Tabla de-indeterminaciones

Indeterminaciones

1. OPERACIONES CON INFINITOS E INFINITÉSIMOS.
En el cálculo directo de límites aparecen expresiones que tienden a infinito y otras que
tienden a cero (infinitésimos).
Al operar con ellas es posible que pueda obtenerse el resultado o que no pueda saberse de
forma inmediata y haya que realizar cierto número de operaciones para ello
(INDETERMINACIÓN ). Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

OPERACIÓN RESULTADO OBSERVACIONES
 +  
 + k 
k -  -
 - 
Indeterminada
Tener en cuenta los grados.
Si es preciso “Conjugado”
??????
∞

0
∞
??????

∓∞ Depende del signo de k
∞
∞
 Indeterminada
Tener en cuenta los grados
   
  (- ) -
k   (con k0)   Depende del signo de k
0  
Indeterminada
Operamos hasta convertirla en una del tipo
∞
∞
ó
0
0

k
0
(con k≠0)
 
Habrá que hacer límites laterales para saber
si es + ó - 
0
k
(con k≠0)
0

0
0

Indeterminada


a

(con a >0)
si a>1 =  

a


Si a=1⟹1
∞
→ Indeterminada
Del tipo del número “e” 2,718.
Se pueden hacer con la fórmula o tomando
logaritmos si 0<a<1 = 0

a


0
0

Indeterminada
Se pueden hacer tomando logaritmos
∞
0

Indeterminada
Se pueden hacer tomando logaritmos

2. GRADOS DE INFINITOS .
Resulta muy útil para comparar unos infinitos con otros y despreciar los que son de menor grado

Si suponemos que ( x   ; a>1 , n>0 ) y ordenados de mayor a menor:

INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.
Expresiones que tienden a cero “infinitésimos” se pueden sustituir por otras más sencillas
que permitan simplificar el cálculo y resolución de indeterminaciones.
Para ??????→&#3627409358; Para ??????→&#3627409359;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475; ?????? ≈ ??????
≈u−
u
3
6
+⋯

tan?????? ≈??????
≈u+
u
3
3
+⋯

??????&#3627408479;?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475; ?????? ≈??????
≈??????+
??????
3
6
+
3??????
5
40
+⋯

??????&#3627408479;????????????
??????&#3627408476;&#3627408480; ?????? ≈1−
??????
2
2

≈1−
??????
2
2
+
??????
4
24
−⋯

&#3627408466;
??????
≈1+??????
≈1+??????+
??????
2
2
+⋯
ln?????? ≈??????−1
??????
??????
≈1+??????ln??????
Como curiosidad estas equivalencias se obtienen mediante del Desarrollo en Serie de Taylor que
verás en cursos universitarios y que sirve para aproximar una función continua y derivable en un en
un entorno del punto x=a por un polinomio. La aproximación será tanto mejor cuanto más cerca
estemos del punto x=a.
&#3627408467; ?????? ≈&#3627408467; ?????? +
1
1!
&#3627408467;
′
?????? ??????−?????? +
1
2!
&#3627408467;´´ ?????? (??????−??????)
2
+
1
3!
&#3627408467;´´´ ?????? (??????−??????)
3
+⋯..……
Si te apetece puedes comprobarlo desarrollando: y= sen x ó y=e
x
, por ejemplo, en el punto a=0.

REGLA DE L’HÔPITAL.

Es una regla que permite utilizar las derivadas para calcular algunos límites que estén expresados en
forma de cociente y bajo determinadas condiciones.
Si
lim
x→a
f x =0 y
lim
x→a
g x =0 o también

Si
lim
x→a
f x =∞ y
lim
x→a
g x =∞


Se tiene que:
&#3627408421;??????&#3627408422;
??????→??????

&#3627408415; ??????
&#3627408416; ??????
=
&#3627408421;??????&#3627408422;
??????→??????

&#3627408415;´(??????)
&#3627408416;´(??????)


Es decir, se puede utilizar en indeterminaciones de los tipos:
&#3627409358;
&#3627409358;
ó
∞
∞


Ésta regla es válida cuando “a” es un número real, pero también cuando es +∞ ó−∞ x
x
>> x ! >>a >> x > ln x
x n
