Taylor series - from wolfram math world

Taylor series - from wolfram math world

1. 17/3/2016 Taylor Series ­­ from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html 1/3
Algebra
Applied Mathematics
Calculus and Analysis
Discrete Mathematics
Foundations of Mathematics
Geometry
History and Terminology
Number Theory
Probability and Statistics
Recreational Mathematics
Topology
Alphabetical Index
Interactive Entries
Random Entry
New in MathWorld
MathWorld Classroom
About MathWorld
Contribute to MathWorld
Send a Message to the Team
MathWorld Book
Wolfram Web Resources »
13,583 entries
Last updated: Tue Mar 15 2016
Created, developed, and
nurtured by Eric Weisstein
at Wolfram Research
Calculus and Analysis > Series > Series Expansions >
Interactive Entries > Interactive Demonstrations >
Taylor Series
 
A Taylor series is a series expansion of a function about a point. A one­dimensional Taylor series is an expansion of
a real function  about a point   is given by
(1)
If  , the expansion is known as a Maclaurin series.
Taylor's theorem (actually discovered first by Gregory) states that any function satisfying certain conditions can be
expressed as a Taylor series.
The Taylor (or more general) series of a function  about a point  up to order  may be found using Series[f, x,
a, n]. The th term of a Taylor series of a function  can be computed in the Wolfram Language using
SeriesCoefficient[f, x, a, n] and is given by the inverse Z­transform
(2)
Taylor series of some common functions include
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
To derive the Taylor series of a function , note that the integral of the  st derivative   of  from the
point  to an arbitrary point  is given by
(9)
where   is the th derivative of  evaluated at , and is therefore simply a constant. Now integrate a
second time to obtain
(10)
where   is again a constant. Integrating a third time,
(11)
and continuing up to   integrations then gives
(12)
Rearranging then gives the one­dimensional Taylor series
(13)
(14)
Here,  is a remainder term known as the Lagrange remainder, which is given by
Taylor Series
Michael Ford
Introduction to
Taylor­Maclaurin
Series
Paul Rosemond
Taylor
Approximations in
Two Variables
Roy Wright
Taylor Expansions
with Noninteger
Number of Terms
Michael Trott
Search MathWorld
THINGS TO TRY:
taylor series
Taylor polynomial degree 3 of
(x^3+4)/x^2 at x=1
third Taylor polynomial sin x

2. 17/3/2016 Taylor Series ­­ from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html 2/3
(15)
Rewriting the repeated integral then gives
(16)
Now, from the mean­value theorem for a function , it must be true that
(17)
for some  . Therefore, integrating   times gives the result
(18)
(Abramowitz and Stegun 1972, p. 880), so the maximum error after  terms of the Taylor series is the maximum value
of (18) running through all  . Note that the Lagrange remainder  is also sometimes taken to refer to the
remainder when terms up to the  st power are taken in the Taylor series (Whittaker and Watson 1990, pp. 95­
96).
Taylor series can also be defined for functions of a complex variable. By the Cauchy integral formula,
(19)
(20)
(21)
In the interior of ,
(22)
so, using
(23)
it follows that
(24)
(25)
Using the Cauchy integral formula for derivatives,
(26)
An alternative form of the one­dimensional Taylor series may be obtained by letting
(27)
so that
(28)
Substitute this result into (◇) to give
(29)
A Taylor series of a real function in two variables   is given by
(30)
This can be further generalized for a real function in  variables,
(31)
Rewriting,
(32)
For example, taking   in (31) gives
(33)

3. 17/3/2016 Taylor Series ­­ from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html 3/3
(34)
Taking   in (32) gives
(35)
or, in vector form
(36)
The zeroth­ and first­order terms are  and  , respectively. The second­order term is
(37)
(38)
so the first few terms of the expansion are
(39)
SEE ALSO:
Cauchy Remainder, Fourier Series, Generalized Fourier Series, Lagrange Inversion Theorem, Lagrange
Remainder, Laurent Series, Maclaurin Series, Newton's Forward Difference Formula, Taylor's Inequality, Taylor's
Theorem
REFERENCES:
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,
9th printing. New York: Dover, p. 880, 1972.
Arfken, G. "Taylor's Expansion." §5.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 303­313,
1985.
Askey, R. and Haimo, D. T. "Similarities between Fourier and Power Series." Amer. Math. Monthly 103, 297­304, 1996.
Comtet, L. "Calcul pratique des coefficients de Taylor d'une fonction algébrique." Enseign. Math. 10, 267­270, 1964.
Morse, P. M. and Feshbach, H. "Derivatives of Analytic Functions, Taylor and Laurent Series." §4.3 in Methods of Theoretical
Physics, Part I. New York: McGraw­Hill, pp. 374­398, 1953.
Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Forms of the Remainder in Taylor's Series." §5.41 in A Course in Modern Analysis, 4th ed.
Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 95­96, 1990.
Referenced on Wolfram|Alpha: Taylor Series
CITE THIS AS:
Weisstein, Eric W. "Taylor Series." From MathWorld­­A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
Wolfram Web Resources
Mathematica »
The #1 tool for creating
Demonstrations and anything
technical.
Wolfram|Alpha »
Explore anything with the first
computational knowledge engine.
Wolfram Demonstrations Project »
Explore thousands of free applications
across science, mathematics,
engineering, technology, business, art,
finance, social sciences, and more.
Computerbasedmath.org »
Join the initiative for modernizing math
education.
Online Integral Calculator »
Solve integrals with Wolfram|Alpha.
Step­by­step Solutions »
Walk through homework problems step­
by­step from beginning to end. Hints
help you try the next step on your own.
Wolfram Problem Generator »
Unlimited random practice problems
and answers with built­in Step­by­
step solutions. Practice online or
make a printable study sheet.
Wolfram Education Portal »
Collection of teaching and learning
tools built by Wolfram education
experts: dynamic textbook, lesson
plans, widgets, interactive
Demonstrations, and more.
Wolfram Language »
Knowledge­based programming for
everyone.
 Contact the MathWorld Team © 1999­2016 Wolfram Research, Inc. | Terms of Use