Sustitucion trigonometrica

1. Integración por sustitución trigonométrica Felipe de Jesús Sánchez Hdez. 12310354

2. ANTECEDENTES: El  método de integración por sustitución o por cambio de variable  se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una  integral  o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una  integral de tabla  para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la  regla de la cadena  en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.

3. INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones: , o bien es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.

4. CASO 1 Integrandos que contienen En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos

5. CASO 2 Integrandos que contienen En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos

6. CASO 3 Integrandos que contienen En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos

7. PROCESO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Para resolver una integral mediante el método de sustitución trigonométrica hay que seguir el siguiente proceso: Proponer la sustitución adecuada. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución propuesta. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original.

8. EJEMPLO: Resolver: Seguiremos paso a paso con el proceso indicado. Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2 y: 1. El cambio indicado es: Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:

9. SOLUCIÓN: 2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:

10. SOLUCIÓN… Simplificando: Esta última representa la integral equivalente.

11. SOLUCIÓN… 3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como: Entonces: 4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que: