Superficies cuátricas
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Aug 15, 2017
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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III
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DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938
Página 1 de 7
TEMA: SUPERFICIES CUÁDRICAS SEMANA: 02
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
SUPERFICIES CUÁDRICAS
INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación �(�,�)=??????, nos
representa un lugar geométrico en el plano ��, a la
ecuación �(�,�)=??????, extenderemos al espacio
tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
���
También se conoce que todo se representa
analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
??????: ��+��+��+�=??????
De una manera más general, veremos si existe una
representación analítica de una figura geométrica, la
cual denominaremos superficie, tal representación
consistirá en una única ecuación rectangular de la
forma:
??????(�,�,�)=??????
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos
puntos se puede demostrar que la superficie esférica
de radio r con centro en el origen se representa
analíticamente por la ecuación.
�
??????
+�
??????
+�
??????
=??????
??????
SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de
la ecuación de segundo grado.
��
??????
+��
??????
+��
??????
+��+��+��+�=??????
Cuando A, B, y C no son todos nulos, se dice que la
gráfica de una ecuación de la forma
��
??????
+��
??????
+��
??????
+��+��+��+�=??????
es una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real.
Por ejemplo
Ejm.
�
2
9
+
�
2
16
+
�
2
25
=1
Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:
I. Intersección con los ejes:
a. Eje x: �
2
=9⇒�=±3⇒(3,0,0) � (−3,0,0)
son puntos de la superficie.
b. Eje y: �
2
=16⇒�=±4⇒(0,4,0) � (0,− 4,0)
son puntos de la superficie.
c. Eje z: �
2
=25⇒�=±5⇒(0,0,5) � (0,0,−5)
son puntos de la superficie.
II. Trazas sobre los ejes:
a. plano yz: �=0⟹
�
2
16
+
�
2
25
=1,
??????�����??????� �?????? �????????????�?????? ��� ??????�??????��??????.
b. plano xz: �=0⟹
�
2
9
+
�
2
25
=1,
??????�����??????� �?????? �????????????�?????? ��� ??????�??????��??????.
c. plano xy: �=0⟹
�
2
9
+
�
2
16
=1,
??????�����??????� �?????? �????????????�?????? ��� ??????�??????��??????.
III. Simetría con respecto a los planos coordenados,
ejes coordenados y al origen
Relaciones Simetría
F(-x, y, z)=F(x, y, z) Plano yz
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
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TEMA: SUPERFICIES CUÁDRICAS SEMANA: 02
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
SUPERFICIES CUÁDRICAS
INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación �(�,�)=??????, nos
representa un lugar geométrico en el plano ��, a la
ecuación �(�,�)=??????, extenderemos al espacio
tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
���
También se conoce que todo se representa
analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
??????: ��+��+��+�=??????
De una manera más general, veremos si existe una
representación analítica de una figura geométrica, la
cual denominaremos superficie, tal representación
consistirá en una única ecuación rectangular de la
forma:
??????(�,�,�)=??????
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos
puntos se puede demostrar que la superficie esférica
de radio r con centro en el origen se representa
analíticamente por la ecuación.
�
??????
+�
??????
+�
??????
=??????
??????
SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de
la ecuación de segundo grado.
��
??????
+��
??????
+��
??????
+��+��+��+�=??????
Cuando A, B, y C no son todos nulos, se dice que la
gráfica de una ecuación de la forma
��
??????
+��
??????
+��
??????
+��+��+��+�=??????
es una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real.
Por ejemplo
Ejm.
�
2
9
+
�
2
16
+
�
2
25
=1
Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:
I. Intersección con los ejes:
a. Eje x: �
2
=9⇒�=±3⇒(3,0,0) � (−3,0,0)
son puntos de la superficie.
b. Eje y: �
2
=16⇒�=±4⇒(0,4,0) � (0,− 4,0)
son puntos de la superficie.
c. Eje z: �
2
=25⇒�=±5⇒(0,0,5) � (0,0,−5)
son puntos de la superficie.
II. Trazas sobre los ejes:
a. plano yz: �=0⟹
�
2
16
+
�
2
25
=1,
??????�����??????� �?????? �????????????�?????? ��� ??????�??????��??????.
b. plano xz: �=0⟹
�
2
9
+
�
2
25
=1,
??????�����??????� �?????? �????????????�?????? ��� ??????�??????��??????.
c. plano xy: �=0⟹
�
2
9
+
�
2
16
=1,
??????�����??????� �?????? �????????????�?????? ��� ??????�??????��??????.
III. Simetría con respecto a los planos coordenados,
ejes coordenados y al origen
Relaciones Simetría
F(-x, y, z)=F(x, y, z) Plano yz
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CIENCIAS E
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F(x, -y, z)=F(x, y ,z) Plano xz
F(x, y, -z)=F(x, y, z) Plano xy
F(-x, -y, z)=F(x, y, z) Eje z
F(-x, y ,-z)=F(x, y, z) Eje y
F(x, -y, -z)=F(x, y, z) Eje x
F(-x, -y, -z)=F(x, y, z) Origen
IV. Secciones por planos paralelos a los planos
coordenados
Los planos paralelos al plano �� tienen ecuación �=
�. La curva intersección entre la superficie y este plano
se obtiene sustituyendo �=� en la ecuación
elipsoide, resultando
�
2
9
+
�
2
16
=1−
??????
2
25
.
Si 1−
??????
2
25
>0, es decir |�|<5, la curva es una elipse
en el plano �=�.
V. Extensión de la superficie de
�
2
9
+
�
2
16
+
�
2
25
=1 se
tiene �=|5|√1−
�
2
9
−
�
2
16
de donde
�
2
9
+
�
2
16
≤1
VI. Gráfico de la superficie
El cilindro elíptico: 22
1
49
xy
Como el cilíndrico parabólico 2
zy
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe
considerando seis superficies cuádricas adicionales y
bien definidas.
ELIPSOIDE. - Se dice que la gráfica de cualquier
ecuación de la forma 2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
, donde �>�,�>0 � �>0
Es un elipsoide. Para 0
yb , la ecuación 222
0
2 2 2
1
yxz
a c b
Representa una familia de elipses (o circunferencia si
�=�) paralelas al plano que se forman cortando la
superficie mediante planos �=�
0. Eligiendo, cada
uno a su vez, �=�
0, �=�
0, encontrarías que los
cortes de la superficie son elipse (o circunferencias)
paralelas a los planos �� � ��, respectivamente.
Plano
coordenado
traza
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
(a)
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F(x, -y, z)=F(x, y ,z) Plano xz
F(x, y, -z)=F(x, y, z) Plano xy
F(-x, -y, z)=F(x, y, z) Eje z
F(-x, y ,-z)=F(x, y, z) Eje y
F(x, -y, -z)=F(x, y, z) Eje x
F(-x, -y, -z)=F(x, y, z) Origen
IV. Secciones por planos paralelos a los planos
coordenados
Los planos paralelos al plano �� tienen ecuación �=
�. La curva intersección entre la superficie y este plano
se obtiene sustituyendo �=� en la ecuación
elipsoide, resultando
�
2
9
+
�
2
16
=1−
??????
2
25
.
Si 1−
??????
2
25
>0, es decir |�|<5, la curva es una elipse
en el plano �=�.
V. Extensión de la superficie de
�
2
9
+
�
2
16
+
�
2
25
=1 se
tiene �=|5|√1−
�
2
9
−
�
2
16
de donde
�
2
9
+
�
2
16
≤1
VI. Gráfico de la superficie
El cilindro elíptico: 22
1
49
xy
Como el cilíndrico parabólico 2
zy
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe
considerando seis superficies cuádricas adicionales y
bien definidas.
ELIPSOIDE. - Se dice que la gráfica de cualquier
ecuación de la forma 2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
, donde �>�,�>0 � �>0
Es un elipsoide. Para 0
yb , la ecuación 222
0
2 2 2
1
yxz
a c b
Representa una familia de elipses (o circunferencia si
�=�) paralelas al plano que se forman cortando la
superficie mediante planos �=�
0. Eligiendo, cada
uno a su vez, �=�
0, �=�
0, encontrarías que los
cortes de la superficie son elipse (o circunferencias)
paralelas a los planos �� � ��, respectivamente.
Plano
coordenado
traza
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
(a)
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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma 2 2 2
2 2 2
1
x y z
abc
, donde �>0,�>0 � �>0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un
plano �=�
0, paralelo al plano ��, corta la superficie
en secciones transversales elípticas (o circulares, si
� = 0). Las ecuaciones de estas elipses son
222
0
2 2 2
1
yxz
a b c
, donde �>0,�>0 � �>0
La elipse más pequeña, �
0=0, corresponde a las
trazas en el plano ��.
Plano
coordenado
traza
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) hipérbola:
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1
��(�=0) hipérbola:
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1
(a)
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una gráfica de 2 2 2
2 2 2
1
x y z
abc
, donde �>0,�>0 � �>0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para0
yb la ecuación
222
0
2 2 2
1
yxz
a c b
Describe la curva elíptica de intersección de la
superficie con el plano �=�
0
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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma 2 2 2
2 2 2
1
x y z
abc
, donde �>0,�>0 � �>0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un
plano �=�
0, paralelo al plano ��, corta la superficie
en secciones transversales elípticas (o circulares, si
� = 0). Las ecuaciones de estas elipses son
222
0
2 2 2
1
yxz
a b c
, donde �>0,�>0 � �>0
La elipse más pequeña, �
0=0, corresponde a las
trazas en el plano ��.
Plano
coordenado
traza
��(�=0) Elipse:
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) hipérbola:
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1
��(�=0) hipérbola:
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1
(a)
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una gráfica de 2 2 2
2 2 2
1
x y z
abc
, donde �>0,�>0 � �>0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para0
yb la ecuación
222
0
2 2 2
1
yxz
a c b
Describe la curva elíptica de intersección de la
superficie con el plano �=�
0
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Plano
coordenado
traza
��(�=0) hipérbola:
−
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) ninguna
��(�=0) hipérbola:
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1
(a)
PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma 22
22
xy
cz
ab
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que
para �>0, los planos �=�
0 >0, paralelos al plano,
cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son 22
022
xy
cz
ab
Plano
coordenado
traza
��(�=0) punto: (0; 0)
��(�=0) parábola:
�
2
�
2
=��
��(�=0) parábola:
�
2
�
2
=��
(a)
CONO
Las gráficas de una ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
, �>0,�>0 � �>0
Son llamados conos elípticos (o circular, si �=�). Para
�
0 arbitrario, los planos paralelos al plano �� cortan la
superficie en elipses cuyas ecuaciones son 222
0
2 2 2
zxy
a b c
En la siguiente figura se muestra una gráfica
característica
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CIENCIAS E
INGENIERÍA
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Plano
coordenado
traza
��(�=0) hipérbola:
−
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
��(�=0) ninguna
��(�=0) hipérbola:
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1
(a)
PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma 22
22
xy
cz
ab
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que
para �>0, los planos �=�
0 >0, paralelos al plano,
cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son 22
022
xy
cz
ab
Plano
coordenado
traza
��(�=0) punto: (0; 0)
��(�=0) parábola:
�
2
�
2
=��
��(�=0) parábola:
�
2
�
2
=��
(a)
CONO
Las gráficas de una ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
, �>0,�>0 � �>0
Son llamados conos elípticos (o circular, si �=�). Para
�
0 arbitrario, los planos paralelos al plano �� cortan la
superficie en elipses cuyas ecuaciones son 222
0
2 2 2
zxy
a b c
En la siguiente figura se muestra una gráfica
característica
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Plano
coordenado
traza
��(�=0) punto: (0; 0)
��(�=0) rectas:
�=∓
�
�
�
��(�=0) rectas:
�=∓
�
�
�
(a)
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se
conoce como paraboloide hiperbólico y es la gráfica de
toda ecuación de la forma 22
22
yx
cz
ab
, �>0,�>0
Observe que para �>0 los planos, �=�
0, paralelo al
plano ��, cortan la superficie en hipérbolas cuyas
ecuaciones son 22
022
yx
cz
ab
En la figura, se muestra la forma característica de la silla
de montar de un paraboloide hiperbólico.
Plano
coordenado
traza
��(�=0) rectas:
�=∓
�
�
�
��(�=0) parábola:
−
�
2
�
2
=��
��(�=0) parábola:
�
2
�
2
=��
(a)
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Plano
coordenado
traza
��(�=0) punto: (0; 0)
��(�=0) rectas:
�=∓
�
�
�
��(�=0) rectas:
�=∓
�
�
�
(a)
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se
conoce como paraboloide hiperbólico y es la gráfica de
toda ecuación de la forma 22
22
yx
cz
ab
, �>0,�>0
Observe que para �>0 los planos, �=�
0, paralelo al
plano ��, cortan la superficie en hipérbolas cuyas
ecuaciones son 22
022
yx
cz
ab
En la figura, se muestra la forma característica de la silla
de montar de un paraboloide hiperbólico.
Plano
coordenado
traza
��(�=0) rectas:
�=∓
�
�
�
��(�=0) parábola:
−
�
2
�
2
=��
��(�=0) parábola:
�
2
�
2
=��
(a)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio
completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la
superficie y hacer un gráfico aproximado.
1. 2 2 2
4 8 2 2 3 0x y z x y z
(Hiperboloide de una hoja con centro en
�=(1,1,−1))
2. 2 2 2
8 8 6 24 0x y z y z (esfera)
3. 2 2 2
2 4 8x y z (cono elíptico de 2 hojas)
4. 2 2 2
10 25 0x y z z (cono circular)
5. 22
36 36 9y x z (paraboloide elíptico)
6. 22
5x z y (paraboloide hiperbólico)
7. 2 2 2
4 4 6 16 16 5 0x y z x y z
(Hiperboloide de una hoja)
8. 22
20y z x (paraboloide circular recto)
9. 22
3 2 11z x y (paraboloide)
10. 2 2 2
1
4 9 9
z y x
(hiperboloide de dos hojas)
12. 22
1xz 13. 2
1xz
14. 22
41xy 15. 22
4 36xy
16. 2
4xy
17. 22
4 16xz (cilindros)
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Referencias
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-
superficiescuadraticas/
http://utecmat.blogspot.pe/2014/07/superficies-
cuadricas.html
http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes
/historia.pdf
http://migueltarazonagiraldo.com/
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938
Página 6 de 7
EJERCICIOS PROPUESTOS
Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio
completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la
superficie y hacer un gráfico aproximado.
1. 2 2 2
4 8 2 2 3 0x y z x y z
(Hiperboloide de una hoja con centro en
�=(1,1,−1))
2. 2 2 2
8 8 6 24 0x y z y z (esfera)
3. 2 2 2
2 4 8x y z (cono elíptico de 2 hojas)
4. 2 2 2
10 25 0x y z z (cono circular)
5. 22
36 36 9y x z (paraboloide elíptico)
6. 22
5x z y (paraboloide hiperbólico)
7. 2 2 2
4 4 6 16 16 5 0x y z x y z
(Hiperboloide de una hoja)
8. 22
20y z x (paraboloide circular recto)
9. 22
3 2 11z x y (paraboloide)
10. 2 2 2
1
4 9 9
z y x
(hiperboloide de dos hojas)
12. 22
1xz 13. 2
1xz
14. 22
41xy 15. 22
4 36xy
16. 2
4xy
17. 22
4 16xz (cilindros)
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Referencias
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-
superficiescuadraticas/
http://utecmat.blogspot.pe/2014/07/superficies-
cuadricas.html
http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes
/historia.pdf
http://migueltarazonagiraldo.com/
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938
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http://www.monografias.com/trabajos-
pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-
cuadraticas.shtml
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cu
adricas/marco_cuadricas.htm
https://algebraunq.wikispaces.com/file/view/Las+6+Su
perficies-Cuadricas.pdf
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/12852466
26_1262616935.pdf
http://orientacionuniversitaria.weebly.com/uploads/4/0
/0/1/40018067/resumen_superficiescuadricas_parcial1
_ingridrovelo_calculo2.pdf dipositive
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938
Página 7 de 7
http://www.monografias.com/trabajos-
pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-
cuadraticas.shtml
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cu
adricas/marco_cuadricas.htm
https://algebraunq.wikispaces.com/file/view/Las+6+Su
perficies-Cuadricas.pdf
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/12852466
26_1262616935.pdf
http://orientacionuniversitaria.weebly.com/uploads/4/0
/0/1/40018067/resumen_superficiescuadricas_parcial1
_ingridrovelo_calculo2.pdf dipositive
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