciones usando:
- Las operaciones elementales con series.
- Derivación de series.
- Integración de series.
- Cambio de variable en series.
-
LISTADO DE SERIES REPRESENTANDO A FUNCIONES .
LA SERIE EXPONENCIAL.
a) �
??????
= 1+� �� �+
1
2!
(� �� �)
2
+
1
3!
(� �� �)
3
+⋯
b) �
??????
= 1+�+
??????
2
2!
+
??????
3
3!
+⋯
c) ���ℎ � =
1
2
(�
??????
−�
−??????
) = 1+�+
??????
3
3!
+
??????
5
5!
+⋯
d) ���ℎ � =
1
2
(�
??????
+�
−??????
) = 1+
??????
2
2!
+
??????
4
4!
+⋯
e) �
−??????
2
= 1−�
2
+
??????
4
2!
+
??????
6
3!
+
??????
8
4!
+⋯
LA SERIE LOGARÍTMICA.
a) �� � = (�−1)−
1
2
(�−2)
2
+
1
3
(�−1)
3
−⋯ , 0<�<2
b) ��(1+�) = �−
??????
2
2
+
??????
3
3
−
??????
4
4
… , 1<�<∞
LAS SERIES TRIGONOMÉTRICAS .
a) ��� � = �−
??????
3
3!
+
??????
5
5!
−
??????
7
7!
+⋯ b) ��� � = 1−
??????
2
2!
+
??????
4
4!
−
??????
6
6!
+⋯
2
)
1/3
=1+
1
3
�
2
−
2
3
2
??????
4
2!
+
2∙5
3
3
??????
6
3!
−
2∙5∙8
3
4
??????
8
4!
+
2∙5∙8∙11
3
5
??????
10
5!
+⋯
OBSERVACIÓN.
Se observa que diversas funciones reales pueden ser representadas por una serie infinita en un
intervalo dado; �=�(�) en el intevalo de covergencia ??????.
A partir de series básicas conocidas se pueden obtener otras funciones usando:
- Las operaciones elementales con series.
- Derivación de series.
- Integración de series.
- Cambio de variable en series.
-
LISTADO DE SERIES REPRESENTANDO A FUNCIONES .
LA SERIE EXPONENCIAL.
a) �
??????
= 1+� �� �+
1
2!
(� �� �)
2
+
1
3!
(� �� �)
3
+⋯
b) �
??????
= 1+�+
??????
2
2!
+
??????
3
3!
+⋯
c) ���ℎ � =
1
2
(�
??????
−�
−??????
) = 1+�+
??????
3
3!
+
??????
5
5!
+⋯
d) ���ℎ � =
1
2
(�
??????
+�
−??????
) = 1+
??????
2
2!
+
??????
4
4!
+⋯
e) �
−??????
2
= 1−�
2
+
??????
4
2!
+
??????
6
3!
+
??????
8
4!
+⋯
LA SERIE LOGARÍTMICA.
a) �� � = (�−1)−
1
2
(�−2)
2
+
1
3
(�−1)
3
−⋯ , 0<�<2
b) ��(1+�) = �−
??????
2
2
+
??????
3
3
−
??????
4
4
… , 1<�<∞
LAS SERIES TRIGONOMÉTRICAS .
a) ��� � = �−
??????
3
3!
+
??????
5
5!
−
??????
7
7!
+⋯ b) ��� � = 1−
??????
2
2!
+
??????
4
4!
−
??????
6
6!
+⋯
c) ��� � = �+
??????
3
3
+
2??????
5
15
+
17??????
7
315
+
62??????
9
2835
+⋯ , �
2
<
??????
2
4
LAS SERIES LOGARÍTMICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .
a) ��(��� �) = �� �−
??????
2
6
−
??????
4
180
+
??????
6
2835
+⋯ , �
2
<??????
2
b) ��(��� �) = −
??????
2
2
−
??????
4
12
−
??????
6
45
−
17??????
8
2520
−⋯ , �
2
<
??????
2
4
c) ��(��� �) = �� �+
??????
2
3
+
7??????
4
90
+
62??????
6
2835
+⋯ , �
2
<
??????
2
4
LAS SERIES EXPONENCIALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .
a) �
��� ??????
= 1+�+
??????
2
2!
−
3??????
4
4!
−
8??????
5
5!
+
3??????
6
6!
+⋯
b) �
��� ??????
= �(1−
??????
2
2!
+
4??????
4
4!
−
31??????
6
6!
+⋯)
c) �
���??????
= 1+�+
??????
2
2!
+
3??????
3
3!
+
9??????
4
4!
+
37??????
5
5!
+⋯
EJERCICIOS PROPUESTOS.
PARTE 1.
1. Escribir los diez primeros términos de la sucesión cuyo término general se da:
a) an= 2
n b) an= n
2
1 c) an= )!1(
!2
n
n
d) an= 2
11
nn
e) an= 12
4
2
n
n f) an= n
1
3
2. Graficar las sucesiones que se dan en el ejercicio 1 anterior.
3. Demostrar:
??????
3
3
+
2??????
5
15
+
17??????
7
315
+
62??????
9
2835
+⋯ , �
2
<
??????
2
4
LAS SERIES LOGARÍTMICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .
a) ��(��� �) = �� �−
??????
2
6
−
??????
4
180
+
??????
6
2835
+⋯ , �
2
<??????
2
b) ��(��� �) = −
??????
2
2
−
??????
4
12
−
??????
6
45
−
17??????
8
2520
−⋯ , �
2
<
??????
2
4
c) ��(��� �) = �� �+
??????
2
3
+
7??????
4
90
+
62??????
6
2835
+⋯ , �
2
<
??????
2
4
LAS SERIES EXPONENCIALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .
a) �
��� ??????
= 1+�+
??????
2
2!
−
3??????
4
4!
−
8??????
5
5!
+
3??????
6
6!
+⋯
b) �
��� ??????
= �(1−
??????
2
2!
+
4??????
4
4!
−
31??????
6
6!
+⋯)
c) �
���??????
= 1+�+
??????
2
2!
+
3??????
3
3!
+
9??????
4
4!
+
37??????
5
5!
+⋯
EJERCICIOS PROPUESTOS.
PARTE 1.
1. Escribir los diez primeros términos de la sucesión cuyo término general se da:
a) an= 2
n b) an= n
2
1 c) an= )!1(
!2
n
n
d) an= 2
11
nn
e) an= 12
4
2
n
n f) an= n
1
3
2. Graficar las sucesiones que se dan en el ejercicio 1 anterior.
3. Demostrar:
a) Que la sucesión {an}, con an=n
n1 converge a 1.
b) Que la sucesión {an}, con an=n
3
2 converge a 0.
4. Escriba el término general para cada sucesión dada:
a) ;...
16
2421
;
8
81
;
4
27
;
2
9
;3
b) ;...
42
5
;
30
4
;
20
3
;
12
2
;
6
1 c) ;...
8
1
;
4
1
;
2
1
;1;2
5. Determinar si es convergente o divergente cada sucesión, cuyo término general se da. Si es
convergente, hallar el límite:
a) an=n
n1 b) an=1n
n
c) an=n
n
)1(1 d) an=!
)!2(
n
n
6. Determinar si la sucesión, cuyo término general se da, es monótona:
a) an=1
4
n
n b) an=n
3
2 c) an= Sen(n/6).
7. Probar que la sucesión, de término general dado, converge, use el teorema de las sucesiones
monótonas y hallar su límite:
a) an=n
4
3 b) an=n
2
1
4
8. Calcular el límite de las siguientes sucesiones, correspondientes al término general que se da.
a) an= 2
13
n
n b) an= 1
)1(
n
n
n c) an= n
n
e
2
d) an= )(nCose
n e) an=1+(0,9)
n
n1 converge a 1.
b) Que la sucesión {an}, con an=n
3
2 converge a 0.
4. Escriba el término general para cada sucesión dada:
a) ;...
16
2421
;
8
81
;
4
27
;
2
9
;3
b) ;...
42
5
;
30
4
;
20
3
;
12
2
;
6
1 c) ;...
8
1
;
4
1
;
2
1
;1;2
5. Determinar si es convergente o divergente cada sucesión, cuyo término general se da. Si es
convergente, hallar el límite:
a) an=n
n1 b) an=1n
n
c) an=n
n
)1(1 d) an=!
)!2(
n
n
6. Determinar si la sucesión, cuyo término general se da, es monótona:
a) an=1
4
n
n b) an=n
3
2 c) an= Sen(n/6).
7. Probar que la sucesión, de término general dado, converge, use el teorema de las sucesiones
monótonas y hallar su límite:
a) an=n
4
3 b) an=n
2
1
4
8. Calcular el límite de las siguientes sucesiones, correspondientes al término general que se da.
a) an= 2
13
n
n b) an= 1
)1(
n
n
n c) an= n
n
e
2
d) an= )(nCose
n e) an=1+(0,9)
n
f) an=;...
5/15
4
;
4/14
3
;
3/13
2
;
2/12
1
9. Considerar la sucesión {An} cuyo término general es An= n
r
12
1 , donde P es la inversión; An
el capital tras n meses de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés. ¿Es convergente?;
Halla sus ocho primeros términos para P=5000$ y r=0,112.
10. Considerar la sucesión {Bn} cuyo término general es Bn= n
r
6
1 , donde P es la inversión; Bn
el capital tras n bimestres de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés. ¿Es convergente?;
Halla sus ocho primeros términos para P=5000$ y r=0,1125.
11. Si el precio promedio de un coche nuevo crece un 6,5% al año y es ahora de 14000$, el precio
promedio tras n años será: Pn=14000(1,065)
n .
Calcular el precio promedio para los ocho primeros años venideros.
PARTE 2.
1. Para la serie dada hallar sus cinco primeras sumas parciales:
a. ...
9
1
7
1
5
1
3
1
1 b.
1
1
2
3
n
n
2. Verifique que la serie es divergente:
a. ...
16
2421
8
81
4
27
2
9
3 b.
1
2
1nn
n c.
13
4
k
k
3. Verificar que la serie dada converge:
5/15
4
;
4/14
3
;
3/13
2
;
2/12
1
9. Considerar la sucesión {An} cuyo término general es An= n
r
12
1 , donde P es la inversión; An
el capital tras n meses de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés. ¿Es convergente?;
Halla sus ocho primeros términos para P=5000$ y r=0,112.
10. Considerar la sucesión {Bn} cuyo término general es Bn= n
r
6
1 , donde P es la inversión; Bn
el capital tras n bimestres de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés. ¿Es convergente?;
Halla sus ocho primeros términos para P=5000$ y r=0,1125.
11. Si el precio promedio de un coche nuevo crece un 6,5% al año y es ahora de 14000$, el precio
promedio tras n años será: Pn=14000(1,065)
n .
Calcular el precio promedio para los ocho primeros años venideros.
PARTE 2.
1. Para la serie dada hallar sus cinco primeras sumas parciales:
a. ...
9
1
7
1
5
1
3
1
1 b.
1
1
2
3
n
n
2. Verifique que la serie es divergente:
a. ...
16
2421
8
81
4
27
2
9
3 b.
1
2
1nn
n c.
13
4
k
k
3. Verificar que la serie dada converge:
a. ...
8
1
4
1
2
1
12 b.
0
6,0
k
k c.
1 )3)(2(
1
k kk
4. Hallar la suma de la serie convergente que se indica:
a.
03
2
2
n
n b.
02
2
2
n
n c.
0 3
1
2
1
n
nn
5. Miscelánea. Determine si la serie dada converge o no.
a.
1 110
10
nn
n b.
0
9,0100
n
n
c.
2)ln(nn
n d.
1
22
3
)1(
3
n kk
6. Se deja caer una pelota desde una altura de 100 pies. Cada vez que golpea el piso rebota a 2/3 de
su altura anterior. Encuentre la distancia total que recorre.
7. Una empresa espera vender 8000 unidades de un producto nuevo al año. Supongamos que en
cualquier periodo de un año el 25% de las unidades (independientemente de su edad) quedarán
fuera de uso. ¿Cuántas unidades seguirán en uso tras n años?
PARTE 3.
1. Determine la convergencia o divergencia de la p–serie siguiente:
a.
1
5
nn
n b.
1
75,1
nn
n c.
1
1
kkk
2. Determine la convergencia o divergencia de la serie dada mediante el criterio de la integral:
a. ...
5
5ln
4
4ln
3
3ln
2
2ln
b.
1
2
1k k
k c.
1
2
)2(
1
kk
3. Miscelánea. Determinar la convergencia o divergencia de la serie dada:
8
1
4
1
2
1
12 b.
0
6,0
k
k c.
1 )3)(2(
1
k kk
4. Hallar la suma de la serie convergente que se indica:
a.
03
2
2
n
n b.
02
2
2
n
n c.
0 3
1
2
1
n
nn
5. Miscelánea. Determine si la serie dada converge o no.
a.
1 110
10
nn
n b.
0
9,0100
n
n
c.
2)ln(nn
n d.
1
22
3
)1(
3
n kk
6. Se deja caer una pelota desde una altura de 100 pies. Cada vez que golpea el piso rebota a 2/3 de
su altura anterior. Encuentre la distancia total que recorre.
7. Una empresa espera vender 8000 unidades de un producto nuevo al año. Supongamos que en
cualquier periodo de un año el 25% de las unidades (independientemente de su edad) quedarán
fuera de uso. ¿Cuántas unidades seguirán en uso tras n años?
PARTE 3.
1. Determine la convergencia o divergencia de la p–serie siguiente:
a.
1
5
nn
n b.
1
75,1
nn
n c.
1
1
kkk
2. Determine la convergencia o divergencia de la serie dada mediante el criterio de la integral:
a. ...
5
5ln
4
4ln
3
3ln
2
2ln
b.
1
2
1k k
k c.
1
2
)2(
1
kk
3. Miscelánea. Determinar la convergencia o divergencia de la serie dada:
a.
1
2
1
1
nnn b.
1
1
1
n
n
n c.
1
2
2
11
k
k
k d.
1
)/1(
k
kSenk
4. Usar el criterio de comparación directa para decidir la convergencia o divergencia:
a.
113
1
n
n b.
1
4
1n nn c.
1!
1
nn d.
1 1
4
nn
5. Usar el criterio de comparación en el límite para determinar si cada serie es o no convergente:
a.
0
2
1
1
nn
b.
1
2
)ln(
nn
n c.
1
2
12
nn
n d.
1
1
2)1(n
n
n
n
6. Miscelánea. Discutir la convergencia usando alguno de los criterios estudiados:
a.
05
1
5
n
n b.
1
25
3
14
34
n nn
nn
c.
1)!2(n
n
n
n d.
1 )3(
3
nnn
PARTE 4.
1. Desarrolle cada serie dada hasta su sexto término:
a.
03
)(
n
n
x
xf b.
0)!3(
)2(
)(
n
n
n
x
xf c.
1
1
1
)(
)(
n
n
n
c
cx
xf .
2. Encuentre una fórmula para el n-ésimo término en cada serie:
a. ...
!3
)2(
!2
)2(
)2(1
32
xx
x
b. ...
5432
1
5432
xxxx
x
3. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos terminales:
1
2
1
1
nnn b.
1
1
1
n
n
n c.
1
2
2
11
k
k
k d.
1
)/1(
k
kSenk
4. Usar el criterio de comparación directa para decidir la convergencia o divergencia:
a.
113
1
n
n b.
1
4
1n nn c.
1!
1
nn d.
1 1
4
nn
5. Usar el criterio de comparación en el límite para determinar si cada serie es o no convergente:
a.
0
2
1
1
nn
b.
1
2
)ln(
nn
n c.
1
2
12
nn
n d.
1
1
2)1(n
n
n
n
6. Miscelánea. Discutir la convergencia usando alguno de los criterios estudiados:
a.
05
1
5
n
n b.
1
25
3
14
34
n nn
nn
c.
1)!2(n
n
n
n d.
1 )3(
3
nnn
PARTE 4.
1. Desarrolle cada serie dada hasta su sexto término:
a.
03
)(
n
n
x
xf b.
0)!3(
)2(
)(
n
n
n
x
xf c.
1
1
1
)(
)(
n
n
n
c
cx
xf .
2. Encuentre una fórmula para el n-ésimo término en cada serie:
a. ...
!3
)2(
!2
)2(
)2(1
32
xx
x
b. ...
5432
1
5432
xxxx
x
3. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos terminales:
a. ...
!8!6!4!2
1
8642
xxxx b.
0)!2(
)3(
n
n
n
x
c.
1
221
12
)1(
)(
n
nn
n
x
xf d.
0
1
)1(
n
nn
nx
e. ...
4
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
2
4
3
3
2
2
2
xxxx
4. Hallar la primera y segunda derivada, así como la integral de las series dadas. No analice los
extremos del intervalo:
a. ...
!4
)2(
!3
)2(
!2
)2(
21
432
xxx
x b.
0
2
!
)1(
n
nn
n
x c.
1
1
)()1(
k
n
nn
nc
cx
5. Hallar el intervalo de convergencia de las series dadas, incluyendo un análisis en los extremos del
intervalo: f(x), f’(x) y f(x), siendo:
a.
1
1
)1()1(
)(
n
nn
n
x
xf . b. ...)3(4)3(3)3(2)3()(
432
xxxxxf
6. Hallar el intervalo de convergencia de las series:
a. n
x
n
n
n
n
4
)32(
)1(
1
b. n
n
p
x
n
pn
0)!(
)!( c. 12
1 )12(531
321
)(
n
n
x
n
n
xf .
PARTE 5.
1. Hallar una serie de potencias centrada en c para la función propuesta y halle su intervalo de
convergencia:
a.0,
4
3
)(
c
x
xf b.2,
13
5
)(
c
x
xf c. 0,
232
74
)(
2
c
xx
x
xf
2. Usar la siguiente serie de potencias:
0
)1(
1
1
n
nn
x
x , para determinar una representación
en serie de potencias, centrada en 0, de la función dada. Hallar el intervalo de convergencia.
!8!6!4!2
1
8642
xxxx b.
0)!2(
)3(
n
n
n
x
c.
1
221
12
)1(
)(
n
nn
n
x
xf d.
0
1
)1(
n
nn
nx
e. ...
4
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
2
4
3
3
2
2
2
xxxx
4. Hallar la primera y segunda derivada, así como la integral de las series dadas. No analice los
extremos del intervalo:
a. ...
!4
)2(
!3
)2(
!2
)2(
21
432
xxx
x b.
0
2
!
)1(
n
nn
n
x c.
1
1
)()1(
k
n
nn
nc
cx
5. Hallar el intervalo de convergencia de las series dadas, incluyendo un análisis en los extremos del
intervalo: f(x), f’(x) y f(x), siendo:
a.
1
1
)1()1(
)(
n
nn
n
x
xf . b. ...)3(4)3(3)3(2)3()(
432
xxxxxf
6. Hallar el intervalo de convergencia de las series:
a. n
x
n
n
n
n
4
)32(
)1(
1
b. n
n
p
x
n
pn
0)!(
)!( c. 12
1 )12(531
321
)(
n
n
x
n
n
xf .
PARTE 5.
1. Hallar una serie de potencias centrada en c para la función propuesta y halle su intervalo de
convergencia:
a.0,
4
3
)(
c
x
xf b.2,
13
5
)(
c
x
xf c. 0,
232
74
)(
2
c
xx
x
xf
2. Usar la siguiente serie de potencias:
0
)1(
1
1
n
nn
x
x , para determinar una representación
en serie de potencias, centrada en 0, de la función dada. Hallar el intervalo de convergencia.
a. 3
)1(
2
)(
x
xh b. )1()(
2
xLnxh c. )2()( xArctgxk
3. Hallar la serie de Taylor (centrada en c) para cada función:
a. 1,)( cexf
x b. 4/),()( cxCosxf
4. Usar la serie binómica para hallar la serie de Maclaurin de la función indicada:
a. x
xf
1
1
)( b. 3
1
1
)(
x
xf
c. 2
4
1
)(
x
xf
5. Hallar la serie de Maclaurin usando el método que se indica:
a. )()( xCosxf ; derivar Sen(x).
b. )()(
2
xCosxf ; identidad 2
)2(1
)(
2 xCos
xCos
.
c. x
exf)( ; usar la serie para x
e d. )()(
2
xCosxg use Cos(x).
e. 2
1
)(
x
xh use x
xf
1
)( .
PROFESOR: Dr. MILTON CHÁVEZ MUÑOZ
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA BÁSICA I
NOMBRE:________________________________ CODIGO________
1. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos extremos del intervalo;
0 )2)(1(
)1(
n
nn
nn
x
.
)1(
2
)(
x
xh b. )1()(
2
xLnxh c. )2()( xArctgxk
3. Hallar la serie de Taylor (centrada en c) para cada función:
a. 1,)( cexf
x b. 4/),()( cxCosxf
4. Usar la serie binómica para hallar la serie de Maclaurin de la función indicada:
a. x
xf
1
1
)( b. 3
1
1
)(
x
xf
c. 2
4
1
)(
x
xf
5. Hallar la serie de Maclaurin usando el método que se indica:
a. )()( xCosxf ; derivar Sen(x).
b. )()(
2
xCosxf ; identidad 2
)2(1
)(
2 xCos
xCos
.
c. x
exf)( ; usar la serie para x
e d. )()(
2
xCosxg use Cos(x).
e. 2
1
)(
x
xh use x
xf
1
)( .
PROFESOR: Dr. MILTON CHÁVEZ MUÑOZ
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA BÁSICA I
NOMBRE:________________________________ CODIGO________
1. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos extremos del intervalo;
0 )2)(1(
)1(
n
nn
nn
x
.
2. Hallar la Serie de Potencias centrada en c=2 para la función 23
4
)(
x
xf y calcular su
intervalo de convergencia realizando un análisis en los extremos del intervalo.
3. Hallar la Serie de Taylor para la función xxf)( , centrada en c=4. Resuelva usando
derivadas de orden superior.
4. Use la Serie Binómica para hallar la Serie de Potencias de la función: 4
1)( xxf .
5. Hallar la Serie de Potencias para la función )()( xSenxf centrada en c= – /4.
1.- (4p) 2.- (4p) 3.- (4p) 4.- (4p) 5.- (4p)
El Profesor
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA BÁSICA I
NOMBRE:________________________________ CODIGO________
1. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos extremos del intervalo;
0 )2)(1(
)1(
n
nn
nn
x
.
4
)(
x
xf y calcular su
intervalo de convergencia realizando un análisis en los extremos del intervalo.
3. Hallar la Serie de Taylor para la función xxf)( , centrada en c=4. Resuelva usando
derivadas de orden superior.
4. Use la Serie Binómica para hallar la Serie de Potencias de la función: 4
1)( xxf .
5. Hallar la Serie de Potencias para la función )()( xSenxf centrada en c= – /4.
1.- (4p) 2.- (4p) 3.- (4p) 4.- (4p) 5.- (4p)
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1. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos extremos del intervalo;
0 )2)(1(
)1(
n
nn
nn
x
.
2. Hallar la Serie de Potencias centrada en c=2 para la función 23
4
)(
x
xf y calcular su
intervalo de convergencia realizando un análisis en los extremos del intervalo.
3. Hallar la Serie de Taylor para la función xxf)( , centrada en c=4. Resuelva usando
derivadas de orden superior.
4. Use la Serie Binómica para hallar la Serie de Potencias de la función: 4
1)( xxf .
5. Hallar la Serie de Potencias para la función )()( xSenxf centrada en c= – /4.
1.- (4p) 2.- (4p) 3.- (4p) 4.- (4p) 5.- (4p)
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4
)(
x
xf y calcular su
intervalo de convergencia realizando un análisis en los extremos del intervalo.
3. Hallar la Serie de Taylor para la función xxf)( , centrada en c=4. Resuelva usando
derivadas de orden superior.
4. Use la Serie Binómica para hallar la Serie de Potencias de la función: 4
1)( xxf .
5. Hallar la Serie de Potencias para la función )()( xSenxf centrada en c= – /4.
1.- (4p) 2.- (4p) 3.- (4p) 4.- (4p) 5.- (4p)
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