Tareas de topología

1. Tarea Topología1
Rodrigo José Burgos y Veronica Villegas Santiago
1:En un espacio métrico, toda bola cerrada es un conjunto cerrado.
dem:
sea
~
Br(x)una bola cualquiera enX; x2 Xyr2R
+
Debemos probar que su complemento F es un abierto.
F=X n
~
Br(x) =fy2 X/d(x; y)> rg
Habrá que demostrar que existe una bolaBs(y)F
d(x; y) =jxyj> r
Podemos definir as=jxyj r >0
Siz2Bs(y)se tiene que:
d(x; y)⩽d(x; z) +d(z; y)
de donde tambiend(x; z)⩾d(x; y)d(y; z)> d(x; y)s
comos=jxyj r=d(x; y)r, tenemos qued(x; z)> d(x; y)d(x; y) +r
es decird(x; z)> r
De aquiz2Fes decir, todo punto de la bolaBs(y)esta en F.
)la bola cerrada
~
Br(x)es un conjunto cerrado.
2:Verificar que en el plano cartesianoR
2
, la función
((p1; p2);(q1; q2))! jp1q1j+jp2q2j
Es una métrica llamada Métrica de Manhattan. En el esp. MétricoR
2
con
la metrica de manhattan, describir las bolas abiertas (resp. cerradas)
dem:
para que sea una métrica, debe cumplir con las tres propiedades.
i)d(x; y) = 0sí y sólo six=y.
seap1=q1yp2=q2
((p1; p2);(p1; p2))! jp1p1j+jp2p2j= 0
por lo tanto lo cumple.ii)d(x; y) =d(y; x)parax; y2R
Sabemos que
((p1; p2);(q1; q2))! jp1q1j+jp2q2j=j(1)(p1+q1)j+j(1)(p2+q2)j=
j(1)jj(q1p1)j+j(1)jj(q2p2)j=jq1p1)j+jq2p2j
pero
1

2. ((q1; q2);(p1; p2))! jq1p1j+jq2p2jy
((p1; p2);(q1; q2))! jp1q1j+jp2q2j=jq1p1j+jq2p2jpor lo tanto cumple.
iii)d(x; y)⩽d(y; z) +d(z; y)parax; y; z2R
para esto, sean los puntos(p1; p2);(q1; q2)y(r1:r2)2R
2
tenemos que:
((p1; p2);(q1; q2))! jp1q1j+jp2q2j=jp1q1+r1r1j+jp2q2+r2r2j;
lo cual no afecta nuestra igualdad pues sumamos y restamos lo mismo. Utilizando la
desigualdad del triángulo y ocupando quep; q; rson reales, tenemos que:
jp1q1+r1r1j+jp2q2+r2r2j⩽jp1r1j+jr1q1j+jp2r2j+jr2q2j=
jp1r1j+jp2r2j+jr1q1j+jr2q2j
Ahora, tenemos que
((p1; p2);(r1; r2))! jp1r1j+jp2r2j
((r1; r2);(q1; q2))! jr1q1j+jr2q2j
de donde se puede ver que:
((p1; p2);(q1; q2))⩽((p1; p2);(r1; r2)) + ((r1; r2);(q1; q2))!
jp1r1j+jp2r2j+jr1q1j+jr2q2jCumpliendo la 3era propiedad , de donde
podemos ver que efectivamente es una métrica.
Usando esta misma métrica podemos ver la definición de una bola. Una bola abierta
seria aquella en donde seax= (x0; y0)2R
2
el centro yr$inR
Br(X) =fY= (x1; y1)2R
2
/jx0x1j+jy0y1j< r:g
Es decir, Gráficamente en un ejemplo podríamos ver que:
sea(x0; y0) = (0;0)tenemos que la bola seria todos losY2R
2
tales que
jx1j+jy1j< r. tomemos ar= 1
2

3. Analogamente podemos definir la bola cerrada como:
seax= (x0; y0)2R
2
el centro yr2R
~
Br(X) =fY= (x1; y1)2R
2
/jx0x1j+jy0y1j⩽r:g
3:Son métricas sobreRlas funcionesd1; d2, definidas sobreRxR
respectivamente por:
(x; y)!maxfjxyj;1gy(x; y)!minfjxyj;1gJustifique las respuesta.
Para(x; y)!maxfjxyj;1gvemos que no es una métrica por que no cumple con
la primera propiedad, es decir, no cumple que six=y, entoncesd(x; y) = 0
pues
(x; x)!maxf0;1g= 1.
La segunda es una métrica, puesto que si cumple con las tres propiedades.
i)(x; x)!minf0;1g= 0
ii)(x; y)!minfjxyj;1g=minfj(1)(yx)j;1g=minfjyxj;1g
de donde
(y; x)!minfjyxj;1gpor lo cual se puede notar que lo cumple.
iii)seax; y; z2RTenemos que probar que
(x; y)⩽(x; z) + (z; y)
es decir:
minfjxyj;1g⩽minfjxzj;1g+minfjzyj;1g
pero esto siempre se cumple puesto que viendolo por casos.
a)siminfjxyj;1g=jxyj;minfjxzj;1g=jxzj;minfjzyj;1g=jzyj
jxyj⩽jxzj+jzyjlo cual se cumple al serx; y; zReales.
b)siminfjxyj;1g=jxyj;minfjxzj;1g=jxzj;minfjzyj;1g= 1
jxyj⩽jxzj+ 1lo cual se cumple puesjxyj<1al ser el mínimo y en el otro
lado tenemos que es1mas algo.
c)siminfjxyj;1g=jxyj;minfjxzj;1g= 1;minfjzyj;1g=jzyj
jxyj⩽1 +jyzjlo cual se cumple por la misma razon que elb)
d)siminfjxyj;1g=jxyj;minfjxzj;1g= 1;minfjzyj;1g= 1
jxyj⩽2lo cual se cumple puesjxyj<1al ser el mínimo
e)siminfjxyj;1g= 1;minfjxzj;1g=jxzj;minfjzyj;1g=jzyj
tenemos quejxyj⩽jxzj+jzyjlo cual se cumple al serx; y; zReales y
1<jxyjal ser1el minimo,
entonces
1<jxyj⩽jxzj+jzyj, entonces1<jxzj+jzyjlo cual lo cumple.
f)siminfjxyj;1g= 1;minfjxzj;1g=jxzj;minfjzyj;1g= 1
tendríamos que:
1⩽1 +jxzj; lo cual lo cumple.
g)siminfjxyj;1g= 1;minfjxzj;1g= 1;minfjzyj;1g=jzyj
3

4. tendríamos que:
1⩽1 +jzyj; lo cual lo cumple.
h)siminfjxyj;1g= 1;minfjxzj;1g= 1;minfjzyj;1g= 1
tendríamos que
1<2; lo cual obviamente es cierto y por lo tanto vemos que si es una métrica.
4:La longitud de un lado esta entre la diferencia de las longitudes de los
otros dos lados y la suma de las longitudes de los otros dos lados.
Aqui podemos ver la desigualdad del triángulo, y la desigualdad triangular inversa.
dem1:
Utilizando la definición de valor absoluto vemos que:
jaj⩽a⩽jajyjbj⩽b⩽jbj
por lo que al sumar ambas desigualdades.
(jaj+jbj)⩽a+b⩽jaj+jbj::::(1)
pero usando otra propiedad del valor absoluto que dice:
jaj⩽bsi y solo sib⩽a⩽b
jbj⩽asi y solo sia⩽b⩽a
sumando ambas desigualdades
ab⩽a+b⩽a+b
pero si esto ocurría era por que:
ja+bj⩽a+b
pero de(1)
tenemos que
a+b⩽jaj+jbj
por lo cual:
ja+bj⩽a+b⩽jaj+jbj
de aqui:
ja+bj⩽jaj+jbj
La cual es la desigualdad del triángulo.
4

5. dem2:
Ya que conocemos la desigualdad del triángulo podemos utilizarla para demostrar la
desigualdad triangular inversa.
jaj=j(ab) +bj⩽jabj+jbj
jaj jbj⩽jabj
jbj=j(ba) +aj⩽jbaj+jaj
jbj jaj⩽jbaj=jabj
a partir de aqui podemos ver que:
(jaj jbj)⩽jabjyjaj jbj⩽jabj
por lo que :
jjaj jbjj⩽jabjla cual es la desigualdad triangular Inversa.
5:En un espacio métrico , un conjuntoUes abierto sí y sólo si es vecindad
de cada uno de sus puntos.
)
comoUes abierto, entonces tenemos queUXpor lo que9x2Xcualquiera y
r2R
>0
tal queBr(x)U.
Es decir, hay una bola enU.
pero entonces como dijimosxcualquiera, cumple con la definición de vecindad, por
lo cual entonces es vecindad de cada uno de sus puntos.
(=
comoUes vecindad de cada uno de sus puntos,UX;9x2Xcualquiera y
r2R
>0
tal queBr(x)U.
pero si eso se cumplía, entonces había una bola enU. lo cual también cumple con la
definición de conjunto abierto, por lo cualUes abierto.
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