Superficies en el espacio (2)

1. Captulo 2
Supercies en el espacio
2.1. Supercies regulares en el espacio.
Intuitivamente, una supercie es un subconjunto deR
3
donde cada punto tiene un
entorno similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado. Ejemplos triviales de
supercies son un plano, una esfera y cilindro, un toro de revolucion... (Figura 2.1). Pero
antes de denir rigurosamente que es una supercie regular, quizas convenga comentar
queno esuna supercie, es decir, que patologas no admitiremos (la razon principal de
estas exclusiones sera que queremos aplicar el Analisis para estudiar supercies, lo que
exige ciertos mnimos de diferenciabilidad, esto no dice que nuestra denicion de supercie
sea la unica posible).
Por ejemplo, no admitiremos que una supercie tenga picos, como le ocurre en un
poliedro, en un cono o en el conjuntof(x; y; z)2R
3
jy
2
=z
3
grepresentado en la Figura 2.2
derecha. Tampoco admitiremos como supercies aquellas que tengan autointersecciones,
Figura 2.1: Algunas supercies sencillas.
27

2. 28 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Figura 2.2: Algunos conjuntos que no admitiremos como supercies.Figura 2.3: La gura de la izquierda no se admitira como supercie regular, pero las otras
dos s.
como la de la izquierda en la Figura 2.3. S seran admisibles guras de topologa complicada
(Figura 2.3 derecha) o no compactas (Figura 2.3 centro, notese que solo se representa una
parte de la supercie).
Denicion 2.1.1Unasupercie(regular) es un subconjuntoSR
3
tal que cadap2S
tiene asociado un abiertoUR
2
, un entorno abiertoVdepenR
3
y una aplicacion
diferenciableX:U!R
3
que cumple
1.X(U) =V\S.
2.X:U!V\Ses un homeomorsmo.
3. Xen cualquier puntoq2U,dXq:R
2
!R
3
, es un monomorsmo.
AXse le llamaparametrizaciondeSalrededor dep. Decir queX=X(u; v) = (x(u; v);
y(u; v); z(u; v)) es diferenciable equivale a que las funcionesx; y; zsean de claseC
1
. Ya

3. 2.1. SUPERFICIES REGULARES EN EL ESPACIO. 29
Figura 2.4: Parametrizacion de una supercie.
queX:U!R
3
es diferenciable, en particular es continua luegoX:U!V\Ses
continua. Es decir, la condicion 2 anterior solo exige queX:U!V\Ssea biyectiva y
queX
1
:V\S!Usea continua. La condicion 3 equivale a exigir que los vectores
@X
@u
(q),
@X
@v
(q) sean linealmente independientes para todoq2U. A las variablesu; vdeXse les
llamacoordenadas localesdeS, y a las curvas espacialesu7!X(u; v0),v7!X(u0; v),
curvas coordenadasde la parametrizacion, ver Figura 2.4. Una forma intuitiva de ver las
parametrizaciones es como asignaciones de coordenadas bidimensionales en un trozo de
supercie, como hacen los mapas con una extension de terreno.
Uno podra decir que las supercies son el analogo bidimensional de las curvas espa-
ciales; sin embargo, hay notables diferencias entre la forma de tratar cada caso: las curvas
eran aplicaciones mientras que las supercies son subconjuntos deR
3
, las primeras podan
tener picos o autointersecciones, pero las segundas no.
Como primer ejemplo de supercie, consideremos la aplicacionX:R
2
!R
3
,X(u; v) =
(u; v;0). Entonces,Xes una parametrizacion y su imagen, el planofz= 0g, es una
supercie. Es facil probar que siSR
3
es una supercie yOSes una abierto suyo,
entoncesOes tambien una supercie. Tambien es facil demostrar que si:O1!O2es
un difeomorsmo entre dos abiertos deR
3
ySes una supercie contenida enO1, entonces
(S) es tambien una supercie deR
3
. En particular,cualquierplano afn deR
3
es una
supercie.
Un ejemplo algo mas elaborado es el helicoide. Consideremos una helice circular(u) =
(cosu;sinu; au),a >0. Por cada punto(u) de la helice trazamos la recta horizontal que
une ese punto con el eje OZ,f(vcosu; vsinu; au)jv2Rg. El conjunto de puntos formado
de esta manera se llama unhelicoide:
(2.1) S=f(vcosu; vsinu; au)ju; v2Rg:

4. 30 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
La aplicacionX:R
2
!R
3
dada porX(u; v) = (vcosu; vsinu; au) es una parametrizacion
de todos los puntos del helicoide, por lo que este es una supercie.
Lema 2.1.1SeaX:UR
2
!R
3
una aplicacion diferenciable, dondeUes un abierto
deR
2
. Supongamos queq02Ucumple quedXq0
:R
2
!R
3
es inyectiva. Entonces, existe
un entorno abiertoWdeq0conWUy una proyeccion ortogonal:R
3
!R
2
sobre
alguno de los planosfx= 0g,fy= 0gofz= 0gtales que
1.(X)(W)es un abierto deR
2
y:=X:W!W
0
:= (X)(W)es un
difeomorsmo.
2.S=X(W)es una supercie deR
3
yXes una parametrizacion (global) deS.
Demostracion.Por hipotesis, la matriz Jacobiana
dXq0

0
@
xu(q0)xv(q0)
yu(q0)yv(q0)
zu(p0)zv(q0)
1
A
tiene rango 2. As, uno de sus menores de orden tendra determinante distinto de cero.
Supongamos que




xu(q0)xv(q0)
yu(q0)yv(q0)




6= 0
(los otros casos son analogos). Consideremos la proyeccion:R
3
! fz= 0g R
2
,
(x; y; z) = (x; y), y la aplicacion diferenciableX:U!R
2
, (X)(u; v) = (x(u; v); y(u; v)).
Entonces, la diferencial deXenq0es regular luego el teorema de la funcion inversa ase-
gura que existen abiertosWUconteniendo aq0yW
0
R
2
conteniendo a (X)(q0)
tales que (X)(W) =W
0
yX:W!W
0
es un difeomorsmo, lo que prueba el
apartado 1.
Para probar el apartado 2, basta ver queX:W!X(W) =Ses una parametrizacion
deS. Esto se tendra si probamos que
X:W!X(W) es un homeomorsmo, y
La diferencialdXqes inyectiva en cada puntoq2W.
Consideremos el difeomorsmo=X:W!W
0
. Entonces,Y:=X
1
:W
0
!R
3
es diferenciable y se escribe
Y(a; b) = (a; b; f(a; b));8(a; b)2W
0
:
para cierta funcion (diferenciable)f:W
0
!R. ComoXeYse diferencian en un difeo-
morsmo, los dos puntos anteriores se tendran paraXsi y solo si se tienen paraY, y que
Ylos cumple es trivial. 2
CambiandoXporYen el ultimo lema, tenemos el siguiente resultado:

5. 2.2. EJEMPLOS DE SUPERFICIES. 31
Corolario 2.1.1Dado cualquier punto en una supercieS, existe una parametrizacion
deSalrededor depcomo grafo de una funcion diferenciable:
X(u; v) = (u; v; f(u; v))o bienX(u; v) = (u; f(u; v); v)o bienX(u; v) = (f(u; v); u; v):
Como el origen en una de las hojas del conofz
2
=x
2
+y
2
; z0g, no admite una
parametrizaciondiferenciablede tipo grafo, conclumos que tampoco una de las hojas del
cono es una supercie alrededor del origen.
2.2. Ejemplos de supercies.
2.2.1. Grafos.
SeaOun abierto deR
2
yf:O!Runa funcion diferenciable. Consideremos el grafo
def,
G(f) =f(u; v; f(u; v))j(u; v)2Og:
Se dene ahoraX:U=O!R
3
medianteX(u; v) = (u; v; f(u; v)). Es facil comprobar
queXes una parametrizacion deG(f) alrededor de cualquier puntop2G(f). Por tanto,
G(f) es una supercie. Por ejemplo, un paraboloide elpticoS=f(x; y; z)jz=x
2
+y
2
g
y un paraboloide hiperbolicoS=f(x; y; z)jz=x
2
y
2
gson supercies.
2.2.2. Supercies en forma implcita.
Otro metodo general de construir supercies es de forma implcita: SiOes un abierto
deR
3
,F:O!Runa funcion diferenciable ya2R, >CuandoS=F
1
(fag) es una
supercie? Desde luego, habra que imponer alguna condicion adicional ya que el cono
esta dado por la ecuacion implcitax
2
+y
2
z
2
= 0 y no es una supercie. En este
caso particular lo que falla es la condicion 3 de supercie, y este fallo procede de que la
diferencial defen (0;0;0) se anula. En esta lnea, tenemos el siguiente resultado:
Proposicion 2.2.1SeaOun abierto deR
3
yF:O!Runa funcion diferenciable.
Sia2Res unvalor regulardef, es decir, para todop2F
1
(fag)la diferencial
dFp:R
3
!Res no nula yF
1
(fag)6= , entoncesS=F
1
(fag)es una supercie.
Demostracion.Seap0= (x0; y0; z0)2S. Como la diferencial deFenp0no es nula, alguna
de las derivadas parciales deFno se anula. Sin perdida de generalidad, supondremos
@F
@z
(p0)6= 0. Consideremos la aplicacion diferenciableH:O!R
3
dada por
H(x; y; z) = (x; y; F(x; y; z)):

6. 32 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Entonces, la matriz jacobiana deHenp0es
0
@
1 0 0
0 1 0
Fx(p0)Fy(p0)Fz(p0)
1
A;
donde como siempreFx=
@F
@x
, etc. una matriz regular, luego por el teorema de la funcion
inversa existe un entorno abiertoO1dep0contenido enOy un entorno abierto de (x0; y0; a)
tal queH:O1!O2es un difeomorsmo. Su inversa es del tipo
H
1
(u; v; w) = (u; v; f(u; v; w));(u; v; w)2O2;
para cierta funcion diferenciablef:O2!R. Esto nos dice queHtransformaO1\F
1
(fag)
enO2\ f(u; v; a)j(u; v)2R
2
g. ComoO2\ f(u; v; a)j(u; v)2R
2
ges una supercie de
R
3
yHes un difeomorsmo, conclumos queO1\F
1
(fag) tambien es una supercie, lo
que termina la demostracion. 2
Todo grafofz=f(x; y)gpuede escribirse de forma implcita, sin mas que escribir
F(x; y; z) =f(x; y)z, que tiene a 0 como valor regular. Veamos algunos ejemplos mas
interesantes de supercies que pueden escribirse como imagen inversa de un valor regular:
1.La esfera.Dadosp02R
3
yr >0, la esferaS
2
(p0; r) =fp2R
3
j kpp0k=
rgpuede escribirse comoF
1
(fr
2
g) paraF:R
3
!R,F(p) =kpp0k
2
, yr
2
es
valor regular deF, luegoS
2
(p0; r) es una supercie. Tambien es posible recubrir
S
2
(p0; r) por imagenes de parametrizaciones: dos proyecciones estereogracas desde
puntos antpodas, o bien seis proyecciones ortogonales de hemisferios en los discos
coordenados.
2.El elipsoide.Dadosa; b; c >0,S=f(x; y; z)j
x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
2= 1g=F
1
(f1g)
dondeF:R
3
!R,F(x; y; z) =
x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
2y 1 es valor regular deF.
3.El cilindro.S=f(x; y; z)jx
2
+y
2
= 1g=F
1
(f1g) dondeF:R
3
!R,
F(x; y; z) =x
2
+y
2
y 1 es valor regular deF.
4.El paraboloide elptico.S=f(x; y; z)jx
2
+y
2
=zg=F
1
(f0g) donde
F:R
3
!R,F(x; y; z) =x
2
+y
2
zy 0 es valor regular deF.
5.El paraboloide hiperbolico.S=f(x; y; z)jx
2
y
2
=zg=F
1
(f0g) donde
F:R
3
!R,F(x; y; z) =x
2
y
2
zy 0 es valor regular deF.
6.El hiperboloide reglado (o de una hoja).S=f(x; y; z)jz
2
+ 1 =x
2
+y
2
g=
F
1
(f1g) dondeF:R
3
!R,F(x; y; z) =x
2
+y
2
z
2
y 1 es valor regular deF.

7. 2.2. EJEMPLOS DE SUPERFICIES. 33
Figura 2.5: Toro de revolucion.
7.El hiperboloide elptico (o de dos hojas).S=f(x; y; z)jz
2
1 =x
2
+y
2
g=
F
1
(f1g) dondeF:R
3
!R,F(x; y; z) =x
2
+y
2
z
2
y1 es valor regular deF.
8.El cono menos el origen.S=f(x; y; z)2R
3
f(0;0;0)g jz
2
=x
2
+y
2
g=
F
1
(f0g) dondeF:R
3
f(0;0;0)g !R,F(x; y; z) =x
2
+y
2
z
2
y 0 es valor
regular deF(podemos extender diferenciablementeFal origen conF(0;0;0) = 0,
pero entonces 02Rdeja de ser valor regular de la extension).
9.El toro de revolucion.Sean 0< r < ayS=f(x; y; z)2R
3
j(
p
x
2
+y
2
a)
2
+
z
2
=r
2
g=F
1
(fr
2
g) dondeF:R
3
fejezg !R,F(x; y; z) = (
p
x
2
+y
2
a)
2
+z
2
yr
2
es valor regular deF(ver Figura 2.5).
10.El helicoide.Seaa >0. Llamandox=vcosu,y=vsinu,z=aua las compo-
nentes de un punto cualquiera del helicoide (2.1), tenemosxsin(z=a) =ycos(z=a).
DenimosF:R
3
!RmedianteF(x; y; z) =xsin(z=a)ycos(z=a). Entonces, 0 es
un valor regular deFyF
1
(f0g) es el helicoide.
11.
aristas), pero puede aproximarse por supercies compactas: Dadon1, seaSn=
f(x; y; z)jx
2n
+z
2n
+z
2n
= 1g. Entonces,Sn=F
1
n(f1g) paraF(x; y; z) =x
2n
+
y
2n
+z
2n
y 1 es valor regular deFn. Puede probarse que cuandon! 1,Sntiende
al cubo [1;1]
3
(ver Figura 2.6).
2.2.3. Supercies de revolucion.
Uno de los ejemplos anteriores es el toro de revolucion, obtenido al girar alrededor del
eje OZ la circunferencia en el planofx= 0gcentrada en (0; a;0) de radior. Este ejemplo
sugiere que tambien podremos construir supercies rotando alrededor del eje OZ ciertas

8. 34 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Figura 2.6: La supercie compactaSnparan= 4 esta proxima al cubo unidad.
curvas en el planofx= 0g. Pero debemos imponer ciertas condiciones sobre las curvas
generatrices para que al rotarlas se obtengan supercies deR
3
.
Tomemos una curva plana regular:I! fx= 0g R
3
, que vendra dada por
(t) = (0; f(t); g(t)),t2I. Supongamos quef(t)>0 para todot2Iy que una de las
dos condiciones siguientes se cumple:
1.es inyectiva.
2.I=R,es periodica de perodo mnimoT >0 yes inyectiva en [0; T).
El conjunto obtenido al rotaralrededor del eje OZ es
S=f(f(t) cos; f(t) sin; g(t))jt2I; 2Rg:
Para comprobar queSes una supercie, denimos parametrizaciones. SeaX:IR!
R
3
la aplicacion diferenciable dada porX(u; v) = (f(u) cosv; f(u) sinv; g(u)). Entonces,
Xj
(0;2)yXj
(;)son dos parametrizaciones deS(Ejercicio 1). Como las imagenes de
Xj
(0;2)yXj
(;)recubren aS, deducimos queSes una supercie, llamadade revolucion.
Como ejemplos podemos citar:
1.(t) = (0;cost;sint),t2R, produce la esfera unidad.
2.(t) = (0;1; t),t2R, produce el cilindro vertical de radio 1 centrado en el eje OZ.
3.(t) = (0;cosht;sinht),t2R, produce el hiperboloide reglado.
4.(t) = (0;sinht;cosht),t2(0;1), producen las dos hojas del hiperboloide elpti-
co, cada una menos el punto de corte con el eje OZ.

9. 2.2. EJEMPLOS DE SUPERFICIES. 35
5.(t) = (0; t;t),t2(0;1), producen las dos componentes del cono menos el origen.
6.(t) = (0; r(a+ cost); rsint),t2R, produce el toro de revolucion de parametros
0< r < a.
7.(t) = (0;cosht; t),t2R, produce lacatenoideS=f(x; y; z)jx
2
+y
2
= cosh
2
zg
(a la generatrizse la llamacatenaria).
2.2.4. Supercies regladas.
Una supercie se diceregladasi por cada punto deSpasa una lnea recta contenida
enS. Los ejemplos mas simples de supercies regladas son el plano, el cilindro y el cono.
Un poco mas elaborados son el hiperboloide reglado o el helicoide. Mas concretamente,
una supercie reglada es aquella en la que cada punto admite una parametrizacion del
tipo
(t; v)2IR7!X(t; v) =(t) +ve(t)
dondeIes un intervalo abierto,:I!R
3
es una curva diferenciable con traza contenida
en la supercie, ye:I!R
3
es una curva diferenciable regular con traza contenida en la
esfera unidad. As,f(t)+ve(t)jv2Rgparametriza la recta afn que pasa por(t) con ve-
locidade(t). Veamos que (localmente),Xcumple las propiedades de una parametrizacion
si y solo si
(?) Para cadat2I,f
0
(t); e(t); e
0
(t)ges una base deR
3
.
Como solo nos interesa el comportamiento local, del Lema 2.1.1 conclumos que basta
probar que (?) equivale a queXt; Xvsean linealmente independientes en cada punto.
PeroXt=
0
+ve
0
yXv=e. Es obvio que si suponemos cierto (?) entoncesXt; Xv
son linealmente independientes. Recprocamente, supondamos queXt; Xvson linealmente
independientes en cada (t; v). Evaluando en (t;0) tenemos quef(t); e(t)gson linealmente
independientes. As, si (?) no se cumple, existirat02Ital quee
0
(t0) =
0
(t0) +e(t0)
para ciertos; 2R. Omitiendo el punto (t0; v) en lo que sigue, tenemos:
06=XtXv= [
0
+v(
0
+e)]e= (1 +v)
0
e;
luego 1 +v6= 0 para todov2R, y as,6= 0. Esto implicae
0
(t0) =e(t0), lo cual es
imposible por sere
0
(t0)6= 0 ortogonal al vector unitarioe(t0).
Veamos algunos ejemplos de supercies regladas.
1.(t) = (t;0;0),e(t) = (0;1;0) produce el planofz= 0g.
2.(t) = (cost;sint;0),e(t) = (0;0;1) produce el cilindrofx
2
+y
2
= 1g.

10. 36 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Figura 2.7: Cinta de Mobius reglada.
3.(t) = (0;0;0),e(t) =
1
p
2
(cost;sint;1) produce el conofx
2
+y
2
=z
2
g(hay que
quitarle el origen para que sea una supercie).
4.(t) = (t;0; t
2
),e(t) =
1
p
2(1+t
2
)
(1;1;2t) son dos familias de rectas distintas pasan-
do por cada punto del paraboloide hiperbolico.
5.(t) = (cost;sint;0),e(t) =
1
p
2
(sint;cost;1) son dos familias de rectas distintas
pasando por cada punto del hiperboloide de una hoja.
6.(t) = (cos(2t);sin(2t);0),e(t) = (costcos(2t);costsin(2t);sint) produce lacinta de
Mobius(Figura 2.7).
Una supercie se dicedoblemente regladasi a traves de cada punto pasan dos rectas
distintas contenidas en la supercie. Por ejemplo, el paraboloide hiperbolico y el hiperbo-
loide de una hoja son supercies doblemente regladas. El plano es la unica supercie que
contiene tres rectas distintas a traves de cada uno de sus puntos.
Las propiedades de ser reglada o doblemente reglada se conservan por un tipo especial
de transformaciones deR
3
, llamadas transformaciones proyectivas. Por ello, las supercies
regladas son importantes en Geometra Algebraica.
2.3. Funciones y aplicaciones diferenciables.
El principal objetivo de esta seccion es estudiar el concepto de diferenciabilidad para
funciones denidas en supercies, para poder extender el calculo diferencial a objetos
mas generales que abiertos de un plano. Para ello, necesitamos probar que el cambio de
parametros en una supercie es un difeomorsmo.

11. 2.3. FUNCIONES Y APLICACIONES DIFERENCIABLES. 37
Figura 2.8: Cambio de parametros.
Teorema 2.3.1 (Los cambios de parametros son difeomorsmos)
SeanXi:UiR
2
!R
3
,i= 1;2, dos parametrizaciones de una supercieStal que
O=X1(U1)\X2(U2)6= . Entonces, elcambio de parametrosX
1
2
X1:X
1
1
(O)!
X
1
2
(O)es un difeomorsmo entre abiertos deR
2
(Figura 2.8).
Demostracion.Por denicion de parametrizacion,:=X
1
2
X1:X
1
1
(O)!X
1
2
(O) es
un homeomorsmo entre abiertos deR
2
. Por tanto, basta probar quees diferenciable
alrededor de cada puntop02X
1
1
(O) (y luego aplicaremos el mismo argumento cambiando
los subndices). Por el Lema 2.1.1, existe un entorno abiertoWdep0conWUy
una proyeccion ortogonal:R
3
!R
2
sobre alguno de los planosfx= 0g,fy= 0g
ofz= 0g(supondremos que es este ultimo) tales que (X2)(W) es un abierto deR
2
y
X2:W!(X2)(W) es un difeomorsmo. Comoes un homeomorsmo,
1
(W)
es un entorno abierto dep0y en este entorno podemos escribir
=X
1
2
X1= (X2)
1
X1:
Luegoj

1
(W)es composicion de tres aplicaciones diferenciables, y es por tanto diferen-
ciable. 2
Ya podemos pasar la nocion de diferenciabilidad del Analisis a la Geometra Diferencial
de supercies.
Denicion 2.3.1Seaf:S!Runa funcion denida sobre una supercieS. Dadop2S,
diremos quefesdiferenciableenpsi para toda parametrizacionX:UR
2
!R
3
deS
alrededor dep, funcionfX:U!R
2
es diferenciable en el puntoq2Utal queX(q) =p.
Diremos quefes diferenciable enScuando sea diferenciable en todos los puntos deS.

12. 38 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
En la denicion anterior, podemos cambiar \para toda parametrizacion" por \existe una
parametrizacion", gracias al Teorema 2.3.1. A continuacion usaremos la denicion anterior
para extender el concepto de funcion diferenciable a un contexto mas general.
Denicion 2.3.2SeaSuna supercie.
1. F= (f1; : : : ; fn):S!R
n
esdiferenciablesifi:S!R
es diferenciable para todoi= 1; : : : ; n.
2. Oun abierto deR
n
yF:O!Suna aplicacion.Fse dicediferenciablesi
iF:O!R
3
es diferenciable, dondei:S!R
3
es la inclusion.
3.
e
Sotra supercie. Una aplicacionF:S!
e
Sse diradiferenciablesiiF:S!R
3
es diferenciable (ahoraies la inclusion de
e
SenR
3
).
Veamos algunas propiedades practicas de la diferenciabilidad.
Proposicion 2.3.11.
2. Oun abierto deR
2
yf:O!Runa funcion. Entonces,fes diferenciable en el
sentido de la Denicion 2.3.2 si y solo si lo es en el sentido del Analisis.
3.
abierto suyo es diferenciable.
4. Suna supercie,F; G:S!R
n
aplicaciones diferenciables y2R. Entonces,
las aplicacionesF+G,F:S!R
n
yhF; Gi:S!Rson diferenciables. Sin= 1
yG(p)6= 0para cadap2S, entoncesF=G:S!Res diferenciable. Sin= 3,
entoncesFG:S!R
3
es diferenciable.
5. Oun abierto deR
3
ySuna supercie conSO. SiF:O!R
n
es una
aplicacion diferenciable, entoncesFjS:S!R
n
es diferenciable. En particular, la
inclusioni:S!R
3
, la identidad1S:S!Sy las aplicaciones constantes denidas
enSson diferenciables.
6. X:UR
2
!R
3
es una parametrizacion de una supercieS, entonces las
aplicacionesX:U!SyX
1
:X(U)!Uson diferenciables.
7. F:S1!S2yG:S2!S3aplicaciones diferenciables dondeS1,S2yS3son
supercies o abiertos de un espacio Eucldeo, entoncesGF:S1!S3es diferen-
ciable.
Demostracion.Ejercicio. 2
Hay algunas funciones diferenciables especialmente importantes desde el punto geometrico,
como la funcion altura o la funcion distancia (al cuadrado) para una supercieSR
3
.

13. 2.4. PLANO TANGENTE. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL. 39
1. a2R
3
f0gyp02, lafuncion altura
respecto a es la aplicacionh:S!Rdada porh(p) =hpp0; ai,p2S. Cuando
kak= 1, entonceshmide la altura (con signo) de los puntos deSrelativa al plano .
2. p02R
3
, lafuncion distancia al cuadradorespecto ap0es la aplicacionf:S!
Rdada porf(p) =kpp0k
2
,p2S. Ccuandop0=2S, la raz positivad=
p
fes
diferenciable,y se llama lafuncion distanciaap0.
Denicion 2.3.3Undifeomorsmoentre dos superciesS1yS2aplicacion diferenciable
y biyectivaF:S1!S2tal queF
1
:S2!S1tambien es diferenciable. La identidad es
un difeomorsmo, la inversa de un difeomorsmo vuelve a ser difeomorsmo, lo mismo
que la composicion. Diremos que dos superciesS1yS2sondifeomorfascuando exista
un difeomorsmo:S1!S2(esta es una relacion de equivalencia). Un resultado de
Topologa Diferencial, que excede los contenidos de este curso, asegura quedos supercies
homeomorfas son siempre difeomorfas.
Proposicion 2.3.2
1. X:UR
2
!R
3
es una parametrizacion de una supercieS, entoncesX:U!
X(U)es un difeomorsmo.
2. Ses una supercie contenida en un abiertoOdeR
3
y:O!
e
Oes un difeomor-
smo deOen otro abierto
e
OdeR
3
, entoncesjS:S!(S)es un difeomorsmo.
Demostracion.Ejercicio. 2
2.4. Plano tangente. Primera forma fundamental.
A continuacion veremos el concepto de vector tangente a una supercie en un punto.
Esto nos permitira hablar de la diferencial de una aplicacion diferenciable y de poder
estudiar la geometra de una supercie por medio del calculo diferencial.
Denicion 2.4.1Seapun punto en una una supercieSR
3
. Un vectorv2R
3
se dice
tangente aSenpsi existe una curva diferenciable: ("; ")!SR
3
con(0) =py

0
(0) =v.
Es decir, los vectores tangentes a una supercie son los vectores tangentes a curvas espa-
ciales cuyas trazas estan contenidas en la supercie. El que el dominio deen la denicion
anterior sea ("; ") no es relevante, podra ser cualquier intervalo abierto.

14. 40 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
A continuacion denimos el mejor objeto lineal que aproxima una supercie en un
punto suyo (algo similar se hizo con curvas y sus rectas tangentes). Se dene elplano
tangenteaSenp2Scomo
T pS=fv2R
3
jves un vector tangente aSenpg:
Lema 2.4.1SeaSuna supercie,p2SyX:UR
2
!R
3
una parametrizacion deS
alrededor dep=X(q),q2U. Entonces,
TpS=dXq(R
2
):
En particular,TpSes un subespacio vectorial deR
2
con dimension 2, yfXu(q); Xv(q)ges
una base deTpS.
Demostracion.Seaw2R
2
. Consideremos el segmento: ("; ")!U,(t) =q+tw.
Para" >0 sucientemente peque~no, la traza deesta contenida enUluego=X
es una curva diferenciable con traza contenida enS, yw=
0
(0) tiene como imagen por
dXqa
0
(0)2TpS. Por tanto,dXq(R
2
)TpS.
Recprocamente, seav=
0
(0)2TpS, donde: ("; ")!Ses una curva diferenciable.
Por continuidad de, podemos tomar" >0 sucientemente peque~no de forma que("; ")
esta contenida enX(U). Ahora denimos=X
1
, que es una curva diferenciable
plana con(0) =qyv=
0
(0) = (X)
0
(0) =dXq(
0
(0)), as queTpSdXq(R
2
).2
Con la notacion anterior, si un vectorw2R
2
tiene coordenadas (a; b) en la base usual,
entonces las coordenadas dev=dXq(w)2TpSrespecto afXu(q); Xv(v)gson las mismas:
v=dXq(w) =dXq(a@u+b@v) =adXq(@u) +bdXq(@v) =aXu(q) +bXv(q):
Veamos algunos casos particulares de supercies is planos tangentes.
1. Ses una supercie,p2SyS1Ses un abierto deSconteniendo ap, entonces
TpS1=TpS.
2. Ses una supercie y:O1!O2es un difeomorsmo entre abiertos deR
3
con
SO1, entoncesT
(p)(S) =dp(TpS), para todop2S.
3. Sse escribe como imagen inversaS=F
1
(fag) de un valor regular
a2Rpara una funcion diferenciableF:O!R
3
(aquOes un abierto deR
3
),
entonces dadop2Ses
TpS= ker(dFp) =h(rF)pi
?
;
ya que la inclusionTpSker(dFp) es evidente y luego solo hay que razonar por
dimensiones.

15. 2.5. DIFERENCIAL DE UNA APLICACI

ON DIFERENCIABLE. 41
4. fp2R
3
j hpp0; ai= 0g(aqua2R
3
f0g
es un vector normal a ) en un puntop2 es el plano vectorial paralelo a ,
Tp =fv2R
3
j hv; ai= 0g(usar que =F
1
(f0g) paraF(p) =hpp0; aiy el
apartado anterior).
5. S
2
(p0; r) en un puntop2S
2
(p0; r) esTpS
2
(p0; r) =
fv2R
3
j hv; pp0i= 0g(usar queS
2
(p0; r) =F
1
(r
2
) paraF(p) =kpp0k
2
y el
apartado 3).
Dada una supercieSy un puntop2S, se dene laprimera forma fundamentaldeS
enpcomo la metrica euclidea
Ip:TpSTpS!R; Ip(v; w) =hv; wi:
2.5. Diferencial de una aplicacion diferenciable.
SeaSuna supercie yf:S!R
n
una aplicacion diferenciable. Dado un puntop2S,
dene ladiferencialdefenpcomo la aplicaciondfp:TpS!R
n
dada por
dfp(v) = (f)
0
(0) =
d
dt




t=0
(f)(t);
donde: ("; ")!Ses una curva diferenciable con(0) =
0
,
0
(0) =v.
As, en el caso de queSsea un abierto del plano, la diferencial coincide con la del
Analisis.
Proposicion 2.5.1En la situacion anterior:
1.dfp(v)esta bien denida, i.e. no depende de la curvaque representa al vectorv.
2. X:UR
2
!R
3
una parametrizacion deSalrededor dep=X(q),q2U. Si
(a; b)son las coordenadas dev2TpSrespecto a la basefXu(q); Xqg, entonces
(2.2) dfp(v) =d(fX)q(a; b):
3.dfp:TpS!R
n
es lineal.
Demostracion.Tomemos una parametrizacionXcomo en el apartado 2. Dadov2TpS,
tomemos una curva diferenciable: ("; ")!Scon(0) =p,
0
(0) =v. Tomando
" >0 sucientemente peque~no, podemos suponer que("; ")X(U). Llamemos=
X
1
: ("; ")!U, diferenciable. Entonces,
(f)
0
(0) = [(fX)]
0
(0)
(?)
=d(fX)q(
0
(0));

16. 42 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
donde en (?) hemos usado la regla de la cadena para aplicaciones diferenciables entre
abiertos de espacios Eucldeos. Segun vimos tras la demostracion del Lema 2.4.1, las coor-
denadas del vector
0
(0)2R
2
respecto a la base usual deR
2
son las mismas que las
coordenadas (a; b) devrespecto a la basefXu(q); Xv(q)gdeTpS. Es decir,
(f)
0
(0) =d(fX)q(a; b);
con lo que (f)
0
(0) no depende de la curva(ni de la parametrizacionX), sino solo de
fy dev. Esto prueba los apartados 1 y 2. El apartado 3 se deduce de (2.2) y de que la
diferencial del Analisis y la aplicacion que a cadav2TpSle asigna sus coordenadas (a; b)
respecto a la basefXu(q); Xv(q)gson lineales. 2
Veamos algunos casos particulares de funciones y sus diferenciales.
1. Ses una supercie,p2SyS1Ses un abierto deSque contiene ap, entonces
d(fjS1
)p=dfp(recordemos queTpS1=TpS).
2. Ses una supercie,OR
3
un abierto conteniendo aSyF:O!R
n
es una apli-
cacion diferenciable, entonces la diferencial deFjS:S!R
n
esd(FjS)p= (dFp)jS,
para todop2S.
3. f:S!R
n
es constante, entoncesdfp= 0 para todop2S. Recprocamente, si
dfp= 0 para todop2SySes conexa, entoncesfes constante.
4. i:S!R
3
es la inclusion yp2S, entoncesdipes la inclusion deTpSenR
3
.
5.Funcion altura.Sip02R
3
ya2R
3
f0g, la diferencial de la funcion altura
h:S!R,h(p) =hpp0; aies
dhp(v) =hv; ai;8p2S; v2TpS:
6.Funcion distancia al cuadrado.Sip02R
3
, la diferencial de la funcion distancia
al cuadradof:S!R,f(p) =kpp0k
2
es
dfp(v) = 2hv; pp0i;8p2S; v2TpS:
7.Funcion distancia.Sip02R
3
S, la diferencial de la funcion distanciaf:S!R,
h(p) =kpp0kes
dhp(v) =
hv; pp0i
kpp0k
;8p2S; v2TpS:

17. 2.5. DIFERENCIAL DE UNA APLICACI

ON DIFERENCIABLE. 43
A continuacion estudiamos la diferencial de aplicaciones que llegan a supercies, pri-
mero partiendo de un abierto de un espacio Eucldeo y luego partiendo de una supercie,
y con ello completaremos las posibilidades.
Seaf:OR
n
!Suna aplicacion diferenciable de un abiertoOdeR
n
en una
supercieS. Tras componerfcon la inclusioni:S!R
3
, obtenemos una aplicacion
diferenciablef:O!R
3
. Su diferencialdfp:R
n
!R
3
esta entonces bien denida en el
sentido del Analisis para cadap2O, es lineal y cumple
(2.3) dfp(v) =
d
dt




0
(f)(t);
dondepes cualquier punto enO,v2R
3
y: ("; ")!Oes una curva diferenciable
con(0) =p,
0
(0) =v. Dados talesp; v; , se tiene quet2("; ")7!(f)(t) es una
curva diferenciablevaluada enS,y por tanto (f)
0
(0)2T
f(p)S. Comoves arbitrario,
deducimos quedfp(R
n
)T
f(p)S. As, podemos considerar la restriccion (lineal)
dfp:R
n
!T
f(p)S;
que sera la denicion de diferencial def:O!Senp2O.
Ahora supongamos quef:S1!S2es una aplicacion diferenciable entre supercies.
Componemosfcon la inclusion deS2enR
3
, obteniendo una aplicacion diferenciable
f:S!R
3
, que por tanto tiene una diferencialdfp:TpS1!R
3
bien denida, lineal y
que cumple (2.3) para cadap2S1,v2TpS1y: ("; ")!S1curva diferenciable con
(0) =p,
0
(0) =v. Razonando como arriba llegamos a que la imagen dedfp:TpS1!R
3
esta contenida en el planoT
f(p)S2. Por tanto, dado un puntop2S1se dene la diferencial
def:S1!S2enpcomo la restricciondfp:TpS1!T
f(p)S2, que es lineal y viene dada
por
dfp(v) =dfp(
0
(0)) = (f)
0
(0)2T
f(p)S2;8v2TpS1:
Sabemos que la composicion de aplicaciones diferenciables vuelve a ser diferenciable
(apartado 7 de la Proposicion 2.3.1). Una vez denida la diferencial de una aplicacion
diferenciable en los tres casos posibles, extenderemos la regla de la cadena del Analisis a
esta nueva situacion.
Teorema 2.5.1 (Regla de la cadena)Seanf:S1!S2,g:S2!S3dos aplicaciones
diferenciables, dondeS1; S2; S3son supercies o abiertos de espacios Eucldeos. Dadop2
S1, se tiene
d(gf)p=dg
f(p)dfp:TpS1!T
(gf)(p)S3:
Demostracion.Ejercicio. 2

18. 44 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Si:S1!S2es un difeomorsmo entre supercies, entonces la regla de la cadena
aplicada a
1
y a
1
implica que para cada puntop2S1, la diferencialdp:TpS1!
T
(p)S2es un isomorsmo de espacios vectoriales y que
(d
1
)
(p)= (dp)
1
:
El recproco local es cierto, y es la version para supercies del Teorema de la funcion
inversa del Analisis.
Teorema 2.5.2 (Teorema de la Funcion Inversa)Seaf:S1!S2una aplicacion di-
ferenciable entre supercies y seap2S1. Sidfp:TpS1!T
f(p)S2es un isomorsmo de
espacios vectoriales, entonces existen entornos abiertosVdepenS1yWdef(p)enS2
tales quef(V) =WyfjV:V!Wes un difeomorsmo.
Demostracion.SeanXi:Ui!R
3
,i= 1;2, parametrizaciones deS1alrededor depy de
S2alrededor def(p), de forma quef(X(U1))X2(U2). Seanqi2Ui,i= 1;2, tales que
X1(q1) =p,X2(q2) =f(p). La aplicacionX
1
2
fX1:U1!U2es diferenciable, y su
diferencial enq1es un isomorsmo de espacios vectoriales ya que
d(X
1
2
fX1)q1
= (dX2)
1
q2
dfp(dX1)q1
;
y cada una de las tres diferenciales del miembro de la derecha es un isomorsmo. Aplicando
el Teorema de la funcion inversa del Analisis encontramos abiertosWiUiconqi2Wi
(i= 1;2) de forma que (X
1
2
fX1)(W1) =W2y (X
1
2
fX1)jW1
:W1!W2es un
difeomorsmo. Ahora basta denirUi=Xi(Wi),i= 1;2, para tener el enunciado.2
A partir del teorema anterior es razonable decir que una aplicacion diferenciable
f:S1!S2entre supercies es undifeomorsmo localsi para todop2S1existen en-
tornos abiertosVdepenS1yWdef(p) enS2tales quef(V) =WyfjV:V!Wes
un difeomorsmo.
En el siguiente resultado se estudian algunas propiedades de los difeomorsmos locales.
Proposicion 2.5.2Seaf:S1!S2una aplicacion diferenciable entre supercies.
1.fes un difeomorsmo local si y solo sidfp:TpS1!T
f(p)S2es un isomorsmo de
espacios vectoriales para todop2S1.
2. fes un difeomorsmo local, entoncesfes una aplicacion abierta.
Demostracion.Ejercicio. 2
Corolario 2.5.1SiS1; S2son dos supercies yS1S2, entoncesS1es un abierto de
S2.

19. 2.6. ORIENTABILIDAD. 45
Figura 2.9: Campos normales en un plano y una esfera.
Demostracion.Consideremos la inclusioni:S1!S2, diferenciable. Dadop2S1, la
diferencial deienpes la inclusion deTpS1enTpS2=TpS1, y por tanto es la identidad.
Por el teorema de la funcion inversa, existen entornos abiertosVdepenS1yWdepen
S2tales quei(V) =W(luegoV=W) yijV= 1V:V!Ves un difeomorsmo. Esto nos
dice queVes abierto enS2y por tanto,pes interior aS2. Comop2S1es arbitrario,
deducimos queS1es un abierto deS2. 2
Denicion 2.5.1Seaf:S!Runa aplicacion diferenciable denida en una supercie
S. Un puntop2Sse dicepunto crticodefsidfp= 0.
2.6. Orientabilidad.
SeaSR
3
una supercie. Uncampo de vectores(diferenciable) enSes una aplicacion
diferenciableV:S!R
3
. SiVp:=V(p)2TpSpara todop2S, diremos queVes un
campo tangenteaS. SiVp?TpSpara todop2S, diremos queVes uncampo normala
S. Un campounitarioes aquel que cumplekVpk= 1 para todop2S, ver Figura 2.9).
Dadop2S, existen exactamente dos vectores unitarios perpendiculares aTpS. Pero
>hasta donde podemos variar esta eleccion de forma suave? SiX:UR
2
!R
3
es una
parametrizacion deS, entonces existe un campo normal unitario denido sobre el abierto
X(U), a saber:
(2.4) N
X
=
XuXv
kXuXvk
X
1
:X(U)!S
2
:
SiSes conexa y admite un campo normal unitarioN:S
2
, entoncesNes otro campo
normal unitario global. Ademas, estos son los unicos campos normales unitarios posibles:

20. 46 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
siN1:S!S
2
es otro campo normal unitario, entonces consideramos el conjuntoA=
fp2Sj(N1)p=Npg. No es difcil ver queAes abierto y cerrado, luegoA= oA=S,
por serSconexa. En el primer caso,N1=Nmientras que en el segundo,N1=N.
Denicion 2.6.1Una supercie se diceorientablesi admite un campo normal unitario
global. Es claro que una supercie orientable conexa admite exactamente dos campos
normales unitarios globales, a los que llamaremosorientacionesde la supercie. Si elegimos
una orientacion en una supercie orientable, diremos que la supercie estaorientada.
SiSesta orientada por un campo normal unitarioN:S!S
2
yp2S, entonces
una basefv1; v2gdeTpSse dicepositivamente orientadasi det(v1; v2; Np)>0. En caso
contrario diremos que la base estanegativamente orientada.
Toda supercie es localmente orientable, y es orientable si admite una parametrizacion
global. Por ejemplo, los planos anes y los grafos de funciones diferenciables son orienta-
bles. Si una supercieS=f
1
(fag) es imagen inversa de un valor regulara2Rpor una
aplicacion diferenciableF:O!R(aquOes un abierto deR
3
), entoncesSes orientable:
basta considerar el campo normal unitario
N=
rF
krFk
:S!S
2
;
donderf= (fx; fy; fz) es el gradiente eucldeo def. Por ejemplo, las esferas, cilindros, y
todas las cuadricas son orientables.
Como ejemplo de supercie no orientable podemos citar a la cinta de Mobius denida
en la Seccion 2.2.4: Si prolongamos una eleccion cualquiera de normal unitario de forma
continua sobre la cinta, el recorrerla una vez por su curva central llegaremos al opuesto del
vector unitario originalmente elegido. Una demostracion rigurosa de la no orientabilidad
de la cinta de Mobius puede verse en las paginas 71{75 del libro de Montiel y Ros,Curves
and Surfaces,Graduate texts in Mathematics 69, AMS-RSME 2005.
Aunque no lo demostraremos, toda supercie compacta deR
3
es orientable; incluso
puede debilitarse la hipotesis de compacidad exigiendo solo que la supercie sea un cerrado
deR
3
.

21. 2.7. EJERCICIOS. 47
2.7. Ejercicios.
1. Xj
I(0;2)yXj
I(;)de la aplicacion(u; v)2IR7!
X(u; v) = (f(u) cosv; f(u) sinv; g(u))denida en la Seccion 2.2.3 son parametrizacio-
nes de la supercie de revolucion obtenida al rotar la curvat2I7!(t) = (0; f(t); g(t))
alrededor del eje OZ (se supone quecumple las hipotesis que aparecen en la Sec-
cion 2.2.3).
2.Cuadricas.
(A)Dada una matriz simetricaAde orden 4, se dene
SA=

p2R
3
: (1; p
t
)A

1
p

= 0

:
Supongamos queSA6= y que para cadap2R
3
,(1; p
t
)A6= 0. Probar que
SAes una supercie. Esto unica los ejemplos de esferas, elipsoides, hiperboloides,
paraboloides y cilindros.
(B)SeaB2 M3(R)una matriz simetrica real,b2R
3
yc2R. Consideremos el
conjunto
S(B; b; c) =fp2R
3
j hBp; pi+ 2hb; pi+c= 0g:
RelacionarSAconS(B; b; c). >Para que matricesB, vectoresby numeros realesa
esS(B; b; c)una supercie? CuandoS(B; b; c)sea una supercie, calcular el plano
tangente en un punto arbitrariop2S(B; b; c).
3. pen una supercieS, existe un abiertoOR
3
conp2O
y una funcion diferenciablef:O!Rtal queS\O=f
1
(f0g)(Indicacion: usar una
parametrizacion como grafo).
4.
5.
6.
loide elptico; un hiperboloide de una hoja y un cilindro; un cilindro y una catenoide; un
plano y un helicoide.
7. C=fp2R
3
j kpk
2
hp; ai
2
=r
2
gel cilindro de radior >0y eje la recta vectorial
de direcciona2R
3
,kak= 1. Probar que dadop2C,
TpC=fv2R
3
j hp; vi hp; aiha; vi= 0g= (p hp; aia)
?
:

22. 48 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Concluir que todas las rectas normales
1
aCcortan el eje del cilindro perpendicularmente.
8. H=f(vcosu; vsinu; au)ju; v2
Rg, dondea >0.
9.
10.
11.
12. S
2
(1) f(0;0;1)ges difeomorfa al cilindrof(x; y; z)jx
2
+y
2
= 1g.
13. Suna supercie que no pasa por el origen. Consideremos la aplicacionF:S!S
2
(1)
dada por
F(p) =
p
kpk
; p2S:
Probar queFes diferenciable, calcular su diferencial y demostrar que dadop2S,dFp
tiene nucleo no trivial si y solo si la recta vectorial que pasa porpes tangente aSenp.
14. S=f(x; y; z)jx
2
+y
2
= 1gel cilindro vertical de radio 1 y eje OZ. Probar que
la aplicacionF:R
2
!Sdada porF(x; y) = (cosx;sinx; y)es un difeomorsmo local.
>SonR
2
ySdifeomorfos?
15. A2 M3(R)una matriz simetrica. Consideremos la aplicacionf:S
2
(1)!R,
f(p) =hp; Api.
(A)Probar quefes diferenciable y calcular su diferencial.
(B)Demostrar quep2S
2
(1)es punto crtico defsi y solo sipes vector propio deA.
(C)Probar que si1; 22Rson dos valores propios distintos deAyp1; p22S
2
(1)
son vectores propios deAasociados a1; 2respectivamente, entoncesp1yp2
son ortogonales. En este caso, seap32S
2
(1)ortogonal ap1y ap2. Probar quep3
tambien es un valor propio deA.
(D)Concluir queAadmite una base ortonormal deR
3
formada por vectores propios.
16. a2R
3
f0g. Probar que un puntopen una supercieSR
3
es crtico para la
funcion alturah:S!Rdada porh(p) =hp; aisi y solo siaes normal aSenp(es
decir,TpSes ortogonal aa).
1
Larecta normala una supercieSR
3
en un puntop2Ses la recta afn que pasa porpy es
ortogonal aTpS.

23. 2.7. EJERCICIOS. 49
17. p02R
3
. Probar que un puntopen una supercieSR
3
es crtico para la funcion
distancia al cuadradof:S!Rdada porf(p) =kpp0k
2
si y solo sip=p0o bien
pp0es normal aSenp. Sip02R
3
S, demostrar que los puntos crticos de la
funcion distancia ap0coinciden con los de la funcion distancia al cuadrado ap0.
18. Suna supercie compacta, que admite una funcion diferenciable con a lo mas tres
puntos crticos. Demostrar queSes conexa.
19. Suna supercie enR
3
.
(A)Demostrar que siSen compacta, entonces dadoa2R
3
f0gexisten al menos
dos puntos enStales queaes normal aSen esos dos puntos, y que desde cada
punto deR
3
puede trazarse al menos una recta normal aS.
(B)Demostrar que siSes conexa y todas las rectas normales aSson paralelas, entonces
Sesta contenida en un plano.
(C)Probar que siSes conexa y todas las rectas normales aSpasan por un mismo
puntop02R
3
, entoncesSesta contenida en una esfera centrada enp0.
20. Suna supercie compacta y conexa. Admitiendo que todo homeomorsmo local
F:S!S
2
(1)es un homeomorsmo
2
, probar que si existe un puntop02R
3
Sdesde
el cual no puede trazarse ninguna recta tangente aS, entoncesSes difeomorfa a una
esfera (Indicacion: considerar la aplicacionF:S!S
2
(1)dada porF(p) =
pp0
kpp0k
).
21. a >3, se deneSa=f(x; y; z)2R
3
je
x
2
+e
y
2
+e
z
2
=ag. Demostrar queSa
es una supercie y encontrar un difeomorsmo entreSayS
2
.
22. Suna supercie,p02Sy =p0+Tp0
Sel plano afn tangente aSenp0. Tomemos
un vectora2S
2
(1)perpendicular aSenp0.
(A)Probar que la proyeccion ortogonal sobre,f:S!R
3
,f(p) =p hpp0; aia,
cumplef(S). Tiene pues, sentido considerar la restriccionf:S!.
(B)Demostrar que la diferencial def:S!enp0es la identidad.
(C)Concluir que existen entornosUdep0enyVdep0enStales queVes el grafo
de una funcion diferenciableh:U!R.
23. Ses union de dos abiertos suyos orientables y con intersec-
cion conexa, entoncesSes orientable.
24. F:S1!S2un difeomorsmo local entre dos supercies. Probar que siS2es
orientable, entoncesS1tambien lo es (en particular, la orientabilidad de supercies es
invariante frente a difeomorsmos).
2
Esto se deduce de teora de recubridores, que no abordaremos en esta asignatura.

24. 50 CAP

ITULO 2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO
25. SR
3
una supercie compacta. Probar que existe una recta afn que corta per-
pendicularmente aSen al menos dos puntos.
26. SR
3
una supercie cerrada (no necesariamente compacta). Dadop02R
3
, probar
que la funcion distancia al puntop0alcanza su mnimo en algun punto deS.
27. SR
3
esta completamente a un lado de un plano
afn. Probar queSyson tangentes en cada puntop2S\.
28.
que corta perpendicularmente a ambas supercies.