Tabla de derivadas e integrales

Tablas de derivadas e integrales

1. 10. Tabla de derivadas
A continuaci¶on se exponen las derivadas de las funciones elementales (®; cyason constantes reales, con
a >0, yu=u(x) es una funci¶on dex):
(c)
0
= 0;
(x
®
)
0
=®x
®¡1
; (u
®
)
0
=®u
®¡1
u
0
;
(
p
x)
0
=
1
2
p
x
; (
p
u)
0
=
u
0
2
p
u
;
(logx)
0
=
1
x
; (logu)
0
=
u
0
u
;
(log
ax)
0
=
1
xloga
; (log
au)
0
=
u
0
uloga
;
(e
x
)
0
=e
x
; (e
u
)
0
=u
0
e
u
;
(a
x
)
0
=a
x
loga ; (a
u
)
0
=u
0
a
u
loga ;
(senx)
0
= cosx ; (senu)
0
=u
0
cosu ;
(cosx)
0
=¡senx ; (cosu)
0
=¡u
0
senu ;
(tanx)
0
= sec
2
x ; (tanu)
0
=u
0
sec
2
u ;
(cotanx)
0
=¡cosec
2
x ; (cotanu)
0
=¡u
0
cosec
2
u ;
(secx)
0
= secxtanx ; (secu)
0
=u
0
secutanu ;
(cosecx)
0
=¡cosecxcotanx ; (cosecu)
0
=¡u
0
cosecucotanu ;
(arc senx)
0
=
1
p
1¡x
2
; (arc senu)
0
=
u
0
p
1¡u
2
;
(arc cosx)
0
=
¡1
p
1¡x
2
; (arc cosu)
0
=
¡u
0
p
1¡u
2
;
(arctanx)
0
=
1
1 +x
2
; (arctanu)
0
=
u
0
1 +u
2
:
La segunda columna de derivadas se obtiene directamente de la primera aplicando la regla de la cadena.
23

2. 11. Tabla de integrales
A continuaci¶on se exponen las integrales de las funciones elementales, la mayor parte de las cuales se
obtienen directamente de la tabla de derivadas (en esta tabla,®es una constante real,aes una constante
positiva,ces la constante de integraci¶on, yu=u(x) es una funci¶on dex):
Z
® dx=® x+c ;
Z
x
®
dx=
x
®+1
®+ 1
+c ;
Z
u
0
u
®
dx=
u
®+1
®+ 1
+c ; ®6=¡1;
Z
1
x
dx= logjxj+c ;
Z
u
0
u
dx= logjuj+c ;
Z
e
x
dx=e
x
+c ;
Z
u
0
e
u
dx=e
u
+c ;
Z
a
x
dx=
a
x
loga
+c ;
Z
u
0
a
u
dx=
a
u
loga
+c ;
Z
senx dx=¡cosx+c ;
Z
u
0
senu dx=¡cosu+c ;
Z
cosx dx= senx+c ;
Z
u
0
cosu dx= senu+c ;
Z
sec
2
x dx= tanx+c ;
Z
u
0
sec
2
u dx= tanu+c ;
Z
cosec
2
x dx=¡cotanx+c ;
Z
u
0
cosec
2
u dx=¡cotanu+c ;
Z
secxtanx dx= secx+c ;
Z
u
0
secutanu dx= secu+c ;
Z
cosecxcotanx dx=¡cosecx+c ;
Z
u
0
cosecucotanu dx=¡cosecu+c ;
Z
tanx dx=¡logjcosxj+c ;
Z
u
0
tanu dx=¡logjcosuj+c ;
Z
cotanx dx= logjsenxj+c ;
Z
u
0
cotanu dx= logjsenuj+c ;
Z
secx dx= log
¯
¯
secx+ tanx
¯
¯
+c ;
Z
u
0
secu dx= log
¯
¯
secu+ tanu
¯
¯
+c ;
Z
cosecx dx=¡log
¯
¯
cosecx+ cotanx
¯
¯
+c ;
Z
u
0
cosecu dx=¡log
¯
¯
cosecu+ cotanu
¯
¯
+c ;
Z
dx
p
1¡x
2
= arc senx+c ;
Z
u
0
dx
p
1¡u
2
= arc senu+c ;
Z
dx
x
2
+ 1
= arctanx+c ;
Z
u
0
dx
u
2
+ 1
= arctanu+c ;
Z
dx
x
2
+a
=
1
p
a
arctan
x
p
a
+c ;
Z
u
0
dx
u
2
+a
=
1
p
a
arctan
u
p
a
+c ;sia >0:
La segunda columna de primitivas se obtiene directamente de la primera aplicando un cambio de variable.
24