T. Grupos 4

Grupo puntual de simetría - Teoría de Grupos, de la asignatura Qca Comp. Coordinación.

1. La simetría de una molécula se puede describir en términos
del conjunto de operaciones de simetría que posee:
El número de operaciones puede ser muy pequeño o
muy grande (infinito en el caso de moléculas lineales)
En una molécula, todos los elementos de simetría pasan
por un punto en el centro de la estructura
Por eso la simetría de las moléculas se denomina
simetría de grupo puntualsimetría de grupo puntual

3. Es frecuente que coexistan EJES DE ROTACION del
mismo orden en una molécula pero que geométricamente
no sean equivalentes.
XeF
4
:
(1) C
4
(5) C
2
Al eje binario colineal con el eje principal no se le añade ninguna
identificación adicional.
Se suele añadir una ( ‘ ) para los ejes que pasan por un mayor
número de átomos.
Dobles comillas para los que pasan por un número menor de átomos

4. Los ejes de orden par implican la presencia de ejes de
menor orden:
- Un eje de orden 4 implica la necesaria coexistencia
de otro de orden 2
- Un eje de orden 6 implica la necesaria coexistencia
de uno de orden 3 y otro de orden 2.

5. Operaciones generadas por un CnOperaciones generadas por un Cn

6. Las operaciones que son geométricamente equivalentes se
agrupan en clases de operaciones.
En las TABLAS DE CARACTERES aparecen agrupadas por clases.
El coeficiente numérico indica cuántas operaciones genuinas
contiene

7. Planos de ReflexiónPlanos de Reflexión
En una molécula cuadrada plana podemos identificar 3 planos de
reflexión geométricamente no equivalentes:
σh: Plano de simetría horizontal
Se sitúa perpendicularmente al eje de rotación propia
principal
σv: Plano de simetría vertical
Plano que contiene al eje de rotación principal. Se reserva
para los planos que atraviesan el mayor número de átomos
o para los que contienen a los ejes cartesianos de referencia
σd: Plano diédrico (tipo especial de plano vertical)
Plano que biseca el ángulo diédrico determinado por el eje de
rotación principal y dos ejes binarios perpendiculares
adyacentes al eje principal

8. Xe
F F
FF F F
FF
Xe
sd
Xe
F F
FF
sh sv

9. InversiónInversión

10. Eje de rotación impropia S
n
m
Compuesta por rotación-reflexión
El orden con que se llevan a cabo estas dos operaciones es
indiferente dado que las operaciones de rotación y de
reflexión conmutan.
S
n
m
= C
n
·σ = σ·C
n

11. Coexistencia de SCoexistencia de S
nn con C con C
nn y y ss
Si existe un SSi existe un S
nn: el eje C: el eje C
nn y y ss no tienen porqué ser no tienen porqué ser
necesariamente elementos de simetría de la moléculanecesariamente elementos de simetría de la molécula
Ej. Tetraedro (SEj. Tetraedro (S
44))
Si existe un eje SSi existe un eje S
nn con n par entonces existe un eje C con n par entonces existe un eje C
n/2n/2
colineal con él colineal con él
Ej. EtanoEj. Etano
Si exíste un eje SSi exíste un eje S
nn con n impar entonces existen C con n impar entonces existen C
nn y y ss
hh
Ej. EtanoEj. Etano
Si exístenSi exísten CC
nn y y ss (perpendicular) entonces (perpendicular) entonces
necesariamente existe un Snnecesariamente existe un Sn
Ej. Molécula cuadrado planarEj. Molécula cuadrado planar

12. Operaciones generadas por un eje SnOperaciones generadas por un eje Sn
SS
11  ss
hh
SS
22  i i
SS
nn n > 2 n > 2Si Si n es parn es par S S
nn
n n
= E= E
Si Si n es imparn es impar S S
nn
n n
= = ss
hh y S y S
nn
2n 2n
= E= E
Si Si m es parm es par S S
nn
m m
= C= C
nn
m m
(si m<n) y (si m<n) y
SS
nn
m m
= C= C
nn
m-nm-n
(si m>n) (si m>n)
Si Si m es imparm es impar S S
nn
m m
= C= C
nn
mm
ssh h

13. EE, , ss, , ii,,  Una única operación de simetría Una única operación de simetría
CC
nn, S, S
nn  varias operaciones varias operaciones
Algunas operaciones generadas tienen el mismo efecto Algunas operaciones generadas tienen el mismo efecto
que las generadas por otro elemento de simetría, se que las generadas por otro elemento de simetría, se
cuenta la más sencillacuenta la más sencilla
CC
44
22
=C =C
22 Solo se cuenta C Solo se cuenta C
22
Dos operaciones de simetría aplicadas sucesivamente Dos operaciones de simetría aplicadas sucesivamente
dan otra operación de simetría diferentedan otra operación de simetría diferente

14. GrupoGrupo
Elementos relacionados entre sí mediante ciertas reglas. Elementos relacionados entre sí mediante ciertas reglas.
Pueden ser Pueden ser finitos o infinitosfinitos o infinitos
El agrupamiento de todos los elementos de simetría El agrupamiento de todos los elementos de simetría
presentes en una molécula, junto con la presentes en una molécula, junto con la identidad, identidad, se se
conoce como :conoce como :
GRUPO DE SIMETRIAGRUPO DE SIMETRIA
O también como O también como
GRUPO PUNTUAL DE SIMETRIAGRUPO PUNTUAL DE SIMETRIA

15. Varias propiedades de las moléculas se pueden predecir Varias propiedades de las moléculas se pueden predecir
empleando la teoría de grupos.empleando la teoría de grupos.
En sentido matemático, un grupo es un conjunto de En sentido matemático, un grupo es un conjunto de
operaciones que cumplen las siguientes reglas:operaciones que cumplen las siguientes reglas:
1.1. El producto de dos operaciones cualquiera debe ser una El producto de dos operaciones cualquiera debe ser una
operación del grupo.operación del grupo. (Se dice que un grupo es cerrado (Se dice que un grupo es cerrado
respecto a la multiplicación).respecto a la multiplicación).
2.2. Cada grupo debe tener la operación identidad, ECada grupo debe tener la operación identidad, E, ya que , ya que
el producto de una operación y su inversa es la el producto de una operación y su inversa es la
identidad.identidad.
3.3. Cada operación debe tener su inversaCada operación debe tener su inversa
4.4. Todas las operaciones del grupo deben ser asociativasTodas las operaciones del grupo deben ser asociativas
(AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC)
5.5. Si presentan la propiedad conmutativa se dice que el Si presentan la propiedad conmutativa se dice que el
grupo es abelianogrupo es abeliano.

17. C
¥vD
¥h
i C
5
i

19. Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales
GRUPOS INFINITOS
Tienen un número infinito de elementos:
Moléculas lineales con o sin centro de simetría
H C N
oosv
Coo
Grupo C¥v
No tiene centro de simetría

20. O C O
svoo
sv
i
ooC
ooC2
Grupo D¥h
Tiene centro de simetría
GRUPOS INFINITOS

21. GRUPOS ESPECIALES
Grupos puntuales cúbicos: tetraedro, octaedro e icosaedro
1.- Tetraedro
C
H
H
H
H
C3
4 ejes C3

22. 3 ejes C2C2
C2
C
2
S4
S4
S4
3 ejes S4

23. sd
sd6
Grupo T
d
17 elementos
de simetría (contando E)
24 operaciones de simetría

24. 2.- Octaedro
C3
4 ejes C3
3 ejes C2
C2
2 ejes C2
C2
C2
4

25. C4
C4
C4
3 ejes C4
3 ejes C2 (C4
2)
C2
C2
C2
i
centro de inversin

26. S4
S4
S4
3 ejes S4
4 ejes S6
S6
3 planos s

27. 2 planos sd 4 planos sd
Grupo O
h
34 elementos de simetría
(contando E)
48 operaciones de simetría

28. 3.- Icosaedro
Grupo I
h
120 operaciones de simetría (contando E)
[B
12
H
12
]
2-

29. Un eje S
2n
coincidente con el eje C
n
, da origen al grupo puntual
S
2n
(PNCl
2
)
4
P
N
Cl
N
P
P
N
N
P
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
N N
P P
N
P
N
P
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(-)
es decir
eje S4
grupo S
4

30. OTROS GRUPOS
La molécula de mínima simetría posee únicamente la operación
identidad que puede considerarse también como una rotación
de 360º es decir C
1
C
F
Cl
H
Br
Grupo C
1

31. Existen dos grupos que poseen un solo elemento de simetría
además de la identidad.
Si el elemento adicional es un plano de simetría el grupo es C
s
, si
es un centro de simetría el grupo es C
i
S
Br F
O O
s
C C
Br
Br
H H
Cl
Cl
i
grupo C
s
grupo C
i

32. Si se añade al eje Cn un plano horizontal de simetría se
obtiene el grupo C
nh
N N
F
F
sh
C2
B
HO
HO
OH
sh
C3
grupo C
2h
grupo C
3h

33. Si se añade un plano vertical de simetría se obtiene el grupo C
nv
C2
....
H H
O
s
v
sv(2)
sv(3)
sv(1)
C3
H3
H2
H1
N
grupo C
2v
grupo C
3v

34. Si la molécula posee solo un eje C
n
además de la identidad
pertenece al grupo puntual C
n
H
2
O
2

O
O
H
H
111.5¼
94.8¼
C2
Grupo C
2

35. La adición de un eje de orden n que forme ángulo recto con el
eje C
n
de un sistema C
n
conduce al grupo puntual D
n
C C
H H
H
H
H
H
conformaciin gauche
C3
C2
grupo D
3

36. Si al grupo D
n
se añaden planos que contengan al eje C
n
(eje de mayor
orden) y dividen en ángulos iguales a los ángulos existentes entre los C
2
’
(planos diedrales) el grupo obtenido es D
nd
H
H
H
H
H
H
CC C3
sd
sd
sd
C
H
H
H
H
H
H
C2'
C2'
C2'
CH
3
-CH
3
intercalado. Grupo D
3d

37. Los últimos de los grupos que pueden encajarse en este
esquema son los formados por la adición de un plano
horizontal a los elementos del grupo D
n
, dando los grupos D
nh
.
C C
H H
HH
sh
C2
C2'
grupo D
2h

38. C O
O
O
C2
C2
C2
C3
sh
grupo D
3h

39. C6 y C2''
C2'
C2
C2'
sh
grupo D
6h

40. CLASIFICACIÓN DE UN GRUPO
1.- Determinar si la molécula es lineal o si pertenece a un
grupo altamente simétrico (Td, Oh, Ih). Si no es así
pasar a 2
2.- Hallar el eje de rotación propia de orden superior (Cn).
En ausencia de tal eje buscar:
(a) un plano de simetría (Cs)
(b) un centro de simetría (Ci)
(c) ningún elemento de simetría en absoluto (C1)

41. CLASIFICACIÓN DE UN GRUPO
3.- Si se encuentra un eje Cn, buscar un conjunto de n ejes C2
perpendiculares al mismo. Si estos se encuentran seguir con
4. Si no existen buscar:
(a) un plano horizontal (Cnh)
(b) n planos verticales (Cnv)
(c) un eje S2n coincidente con el Cn (S2n)
(d) ningún plano de simetría ni otros ejes de simetría (Cn)
4.- Si existe un eje Cn y n ejes C2 perpendiculares buscar la
presencia de:
(a) un plano horizontal (Dnh)
(b) n planos verticales y ningún plano horizontal (Dnd)
(c) ningún plano de simetría (Dn)