Tema_1_Parte_Fundamentos_de_Radiacion_Ampliada_11092025.pdf

antenas

1. 1
1
ANTENAS Y MICROONDAS (6 ECTS)
4
º
curso (semestre de otoño)
Asignatura obligatoria para la mención de Sistemas de
Telecomunicación de:
Grado en Ingeniería en Tecnologías de Telecomunicación
Doble grado en Ingeniería en Tecnologías de
Telecomunicación + Ingeniería Biomédica
Tema 1
FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN (ampliación)
JorgeTenienteVallinas
DepartamentodeIngenieríaEléctrica,Electrónicayde
Comunicación
EscuelaTécnicaSuperiordeIngenieríaIndustrial,Informáticay
deTelecomunicación(ETSIIIT)
UniversidadPúblicadeNavarra
Tel.:[phone]
e-mail:jorge.teniente@unavarra. es
Oficina: Edificio de los Tejos, 2ª planta, ala norte, oficina D-2.07
Juan Carlos Iriarte Gallaregui
DepartamentodeIngenieríaEléctrica,Electrónicayde
Comunicación EscuelaTécnicaSuperiordeIngenieríaIndustrial,Informáticay
deTelecomunicación(ETSIIIT)
UniversidadPúblicadeNavarra
Tel.:[phone]
e-mail:jcarlos.iriarte@unavarra. es
Oficina: Edificio de los Tejos, 1ª planta, ala norte, oficina D-1.05

2. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
2
Índice

3. Todos los fenómenos electromagnéticos están gobernados por las
ecuaciones de Maxwell:
Donde la primera ecuación se conoce como la Ley de Gauss para el campo
eléctrico donde
ρes la densidad de carga eléctrica en el vacío. Esta
ecuación indica que las líneas de campo eléctrico comienzan y terminan en
las cargas.
La segunda ecuación es la Ley de Gauss para el campo magnético. Esta
ecuación indica que las líneas de campo magnético son cerradas.
La tercera ecuación es la ley de Faraday-Lenz. Esta ecuación indica que si
existe una variación del campo magnético entonces este provoca la
aparición de un campo eléctrico .

La cuarta ecuación es la ley de Ampere generalizada. Esta ecuación indica
que una corriente eléctrica o un campo eléctrico variable con el tiempo
provocan la aparición de un campo magnético .
3
(1)
(2) 0
(3)
(4)
D
B
B
E
t
D
HJ
t ρ∇⋅ =

∇⋅ =

∂
∇× =− 
∂

∂

∇× = +
∂






E

B

J

D

H

2.1. Ecuaciones de Maxwell

4. Relacionando además en medios materiales los vectores intensidad e
inducción mediante la permitividad eléctrica
εy la permeabilidad
magnética
µ, tenemos:
Además, es simplemente la velocidad de
la luz en el vacío
Añadiendo la ecuación de continuidad (que se deduce de las leyes de
Ampere y de Gauss para el campo eléctrico y sabiendo que la divergencia
de un rotacional es cero) que es una manifestación del principio de
conservación de la carga:
Añadiendo además la ley de Lorentz que da la fuerza que actúa sobre una
carga
ρ, que se mueve con velocidad , cuando se sitúa en campos y :
Tenemos que con todas estas ecuaciones se puede explicar cualquier tipo
de fenómeno electromagnético
ν

B

E

( )FqE Bν=⋅ +×
 
91
00
71
00
8.854 10
,
4 10
r
rr
r
D E E Fm
con y los valores relativos
HmBH Hε εε ε
εµ
µπµ µµ
−−
−−
=⋅=⋅⋅ = ⋅ ⋅
=⋅⋅=⋅=⋅⋅
 
 
4
( ) () 0HJ D J
tt
δρ
δ∂
∇⋅ ∇× =∇⋅ + ∇⋅ ⇒∇⋅ + =
∂
  
( )
81
00
1 2.998 10 scmεµ
−
= ⋅= ⋅ ⋅
2.1. Ecuaciones de Maxwell

5. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
5
Índice

6. Partiendo de las ecuaciones de Maxwell:
0
D
B
B
E
t
D
HJ
t
ρ ∇⋅ =

∇⋅ = 

∂
∇× =−
∂

∂
∇× = +
∂






Condiciones
de Contorno
Fuentes:
J

ρ
E

H

funciones
intermedias
A

Φ
6
2.2. Potenciales retardados

7. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
7
Índice

8. Aprovechando que:
Sabiendo que la divergencia de un rotacional es cero,
podemos definir:
Siendo el potencial vector
0B∇⋅ =

AB

×∇=
8
A

2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector

9. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
9
Índice

10. Sustituyendo el potencial vector en la Ley de Faraday-Lenz:
Una función vectorial con rotacional nulo, proviene del
gradiente de una función escalar
0

=








∂
∂
+×∇
∂
∂
×−∇=×∇→
∂
∂
−=×∇
t
A
E
t
A
E
t
B
E






Φ−∇=
∂
∂
+
t
A
E


Potencial escalar
10
2.2. Potenciales retardados
2.2.2. Potencial Escalar

11. Si sustituimos las definiciones anteriores en la ley de Ampere
generalizada:
t
D
JH
∂
∂
+=×∇


t
E
JB
∂
∂
+=×∇


µεµ






∂
∂
−Φ∇−
∂
∂
+=×∇×∇
t
A
t
JA


µεµ
µ
B
H


= ED

ε=
AB

×∇=
t
A
E
∂
∂
−Φ−∇=


11
2.2. Potenciales retardados

12. 





∂
∂
−Φ∇−
∂
∂
+=×∇×∇
t
A
t
JA


µεµ
()
2
A AA∇×∇× =∇ ∇⋅ −∇
 
()
2
2
2
A
A AJ
tt
µ µε µε
∂Φ ∂
∇ ∇⋅ −∇ = − ∇ −
∂∂

 
2
2
2
A
A JA
tt
µε µ µε
∂ ∂Φ 
∇ − =− +∇ ∇⋅ +

∂∂ 

 
12
Así obtenemos la primera de las ecuaciones de los potenciales
retardados:
2.2. Potenciales retardados

13. Dρ∇⋅ =

E
ρ
ε
∇⋅ =

A
tρ
ε ∂
∇⋅ −∇Φ− =
∂


()
2
A
t
ρ
ε
∂
∇Φ=− − ∇⋅
∂

2
2
2
A
tt t
ρ
µε µε
ε
∂ Φ ∂ ∂Φ 
∇Φ− =− − ∇⋅ +

∂∂ ∂ 

13
Si sumamos y restamos a ambos términos de la ecuación
anterior el termino obtenemos la segunda de las
ecuaciones de los potenciales retardados:
22
tµε∂Φ∂
Si sustituimos las definiciones anteriores en la ley de Gauss
para el campo eléctrico:
2.2. Potenciales retardados

14. 0A
tµε
∂Φ
∇⋅ + =
∂

14
2
2
2 A
A JA
tt
µε µ µε
∂ ∂Φ
∇ − =− +∇ ∇⋅ +

∂∂ 

 
2
2
2
A
tt t
ρ
µε µε
ε∂ Φ ∂ ∂Φ 
∇Φ− =− − ∇⋅ +

∂∂ ∂ 

Definiendo la divergencia del potencial vector e imponiendo la
condición de Lorentz tenemos que:
Con lo que las ecuaciones de los potenciales retardados se
pueden simplificar:
2.2. Potenciales retardados

15. 2
2
2
2
2
2
t
A
AJ
t
ρ
µε
ε
µε µ∂Φ
∇Φ− =−

∂ 

∂
∇− =−

∂ 

 
Ecuaciones
de onda
desacopladas
Necesitamos solucionar estas ecuaciones de onda para
obtener las expresiones finales de los campos.
15
Obteniendo unas ecuaciones que se conocen como
ecuaciones de onda desacopladas, ya que la parte
correspondiente a los campos eléctricos está en una ecuación
y la correspondiente a los campos magnéticos en la otra:
2.2. Potenciales retardados

16. 16
Para demostrar la condición de Lorentz supongamos que:
Veamos que función ξdependiente de ry tnecesitamos para
que dicha suma sea cero.
Tomando:
Es fácil comprobar que los campos y permanecen
inalterados bajo esa transformación
Sustituyendo obtenemos:
Donde si:
''AA y
t
ξ
ξ∂
= +∇ Φ=Φ−
∂

2
2
2'
'AA
t tt ξ
µε µε ξ µε∂Φ ∂Φ ∂
∇⋅ + =∇⋅ + +∇ −
∂ ∂∂

2
2
2
(r,t) 0FA
tt
ξ
ξ µε µε
∂ ∂Φ
∇ − =− ⇒ ∇⋅ + =
∂∂

E

H

(r,t)AF
t
µε
∂Φ
∇⋅ + =
∂

2.2. Potenciales retardados

17. A continuación vamos a proceder a solucionar las anteriores
ecuaciones de onda desacopladas referidas al siguiente
sistema coordenadas:
17
2
2
2
2
2
2
t
A
AJ
t
ρ
µε
ε
µε µ∂Φ
∇Φ− =−
∂
∂
∇− =−
∂

 
2.2. Potenciales retardados

18. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
18
Índice

19. 2
2
2
t
ρ
µε
ε∂Φ
∇Φ− =−
∂
(,) ()
jwt
rt reΦ=Φ

µεwk=
22
k
ρ
ε
∇Φ+ Φ=−
19
Partiendo de la ecuación de onda:
Suponiendo una variación senoidal:
Obtenemos finalmente :
2.2. Potenciales retardados
2.2.3. Radiación de fuente puntual

20. Supongamos una carga puntual, q
0, situada en el origen de
coordenadas que varía con el tiempo
0
( ', ) ( ')
jwt
rt q r eρδ=⋅⋅

22 0 ( ')qr
kδ
ε⋅
∇Φ+ Φ=−

Para este caso, el potencial vector, , al no haber movimiento
espacial de cargas (no hay corrientes eléctricas) es nulo.
20
A

2.2. Potenciales retardados
2.2.3. Radiación de fuente puntual

21. En todos los puntos diferentes del origen:
Al tratarse de una fuente puntual, Φno depende de θni de φ, y
es una función únicamente de r:
0
22
=Φ+Φ∇ k
jwt
ertr )(),( Φ=Φ

22 0 ( ')qr
kδ
ε⋅
∇Φ+ Φ=−

21
2.2. Potenciales retardados
2.2.3. Radiación de fuente puntual

22. Resolviendo el operador diferencial:
2
22
2 2 22 2
11 1
sin 0
sin sin
rk
rr r r r
θ
θθ θ θφ
∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ Φ  
+ + + Φ=
  
∂∂ ∂ ∂ ∂  
0
22
=Φ+Φ∇ k
0 0
0
1
22
2
=Φ+






∂
Φ∂
∂
∂
k
r
r
rr
0
2
2
2
2
=Φ+
Φ
+
Φ
k
dr
d
rdr
d
Regla de
la cadena
22
2.2. Potenciales retardados
2.2.3. Radiación de fuente puntual

23. Las soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden
son del tipo:
y para este caso:
0
2
2
2
2
=Φ+
Φ
+
Φ
k
dr
d
rdr
d
jwt
jkr
e
r
e
Cr
±
=Φ⇒
0)(
0),(=trA

23
2.2. Potenciales retardados
2.2.3. Radiación de fuente puntual

24. Podemos sustituir en la expresión de campo eléctrico:
t
A
E
∂
∂
−Φ−∇=


r
r
e
dr
d
eCe
r
e
CE
jkr
jwtjwt
jkr
ˆ
00 





−=






−∇=
−−
re
r
e
r
jkCE
jwt
jkr
ˆ
1
0
− 





+=

Campos inducidos o
“estáticos”
Campos radiados
24
2.2. Potenciales retardados
2.2.3. Radiación de fuente puntual

25. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
25
Índice

26. Las soluciones generales a las ecuaciones de onda serán la
suma (integral) de cada diferencial de carga o corriente:
∫
−







 −
−
=
'
'
'4
'
,'
),(
V
dV
rr
v
rr
trJ
trA 



π
µ
∫
−







 −
−
=Φ
'
'
'4
'
,'
),(
V
dV
rr
v
rr
tr
tr 



πε
ρ
J
t
A
A



µµε −=
∂
∂
−∇
2
2
2
ε
ρ
µε −=
∂
Φ∂
−Φ∇
2
2
2
t
26
2.2. Potenciales retardados
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias

27. ()
∫
−
=







−
−
'
'
'
'4
'
),(
V
v
rr
tjw
dV
rr
erJ
trA 



π
µ
()
∫
−
=Φ







−
−
'
'
'
'4
'
),(
V
v
rr
tjw
dV
rr
er
tr 



πε
ρ
'
'
'
rrjkjwt
rr
v
w
j
jwtv
rr
tjw
eeeee



−−
−−






−
−
==
1
ww
wk
v
µε
µε
= = =
Si la variación temporal es de tipo senoidal:
27
2.2. Potenciales retardados
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias

28. Así, eliminando la componente temporal, tenemos:
siendo Rla distancia entre cada diferencial de
carga/corriente al punto de observación.
()
'
'
() '
4
jkR
V
Jre
Ar dV
Rµ
π
−
=
⋅∫


()
'
'
() '
4
jkR
V
re
r dV
R
ρ
πε
−
Φ=
⋅
∫


'Rrr= −

28
2.2. Potenciales retardados
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias

29. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
29
Índice

30. Una vez determinada la forma de los potenciales escalar y
vectorial, los podemos sustituir en las expresiones:
AB

×∇=
t
A
E
∂
∂
−Φ−∇=


30
2.3. Expresiones generales de los campos

31. Para el campo eléctrico, por ejemplo:
() ()
''
''
() ' '
44
jkR jkR
VV
re Jre
E r dV jw dV
RRρµ
πε π
−−
⋅ ⋅⋅
=−∇ −
∫∫


() ()
'
1
() ' ' '
4
jkR jkR
V
ee
E r r jw J r dV
RR
ρ µε
πε
−−
  −
= ⋅ ⋅∇ + ⋅ ⋅  
 
∫
 
31
2.3. Expresiones generales de los campos

32. Teniendo en cuenta que el operador ∇está definido sobre
coordenadas del observador (sobre las ry no sobre las r’):
()
2
ˆˆ
1
ˆ
jkR jkRjkR jkR
jkR
R jk e ee de
RR
R dR R R
e
jk R
RR
−−−−
−
−− 
∇= = = 
 

=−− ⋅


() ()
'
11
ˆ
() ' ' '
4
jkR jkR
V
ee
E r jk r R jw J r dV
RR R
ρ µε
πε
−−
 
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ 
 
∫
 
32
2.3. Expresiones generales de los campos

33. Para el campo magnético:
Como el rotacional deriva sobre los puntos donde se quieren calcular
los campos (los ry no los r’), resulta que , luego:
()
()
''
'
() ' ' '
44
jkR jkR
VV
Jr e e
B r dV J r dV
RRµ µ
ππ
− −
⋅⋅ 
=∇× = ⋅ ∇× ⋅


∫∫


() aaa

×∇Ψ+×Ψ∇=Ψ×∇
() ()
'
() ' ' '
4
jkR jkR
V
ee
Br Jr Jr dV
RRµ
π
−−

= ⋅ ∇ × + ⋅∇×

∫
   ()
'
1
ˆ
() ' '
4
jkR
V
e
B r jk R J r dV
RRµ
π
−
− 
= ⋅ + ⋅ ⋅× 
 
∫

33
()'0Jr∇× =

2.3. Expresiones generales de los campos

34. Las expresiones generales y exactas obtenidas, las podemos
separar, en componentes de campos radiados e inducidos.
Las componentes de campos inducidos (o próximos) caen con
1/R
2
Las componentes de campos radiados (o lejanos) caen con 1/R
Los campos totales los obtendremos así:
ri
EEE

+=
ri
HHH

+=
() ()
'
11
ˆ
() ' ' '
4
jkR jkR
V
ee
E r jk r R jw J r dV
RR R
ρ µε
πε
−−
 
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ 
 
∫
 
()
'
1
ˆ
() ' '
4
jkR
V
e
B r jk R J r dV
RRµ
π
−
− 
= ⋅ + ⋅ ⋅× 
 
∫

34
2.3. Expresiones generales de los campos

35. ()
2
'
1
ˆ
() ' '
4
jkR
i
V
e
E r r R dV
R
ρ
πε
−

= ⋅ ⋅⋅ 

∫

()
2
'
1
ˆ
() ' '
4
jkR
i
V
e
H r R J r dV
R
π
−
−
=⋅× ⋅ 

∫
 ()
'
ˆ
() ' '
4
jkR
r
V
jk e
H r R J r dV
R
π
−
−
=⋅× ⋅ 

∫

() ()
'
ˆ
() ' ' '
4
jkR
r
V
jk e
E r r R J r dV
R
ρ µε
πε
−

= ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ 

∫

Campos
inducidos
Campos
radiados
Dominan los campos inducidos si ya que:
Los campos inducidos originan potencias reactivas en la vecindad de la
antena, están relacionados con los términos reactivos de la impedancia
y son necesarios para obtener el valor de la impedancia de la antena.
2
1k
R R
<<1kR⋅ <<
35
2.3. Expresiones generales de los campos

36. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
36
Índice

37. Normalmente, estaremos interesados en los campos radiados
a una gran distancia de la antena:
22
2
2 '
' ' 2 ' 12
'
ˆ1'
rr
R r r r r rr r
r
rr
r r rr
r
⋅
=−= +−⋅≈ −
⋅
≈− =−



  


ˆˆ
11
Rr
Rr
≈
≈
'ˆrrjk
jkrjkR
e
r
e
R
e

−−
≈
2
'0Si r r→∞ ⇒ →

ˆ
r
r
r
=

Dos primeros términos desarrollo serie de Taylor,
equivale a aproximación de rayos paralelos
37
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

38. La expresión del campo eléctrico radiado:
La ecuación de continuidad nos relaciona,
y volviendo a escribir la ecuación anterior:
() ()
ˆ'
'
ˆ() ' ' '
4
jkr
r jkrr
V
jk e
E r r r J r e dV
r
ρ µε
πε
−
=⋅⋅ −⋅

∫
  1
0 ( ') ' ( ')J r Jr
t jw
ρ
ρ
∂
∇⋅ + = ⇒ =− ∇⋅
∂
 
()
ˆ'
'ˆ
( ) ' ( ') ' '
4
jkr
r jkrr
V
jk e r
E r J r J r e dV
r jw
µε
πε
−
−
= ⋅ ⋅ ∇⋅ − ⋅ ⋅


∫
  
38
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

39. Vamos a analizar cuidadosamente la primera integral:
()
ˆ'
'ˆ
( ) ' ( ') ' '
4
jkr
r jkrr
V
jk e r
E r J r J r e dV
r jw
µε
πε
−
−
= ⋅ ⋅ ∇⋅ − ⋅ ⋅


∫
  
ˆ'
'
' ( ') '
jkrr
V
J r e dV∇⋅ ⋅∫

[]a aa∇⋅ Ψ =Ψ∇⋅ +∇Ψ⋅
 
( )
'ˆ
; )'(
rrjk
erJa

→Ψ→
ˆˆˆ'''
'' '
'(') ' ' (') ' (') ' '
jkrr jkrr jkrr
VV V
J r e dV J r e dV J r e dV ∇⋅ ⋅ = ∇⋅ ⋅ − ⋅∇
∫∫∫
  
Teorema de la divergencia
ˆˆ''
''
' ( ') ' ( ') 0
jkrr jkrr
VS
J r e dV e J r ds∇⋅ ⋅ = ⋅ =
∫∫
 

39
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

40. Ahora vamos a desarrollar el gradiente:
()
ˆˆ''
'ˆ
( ) ( ') ' ' '
4
jkr
r jkrr jkrr
V
jk e r
E r J r e J r e dV
r jw
µε
πε
−
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∇ − ⋅ ⋅
 

∫
  
( )
( )
( )
 ( )
( )

( )
( )
 
( )
'cos 'cos 'cosˆ'
'cos 'cos 'cos 'cos 'cos 'cos
'cos 'cos 'cos
'cos 'cos
''
''
'
cos cos cos
jk x y zjkrr
jk x y z jk x y z
jk x y z
jk x y
ee
e xe y
xy
ez
z
jk x jk y jk z e
αβγ
αβγ αβγ
αβγ
α
αβγ
++
++ ++
++
+
∇=∇ =
 
∂∂
= ⋅+ ⋅+

∂∂ 
∂
+ ⋅=

∂
= ⋅+ ⋅+ ⋅ ⋅


 ( )'cos ˆ'
ˆ
z jkrr
jkr e
βγ+
= ⋅

( )
)',','('
cos,cos,cosˆ
zyxr
r
=
=

γβα
40
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

41. Aprovechando la identidad vectorial:
()
ˆ'
'
ˆˆ( ) ( ') ' '
4
jkr
r jkrr
V
jk e
E r r J r r J r e dV
r
µε
πε
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ⋅

∫
  
()()() CBABCACBA

⋅⋅−⋅⋅=××
( )( )()ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ(') (') (')r r Jr rJr r rr Jr× × = ⋅ ⋅− ⋅ ⋅
  
ˆ'
'
ˆˆ( ) ( ') '
4
jkr
r jkrr
V
jw e
E r r r J r e dV
rµ
π
−
= ⋅ ⋅× × ⋅

∫

41
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

42. Con el campo magnético, hacemos las mismas
aproximaciones:
()
'
ˆ
() ' '
4
jkR
r
V
jk e
H r R J r dV
R
π
−
−
=⋅× ⋅ 

∫

()
ˆ'
'
ˆ() ' '
4
jkr
r jkrr
V
jk e
H r r J r e dV
r
π
−
−
= ⋅ ⋅× ⋅
∫

11
ˆˆˆ ; ; R r R r-rr'
Rr

≈≈≈



42
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

43. En resumen:
ˆ'
'
ˆˆ( ) ( ') '
4
jkr
r jkrr
V
jw e
E r r r J r e dV
rµ
π
−
= ⋅ ⋅× × ⋅

∫

()
ˆ'
'
ˆ() ' '
4
jkr
r jkrr
V
jk e
H r r J r e dV
r
π
−
−
= ⋅ ⋅× ⋅
∫

()
ˆ'
'
() ' '
4
jkr
jkrr
V
e
A r J r e dV
r
µ
π
−
=⋅⋅ ⋅∫
 
43
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

44. De las expresiones anteriores de los campos radiados a grandes
distancias se observa que localmente existe una onda plana:
También pueden escribirse los campos radiados en función del
potencial vector magnético:
Es decir, tiene un carácter vectorial definido por el de ; es
perpendicular a la dirección de propagación y a ; es
perpendicular a y a .
ˆˆ
r rr
E rH H r
µ
η
ε
=− ⋅× =⋅ ×
 
()ˆˆ
ˆ
r
r
E jrrA
H j rAω
ω
η= ⋅× ×
=− ⋅×


A

J

r
H

A

r

r
E

r
H

r

44
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

45. Resulta que tanto como están contenidos en el plano
perpendicular a la dirección de propagación o radio vector del
punto donde estamos calculando los campos.
Como:
Tenemos:
Porlo tanto las componentes de los campos radiados quedan:
ˆˆˆ
r
AArA A
φθ
φθ= ⋅+ ⋅+ ⋅

r
H

r

r
E

()
ˆˆˆ
ˆˆˆˆ
rA A A
rrA A A
φθ
θφ
θφ
θφ×=−⋅ +⋅
× × =−⋅ −⋅


0
r
H
HjA
H jA
θφ
φθ
ω
η
ω
η
=
= ⋅
=−⋅
0
r
E
E jA
E jA
θθ
φφ
ω
ω
=
=−
=−
:
E
H
donde
E
H
φ
θ
θ
φ
η
η
=−
=
45
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

46. Es habitual escribir el potencial vector en función del vector de
radiación , definido mediante la siguiente expresión:
De esta forma, resultan los siguientes campos radiados y el
vector de Poynting:
A

N

4
4
jkr
jkr
e
Ej N
r
e
Ej N
r
φφ
θθ
ωµ
π
ωµ
π
−
−
=−⋅ ⋅
⋅⋅
=−⋅ ⋅
⋅⋅
()
ˆ'
'
4
: ''
jkr
jkr r
V
e
AN
r
donde N J r e dVµ
π
−
⋅
=⋅⋅
=
∫

 
 
4
4
jkr
jkr
e
H jk N
r
e
H jk N
r
θφ
φθ
π
π
−
−
=⋅⋅
⋅⋅
=−⋅ ⋅
⋅⋅
22
*
22
ˆRe
4
EH r N N
r
θφ
η
λ
= ×=⋅ +
 ⋅⋅
 
P
46
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

47. Los campos eléctrico y magnético a grandes distancias tienen las
componentes vectoriales e impedancia de onda correspondientes
a una onda plana, mientras que la fase es la de una onda
esférica.
En una región pequeña del frente de onda esférico la fase es
aproximadamente constante, por lo que se observa el
comportamiento de onda localmente plana antes mencionado.
La potencia radiada es:
La intensidad de radiación es:
2 22
2
4 00
ˆ sin
4
r
P r dS N N d d
ππ
θφ
πη
θ θφ
λ

= ⋅⋅ = + ⋅ ⋅
⋅
∫∫ ∫ ∫

P
22
2
2
4
Kr N N
θφ
η
λ

=⋅= ⋅ +
⋅
P
47
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

48. El cálculo de la integral del vector de radiación se realiza sobre
un sistema de coordenadas en el que la distribución tenga una
expresión simple.
Los campos radiados y
siempre tienen su expresión en coordenadas esféricas.
Es necesario en muchos casos cambiar el sistema de coordenadas.
Así, si tenemos en coordenadas cartesianas,
y deseamos obtener sus componentes en coordenadas esféricas,
tendremos que hacer lo siguiente:
N

( ),,
r
r
E EEE
θφ
=
( ),,
r
r
H HHH
θφ
=
N

( ),,
xyz
N NNN=

( ),,
r
N NNN
θφ
=

()()()
ˆˆ ˆˆˆˆN Nr r N N θθ φφ=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
  
ˆ ˆsin cos sin sin cos
ˆ ˆcos cos cos sin sin
ˆ ˆsin cos 0
r x
y
z
θφ θφ θ
θ θφ θφ θ
φφφ ⋅⋅ 
 =⋅ ⋅ −⋅
 
−
 
48
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

49. Resultando:
Para cualquier otro sistema de coordenadas debe procederse
análogamente.
Es también frecuente tener que calcular y, por ejemplo, en
coordenadas esféricas obtendríamos:
ˆ sin cos sin sin cos
ˆ
cos cos cos sin sin
ˆ
sin cos
rx y z
x yz
xy
N Nr N N N
NN N N N
NN N N
θ
φ
θφ θφ θ
θ θφ θφ θ
φ φφ
=⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅
=⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅
=⋅=− ⋅ + ⋅



ˆ'jkr r
e
⋅

() ( )ˆ ˆˆ' ' ' ' sin sin 'cos ' cos cos 'rr r rr r θ θ φφ θ θ⋅=⋅⋅ =⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅


[ ]
sin ' cos '
ˆˆ' sin cos sin sin cos sin ' sin '
cos '
rr
θφ
θφ θφ θ θφ
θ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅



49
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias

50. Dos casos particulares interesantes de distribuciones de corriente
son:
a.Hilos conductores rectos:
Para este caso:
b.Corrientes con simetría cilíndrica (espiras):
Para este caso:
ˆJ Jz= ⋅

ˆ 0 ; sin
zz
N N z luego N N N
φθ
θ=⋅ = =−⋅

0EH
φθ
= =Esto implica que y que el campo está linealmente
polarizado y:( )0E
θ
≠
ˆ
JJ
φ= ⋅

ˆ
;0NN N
φθ
φ=⋅=

0EH
θφ
= =Esto implica que y que el campo está linealmente polarizado y:
( )0E
φ
≠
2
2
4
KN
φ
η
λ
= ⋅
⋅
50
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
22
2
22
sin
44
z
KN N
θ
ηη
θ
λλ
= ⋅= ⋅⋅
⋅⋅

51. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
51
Índice

52. La relación entre la distribución de fuentes y el vector de
radiación es una transformada de Fourier.
Para analizarlo con más detalle podemos asignar a kun carácter
vectorial , dándolela dirección del radio vector del punto
de campo.
Tenemos entonces el vector de onda:
En coordenadas esféricas ( θ, φ) sus componentes cartesianas
valen:
ˆk kr= ⋅

J

N

()
ˆ'
'
''
jkr r
V
N J r e dV
⋅
=∫
 
ˆˆˆ ˆ ˆˆˆcos cos cos
xyz
kkrkxkykzk xk yk z αβγ=⋅= ⋅+ ⋅+ ⋅=⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅ ⋅

sin cos
sin sin
cos
x
y
z
kk
kk
kk θφ
θφ
θ=⋅⋅
=⋅⋅
= ⋅
52
2.4. Significado de los vectores de radiación

53. Tenemos también con lo que resulta la
siguiente expresión del vector de radiación :
Y en coordenadas cartesianas:
La expresión anterior es una
transformada de Fourier
tridimensional
ˆˆ ˆ'' ' 'r xx yyzz=⋅+⋅+⋅

()
'
'
ˆ()()(,,)(,) ' '
jk r
V
N Nkr Nk N N Jr e dVαβγ θφ
⋅
= ⋅= = = = ∫

     
N

( )
'' '
' ' ', ', ' '
yx z
jk yjk x jk z
N e dx e dy e J x y z dz
∞∞∞
⋅⋅ ⋅
−∞ −∞ −∞
= ⋅∫∫∫

53
2.4. Significado de los vectores de radiación

54. Por ejemplo, para un elemento lineal de corriente (dipolo) alineado
según z, tenemos:
Si la corriente es uniforme, (distribución uniforme en el espacio pero
no en el tiempo), y el elemento es de longitud l.
De esta manera, realizando la integral para
calcular el vector de radiación, :
( ) ()()()ˆ', ', ' ' ' 'Jxyz zIz x yδδ=⋅⋅⋅

()
0
'
2
'
0'
2
l
Iz
Iz
l
z
 ≤

=
>

N

() ()
''2 '
0
2
ˆ ' '' ' '
yx z
l
jk yjk x jk z
l
N z x e dx y e dy I e dzδδ
∞∞
⋅⋅ ⋅
−∞ −∞ −
=⋅⋅ ⋅ ⋅∫∫∫

54
2.4. Significado de los vectores de radiación

55. Resulta:
Como la representación es en coordenadas esféricas, :
2
' 0 22
0
2
0
ˆ1
ˆ
sin
2
ˆ
2 zz
z
l
ll
jk jk
jk z
l
zz
z
z
Iz
N zI e e e
jk jk
l
k
zI l
l
k ⋅ −⋅
⋅
− ⋅
=⋅⋅ ⋅ = ⋅ − = 
 

⋅


=⋅ ⋅⋅
⋅

cos
z
kk θ= ⋅
()
0
sin cos
2
ˆ,
cos
2
l
k
N zI l
l
k
θ
θφ
θ

⋅⋅


=⋅ ⋅⋅
⋅⋅

55
2.4. Significado de los vectores de radiación

56. El potencial vector sería:
Como , pasando a coordenadas esféricas:
Con lo que para grandes distancias los campos radiados y son:
0
sin cos
2
ˆ
4 4
cos
2
jkr jkr
l
k
ee
A N Il z
lrr
k
θ
µµ
ππ
θ
−−

⋅⋅


=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⋅
⋅⋅
 
ˆ
z
AAz= ⋅

( )
cos
sin
0
rz
z
AA
AA
A
θ
φ
θ
θ= ⋅

= ⋅−
 =

E

H

0
0
sin cos
2
sin
4
cos
20
r
jkr
E
l
k
j Ile
E jA
lr
k
E
θθ
φ
θ
ωµ
ωθ
π
θ
−
=

 ⋅⋅

⋅ 
=− = ⋅⋅ ⋅
 ⋅⋅
 =

0
0
r
H
H
E
H
θ
θ
φ
η
=
=
=
56
2.4. Significado de los vectores de radiación

57. Si se compara con la forma habitual de
las transformadas de Fourier para señales temporales, se observa la
analogía entre t y .
Pero hay una diferencia en el signo de la exponencial para la
equivalencia de ωcon . Por ello, debe utilizarse en tablas de
transformadas directas la sustitución de ωpor .
La utilización de la definición de la transformada directa de Fourier
con uno u otro signo no significa un cambio en las propiedades
fundamentales de las transformadas, aunque para funciones impares
implica una forma diferente.
()
'
'
''
jk r
V
N J r e dV
⋅
=∫

 
'r

k

k−

( )
'' '
' ' ', ', ' '
yx z
jk yjk x jk z
N e dx e dy e J x y z dz
∞∞∞
⋅⋅ ⋅
−∞ −∞ −∞
= ⋅∫∫∫

57
2.4. Significado de los vectores de radiación

58. Recordando que la proyección del vector de radiación sobre el
plano transversal a su dirección de propagación está
directamente relacionado con el diagrama de radiación de la
antena (no normalizado).
Se obtiene el diagrama de radiación en una dirección mediante
la transformada de Fourier de la distribución de corriente de las
fuentes .
Es decir, fuente y diagrama de radiación están en la misma
relación que una señal temporal y su espectro frecuencial.
N
⊥
N

()
22
2
,
4
K NN
θφ
η
θφ
λ

=⋅+
⋅
ˆr
( ')Jr

( ')Jr
 F
Fuentes,
Señal Temporal, t Espectro Frecuencial,
ω
Diagrama de Radiación
58
2.4. Significado de los vectores de radiación

59. jkr
e
r
−
N

A

E

H

Una vez conocido , el paso a y a los campos y se hace
fundamentalmente, aparte de unas constantes sin mas que:
Eliminando la componente radial.
Multiplicando por el término de onda esférica .
Resumen:
La forma final de radiación es una onda esférica que emana
del centro de fase.
Se propaga con velocidad .
Cuyo valor en cada dirección viene dado por la transformada
de Fourier de la distribución de la fuentes sin la componente
radial
1ν µε=
Los campos y mantienen entre sí las relaciones de una onda
plana, lo que se comprende considerando que una onda esférica
vista a gran distancia se comporta localmente como una onda
plana.
E

H

59
2.4. Significado de los vectores de radiación

60. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
60
Índice

61. La distribuciones unidimensionales que vamos a ver son diversas
iluminaciones o distribuciones de corrientes típicas que surgen
habitualmente en antenas.
Estas distribuciones las daremos sólo para una dimensión, pero son
ampliables al caso general, ya que las integrales se realizan en
cadena.
Además es frecuente que sea una función separable en
coordenadas cartesianas y se convierte en el producto de tres
transformadas en una dimensión.
( ')Jr

( )
'' '
' ' ', ', ' '
yx z
jk yjk x jk z
N e dx e dy e J x y z dz
∞∞∞
⋅⋅ ⋅
−∞ −∞ −∞
= ⋅∫∫∫

61
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

62. Supongamos funciones F(z’) definidas en el intervalo de z’(-l/2, l/2),
con valor máximo 1 en él y valor cero fuera de dicho intervalo.
F(z’) representa la distribución de corriente en una antena de
dimensión lineal de longitud l.
Las integrales así definidas toman la siguiente forma:
Y aplicando el siguiente cambio de variables:
Se transforma en:
2 '
2
( ) ( ') '
z
l
jk z
z l
G k F z e dz
⋅
−
= ⋅∫
2
11
2
11
2
() () ()
2 222
ul
jz
juzl
u l lll
G F z e dz F z e dz
l
⋅
⋅⋅
⋅⋅
−−
⋅
= ⋅⋅ ⋅⋅=⋅ ⋅⋅ ⋅∫∫
1
1
2
() ( )
: () () :
2 () ( )
2
juz
gu G ul
l
donde g u f z e dz con
l
fz F z
⋅⋅
−
 = ⋅

=⋅ ⋅⋅ 
= ⋅
∫
()()
()()
22 '1' '
222
:
2' '1
22 22
z
lll zzzz zz
ll
límites
ll llu k dz dz zz
l
 = →= ⋅ == ⋅ = ⋅
 
→ 
−−=⋅=⋅ = →= ⋅ =− 
 
62
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

63. Se obtienen para las distribuciones más habituales las siguientes soluciones:
Parámetros de radiación de distribuciones unidimensionales del longitud l(l >>λ)
63
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

64. 64
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

65. 65
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

66. 66
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

67. 67
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

68. Dada una antena de dimensión l, tenemos , por lo que a
cada dirección del espacio (valor de
θ) se le asigna un valor de .
Como y , nuestro espacio real se corresponde
sólo con una porción limitada del espectro obtenido.
Si l<<λ, resulta , por lo que todo nuestro espacio se
transforma en una región muy pequeña en torno a u = 0 y .
Si l=λse introduce el primer cero, , que corresponde a
direcciones .
Si l>>λ, como , una gran porción de la transformada entra
en el diagrama de radiación, y éste tendrá un haz estrecho y tantos
ceros de radiación como dos veces la parte entera de l /λ.
cos
z
kk θ= ⋅
z
k
cos 1θ≤
z
kk≤
()
z
Gk
Porción del espectro que se corresponde con el espacio real
()g u cte≈
2
z
l
uk π=⋅=±
( )cos 1θ=±0,θπ=
2
z
l
uk= ⋅
0
2
z
l
k⋅≈
68
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

69. La propiedad de desplazamiento de la transformada de Fourier
nos permite calcular fácilmente la fase de los campos radiados
por una antena desplazada del origen.
Si una antena que cuando está situada en el origen tiene un
vector de radiación se desplaza al punto , su nuevo
vector de radiación será:
ra=

0
N

( ) ()
()ˆˆˆ'
0
''
'' '
jk r u ajk r r jk r a
VV
N J r a e dV J u e dV e N
⋅⋅ +⋅⋅ ⋅⋅
=−= =⋅∫∫
   
69
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales

70. Tema 2
2.1. Ecuaciones de Maxwell
2.2. Potenciales retardados
2.2.1. Potencial Vector
2.2.2. Potencial Escalar
2.2.3. Radiación de fuente puntual
2.2.4. Radiación de fuentes arbitrarias
2.3. Expresiones generales de los campos
2.3.1. Aproximaciones a grandes distancias
2.4. Significado de los vectores de radiación
2.4.1. Distribuciones unidimensionales
2.5. Zonas de radiación (regiones de Fresnel y Fraunhofer)
70
Índice

71. Hemos establecido la existencia de dos regiones, la de campos
inducidos y la de campos radiados, pero no se ha determinado su
frontera.
Vamos a determinar esta zona para el
problema unidimensional, aunque
podría hacerse de forma similar para
estructuras planas o tridimensionales.
Consideremos una distribución lineal
de corriente de dimensión D>>
λ(que se
corresponde con la dimensión lineal de
la antena o el diámetro de la esfera
menor que circunscribe la antena).
Hemos calculado en los apartados anteriores el potencial vector
para puntos alejados con la aproximación
pero el valor exacto de R viene dado por:
()Ar

( )
1
22
1
22 2
2 2' '
2 'cos ' 1 cos
zz
R r rz z r
rr
θθ
⋅
=−⋅⋅⋅+ =⋅−⋅+ 

ˆ' 'cos ,R r rr r z θ≈−⋅ =−⋅

71
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

72. La expresión exacta de Rpuede ser desarrollado en serie
binómica:
Obteniéndose:
Sustituyendo esta serie en la expresión exacta del potencial
vector , tenemos:
23
22
2
''
'cos sin cos sin ...
22
zz
Rrz
rr
θ θ θθ=−⋅+⋅+⋅⋅+
⋅⋅


()
23
1
2
1 1 ...
2 8 16
xx x
x+ =+− +
Aproximación de
rayos paralelos
Términos que
dependen de e1r
10Si r r→∞⇒ →
()Ar

()
()
2
'
2
'
ˆ() ' ' '
44
jkR jkR
D
DV
Jre e
Ar dV z I z dz
RRµ µ
ππ
− −
−
= =⋅⋅⋅
⋅∫∫


72
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

73. ()
32
22
2
''
cos sinsin
2 ' cos 22
2
ˆ''
4
zz
D jkjk
jkr jk z rr
D
A e z I z e e e dz
r
θθθ
θµ
π
−⋅ ⋅ ⋅−⋅ ⋅
− ⋅⋅
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
⋅ ∫

Si sustituimos en la ecuación anterior la expresión exacta de Rtenemos:
Si nos acercamos hacia la antena desde , los términos
exponenciales del integrando salvo el primero, que es independiente de
r, pasarán progresivamente de ser despreciables a tomar valores
apreciables.
La región desde hasta la distancia en que aporta
una fase de
π/8se conoce como la región de Fraunhofer o la región de
campos radiados lejanos.
En la región de Fraunhofer se puede utilizar la expresión del vector de
radiación siguiente:
Este valor de da origen a un diagrama de radiación en la región de
Fraunhofer que es independiente de la distancia r.
r→∞
r→∞
2
2'
sin
2
z
jk
r
e
θ−⋅ ⋅
N

()
2 ' cos
2
ˆ''
D
jk z
D
N z I z e dz
θ⋅⋅
−
=⋅⋅∫

N

73
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

74. Los campos radiados en la región de Fraunhofer vienen dados
por las expresiones de los campos lejanos.
El límite de la región de Fraunhofer vendrá dado por:
El peor caso será cuando y :
Sustituyendo, la distancia a partir de la
cual se garantiza un error de fase
menor que
π/8es:
2
2'
sin
28
kz
r π
θ⋅
⋅<
'
2
D
z=
2
π
θ=
()
2
2
22
1
28
Dk
D
r
rπ
λ
⋅
⋅
⋅= ⇒ =
2
2D
r
λ
⋅
≤ <∞
Región de
Fraunhofer
74
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

75. Si habrá que considerar el término de fase en y
estaremos en la región de Fresnel o de campos radiados próximos.
La regiónde Fresnel se extiende desde hasta la
distancia en que el término de fase en adquiere valores iguales
a
π/8.
La función se
maximiza para resultando:
1
32
2
2
0.62
DD
r
λλ
 ⋅
⋅ ≤≤

Región de
Fresnel
2
2Dr
λ
⋅<
2
'z
2
2D
r
λ
⋅
=
3
'z
3
2
2
'
cos sin
28
kz
r
π
θθ
⋅
⋅⋅ =
2
( ) cos sinfθ θθ= ⋅
0.95radθ=
1
3
2
0.62
D
r
λ

= ⋅

75
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

76. La región de Fresnel tiene importancia únicamente en antenas
grandes comparadas con la longitud de onda, como son las
antenas de reflector.
La región de Fresnel dejará de existir teóricamente para D< λ/10,
pero esto carece de sentido porque una de las hipótesis de partida
era D>>λ.
En la región de Fresnel obtenemos las expresiones de y los
campos a partir de:
En la región de Fresnel el vector de
radiación es dependiente de r,
tenemos entonces que al pasar de la
región de Fraunhofer a la de Fresnel
el diagrama de radiación empieza a
cambiar con la distancia.
A

()
22
' sin
2 ' cos2
2
ˆ''
z
D
jk
jk zr
D
N z I z e e dz
θ
θ⋅
−⋅
⋅⋅
−
=⋅⋅ ⋅∫

N

76
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

77. Las regiones de Fresnel y de Fraunhofer se consideran de campos
lejanos o de radiación; para calcular los campos en la vecindad de
la antena (región de Rayleigh) habría que recurrir a las expresiones
de los campos próximos o inducidos.
77
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

78. Una de las principales consecuencias de la distancia a una antena es la
pérdida de directividad debido a que el patrón de radiación no está
completamente formado.
En este ejemplo, se puede comprobar la pérdida de directividad a 220 GHz
de una antena reflectora Cassegrain de 520 mm de diámetro, donde los
límites de las regiones
de Fresnel y Fraunhofer
son 6 y 397 m
respectivamente.
78
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)

79. Ejemplo 1: Antena parabólica de diámetro 100· λa 10 GHz( λ=3 cm).
Ejemplo 2: Radiotelescopio de diámetro
100 ma 10 GHz (
λ=3 cm).
2
22
44 3
0.6 0.6 59218 47.7 dB
0.03 2
ef física ef
A A Directividad A
ππ
π
λ

≈ ⇒ ≈⋅= ⋅ = ≡


22
2 23
600
0.03
Fraunhofer
D
rm
λ
⋅⋅
= = =
11
33
22
3
0.6 0.6 18
0.03
Fresnel
D
rm
λ
  
=⋅=⋅ =  
  
22
2 2 100
666.7
0.03
Fraunhofer
D
r km
λ
⋅⋅
= = =
11
33
22
100
0.6 0.6 3.46
0.03
Fresnel
D
r km
λ
  
=⋅=⋅ =  
  
79
2.5. Zonas de radiación (regiones de
Fresnel y Fraunhofer)