Superficies

Superficies
Definición de superficie.
Campo vectorial
Campo escalar
Representación cartesiana de una superficie.
Clasificación de algunos tipos de superficies.
Superficies cuadráticas.
Superficies cilíndricas.
Superficies cónicas.
Superficies regladas.
Superficies de revolución.
Método de las generatrices para la determinación de la ecuación de una superficie.
Simplificación del método para algunos tipos de superficie.
Discusión de la ecuación de una superficie.
Cilindros.
Definición de cilindro.
Cilindro parabólico.
Cilindro elíptico.
Cilindro hiperbólico.
Ecuaciones vectoriales y paramétricas de superficie

2. 2

ÍNDICE

DEFINICIÓN DE SUPERFICIE ........................................................................................................................................................ 3
CAMPO ESCALAR .......................................................................................................................................................................... 3
CAMPO VECTORIAL ...................................................................................................................................................................... 3
REPRESENTACIÓN CARTE SIANA ................................................................................................................................................ 3
CLASIFICACIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE SUPERFICIE ............................................................................................................. 4
SUPERFICIES CILÍNDRICAS .......................................................................................................................................................... 6
SUPERFICIES CUADRÁTICAS ....................................................................................................................................................... 6
PARA CLASIFICAR A UNA SUPERFICIE CUADRÁTICA, SE PUEDE LOGRAR ESCRIBIENDO EN SU FORMA CANÓNICA Y
DETERMINANDO SUS TRA ZAS EN LOS PLANOS COORDENADOS. ...................................................................................... 7
SUPERFICIES CÓNICAS ................................................................................................................................................................. 7
SUPERFICIES REGLADAS .............................................................................................................................................................. 9
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN ................................................................................................................................................... 9
CILINDROS ................................................................................................................................................................................... 10
CILINDRO PARABÓLICO ....................................................................................................................................................................................................... 10
CILINDRO ELÍPTICO .............................................................................................................................................................................................................. 11
CILINDRO HIPERBÓLICO ...................................................................................................................................................................................................... 11
MÉTODO DE LAS GENERATRICES PARA LA DETERMINACIÓN DE UNA SUPERFICIE....................................................... 11
SIMPLIFICACIÓN DEL MÉTODO PARA ALGUNOS T IPOS DE SUPERFICIE .......................................................................... 12
DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE .............................................................................................................. 14
ECUACIONES VECTORIALES Y PARAMÉTRICAS DE UNA SUPERFICIE ................................................................................ 17
REFERENCIAS ............................................................................................................................................................................... 19

3. 3

Definición de Superficie
Se le llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una
sola ecuación de la forma:
F(x,y,z)=0


Campo Escalar
Suponga que a cada punto P(x,y,z) de una región D en el espacio le corresponde un número (escalar) (x,y,z).
Entonces se denomina función escalar de posición, y se decimos que se ha definido un campo escalar
sobre D.
Ejemplo
La función (x, y, z)= x
3
y-2z
2
define un campo escalar. Considere el punto P (2, 5, 3).
(P)= 2
3
(5)-2(3)
2
=8(5)-2(9)=40-18=32
Campo Vectorial
Un campo vectorial es una función que asigna un vector a cada punto en su dominio. Un campo de
vectores bidimensionales tiene una fórmula como
F(x, y,) = M(x, y)i + N(x, y)j
Y un campo de vectores tridimensionales en el espacio tendrá una fórmula:
F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k.
Ejemplo
Sea la función V(x,y,z)=2xy
2
i-3yz
2
j+x
2
zk defina un campo vectorial. Considere el punto P(1,4,2).
V (P)= 2(1)(4)
2
i-3(4)(2)
2
j+(1)
2
(2)k= 32i-48j+2k

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades, gravitatorios y los de
fuerzas eléctricas.
Representación cartesiana
-Ecuación cartesiana implícita
Los puntos de una superficie contienen la ecuación de tipo: F(x,y,z), la cual se denomina ecuación cartesiana
implícita de la superficie, por ejemplo una esfera está dada pon la ecuación x
2
+y
2
+z
2
=R
2
.

4. 4

-Ecuación cartesiana
En algunas ocasiones una superficie de puede escribir de la forma z=f(x,y) donde (x,y) , o bien y=f(x,z) donde
(x,z) , o x=f(y,z) donde (y,z) , en cuyo caso se dice que la superficie está dada por una ecuación cartesiana
explicita. Por ejemplo el casquete superior de la esfera se puede escribir en forma:
z=√





;






Toda ecuación explicita se puede escribir en forma implícita sin más que definir g(x,y,z)=z-f(x,y). Pero
una esfera x
2
+y
2
+z
2
=R
2
no puede escribirse en forma explícita pues para cada valor(x,y) hay dos soluciones de
la ecuación a saber: ( ( ) √





) y ( ( ) √





)
Clasificación de algunos tipos de superficie
Tipo (I):Ax
2
+By
2
+Cz
2
=R
Lugar Geométrico Ejemplo Ejemplo
visualizado
R*
>0 Todos positivos Elipsoide 2x
2
+3y
2
+4z
2
=16

>0 Todos positivos y A=B=C Esfera x
2
+y
2
+z
2
=4

>0 Todos negativos Ningún lugar geométrico
>0 Dos positivos, uno negativo Hiperboloide de una hoja 4x
2
+5y
2
-7z
2
=4

>0 Uno positivo, dos negativos Hiperboloide de dos hojas 4x
2
-5y
2
-7z
2
=4

>0 Uno cero, dos positivo Cilindro elíptico (o circular)
recto
3y
2
+5z
2
=4

>0 Uno cero, dos negativos Ningún lugar geométrico
>0 Uno cero, un positivos, un
negativo
Cilindro hiperbólico recto 3y
2
-4z
2
=4

>0 Dos cero, uno positivo Dos planos paralelos
diferentes
4z
2
=16

>0 Dos cero, uno negativo Ningún lugar geométrico

5. 5

=0 Todos del mismo signo Un solo punto, el origen. 2x
2
+3y
2
+2z
2
=0

=0 Dos positivos, uno negativo Cono recto 5x
2
+4y
2
-3z
2
=0

=0 Uno cero, dos del mismo signo Todos los puntos sobre el eje
coordenado
-2y
2
-2z
2
=0

=0 Uno cero, dos de signos
contrarios
Dos planos que se cortan -3y
2
+4z
2
=0

=0 Dos cero Un plano z
2
=0

*Cuando R<0, se invierten los signos de los coeficientes A, B, C; los lugares geométricos correspondientes
estarán dados entonces como R>0.

Tipo (II):Ax
2
+By
2
=zR
Coeficientes Lugar Geométrico Ejemplo Ejemplo visualizado
R** A,B
>0 Del mismo signo Paraboloide elíptico z=x
2
+y
2


>0 Signos opuestos Paraboloide Hiperbólico z=x
2
-y
2


>0 Uno cero Cilindro parabólico recto z=x
2


=0 Del mismo signo Todos los puntos sobre un
eje coordenado
6x
2
+3y
2
=0

=0 Signos opuestos Dos planos que se cortan x
2
-y
2
=0

6. 6

=0 Uno cero Un plano coordenado (dos
planos coincidentes)
y
2
=0

**Cuando S<0, Se invierten los signos de los coeficientes A y B, los lugares geométricos correspondientes
estarán dados como para S>0.
Superficies cilíndricas
Se le llama superficie cilíndrica a la generada por una recta que se mueve de tal manera
que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada y pasa siempre
por un curva fija dada.
La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de una
superficie cilíndrica.
Un ejemplo de cilindro es el generado por una recta vertical que se
mueve alrededor del círculo x
2
+y
2
=a
2
.

Superficies cuadráticas
Una superficie cuadrática es el conjunto de puntos (x, y,z) que satisface a la ecuación:







Nota: A, B, C, no todos iguales a cero, debido a que si todos son iguales a cero la ecuación ya no sería igual a
cero.
Existen seis tipos de superficies cuadráticas: elipsoide, hipérbole de una hoja, hipérbole de dos hojas,
cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.
A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie en el plano. Para
visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en algunos planos elegidos
inteligentemente. Las trazas de las superficies cuadráticas son cónicas.
A continuación se presenta la clasificación de las superficies cuadráticas con sus respectivas ecuaciones, trazas,
y aplicaciones:








Elipsoide Hiperboloide de una hoja
( )




( )




( )





( )




( )




( )

7. 7

Hiperboloide de dos hojas Cono eliptico
( )




( )




( )





( )




( )




( )





Paraboide elíptico Paraboide hiperbolico
( )




( )








( )




( )










Para clasificar a una superficie cuadrática, se puede lograr escribiendo la ecuación cartesiana de la
superficie en su forma canónica y determinando sus trazas en los planos coordenados.
Ejemplos
Identificar y hallar las coordenadas con respecto al origen x
2
+2y
2
+z
2
-4x+8y-2z+4=0
Solución
(x
2
-4x+ )+2(y
2
+4y+ )+(z
2
-2z+ )=-4
(x
2
-4x+4)+2(y
2
+4y+4)+(z
2
-2z+1)=-4+8+4
(x-2)
2
+2(y+1)
2
+(z-1)
2
=8
( )



( )



( )




En el caso de que uno, al menos, de los coeficientes D, E y F, sea diferente de cero de la ecuación:






, entonces el eje o ejes de la superficie son
oblicuos respecto a los ejes coordenados. En este caso, para hacer la identificación de la superficie lo más
recomendable es hacer una rotación de los ejes de coordenadas, de modo que se eliminen los términos
“cruzados”, y ya después poder identificar el tipo de superficie.

8. 8

Superficies cónicas
Se le llama superficie cónica a la engendrada por una línea recta que se mueve de tal manera que pasa siempre
por una curva fija, y un punto fijo, no contenido en el plano de esa curva.
La recta móvil se llama generatriz, la curva fija dada directriz y el punto fijo dado vértice de la superficie
cónica. Evidentemente, el vértice divide a la superficie en dos proporciones distintas; cada una es una hoja o
rama de la superficie cónica.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la superficie cónica cuya directriz es la elipse 4x
2
+z
2
=1, y=4 y cuyo vértice es el punto
V(1,1,3).






Las ecuaciones de las generatrices son:









Y como la generatriz está en el plano XY








Despejando x, z.
( )
( )
Sustituyendo y=4
( )
( )
Desarrollando


Sustituyendo Generatriz en




( )

( )


Sustituyendo y
(


)

(


)


Simplificando la expresión se obtiene:
36x
2
+12y
2
+9z
2
+24xy+18yz-96x-102y-72z+207=0




D:
G:
G:
G:
G:

9. 9

Superficies regladas
Una superficie reglada es aquella que puede ser engendrada por el movimiento de una línea recta.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la superficie reglada generada por la familia de rectas
,
Despejando a k:



,








⇒ ( )( )

⇒





⇒






Superficies de revolución
Una superficie en revolución es la engendrada por la rotación de una curva plana en torno
de una recta fija contenida en el plano de esa curva. La curva plana se llama generatriz y la
recta fija eje de revolución. Cualquier posición de la generatriz se llama meridiano, y cada
circunferencia descrita por un punto de la generatriz se llama paralelo de la superficie.
En la discusión que se sigue se encontrarán ecuaciones de superficie de revolución
cuando C es una curva en un plano de coordenadas y el eje de revolución es un eje de
coordenadas.
Se va a suponer que ( ) es una curva C en el plano yz y que C se rota en torno al eje z de modo
que se genera una superficie S. Si (x,y,z) denota un punto general sobre S que resulta de rotar el punto (0, y0,z)
en C, entonces se advierte que la distancia de (x,y,z) a (0,0,z) es la misma que la distancia de (0,y0,z) a (0,0,z);
esto es,
√



. Del hecho de que (
) llegamos a una ecuación para S;
(√



)
Es posible que una curva en un plano de coordenadas rote en torno a cada eje de coordenada. Si la curva C en
el plano yz definida por ( ) se rota ahora alrededor del eje y, puede demostrarse que una ecuación de
la superficie de revolución resultante es:
( √



)
A continuación se muestra una tabla ecuación de superficies generadas al rotar una curva en un plano de
coordenadas alrededor de:
x=eje √




y=eje Implica el termino √




z=eje √







Ecuación de la curva C Eje de revolución Ecuación de la superficie S
( ) eje x ( √



)
( ) eje y ( √



)
( ) eje x ( √



)
( ) eje z ( √



)
( ) eje y ( √



)
( ) eje z ( √



)

10. 10


Ejemplos
*La gráfica de



se rota en torno al eje x. Encuentre una ecuación de la superficie de revolución.
Solución. La ecuación contiene la forma ( ) Puesto que el eje de revolución es el eje x por √



. Por
tanto:
(

( √



)

)








Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados, la ecuación de la superficie de
revolución resultante tiene una de las formas siguientes.
*Girada sobre el eje x: y
2
+z
2
=[r(x)]
2

*Girada sobre el eje y: x
2
+z
2
=[r(y)]
2

*Girada sobre el eje z: x
2
+y
2
=[r(z)]
2
Ejemplos
*Obtenga la ecuación de la superficie en revolución al girar la curva alrededor del eje inclinado x
2
=4y en el
plano xy alrededor del eje y.
√ √ ⇒



( √ )

⇒



⇒








*Hallar una directriz y eje de revolución de la superficie dada:




( √



)


Como los coeficientes x
2
y y
2
son iguales, se de escribir:




( √



)


El eje z es de revolución. Se puede elegir una directriz de las siguientes trazas


( √



)

Traza en el plano xz


( √



)

Traza en el plano yz
Por ejemplo, usando la traza, la directriz es:
√




Cilindros
Un cilindro es una superficie que se genera por el movimiento de una línea recta paralela a una recta fija dada
a lo largo de una curva plana dada.
Cilindro parabólico
Es una superficie cuya ecuación Ax
2
+By
2
=zR, uno de sus coeficientes A, o B va ser cero, y R va a valer más de
cero.
Ejemplo:

z=2y
2
Aplicación

Conector Solar
En la forma canónica las ecuaciones del cilindro parabólico son:


,

,

11. 11

En la energía el cilindro parabólico es una tecnología que utiliza la energía solar con una técnica de
concentración de energía solar con el fin de obtener temperaturas de hasta 200-300 °C, la cual es la
temperatura necesaria para producir agua caliente para uso doméstico y para la calefacción.
Cilindro elíptico
Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica.
En la ecuación Ax
2
+By
2
+Cz
2
=R un coeficiente debe ser cero, y 2 positivos y un valor de R mayor a 0, en caso de
que los dos coeficientes se positivos habrá un cilindro circular.

Ejemplo:

5x
2
+2z
2
=10
Aplicación

un tubo
En la forma canónica las ecuaciones del cilindro parabólico son:
( )




( )




( )




( )




( )




( )




Cilindro hiperbólico
En la ecuación Ax
2
+By
2
+Cz
2
=R un coeficiente debe ser cero, y 1 positivos, uno negativo y un valor de R mayor
a 0, en caso de que los dos coeficientes se positivos habrá un cilindro circular.
Ejemplo:

3x
2
-2z
2
=10
Aplicación

Dos conectores solares
En la forma canónica las ecuaciones del cilindro parabólico son:
( )




( )




( )




( )




( )




( )




Método de las generatrices para la determinación de una superficie
Las superficies de generan por medio de una curva que se mueve en el espacio (generatriz) siendo a una o
varias trayectoria (directrices).
Una superficie F(x,y,z)=0 basta con despejar a una de las varias variables y asignarle valores a las otas
dos para generar todos los puntos de la misma superficie.
Para las curvas en R
3
, la expresión matemática consiste en un par de ecuaciones asociadas a dos de
superficies f1(x,y,z) f2(x,y,z)
La intersección de dichas superficies genera la curva en R
3
Para una curva en R
3
se forma un sistema como el siguiente:

12. 12


( )

( )
Donde es un parámetro real.
Al asignarle valores a , se generan diversas curvas que pueden interpretar como una sola curva al ir
variando el parámetro .
Si se denomina del sistema de ecuaciones se obtendrá una ecuación cartesiana de la forma f(x,y,z)=0
que representa dicha superficie.
Sea la generatriz:
…1
…2
Determina la ecuación de la superficie que forma:
=0 z=10 x=10
De 1 despeja y sustituirlo en 2
=10-
z=(10- )=10
z-x=10-10
z=x=0 z=x
Simplificación del método para algunos tipos de superficie

Si el sistema se plantea de la forma

( )

( )
Donde y son parámetros reales.
La generatriz está formada por el sistema de curvas que se obtienen para cada par de valores de los
parámetros y , la intersección no genera ninguna superficie.
Con el sistema solo se puede eliminar uno de los parámetros, por lo que será necesario generar una
ecuación auxiliar que relacione a ambos parámetros y permita eliminarlos.
g( , )=0 Ecuación de condición.

*Obtener la ecuación de la esfera con un radio (a) y centro (h,k,l), dadas las generatriz y directriz.
( )

( )



…1
…2
( )

( )



…3
…4
Solución
Sustituyendo 4 en 1
(x-h)
2
+(y-k)
2
=α
2
⇒ (h-h)
2
+(y-k)
2
=α
2
⇒ (y-k)
2
=α
2

Sustituyendo 2 en 3
(y-k)
2
+(ß-1)
2
=a
2
⇒ α
2
+(ß-1)
2
=a
2
…ecuación de condición
Igualando 3 con la ecuación de condición
α
2
+(ß-1)
2
=(y
2
-k)
2
+(z-l)
2
donde α= √

( )

…4
G:
G:
D:

13. 13

Sustituyendo en la ecuación 4
(√

( )

)

=(x-h)
2
+(y-k)
2
⇒ a
2
- (ß –l)
2=(x-h)
2
+(y-k)
2
⇒ (x-h)
2
+(y-k)
2
+( ß -l)
2
=a
2
Si z= ß
(x-h)
2
+(y-k)
2
+(z-l)
2
=a
2

Si el sistema se plantea de la forma:

( )

( )
α, ß, γ, son parámetros reales, para eliminar los parámetros se necesitan generar dos ecuaciones de condición
g1(α, ß, γ)
g2(α, ß, γ)
Determine la ecuación de la superficie que genera la generatriz:






Apoyada en las directrices:










Solución
Si x=0 Si y=0
α (0)2= ßy
2
=1 ⇒ y
2
=


x
2
=




Sustituir
y
2
=



z= γ
en y
2
=-b
2
z


=-b
2
γ ßγb
2
=1..Ecuación condición
Sustituir
y
2
=



z= γ


=a
2
γ αγa
2
=1…Ecuación de condición II
Sustituyendo en la generatriz




,












además γ=z





















*Obtener la ecuación de la superficie que se forma cuando una circunferencia se desplaza verticalmente,
manteniendo su centro sobre el eje z y su plano horizontal, además su radio varía. Tomando un valor de ½ de
centro sobre el cual se encuentra.
r=(1/2)
2











Ecuación de la superficie:








⇒ z
2
-4x
2
-4y
2
=0
G:
G:
D1: D2:
G:

14. 14

Discusión de la ecuación de una superficie
Es ventajoso discutir la ecuación de una superficie antes de construirla, a continuación se mencionaran 5 pasos
para dicha discusión:
1. Interpretaciones con los ejes coordenados
Un punto contiene tres coordenadas y cuando pertenece a un eje, las coordenadas correspondientes a los
otros ejes valen 0.
*Con el eje x: la intersección de una superficie con el eje x, de existir, son puntos de la superficie que están
sobre el dicho eje.
Haciendo y=z=0 en la ecuación y despejando x hallamos dicha intersección:
*Con el eje y: análogamente debemos anular las variables x= z=0, luego:
*Y con el eje z: debe cumplirse x= y =0.
2. Trazas sobre los planos coordenados
La traza de una superficie con un plano coordenado es la curva intersección de la superficie con el plano
coordenado.
Traza sobre el plano xy: si z=0
Traza sobre el plano xz: si y=0,
Traza sobre el plano yz: Si x=0
3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.
El analizar la simetría de una superficie implica analizar que sucede con su ecuación cuando se cambia el signo
de una, de dos o de las tres variables.
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a un plano si y solamente si el plano es perpendicular al
seguimiento que los une en su punto medio.
A continuación se muestra una tabla con la cual presenta que variable debe alterarse a la ecuación de
la superficie para saber sus ejes de simetría:

Si la ecuación de la superficie no se
altera cuando las viables x, y, y z son
remplazadas por:
La superficie es simétrica con respecto al :
-x,y,z Plano YZ
x,-y,z Plano XZ
x,y-,z PlanoXY
-x,-y,z Eje Z
-x,y,-z Eje Y
x,-y,-z Eje X
-x,-y,-z Origen

*Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se da el cambio de signo de la las variables, la superficie es
simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y recíprocamente.
*Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se da el cambio de signo de la las variables, la superficie es
simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no cambió, y
recíprocamente.

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.
Se puede obtener una bueno idea de la forma de la superficie conociendo sus secciones plana. Las cuales
pueden determinar convenientemente cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos
coordenados.

15. 15

* Los planos XY pertenecen a la familia cuya ecuación es z=k, donde k es una constante.
* Los planos XZ pertenecen a la familia cuya ecuación es y=k, donde k es una constante.
* Los planos YZ pertenecen a la familia cuya ecuación es x=k, donde k es una constante.

5. Extensión de la superficie
Este procedimiento consiste en determinar los intervalos de variación para los cuales los valores de x,y,z son
todos reales. Para ello se expresa cada variable en función de las otras dos.
Ejemplo
Discutir la superficie la superficie cuya ecuación es



1. Interpretación
Las interpretaciones con el eje x son:
*Sustituyendo y=0 y z=0 en




( ) ⇒

⇒ √ , La intersección con el eje X es el P(+√ ,0,0) y P’(-√ ,0,0)
*Sustituyendo x=0 y z=0 en


( )

( ) ⇒-3=0, lo cual no existe, por tanto no hay intersección con el eje Y
*Sustituyendo y=0 y x=0 en


( )

⇒ z=3, La intersección con el eje X es el R(0,3,0)

2. Trazas sobre los planos coordenados
*Sustituyendo z=0 en




⇒ √ . La traza sobre el plano XY son las rectas √ .
*Sustituyendo y=0 en




La traza sobre el plano XZ es la parábola


*Sustituyendo x=0 en


( )

⇒ z=3, La traza sobre el plano XZ es la recta

3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.
La superficie es simétrica
con respecto
Sustituyendo
por:
Evaluando a



Ecuación
sustituida
Simetría
Plano YZ -x,y,z ( )



Si
Plano XZ x,-y,z



Si
PlanoXY x,y-,z

( )

No
Eje Z -x,-y,z ( )



Si
Eje Y -x,y,-z ( )

( )

No
Eje X x,-y,-z

( )

Si
Origen -x,-y,-z ( )

( )

No

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.
Al cortar la superficie por un plano z=k se obtiene √ siempre y cuando k 2.
Los planos y=k cortan a la superficie en las parábolas


Y los planos x=k cortan a las rectas en las rectas


5. Extensión
Para x y y no existen restricciones pero para la variable z no es posible tomar valores mayores a z=3.
6. Grafica

16. 16



Curvas de Nivel
Una forma de visualizar una superficie es atreves de su curvas de nivel. Al conjunto de puntos en el plano
donde la función f (x, y) tiene un valor constante f (x, y) =c se llama curva de nivel de f.
Ejemplo
Determinar las curvas de nivel de la función f(x,y)=x
2
+2y
2

Solución
z= x
2
+2y
2
Dando valores a z, z=0, z=1 z=2 z=3 z=4 z=5
Entonces se obtiene x
2
+2y
2
=0, x
2
+2y
2
=1, x
2
+2y
2
=4, x
2
+2y
2
=9, x
2
+2y
2
=16, x
2
+2y
2
=25.
Graficando se tiene:



Las curvas obtenidas se para los ejes coordenados XYZ, y luego se unen las curvar y así obtendremos nuestra
superficie.

Una aplicación de la curvas de nivel suelen ser los mapas topográficos.

17. 17

Superficies de Nivel
El conjunto de puntos (x, y, z) en el espacio, donde una función de tres variables independientes tiene un valor
constante f (x, y, z) =c, es una superficie de nivel de f.
Ejemplo
Descríbase las superficies de nivel de la función ( ) √






Solución
√






Dando valores a w, w=1 w=2, w=3
Se tiene:
√





, √





√










Ecuaciones vectoriales y paramétricas de una superficie
Una superficie en su forma paramétrica es la imagen de una función o transformación ⃗ definida en una región
R de un plano uv y que tiene valores en el espacio xyz. La imagen bajo ⃗ en cada punto (u,v) en R es el punto
del espacio xyz con vector de posición.
⃗ (u,v)= x(u,v)i+ y(u,v)j+ z(u,v)k
Dado que una superficie paramétrica es una imagen de una transformación en el espacio, es posible
por lo tanto tomar coordenadas cilíndricas y esféricas, para expresar la superficie con otros parámetros
distintos a los rectangulares.
Coordenadas cilíndricas
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa por
medio de una terna ordenada P = (r, θ, z),
Donde (r, θ) es una representación polar de la proyección en P en el plano XY. Y z es
la distancia dirigida de (r, θ) a P.


Para convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas o viceversa se utilizan las
siguientes formulas.
Cilíndricas a rectangulares:
Rectangulares a cilíndricas:









Ejemplo
Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la ecuación


( )


Solución
Usando identidades trigonométricas, y luego sustituyendo por x y por y


( )

⇒

(



)

⇒









⇒






⇒

18. 18

Coordenadas esféricas
En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa por
medio de una terna ordenada ( )
1. es la distancia entre P y el origen, .
2. es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para
3. es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta ⃗⃗⃗⃗⃗ , 0 .
Para convertir de un sistema u otro se utilizan las siguientes formulas:


Esféricas a rectangulares:
, ,
Rectangulares a esféricas:






,


, (

√





)
Para cambiar entre sistemas de coordenadas cilíndricas se utiliza lo siguiente
Esféricas a cilíndricas




, ,
Cilíndricas a esféricas
√



, (

√



)

Halla una ecuación en coordenadas esféricas de la siguiente superficie representada en su forma rectangular.







Solución


























(



)
























Algunos ejemplos de superficies paramétricas

Ecuación Nombre de la superficie Superficie



Elipsoide










Cono elíptico

√
√

Paraboloide elíptico




Cilindro hiperbólico

19. 19


Ecuación Nombre de la superficie Superficie



Paraboloide hiperbólico

( )
( )

Toroide














Astroide elíptico




( )



( )



(





)
Cross cap

( )


( )





Octaedro hiperbólico










Trompeta




Referencias
Estrada Castillo, Octavio Calculo vectorial y sus aplicaciones, Mexico, Grupo editorial Iberoamericana, 2003
Larson, Ronal E., Hostetler, Robert P. y Eduards, Bruce H. Cálculo de Varias Variables. Vol. 2, 9ª Ed., México,
Editorial Mc Graw Hill, 2010.
Lehman, Charles Geometría Analítica Ed. México, Editorial limosa 2011
Zill, Denis Cálculo de varias variables 4ª edición, México, Editorial Mc Graw Hill, 2011
Murray Spiegel Analisis vectorial 2° edición editorial Mc Graw Hill, 2011
http://dmaii.etsii.upm.es/~azarzo/downloads/Tema7_Superficie_0910.pdf
http://mathworld.wolfram.com/topics/Surfaces.html
http://mathworld.wolfram.com/topics/AlgebraicSurfaces.html