Tema 08. lógica de enunciados

Presenta los principios basicos de la logica de enunciados

1. Logica para la toma de
decisiones

Logica de enunciados

Facultad de Ciencias
Administrativas

Universidad Autonoma
de Baja California.

© eac © MC. José Luis Cisneros González

2. A Sobre los derechos

Esta obra y sus derechos patrimoniales y autorales son propiedad del
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sus tratados internacionales, la copia y reproducción total o parcial se
encuentran prohibidas, salvo permiso explícito por parte del autor.

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encuentra en violación de los derechos de autor.

Cualquier violación a los derechos de autor y sus tratados internacionales
podrá ser sancionada conforme a derecho.

eac

3. A Objetivo de la unidad

El participante:

« Aprenderá a realizar el análisis lógico de argumentos a través
de la lógica de enunciados o proposiciones.

© eac

4. Facilitador

José Luis Cisneros Gonzalez.

Ingeniero Químico - UAEM, MC- ITESM en Sistemas
Computacionales, Premio Nacional en Fenómenos de Transporte
1984. Miembro del SNI 1988-93.

Investigador, del Instituto de Investigaciones Eléctricas (IIE) y del
Instituto de Ingeniería, UABC.

Director de diversas tesis e investigaciones, y docente en programas
de licenciatura y posgrado.

Consultor de empresas, ha realizado investigaciones y publicado
diversos libros y artículos sobre Tecnologías de la Información y la
Comunicación (TIC's), Sistemas de Información Gerencial y Bases
de datos.

Actualmente se desempeña como investigador independiente en
Enseñanza Asistida por Computadora (EAC) o Elearning, Sistemas
de información y Reingeniería de procesos y como docente de la
Facultad de Ciencias Administrativas de la UABC en Licenciatura y
Postgrado.

5. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

La lógica de enunciados, recibe ese nombre porque analiza la composición de los argumentos
distinguiendo esencialmente dos tipos de enunciados: los simples o atómicos y los compuestos
o moleculares.

La virtud de la lógica de enunciados reside en que puede estudiar la forma de más argumentos
de los que podrían ser analizados con la lógica silogística.

Podemos decir que el español o castellano, como otros lenguajes naturales, no es exacto, pues
admite ambigúedades, es decir, que una palabra pueda ser usada con más de: un significado,
mientras que, en cambio, el lenguaje de la lógica formal (que es artificial) busca ser riguroso,
exacto y carente de ambigúedades.

El primer sistema formal completo de lógica de primer orden (en el que encontramos
desarrolladas las llamadas lógica de enunciados y lógica de predicados) se lo debemos al
matemático y filésofo Friedrich Ludwig Gottlob Frege, quien lo desarrolló en su obra
Conceptografia (Begriffsschrift), publicada en 1879.

eac

6. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Aprender el lenguaje simbólico de la lógica de enunciados (y más adelante el de la lógica
de predicados) es útil para adquirir más habilidades en el manejo del pensamiento
abstracto, pues nos exige apreciar la forma en que estructuramos argumentos más
complejos; nos ayuda a reconocer que dentro de los argumentos hay elementos fijos y
otros variables, y nos permite apreciar que es posible desprendernos del contenido de lo
que hablamos para concentrarnos en la manera en que lo hacemos. Incluso es útil para
acrecentar nuestra competencia en el manejo del idioma, pues enriquece nuestra
comprensión del significado de algunas partículas, como la negación, la conjunción, la
disyunción o el uso de comas, comillas, etcétera.

Aprender a emplear el lenguaje de la lógica de enunciados es como aprender un nuevo
idioma: necesitamos saber cuáles son sus símbolos y cómo construimos enunciados bien
hechos conforme lo dicta su gramática. Veamos el siguiente cuadro comparativo entre el
español y el lenguaje de la lógica de enunciados:

7. Alfabeto (símbolos) Alfabeto (símbolos)
a) Vocales: a, e, i, 0, u. a) Letras de enunciados o proposicionales
simples: p, q, F, S,

b) Consonantes: b, c, d, f, 9,h,j,k,l,m, n, fi, b) Términos lógicos:
P,9,,S,t, VW X Y, Z. = (negación)
A (conjunción)

©) Signos auxiliares V (disyuncién)
Ole © O > (implicación material)
= (equivalencia)
e) Signos auxiliares:
JUNO

Reglas de la gramática Reglas de la gramática
1. Los elementos de un enunciado son sujeto, verbo y 1. Toda letra de enunciado es una fórmula de nuestro lenguaje lógico.
complemento. 2. Si A es una fórmula de nuestro lenguaje, las expresiones ~A son fórmulas de
2. Los nombres propios se escriben con inicial mayúscula. nuestro lenguaje lógico.
3. Las palabras que comienzan con las sílabas bu, bur y bus, se — 3. Si A y B* son fórmulas de nuestro lenguaje, las expresiones A AB, À VB, A> B, A
escriben con b, etcétera. = B'también lo son.
4. Ninguna otra fórmula, más que las descritas en 1 a 3, son fórmulas de nuestro
lenguaje lógico.
* Observa que las letras mayúsculas A y B representan
cualquier fórmula del lenguaje de la lógica de
enunciados; es decir, pueden ser letras de enunciado
como p, q, , ola combinación entre letras de
enunciados y conecivas, por ejemplo:
PAG, -p, etcétera

8. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

1. Cada una de las letras minúsculas o letras de enunciado representa un enunciado
simple o atómico, que se caracteriza por no contener ningún término lógico. Por lo regular,
y visto desde el lenguaje natural, con una letra de enunciado identificamos una expresión
de la forma sujeto y predicado, que decimos expresa una idea completa.

2. Con excepción de la negación, las restantes conectivas lógicas cumplen la función de
conectar proposiciones o enunciados simples, de tal forma que dan lugar a enunciados
compuestos o también llamados moleculares. Las cinco conectivas lógicas tienen un
significado fijo. También se les conoce con el nombre de funciones de verdad, porque se
definen a partir de la asignación de valores de verdad de los elementos de los enunciados
en los que aparecen.

3. Los signos auxiliares son como los signos de puntuación, que nos sirven para
expresarnos con precisión a través de la escritura, como ocurre en nuestro lenguaje
ordinario.

4. La gramática de los lenguajes formales está compuesta de unas cuantas reglas muy
precisas, en contraste con las reglas gramaticales de los lenguajes naturales, que no sólo
son extensas, sino que en ocasiones admiten excepciones, y por ello convierten la
práctica de la gramática correcta en todo un arte.

9. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Ejemplos de fórmulas bien formadas:

p

paq

Pp

q)
~(pENA~q

een

Analicemos porque estän bien formadas

a. p.Laregla 1 de la gramätica de la lögica de enunciados lo autoriza, puesto que se
trata de una letra de enunciado.

b. pA q. Lo autoriza la regla 3 de la gramática de la lógica de enunciados, puesto
que se trata de un caso o instancia de la forma “A A B”..

c. ~p. Lo autoriza la regla 2 de la gramática de la lógica de enunciados, puesto que
se trata de un caso o instancia de la forma “-A”.

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10. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Ejemplos de fórmulas bien formadas:

p

paq

Pp

q)
~(pENA~q

een

Analicemos porque estän bien formadas
d. ~p > -r. Las reglas 2 y 3 la convalidan. La regla 2 autoriza que “~p y -r” sean
buenas fórmulas por que son instancias de la forma “-A”, y la regla 3 autoriza “~p
> -r” porque son un caso de forma “A > B”.

e. ~(p =r) A <q. Es una fórmula bien formada que se apoya en las reglas 2 y 3. La
regla 2 autoriza que “~(p = r) y -q” sean buenas fórmulas porque son instancias
de la forma “A”, y la regla 3 autoriza “p = r” debido a que representan un caso de
la forma “A = B”, y “~(p = r) A -q” es una instancia de “AA B”.

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11. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Ejemplos de formulas que no estan bien formadas:

me
pan
=)
~pEr~q

aoop

Analicemos porque no estan bien formadas
a. p~. No es una formula bien formada porque viola la regla 2, pues no conserva la

forma “A”.

b. pq. Viola la regla 3, pues no conserva la forma “A A B”.

c. => prar. Viola las reglas 2 y 3: “~ >” no conserva la forma “~A” como dicta la regla
2; y “~ p ->r” no conserva ninguna de las formas estipuladas por la regla 3.

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12. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Ejemplos de formulas que no estan bien formadas:

aoop

Analicemos porque no estan bien formadas
d. ~p=r~q. No es una fórmula bien formada, porque aunque “=p = r” sí dan lugar a
una fórmula correcta, al agregar “-q” se convierte en incorrecta, porque la regla 4
la excluye, puesto que ninguna de las reglas de la 1 a la 3 lo permite..

Diferencia entre enunciados simples o atómicos y enunciados compuestos o
moleculares

Un enunciado simple o también llamado atómico expresa una sola idea, por ejemplo: “El
pizarrón es blanco”, “Jorge es alto” Su rasgo más característico, es que carece de
conectivas lógicas

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13. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Hay que poner mucha atención en el aprendizaje de las conectivas lógicas, pues no
siempre tenemos las expresiones del español con que las identificamos.

Pensemos por ejemplo en ciertos usos de la expresión “no”, ya que muchos enunciados la
contienen para expresar duda, como al decir: “¿Alicia no hizo este desastre?”

Igual ocurre con la reiteración del “no”, que no pretende estar invirtiendo constantemente
el valor de verdad, sino enfatizar una negación: “NO, no, no, no, esto debe ser un error”.

Estamos ante una conectiva lógica cuando podemos reconocer que la empleamos en el
sentido que estipula su definición formal, la cual estudiaremos en el siguiente tema, donde
ampliaremos la explicación y los ejercicios para su aprendizaje.

Por el momento concentraremos nuestra atención en ejercitarte para distinguir los
enunciados simples o atómicos de los compuestos o moleculares.

14. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Veamos algunos ejemplos de enunciados atómicos:

a) Los jaguares fueron felinos venerados por los mayas.
b) “La niña mirando desde la ventana” es una pintura famosa.
c) El bosque alberga muchas especies animales.

Ahora revisemos ejemplos de enunciados moleculares. Observa los conectivos en
negritas:

a) Rubén Darío es el padre del modernismo y escribió la obra Azul.
b) Si me duermo, entonces no veo la televisión.
c) Tengo jaqueca, o me subió la presión.

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15. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS

Las conectivas lógicas

Una conectiva lógica es cualquier expresión de una función de verdad, cuyo valor de
verdad se establece de acuerdo con el valor de verdad de las expresiones que la
constituyen. Decimos que una expresión es veritativo-funcional si forma compuestos en
los que basta conocer el valor de verdad de sus partes para saber el valor de verdad del
conjunto. Ya hemos aprendido que existen diversas conectivas lógicas. Aquí revisaremos
con cierta amplitud las siguientes: la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional
y el bicondicional.

Aprender a identificar cada conectiva nos ayudará a saber cómo aplicar el lenguaje de la
lógica de enunciados para pasar de un lenguaje escrito en español a su traducción al
lenguaje lógico.

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16. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
L Las conectivas lógicas — La negación

Lenguaje relacionado: No, nada, nunca, jamás, ningún, es falso que, no es cierto que, es
incorrecto que, y otros términos similares.
Símbolos:. =|] —

Maneras de leer la negación lógica. Cuando tenemos una

fórmula negada (~a), podemos leerla de cualquiera de las Tabla de verdad

siguientes maneras:

«Noa «No es cierto que a

+ No es verdad quea + a,no V E

+ No es el caso que a + No ocurre que a

+ Es falso que a 5 V

Ejemplos: V = Verdadero
F = Falso

a = México consumó su independencia en 1821.
-a = No es cierto que México consumó su independencia en 1821.

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17. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
Ú Las conectivas lógicas — La negación

Tabla de verdad

Verdadero Falso
Falso Verdadero

Usando nuestro conocimiento de la historia de México, sabemos que de hecho ese
enunciado es verdadero y que por tanto su negación lógica (“No es cierto que México
consumó su independencia en 1821”) da lugar a un enunciado falso..

Es importante subrayar que la negación de un enunciado falso, da lugar a un enunciado
verdadero.

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18. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas — La conjunción

Lenguaje relacionado: Y; también; además; incluso; e; “,”; pero; entre otras expresiones.

Simbolos:. - NA

Tabla de verdad
Maneras de leer la conjunción lógica.
*AyB «A ademas de B
+ Apero B + Tanto À como B

+ A sin embargo B - A aunque B

Ejemplos:

E

a = La Independencia de México se festeja el 15 de septiembre.

2 R . . V = Verdadero
b = La Revolución Mexicana se festeja el 20 de noviembre .

F = Falso

anb = La Independencia de México se festeja el 15 de septiembre y la revolución el 20 de
noviembre.

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19. CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

En la tabla de verdad de la negación sólo teníamos dos valores, puesto que una fórmula
que por ejemplo represente un enunciado atómico sólo puede tener dos valores:
verdadero o falso. En cambio, en la conectiva de la conjunción relacionamos dos
fórmulas, por ello se duplica la cantidad de valores. Para contemplar todos los valores de
verdad posibles en la relación entre fórmulas, aplicamos la regla 2”, sabiendo que 2 es el
número de valores posibles que le corresponden a una sola fórmula (verdadero o falso) y
“n” el número de letras de enunciado presentes en las fórmulas que se estén
relacionando. En este caso tendríamos 2?; por lo tanto, el resultado son 4 valores, lo cual

nos indica el número de filas que tendrá nuestra tabla de verdad.

La colocación de valores en la tabla se ajusta a la convención que estipula comenzar por
los valores verdaderos. Los de la primera fórmula de la izquierda tendrán la mitad de los
valores totales como verdaderos y la otra mitad como falsos. La fórmula siguiente a la
derecha tendrá la mitad de los anteriores hasta concluir el total de valores. En la siguiente
unidad te ejercitarás en la colocación de los valores en su tabla de verdad cuando veamos
el tema de tablas de verdad como método para la demostración de la validez.

20. CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

e Ejemplo

Supondremos que tenemos un enunciado con tres variables (p, q, r) que pueden tomar
valores de cierto y falso, así según lo dicho previamente tendremos un conjunto de
valores de 2° = 8, de estos ocho valores para la primera variable 4 deberán ser ciertos y
otros 4 deberán ser falsos. Para la segunda variable los deberá haber 2 valores de cierto y
2 de falso y repetirlos hasta completar la tabla y para la tercera variable deberá haber 1
valor de cierto y un valor de falso y repetirlos hasta completar la tabla. L

Las subsecuentes columnas pertenecen a las operaciones lógicas que involucran a las
variables.

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21. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
L Las conectivas lógicas — La disyunciön

Lenguaje relacionado: O, u, o bien, y cualquier otra expresiön similar.

Simbolos:. V disyunción inclusiva Tabla de verdad

Maneras de leer la disyunciön inclusiva lögica.
*ObienA,obienB exclusiva

Ti < ES
Tee
ni< <<

Ejemplos:

a=Ire al cine.
V = Verdadero

b = Iré al teatro.
F = Falso

avb = Iré al cine o al teatro.

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22. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
L Las conectivas lógicas — La disyunciön

Lenguaje relacionado: O, u, o bien, y cualquier otra expresiön similar.

Tabla de verdad

Simbolos:. # disyunciön exclusiva

Maneras de leer la disyunciön exclusiva lögica.
+ObienA,obienB exclusiva

Ejemplos:

a = Manolo esta en España.

b = Manolo esta en México. V = Verdadero

F = Falso
a #b = Manolo o esta en España, o esta en México

© eac

23. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas — La condicional o implicación material

Lenguaje relacionado: (Si..., entonces...), (Si..., ...), (..., sólo si...) (Los... son...)..
Tabla de verdad

Simbolos:. D > >

Maneras de leer la condicional lógica:

+ Si A entonces B “A, siB
«AesnecesariasisedaB +SdloAsiB
+ No se da A sin B «NoAoB
Ejemplos:

a = Apruebas el examen de ingreso a la universidad.

b = Te regalaré un carro.

a = b = Si apruebas el examen de ingreso a la universidad entonces te regalaré un
carro

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24. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas — La condicional o implicación material

“Si p entonces q”, llamamos antecedente al enunciado que aparece a la izquierda de la
palabra entonces y que en este caso es “p”, y llamamos consecuente al enunciado que
aparece a la derecha de la palabra entonces, en este caso “q”.

Sin embargo, sí hay algo que asevera el enunciado condicional: a saber, la relación que
guardan entre sí, antecedente y consecuente. En otras palabras, que aquello que sea q o el
consecuente, se da al presentarse p o el antecedente. Lo cual es igual a decir que q es
consecuencia de p. Por eso decimos que p es condición suficiente para la presencia de q;
es decir, saber que contamos con p es suficiente para saber que contamos con q. Por otra
parte, si sabemos que contamos con q, en ese caso es necesario que contemos con p. Es
por eso que podemos decir que q es condición necesaria para la presencia de p.

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25. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas — La condicional o implicación material

a = b

a es condición suficiente para b

b es condición necesaria para a”
Si un número es divisible entre 4 entonces es divisible entre dos 2

1. La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2.
Es suficiente que un número sea divisible entre 4 para que también lo sea
entre 2.

2. La divisibilidad entre 2 es condición necesaria para la divisibilidad entre 4.
Es necesario que un número sea divisible entre 2 para que se divisible entre 4,
pero no es condición suficiente por ejemplo 6 es divisible entre dos pero no
entre 4.

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26. A FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
| Las conectivas lógicas — La condicional o implicación material

Enunciación hipotética condicional

La normal a=>b
La reciproca b=a
La inversa -a = -b
La contrareciproca -b = -a

Iré a trabajar si me pagan, Si me pagan entonces iré a trabajar, Si voy a
trabajar entonces me pagan, Si no me pagan entonces no iré a trabajar, Si no
voy a trabajar entonces no me pagan.

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27. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
I Las conectivas lógicas — La bicondicional o equivalencia material

Lenguaje relacionado: (Si y sólo si... equivale a...,), (decir... es tanto como decir...),
(decir... es lo mismo que decir ...), y otras expresiones análogas

Tabla de verdad

Simbolos:. = =

Maneras de leer la condicional lógica:

+ A si y sólo si B «A implica B y B implica A
-Aes necesario y suficiente para B + Aes lo mismo que B

+ No hay diferencia entre decir A o decir B + A siempre y cuando B

Ejemplos:
a = Un triángulo es equilátero. V = Verdedero
b = Un triángulo equilátero tiene sus ángulos de igual medida. F = Falso

a <= b = Un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus ángulos de igual medida

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28. FORMAS DEDUCTIVAS CON LOGICA DE ENUNCIADOS
Proposiciones simples y compuestas

Simples: Expresan una idea simple, sin conectivas lógicas.

Compuestas: Formadas por varias proposiciones y tienen una o varias de las conectivas
lógicas.

Ejemplo: ((aVb)A~c) = (a = b)

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de sus
proposiciones simples.

Suponga que a=verdadero, b = falso y c = verdadero. ((VV f) A~v) > (v = f)

Primero se substituyen valores y se resuelve para las

N hs : ï vv A~v) > (v=
conectivas lógicas primarias. (vv wi ( N
Se obtienen valores para las conectivas lögicas M LF iF
primarias y se resuelve para el siguiente nivel de 9 S——~~——~
conectivas lógicas hasta llegar al resultado final. \ F N

Y
Vv

eac