Suma de vectores (propiedades) vectores opuestos

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
U. E COLEGIO PABLO NERUDA
BARQUISIMETO EDO. LARA










INTEGRANTES:
Karla Espinosa
María Navega
Arausi Yajure
Mimi Zhen Cen
PROFESOR:
Robert Olivera
5to C
Equipo 3

2. Vectores
Un Vector en el plano es un segmento de recta orientada, que posee un sentido de recorrido.
Tiene un punto de origen y el otro extremo punto final. Igualmente, es un elemento de un espacio
vectorial. Comúnmente se representan por medio de flechas y con una letra inicial; siendo esta la
propiedad que denota la cantidad. Por ejemplo:
Vector velocidad:

Representación grafica: Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con
el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba.

Cuantificación del vector: el valor o magnitud del vector está dada por la escala utilizada y el
tamaño del vector. La dirección del vector esta dada por la orientación que tenga la flecha en el
plano cartesiano.














Componentes de un vector
· Dirección de un vector: Es la orientación de la recta que contiene al vector o de
cualquier recta paralela a ella. Esta definida por la posición que ocupa en el plano.
· Sentido de un vector: El sentido queda determinado si señalamos cual es el origen del
recorrido y cual es el extremo. Es conveniente escribir en primer lugar el origen y en
segundo lugar el extremo. Así:
Gráficamente puede fijarse el sentido haciéndolo como en la figura anterior;
dibujando una flecha en el extremo del segmento.
· El módulo del vector : es la longitud del segmento AB, se representa por
. Siendo este un número siempre positivo o cero.

3. Módulo de un vector a partir de sus componentes: donde U1 y U2 son
valores en los ejes X y Y. Si U1:3 y U2:4, entonces tenemos:



Tipos de vectores
· En el origen: posee un solo punto.
: (3,2)
Su modulo: |v|= x² + y²

Su dirección A =Tan
-1
(y/x)
· En el espacio: posee dos puntos, A: (X1,Y1) y B:(X2,Y2) AB=(x,y)
|AB|=
x² + y²
A =Tan
-1
(y2-y1/x2-x1)
· Unitarios: su modulo es igual a 1. Tienen de módulo, la unidad. Para obtenerlo,
de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su
módulo.





· Equipolentes: para que dos vectores sean equipolentes, deben tener la misma dirección,
modulo y sentido. Pueden ser vectores en el espacio, origen, unitarios, entre otros. A=B

Dos vectores son equipolentes si al unir sus orígenes y sus extremos se forma un paralelogramo o
bien: si poseen el mismo modulo, la misma dirección y el mismo sentido.

4. Pasos para realizar un vector en el plano cartesiano

1.- En una hoja dibuja un punto (va a ser el origen)







.
2.-Para dibujar el eje X, traza una línea recta (horizontal) desde el punto origen hasta otro punto que
sitúes a la derecha. Con la medida (escala) de tu preferencia.







3.- Para dibujar el eje Y traza otra línea recta pero esta ves vertical al punto origen, creando un
sistema de coordenadas de dos dimensiones.


(Y)







(X)

5. 4.- Para tridimensionarlo, puede utilizar un transportador. Colocándolo en el origen. El cero del
transportador debe coincidir con el eje X, dibujando un punto en 210º sentido antihorario. Traza
una línea recta del punto origen al punto de 210º. Este es el eje z.
También, puedes hacer esto con una escuadra de 60º ubicando el lado mediano (tamaño) de la
escuadra paralelo al eje X, con otra regla u escuadra (de forma que corra un lado de la escuadra)
pasa una línea recta sobre el lado mayor desde el origen hacia el tercer cuadrante.



(Y)









(X)





(Z)





Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres
y se escogen como representantes dos
vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

6. Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común,
se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo
cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.




Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.




















Cuando se suman más de dos
vectores, coloca siempre el
origen del siguiente vector en
el extremo del vector actual,
después construye el vector
resultante uniendo el origen
del primer vector al extremo
del último.

7. Propiedades de la suma de vectores

· Asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o mas vectores, la suma
siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.

· Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado

· Elemento neutro: Existe un vector que actúa como elemento nulo y cuando
cualquier vector se sume con este vector el resultado es el mismo vector original.
0+a = a
· Elemento opuesto: Para cualquier vector a, existe un vector a tal que a+(-a) = 0.
Este vector a se denomina vector opuesto, y es único para cada a.
+ ( ) =

conmutativa

Asociativa


Elemento neutro

0+a=a
Vector opuesto
+ ( ) =

Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .Las
componentes del vector resta se obtienen restando l as componentes de los
vectores.

8. B B



=
A A A-B



Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, direc ción, y distinto
sentido.


Dos vectores tienen sentido contrario si al unir sus orígenes los extremos
quedan en distinto semiplano.
Semiplano P Semiplano P
D C A B

9. Ejercicios



1. ¿Que rectas pertenecen a la misma dirección que A?
A D
I

H



F



G
B


Respuesta: A, B, D

2. Tenemos los puntos A y B

A
B

1.b) dibuja el segmento que determina
2.b) dicho segmento lo podemos indicar indistintamente con o ____.
3.b) indica los extremos del segmento .

Respuestas:
1.b) A

B
2.b) BA
3.b) B y A

3. Construye un vector equipolente al vector v con origen en a.

V


A
Respuesta:
V
c)

A

10. Suma de vectores

A
4. Te dan los vectores: A, B, C.

1.d) halla A+B C

2.d) halla A +C B

3.d) halla C+ D

Respuesta:
A+B C+B
A+C




Ejemplos: propiedad asociativa de la adición de vectores U V W

· Construyamos el vector suma U + V
·
· Construyamos el vector suma V + W
·
· Construyamos el vector suma U +( V + W )
·
· Construyamos el vector suma (U + V) + W


U V


V+W

U+V W


U + (V + W) = (U +V) =W

Comparando 3 y 4 notamos que el vector suma es el mismo. Generalizando, tenemos que (se
verifica la formula de propiedad asociativa en la adición de vectores).


Para todo U V W (U + V) + W = U (V + W)