Suplemen B Matriks dan Determinan bag ke-3.pptx

matrik and determinann indonesian

1. Suplemen B: Matriks dan Determinan (Lanjutan) Daryono Budi Utomo MATEMATIKA ITS 1  

2. MATEMATIKA ITS 2   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan B. 1 Matriks dan Operasinya B .2 Operasi Baris Elementer (OBE) dan Matriks Invers B .3 Sistem Persamaan Linier B . 4 Determinan B . 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Suplemen B: Matriks, Determinan dan Sistem Persamaan Linier

3. MATEMATIKA ITS 3 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan B. 4. DETERMINAN B.4.1 Pengertian Determinan Determinan suatu matriks adalah besaran skalar yang diperoleh dari jumlah produk unsur-unsur matriks bujur matriks , dilambangkan dengan dua garis vertikal atau dengan menuliskan det dan menuliskan nama matriksnya . misalnya . |A|, det(A), det A Nilai Determinan Determinan dinyatakan Determinan dinyatakan  

4. MATEMATIKA ITS 4 Menghitung Determinan Ukuran 2 x 2   Ukuran 3 x 3 Metoda Sarrus  Khusus determinan ukuran 3 x 3 Tambahkan kolom 1 dan 2 dan letakkan di belakang determinan   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

5. MATEMATIKA ITS 5 Contoh 5.   +   Salah ! Jangan dilakukan ! Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

6. MATEMATIKA ITS 6 Sifat – sifat Determinan Jika A mempunyai sebuah atau lebih baris (kolom) nol semua, maka det(A) = 0 det(A) = det(A T ) Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah, maka det(A) = hasil kali elemen pada diagonalnya Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A yang dilakukan dengan OBE/OKE tunggal yaitu dengan mengalikan dengan k pada salah satu baris atau kolom dari A, maka det(B) = k det(A) Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE/OKE yaitu menukarkan baris atau kolom dari A, maka det(B) = - det(A) Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE/OKE yaitu penggandaan dari baris atau kolom dari A kemudian ditambah atau dikurang pada baris atau kolom yang lain, maka det(B) = det(A) Jika matriks persegi A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sebanding, maka det(A) = 0 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

7. MATEMATIKA ITS 7 Menghitung Determinan Ukuran n x n Buat matriks segitiga (atas/bawah) dengan OBE Nilai determinan ukuran n x n adalah perkalian diagonalnya Contoh 6. Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

8. MATEMATIKA ITS 8 Minor dan Kofaktor Jika matriks persegi A , maka minor anggota a ij dinyatakan dengan M ij dan didenisikan sebagai determinan dari sub-matriks dari matriks awal dengan menghilangkan baris ke- i dan kolom ke- j , sedangkan kofaktor anggota a ij ditulis: C ij = (-1) i+j M ij Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

9. MATEMATIKA ITS 9   Contoh Kofaktor: Matriks Kofaktor: Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

10. MATEMATIKA ITS 10 Determinan dari matriks persegi A dapat dihitung dengan mengalikan anggota-anggota baris atau kolom dengan kofaktornya dan menjumlahkannya. Untuk setiap , perluasan kofaktor dengan baris ke- i , adalah:   Menghitung Determinan Dengan Minor dan Kofaktor Dan perluasan kofaktor dengan baris ke- i , adalah Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

11. MATEMATIKA ITS 11 Contoh 8.   Perluasan kofaktor dengan baris ke-1,   Perluasan kofaktor kolom 2       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

12. MATEMATIKA ITS 12 Contoh . Pilih p erluasan kofaktor dengan baris ke- 3 , ( karena banyak nilai 0)     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan       Perluasan kofaktor dengan baris ke- 1 ,

13. MATEMATIKA ITS 13 Jika matriks persegi A dengan ukuran n dan C ij adalah kofa k tor dari matriks A , maka t ranspose dari matriks kofaktor dinamakan adjoint( A ) ditulis Adj ( A ). Matriks Adjoint Matriks kofaktor A Matriks Adj ( A ) = C T Mencari Matriks Invers dengan Adjoint Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

14. MATEMATIKA ITS 14 Contoh 9. Matriks Kofaktor A: Matriks Adj(A): Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

15. MATEMATIKA ITS 15 Menentukan Invers Matriks Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka Contoh   Diberikan matriks A sebagai berikut Penyelesaian Tentukan invers matriks A   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

16. MATEMATIKA ITS 16 Kofaktor matriks     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan  

17. MATEMATIKA ITS 17 Penyelesaian SPL Dengan Aturan Cramer Jika Ax = b merupakan SPL dengan n variabel dan det( A ) ≠ 0, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian: dengan A j ; j = 1 , . . . ,n adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota matriks A pada kolom ke- j dengan b, aturan tersebut dinamakan dengan Aturan Cramer   Contoh Diberikan SPL berbentuk: Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

18. MATEMATIKA ITS 18 Penyelesaian Kolom 1 matriks A diganti dengan kolom matriks b Kolom 2 matriks A diganti dengan kolom matriks b Kolom 3 matriks A diganti dengan kolom matriks b Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

19. MATEMATIKA ITS 19       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

20. MATEMATIKA ITS 20 Jika A matriks persegi n n , vektor tak nol di R n dinamakan vektor eigen dari A , jika . Dalam ini untuk skalar dinamakan nilai eigen dari A dan dikatakan vektor eigen yang berhubungan dengan nilai .   Definisi: Nilai Eigen dan Vektor Eigen Teorema: Jika A matriks persegi n n , maka adalah nilai eigen dari A , jika dan hanya jika yang dinamakan dengan persamaan karakteristik dari A .   B . 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan  

21. MATEMATIKA ITS 21 Contoh. Tentukan nilai eigen dari Penyelesaian: persamaan karakteristik dari A . Dengan ekspansi ko f aktor pada kolom ke-2 Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

22. MATEMATIKA ITS 22 Contoh 14. Tentukan nilai eigen dari Penyelesaian: persamaan karakteristik dari A Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :                 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan  

23. MATEMATIKA ITS 23 Contoh Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari Penyelesaian: P ersamaan karakteristik dari A   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

24. MATEMATIKA ITS 24 Untuk Vektor Eigen Untuk Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

25. MATEMATIKA ITS 25 Contoh 16 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari Penyelesaian: persamaan karakteristik dari A :   Dengan menggunakan ekspansi kofaktor: Pilih Baris I Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

26. MATEMATIKA ITS 26 Untuk Vektor Eigen Untuk Untuk Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

27. MATEMATIKA ITS 27 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan  

28. MATEMATIKA ITS 28     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan