T1 Curvas 1.1 Curvas parametrizadas.pdf

presentacion física

1. Tema 1
CURVAS
1

2. Museo de Arte Contemporáneo de la
ciudad de Niterói, Estado de Río de
Janeiro, Brasil. (1996)
DiseñadoporelarquitectoOscar Niemeyer
con la ayudadel ingenieroestructural
Bruno Contarini.
Palácio da Alvorada, Residencia
presidencial, 1957.
Oscar Niemeyer
tema 1. Curvas. Introducción 2

3. Minarete de la Gran
Mezquita de Samarra,
(Mediados del siglo IX).
tema 1. Curvas. Introducción 3

4. Escalera de la Biblioteca Vaticana. Giuseppe Momo (1932)
tema 1. Curvas. Introducción 4

5. 5
Parque Güell. Gaudí (1914)
tema 1. Curvas. Introducción

6. Iglesia deCristo Obrero (Uruguay)
Eladio Dieste(1952)
tema 1. Curvas. Introducción 6
Monumento Puerta de la sabiduría.
Eladio Dieste(2005)

7. Centro Cultural
HeydarAliyev.
Bakú (Azerbaiyán)
Zaha Hadid Architects(2012)
tema 1. Curvas. Introducción 7

8. Objetivo del curso:
Estudio de instrumentos matemáticos
(geometría diferencial) para:
Conocer y facilitar el diseño de
superficies parametrizadas.
Abordar problemas de estabilidad y
resistencia. CURVATURA
TENSIONES DEFORMACIONES
8

9. 9
TEMARIO
TEMA 1 CURVAS
TEMA 2 SUPERFICIES
TEMA 3 SUPERFICIES REGLADAS

10. Tema 1. Curvas. 1.2 Curvas parametrizadas regulares 10
TEMA 1 CURVAS
1.1 Curvas parametrizadas diferenciables
1.2 Curvas parametrizadas regulares
1.3 Curvas naturales
1.4 Estudio local de curvas: Triedro de Frenet. Curvatura
1.5 Circunferencia osculatriz. Torsión
1.6 Ecuaciones de Frenet-Serret. Hélices

11. Una curva se puede interpretar como la
trayectoria que describe un móvil.
Sean las coordenadas cartesianas en el instante de una
partícula que se mueve en el plano.
El vector de posición de en el instante
??????
??????
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 11
??????⃗??????
1.1 Curvas parametrizadas

12. Ejemplo: recta en el plano
12


2
t=2 P= 2,1
3 2
3
t=3 P= 3,0
3 3
x
y
x
y

 
 

 
 
Vector de posición
Ecuación cartesiana
Ecuaciones paramétricas
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.

13. Curva parametrizada
Definición.
Una curva parametrizada esuna aplicación diferenciable
? ?
paraIintervalo
?
Una función es diferenciable
?
si es continua y tiene derivadas continuas de todos los órdenes
La variable t se denomina parámetro de la curva. es la traza de la curva.
??????
??????⃗(??????)
??????=[??????,??????]
??????
??????
??????⃗(??????)
??????⃗(??????)
13Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.

14. Si entonces la curva pertenece a
6
y los puntos de la curva son de la forma
Si entonces la curva pertenece a
7
y los puntos de la curva son de la forma
La derivada de la función es
? ? ?
Análogamente, la derivada de la función es
? ? ? ?
.
.
14Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.

15. 15
0,
6
t
 

 
 
0,
3
t
 

 
 
2
0,
3
t
 

 
 

0,t

3cos(3)r t t
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.
La traza de una curva parametrizada depende del intervalo de definición.

16. 16
La circunferencia de ecuación cartesiana
6 6
tiene radio 3 y centro
tiene la siguiente expresión paramétrica
Ejemplo: circunferencia en el plano
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.

17. Ejercicios
1. Parametrizar el segmento de recta con extremos y
2. Parametrizar la circunferencia de radio 5 y centro (1,4).
17
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.

18. Ecuación general de la parábola
6
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 18
Fuentes en los jardines de la Alhambra

19. 19Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.
Ejemplo: parábola en el plano
La aplicación
5
6
6
,
es una parametrización de la parábola de
ecuación cartesiana
6La aplicación
5
7
6
,
es una parametrización de la parábola de
ecuación cartesiana
6

20. 20Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.
Anfiteatro romano de Pompeya.
Italia (70a.C.)
Templo del agua. Isla de Awaji, Japón.
TadaoAndo (1990-91)

21. 21
La elipse de ecuación canónica
?
.
?
.
?
.
?
.
tiene centro en (0,0) y sus semiejes miden a y b
respectivamente
Una parametrización de la elipse es
Ejemplo: elipse en el plano
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.

22. Iglesia de San Pedro mártir , Madrid (1960). Miguel Fisac.
Hipérbola
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 22

23. Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 23
Ejemplo: hipérbola en el plano
?
.
?
.
?
.
?
.
?
.
?
.
?
.
?
.
Parametrización de las dos ramas de la hipérbola
La hipérbolade ecuación canónica
?
.?
.
?
.?
.
consta de dos ramas

24. Ejercicio
Parametrizar y representar las curvas del plano que se indican. Determinar las
coordenadas cartesianas de los puntos de la curva.
1.
6 6
,

6
2.
6
3.
6 6
4.
6 6

6
24

25. Antoni Gaudí i Cornet(1852-1926)
Arquitectoespañol, máximo representante
delmodernismo catalán.
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 25

26. Sinusoides. Ejemplos
,
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 26
,
, ,

27. 27
Ejemplo: Hélice circular o cilíndrica
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.
La parametrización de una hélice circular, sobre el cilindro de
ecuación
6 6 6
y paso es
La proyección ortogonal de esta hélice sobre el plano es una
circunferencia
El parámetro tmide el ángulo que forma el eje Xcon la recta que
une el origen O con la proyección del punto sobre el plano XY.
El paso es la altura del punto )

28. Ejercicio
1.Parametrizar y representar la curva de
6
2.Parametrizar y representar la curva de
7
3.Dada la hélice con parametrización obtener el
valor del parámetro correspondiente al punto .
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 28

29. Definición de punto doble
El punto de una curva parametrizada por es
un punto doble si = para .
Definición de curva cerrada.
Una curva parametrizada por y definida sobre un
intervalo es cerrada si
El punto correspondiente es punto
doble.
29Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas.
??????
6
+??????
6
=9
??????⃗??????=3 ????????????????????????,3 ????????????????????????,
0≤??????≤2??????
??????⃗??????=??????
7
−4??????,??????
6
−4??????,
??????=??????⃗−2=??????⃗2=(0,0)

30. Representación implícita de una curva
Dado el polinomio , el conjunto de puntos
7
es una superficie de
7
.
Una curva se puede considerar como intersección de dos superficies
estas ecuaciones se denominan ecuaciones
implícitas o cartesianas
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 30

31. Ejemplo: recta como intersección de dos planos
31Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas

32. 32
Ejemplo: ecuaciones implícitas de una circunferencia
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas
6 6
6 6
6 6
6 66
6 6
6 6

33. Ejercicio
Parametrizar y representar las curvas del espacio que se indican.
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 33
c)
6 6

a)
6 6
b)
6

34. Proyecciónsobre el
plano z=0.
Circunferencia
Ejemplo: Curva de Viviani
Proyecciónsobre el
plano y=0.
Parábola
Proyecciónsobre el
plano x=0.
Lemniscatade
Geronno
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas
34

35. 35
Calcular la parametrización de la curva de ecuaciones implícitas:
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas
6 66
6 6

36. Circunferencia incluida en un plano
Sea la circunferencia de radio r y centro incluida en el plano .
Considerando la circunferencia como intersección de una esfera de
radio r y centro , se tienen las siguientes ecuaciones:
5 6
Siendo base ortonormal del plano π,
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 36

37. Circunferencia incluida en un plano
5 6
Con B base ortonormal del plano π,
es el centro de la esfera
5 6 5 6
5 6
5 6 5 6
6
5
66
+
6
66 6
5
6
+
6
6 6
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 37

38. Tomando
5
6
Se cumple
5
6
6
6 6Entonces
5 6
5
6
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 38

39. Ejercicio
Parametrizar la circunferencia de radio 3 y centro perteneciente al plano
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 39

40. SPIRAL JETTY
Gran lago salado, Utah
Abril 1970
ROBERT SMITHSON
(Nueva Jersey, 2 de enero
de 1938 –20 de julio de
1973) fue un artista
contemporáneo relacionado
con el movimiento llamado
LandArt
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 40

41. Espiral Arquimedianacontenida en el plano
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 41

42. Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas 42
Proyección ortogonal de una curva sobre un plano
E
Proyección de la hélice sobre el plano
Hélice cónica:

43. Práctica 2 Ejercicio
Hallar la proyección ortogonal sobre los planos coordenados de las siguientes
curvas:
a)
b)
67
c)
??????
6
+??????
6
+??????
6
=4
(??????−1)
6
+??????
6
=1Q
Tema 1. Curvas. 1.1 Curvas Parametrizadas. 43