Sustitución Trigonométrica en Integrales.pptx

otra forma de sustitucion de integrales

1. Sustitución Trigonométrica en Integrales Una guía entretenida para entender cómo las funciones trigonométricas nos ayudan a resolver integrales con raíces cuadradas. ??

2. ¿Por qué usar sustitución trigonométrica? A veces aparecen integrales con raíces como v(a² - x²), v(a² + x²) o v(x² - a²). ?? Parecen imposibles, pero con trigonometría podemos transformarlas en algo más simple. La clave: reemplazar x por una función trigonométrica que elimine la raíz.

3. Las tres sustituciones clásicas 1?? v(a² - x²) ? x = a·sen(?) Porque sen²? + cos²? = 1 2?? v(a² + x²) ? x = a·tan(?) Porque 1 + tan²? = sec²? 3?? v(x² - a²) ? x = a·sec(?) Porque sec²? - 1 = tan²? ?? Estas identidades nos permiten eliminar la raíz y simplificar la integral.

4. Ejemplo: ?v(9 - x²) dx 1. Identificamos la forma v(a² - x²) ? usamos x = 3·sen(?) ? dx = 3·cos(?)d? 2. Sustituyendo: v(9 - x²) = 3·cos(?) La integral se vuelve: ?9·cos²(?)d? 3. Aplicamos la identidad: cos²(?) = (1 + cos(2?))/2 ? ?cos²(?)d? = (?/2) + (sen(2?)/4) + C 4. ¡Ahora solo falta regresar a x!

5. Volviendo a la variable original Sabemos que x = 3·sen(?) ? ? = arcsen(x/3) También: cos(?) = v(1 - sen²(?)) = v(1 - (x²/9)) = v(9 - x²)/3 Sustituyendo todo de nuevo: ?v(9 - x²)dx = (9/2)arcsen(x/3) + (x/2)v(9 - x²) + C ?? ¡Y listo! Logramos integrar una raíz cuadrada usando trigonometría.

6. Consejos y errores comunes ? Siempre dibuja un triángulo para visualizar sen, cos o tan. ? No olvides cambiar también dx. ? Recuerda volver a x al final (no dejes ? en tu respuesta). ? Error típico: olvidar el dominio de ? o el signo de cos(?). ? Piensa que cada sustitución es como traducir de 'idioma radical' a 'idioma trigonométrico'.

7. ¡Gracias por aprender conmigo! La sustitución trigonométrica puede parecer complicada, pero es una herramienta elegante y poderosa. ?? Cuanto más la practiques, más verás que las raíces no son enemigas, ¡solo esperan un poco de trigonometría!