Tema 1.2: Algebra Vectorial y su Geometría

Descripción teórica sobre las operaciones con vectores, su representación grafica y sus propiedades.

1. UNIDAD 1: VECTORES EN EL ESPACIO Tema 1.2: Algebra Vectorial y su Geometría CALCULO VECTORIAL INGENIERIA INDUSTRIAL DOCENTE: M.E. ALEJANDRO HERNANDEZ LOPEZ

2. Competencias: 1. Efectuar operaciones de suma, resta de vectores y multiplicación de un escalar por un vector. 2. Representar las anteriores operaciones analíticamente y gráficamente.

3. Vectores en el plano Definición de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar Sean y vectores y sea c un escalar La suma vectorial de u y v es el vector . El múltiplo escalar de c y u es el vector . El negativo de v es el vector . La diferencia de u y v es .

4. La suma de vectores y la multiplicación por un escalar comparten muchas propiedades de la aritmética ordinaria, como se muestra en el teorema siguiente Propiedades de las operaciones con vectores Sean u , v y w los vectores en el plano, y sean c y d escalares. u + v = v + u Propiedad conmutativa de suma ( u + v ) + w = u + ( v + w ) Propiedad asociativa de suma u + = u Propiedad de la identidad aditiva u + ( - u ) = Propiedad del inverso aditivo c(d u ) = ( cd ) u Propiedad asociativa multiplicativa ( c + d ) u = c u + d u Propiedad distributiva c ( u + v ) = c u + c v Propiedad distributiva 1( u ) = u , 0( u ) = 0 Propiedad de la identidad multiplicativa

5. En muchas aplicaciones de los vectores es útil encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado. A continuación, se proporciona un procedimiento para hacer eso. Vector unitario en la dirección de v Si v es un vector distinto de cero en el plano , entonces el vector Tiene longitud 1 y la misma dirección que v . Por tanto, u tiene longitud 1 y la misma dirección que v . Al vector u se le llama un vector unitario en la dirección de v . El proceso de multiplicar v por para obtener un vector unitario se llama normalización de v.  

6. Vectores unitarios canónicos o estándar A los vectores unitarios y se les llama vectores unitarios canónicos o estándar en el plano y se denota por Como se muestra en la figura 11.10. Estos vectores pueden usarse para representar cualquier vector de manera única, como sigue. Al vector se le llama una combinación lineal de i y j . A los escalares y se les llama las componentes horizontal y vertical de v.   Vectores unitarios canónicos o estándar    

7. Vectores en el Espacio En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas . El vector cero se denota por Usando los vectores unitarios , y en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es:   como se muestra en la figura 11.19. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de a como se muestra en la figura 11.20, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue:  

8. Las propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar dadas para los vectores en el plano, son también válidas para vectores en el espacio.

9. Múltiplo Escalar Gráficamente, el producto de un vector v por un escalar k es un vector que tiene longitud igual a k veces la de v (Figura 10.6). Si k es positivo, k v apunta en la misma dirección que v. Si k es negativo, k v apunta en la dirección opuesta a la de v .

10. Suma y Resta de Vectores Para sumar dos vectores gráficamente, se colocan (sin cambiar sus longitudes y direcciones) con el punto inicial de uno coincidiendo con el punto final del otro, como en la Figura 10.7. El vector u + v , llamado vector resultante , es la diagonal de un paralelogramo que tiene a u y v como lados adyacentes.

11. La figura 10.8 ilustra la equivalencia de las definiciones geométrica y algebraica de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar y presenta (a la derecha) una interpretación geométrica de u – v .

12. PREGUNTAS PARA RETROALIMENTAR LOS CONTENIDOS TEÓRICOS DEL TEMA 1.2 Proporcione la fórmula para obtener la suma de vectores Proporcione la fórmula para obtener la multiplicación escalar de vectores Proporcione la fórmula para obtener la resta de vectores Mencione y describa las 8 propiedades de las operaciones con vectores Proporcione la fórmula para obtener el vector unitario en dirección al vector dado Proporcione y escriba la simbolización de los vectores unitarios canónicos tanto en el plano como en el espacio Proporcione el procedimiento matemático para obtener las componentes de un vector. Represente gráficamente en el plano cartesiano las operaciones de suma y resta de vectores, así como la multiplicación escalar