Tablas de frecuencia

1.     A partir de una tabla de frecuencias básica es posible dar respuesta a múltiples preguntas, en cuanto a la estadística de una población. A continuación hay varias preguntas organizadas en dos grupos, referidas a las tablas de frecuencia. En el primer grupo, las respuestas se obtienen directamente de la tabla; en el segundo, será necesario hacer ciertos cálculos para poder dar la respuesta.     Grupo 1 : ¿Cuántos niños no tiene caries? ¿ Qué género de películas es el más elegido? ¿ Cuántas familias de clase media hay?     Grupo 2: ¿Cuántos tienen menos de tres caries? ¿Cuántas películas se alquilaron en el videoclub ese día? ¿ Qué porcentaje de familias son de clase media? Tabla de Frecuencia con datos no agrupados

2. Frecuencias Si queremos disponer de una información más completa, que nos permita obtener las respuestas a las preguntas anteriores y además hacer más fácil y detallado el análisis de los resultados, debemos ampliar la tabla básica añadiéndole otras columnas; en concreto, las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas, tanto ordinarias como acumuladas.   n = número de la muestra o número total de datos. xi = variable estadística, número de caries. fi = frecuencia absoluta, número de veces que se repite la variable. Fi = frecuencia absoluta acumulada. Vamos sumando los valores de la frecuencia absoluta. fr = frecuencia relativa. Cociente fi/n. Fr = frecuencia relativa acumulada. Cociente Fi/n.

3. Ejemplo: Se ha observado el número de caries de 22 alumnos de una clase. Los resultados son: 2,0,1,2,4,0,1,3,4,2,0,0,1,3,2,2,0,0,1,0,2,3 La tabla de frecuencia para datos no agrupados quedaría de la siguiente manera: No. De caries (xi) Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Frecuencia relativa ( fr ) Frecuencia relativa en % Frecuencia relativa acumulada (Fr) Frecuencia relativa acumulada en % 7 7 0,318 31,8% 0,318 31,8% 1 4 11 0,182 18,2% 0,5 50% 2 6 17 0,273 27,3% 0,773 77,3% 3 3 20 0,136 13,6% 0,909 90,9% 4 2 22 0,091 9,1% 1 100%

4. Análisis Analicemos las columnas añadidas n= 22                               Frecuencias absolutas acumuladas: La frecuencia absoluta acumulada del valor "2 caries" (N3) es 17, indica que hay 17 niños que tiene 2 caries o menos.       Frecuencias relativas ordinarias y acumuladas: La frecuencia relativa ordinaria de " 3 caries" (f4) es 0,136 ó 13,6% e indica que el 13,6 de los niños (0,136 de cada uno) tiene 3 caries. (f = n/muestra)   La frecuencia relativa acumulada de (f4) es 0,909 ó 90,9% e indica que el 90,9% de los niños tiene 3 caries o menos.

5. Tabla de Frecuencia con datos agrupados     Cuando la muestra es grande es frecuente encontrar muchos valores de la variable y resulta poco práctico numerarlos todos, en estos casos resulta conveniente agrupar los valores en intervalos consecutivos llamados clases. Estos intervalos son de la forma ( Li, Ls ), cuyo extremo Li es el límite inferior de la clase y el extremo Ls es el límite superior de la clase. Se recomienda que el número de clases, sean entre 5 y 20 . Para construir una distribución de frecuencias en clases seguimos el siguiente procedimiento aplicado al ejemplo: Los puntajes de un examen de ingreso a la universidad realizado por 40 alumnos son los siguientes:     110,102,108,115,120,130,93,124,112,102,110,108,108,109,11090,95,98,104,124,130,97,125,136,140,104,108,96,106,107,103,92,122,93,99,107,105,103,115,110.

6. Paso 1. Determinamos el rango " R" de variación de los datos que se define como: R = Xmáx - Xmin , donde el primero es el dato máximo y el segundo es el dato mínimo.         Para el ejemplo Xmáx = 140 y Xmin = 90 entonces R = 140 - 90 = 50.        Paso 2. Determinamos el número de intervalos o clases k.         k = raíz (n) es decir raíz (40) = 6,32 que también se redondea al entero siguiente quedando K = 7      

7. Paso 3 . Calculamos la amplitud de clase (A), que corresponde a la cantidad de datos que van en esa clase, dividiendo el rango R entre el número de clases k:             A = R sustituyendo A = 50 se redondea a 8.   k 7 Paso 4 . Construimos los intervalos o clases, como la variable es cuantitativa discreta los intervalos o clases son cerrados, es decir de la forma (Li, Ls ).     Para formar las clases comenzaremos con los límites inferiores:       * En la primer clase tomamos Li 1 = Xmin ( el dato más pequeño)     * Para las demás clases el límite inferior se obtiene sumando la Xmin con la amplitud, es decir:   Li n = Li n 1 + A. Para nuestro ejemplo = 90 y A = 8

8. entonces las 7 clases quedan:   Para obtener los límites superiores se toma el valor anterior al límite inferior de la clase siguiente y se va sumando la amplitud A = 8 Clases Cálculos Límites inferiores Li 1 = Xmin 90 90 Li 2 = Li 1 + A 90 + 8 = 98 98 Li 3 = Li 2 + A 98 + 8 = 106 106 Li 4 = Li 3 + A 106 + 8 = 114 114 Li 5 = Li 4 + A 114 + 8 = 122 122 Li 6 = Li 5 + A 122 + 8 = 130 130 Li 7 = Li 6 + A 130 + 8 = 138 138 Clases Li Límites superiores Ls Ls 1 = Xmin-1+A 90   97 Ls 2 = Ls 1 + A 98 Tomar el 105 Ls 3 = Ls 2 + A 106 valor 113 Ls 4 = Ls 3 + A 114 anterior a 98 121 Ls 5 = Ls 4 + A 122 y sumamos 129 Ls 6 = Ls 5 + A 130 la amplitud 8 137   138   145

9. Finalmente ya podemos elaborar las clases con sus respectivas frecuencias, recordando que cada clase abarca todos los valores que van desde el límite inferior hasta el superior. Datos ordenados: 90 92 93 93 95 96 97 98 99 102 102 103 103 104 104 105 106 107 107 108 108 108 108 109 110 110 110 110 112 115 115 120 122 124 124 125 130 130 136 140         Clases f 90 7 98 - 105 9 106 - 113 13 114 - 121 3 122 - 129 4 130 - 137 3 138 - 145 1 Total 40

10. Punto Medio P.M = (Li + Ls ) 2 se suman los límites de clase y el resultado se divide entre dos. dos   Para nuestro ejemplo obtendríamos los siguientes puntos medios:         Clases Mi f 90 93,5 7 98 - 105 101,5 9 106 - 113 109,5 13 114_121 117,5 3 122 - 129 125,5 4 130 - 137 133,5 3 138 - 145 141,5 1 Total   40

11. Límite real inferior ( LRi ) y Límite real superior ( LRs ). Se resta 0.5 al Li para que de cómo resultado el límite LRi y se suma 0.5 al Ls para que de cómo resultado el LRs. Si sacamos las frecuencias con estos datos, la tabla de frecuencia para datos no agrupados quedaría de la siguiente manera: Li Ls LRi LRs 90 97 89,5 97,5 98 105 97,5 105,5 106 113 105,5 113,5 114 121 113,5 121,5 122 129 121,5 129,5 130 137 129,5 137,5 138 145 137,5 145,5 fi Fi Fr FR Li Ls LRi LRs P.M 7 7 17,50% 17,50% 90 97 89,5 97,5 93,5 9 16 22,50% 40,00% 98 105 97,5 105,5 101,5 13 29 32,50% 72,50% 106 113 105,5 113,5 109,5 3 32 7,50% 80,00% 114 121 113,5 121,5 117,5 4 36 10,00% 90,00% 122 129 121,5 129,5 125,5 3 39 7,50% 97,50% 130 137 129,5 137,5 133,5 1 40 2,50% 100,00% 138 145 137,5 145,5 141,5

12. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden a reunir los datos (“Punto central”). Aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Son los principales métodos utilizados para ubicar el punto central. Media aritmética   Este estadístico es muy importante. Puede adoptar el nombre de promedio. Se calcula sumando todos los datos individuales y dividiéndolo por el número de datos de la muestra. Ej. X = {1, 5, 12, 9, 6, 5, 10} Media = (1+5+12+9+6+5+10) / 6 = 48 / 6 = 8

13. Mediana     La consideraremos el valor central de una distribución de frecuencias. De esta forma la mediana nos divide la distribución en dos mitades.     Ej. X = {1, 5, 5, 6, 9, 10, 12} Mediana = 6     Pero cuando la cantidad de números es par, se suman los dos valores centrales es decir 6, 9 y el resultado se divide entre dos. Ej. X = {1, 5, 5, 6, 9, 10, 12, 13} Mediana = 15/2= 7.5    Moda       Es el dato que tiene máxima frecuencia. No tiene por qué ser única.               Ej. X = {1, 5, 12, 9, 6, 5, 10}         Moda = 5      

14. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos .

15. Desviación media o Promedio ( D.m ) Ejemplo: (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) n= 7 Se resta la Media Aritmética a cada uno de los números de la Población. Luego se toma el valor absoluto de cada uno de los resultados y se suman. El resultado de la suma se divide entre el número total de datos (n). 1 2,57 -1,57 1,57 2 2,57 -0,57 0,57 2 2,57 -0,57 0,57 3 2,57 0,43 0,43 3 2,57 0,43 0,43 3 2,57 0,43 0,43 4 2,57 1,43 1,43 suma 5,43 Desviación Media o Promedio = 0.77

16. Varianza (V) Una forma de asegurar las diferencias entre la media y los puntos de un valor positivo, es elevándola al cuadrado. Al promedio de estas distancias al cuadrado se le conoce como varianza. Varianza (S2 ó σ2). Tomando los datos anteriores. Se resta la Media Aritmética a cada uno de los números de la Población. Luego se toma el valor absoluto de cada uno de los resultados y se elevan a la 2 (2 potencia). Se suman los resultados y ese resultado se divide entre el número total de datos. 1 2,57 -1,57 1,57 2,46 2 2,57 -0,57 0,57 0,32 2 2,57 -0,57 0,57 0,32 3 2,57 0,43 0,43 0,18 3 2,57 0,43 0,43 0,18 3 2,57 0,43 0,43 0,18 4 2,57 1,43 1,43 2,04 suma 5,71 Varianza = 0.81

17. Desviación típica o estándar Es la Raíz Cuadrada de la Varianza Tomando los datos anteriores Raíz de 0.81 = 0.9 Desv. Típica = 0.9 Coeficiente de variación ( C.v ) Equivale a la razón entre la media aritmética y la desviación típica o estándar. El coeficiente de variación permite comparar la dispersión entre dos poblaciones distintas e incluso, comparar la variación producto de dos variables diferentes (que pueden provenir de una misma población). Estas variables podrían tener unidades diferentes, por ejemplo, podremos determinar si los datos tomados al medir el volumen de llenado de un embase de cierto líquido varían más que los datos tomados al medir la temperatura del liquido contenido en el embase al salir al consumidor. El volumen los mediremos en centímetros cúbicos y la temperatura en grados centígrados. El coeficiente de variación elimina la dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporción existente entre una medida de tendencia y la desviación típica o estándar.

18. Coeficiente de variación ( C.v ) Es igual a la desviación típica/la media. Tomando los datos de los ejercicios anteriores Media = 2.57 Desv. Típica = 0.9 C.v = 0,35 Elaborado Por: Sandra Reyes F. Instructor. Carlos Ramírez Gracias…