Tema 2 1r eso divisibilitat

Teoria del tema 2 de 1r ESO, Divisibilitat.

1. Tema 2. DIVISIBILITAT

2. Múltiples
Diem que un nombre aés múltipledel nombre b
quan aes pot aconseguir multiplicant bper un
altre nombre que no tingui decimals.
30 és múltiple de 630 = 6 · 5
Múltiples 1
42 = 6 · 7
30 és múltiple de 5
42 és múltiple de 2
42 és múltiple de 7

3. Per calcular múltiples d’un nombre a, només
hem d’anar multiplicant-lo per altres nombres.
El resultat forma el llistat de múltiples de a.
Múltiples de 4:4812162024...
4 · 34 · 24 · 14 · 44 · 54 · 6
Un nombre té infinits múltiples
Múltiples 2

4. Divisors
Un nombre aés divisord’un altre nombre bsi la
divisió b : a és exacta, és a dir, si el quocient
no té cap xifra decimal o si el residu de la
divisió sense decimals és 0.
24 : 8 =3 Com que la divisió és exacta, diem que 8 és divisor de 24
24 : 5 =4’8Com que la divisió no és exacta, 5 noés divisor de 24
Divisors 1
Quan aés divisor de b, podem dir també que
bés divisible per a.

5. Fixa’t en que quan una divisió és exacta, no
només trobes un divisor...
...ja que si fas la divisió entre el quocient també
dóna exacta
Per tant , en realitat has trobat dos divisors
60 : 5 = 12 5 és divisor de 60Divisió exacta
60 : 12 = 5 12 és divisor de 60Divisió exacta
60 : 5 = 12 5 i 12 són divisors de 60Divisió exacta

6. La propietat anterior es pot fer servir per trobar
tots els divisors d’un nombre a. El sistema
consisteix en dividir a entre 1, entre 2, etc...
Quan la divisió és exacta, apuntem com a
divisors d’ael divisor i el quocient.
Divisors de 24 = { 1, , 242 , , 123 , , 84 , 6 }
24 : 1 = 2424 : 2 = 1224 : 3 = 824 : 4 = 624 : 5 = 4’8
ExactaExacta ExactaExacta No Exacta
No afegim cap
Pots parar quan arribes a dividir entre un nombre superior a a
En l’exemple, com que 24 4'... No hauria calgut dividir entre 5.

7. Relació entre múltiples i divisors
Ser divisor i múltiple d’un nombre són
propietats inverses, és a dir, si un nombre a és
múltiple de b, llavors bés divisor d’a i
viceversa
30 és múltiple de 6 30 = 6 · 5
30 : 6 = 5La divisió és exacta6 és divisor de 30

8. No et confonguis!
Soleu tenir molts problemes per distingir quin
nombre és el múltiple i quin és el divisor de
l’altre. Per no fer-ho, recordeu un petit
truquet: el múltiple és més gran; el divisor és
més petit.

9. Nombres primers i compostos
Tots els nombres superiors a 1 tenen almenys
dos divisors: l’1 i ell mateix. Quan no té cap
altre divisor, diem que és un nombre primer.
En cas contrari, parlem de nombre compost.
N’hi ha un nombre infinit de nombres primers,
però cal conèixer la llista dels primers
nombres primers:
235711131719...
I no, el nombre 1 no és primer perquè només té un divisor: ell mateix

10. Descomposició en factors primers
Tots els nombres compostos es poden escriure com a
producte de nombres primers.
90 = 2 · 3 · 3 · 5252 = 2 · 2 ·3 · 3 · 71320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11
Per estalviar espai, si n’hi ha factors primers
repetits s’escriuen en forma de potència
90 = 2 · 3
2
· 5 252 = 2
2
·3
2
· 7 1320 = 2
3
· 3 · 5 · 11
Aquesta expressió d’un nombre com a producte de
potències de nombres primers es coneix com
la descomposició factorial del nombre.

11. Per calcular la descomposició factorial d’un nombre a, anem
dividint aentre els nombres primers, successivament. Si la divisió
és exacta, apuntem el nombre primer i continuem fent el mateix
amb el resultat fins que obtinguem com a resultat l’1.
Evidentment, hem de conèixer quins són els nombre primers per
poder portar a terme aquest procés.
252 Comencem provant amb el nombre primer més petit, el 22 Escrivim el resultat de la divisió sota el nombre
126 Repetim el procés amb el resultat2
63 Com que aquest nombre no es pot dividir entre 2,
passem al següent nombre primer, el 3
3
21 Anem repetint successivament amb tots els nombres primers3
7 7
1 Parem quan arribem a l’1
Si multipliquem els nombres primers de l’esquerra,
el resultat serà el nombre que volíem descomposar.
252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Agrupem en forma de potències i ja tenim
la descomposició factorial del nombre.
252 = 2
2
· 3
2
· 7

12. Criteris de divisibilitat
Per poder fer les descomposicions factorials més
ràpidament, convé conèixer elscriteris de
divisibilitatmés habituals.
Els criteris de divisibilitat són una sèrie de
normes i consells que ens permeten detectar
gairebé a primera si un nombre és divisible per
un altre.
Anem a recordar els criteris de divisibilitat més
fàcils i habituals.

13. Divisibilitat per 2
Un nombre és divisible per 2 quan acaba en
0, 2, 4, 6o 8. Així de fàcil.
15.538 Acaba en 8 És divisible per 2
(si no t’ho creus, comprova-ho; 15.538 : 2 = 7.769)
60.843 Acaba en 3 No és divisible per 2

14. Divisibilitat per 5
El criteri de divisibilitat del 5 és tan fàcil com
l’anterior: un nombre es pot dividir per 5 si
acaba en 0o 5. Si acaba en una altra xifra, no
és divisible per 5.
45.675 Acaba en 5 És divisible per 5
678.120 Acaba en 0 És divisible per 5
2.134 No acaba ni en 0 ni en 5No és divisible per 5

15. Divisibilitat per 3
Per saber si un nombre és divisible per 3 hem de
sumar totes les seves xifres. Si el resultat és
múltiple de 3, el nombre inicial és divisible per 3
237 2 + 3 + 7 = 1212 és múltiple de 3237 és divisible per 3
(En efecte, 237 : 3 = 79, divisió exacta)
401 4 + 0 + 1 = 55 no és múltiple de 3401 : 3 no és exacta
Si al sumar dóna un nombre molt gran, pots tornar a fer servir
el criteri amb el resultat.
95.688 9 + 5 + 6 + 8 + 8 = 363 + 6 = 99 és múltiple de 3Divisible!

16. Altres criteris de divisibilitat
Divisibilitat per 4: Només cal comprovar si el nombre
format per les dues últimes xifres és múltiple de 4.
256.732 32 : 4 dóna exacte 256.732 és divisible per 4
Divisibilitat per 9: Sumem les xifres i comprovem que
el resultat és múltiple de 9
45.621
4 + 5 + 6 + 2 + 1 = 18
18 és múltiple de 9
45.621 és divisible per 9
Divisibilitat per 10: Un nombre és divisible per 10
només quan acaba en 0.

17. Divisors comuns
Els divisors comuns de dos (o més) nombres son
aquells nombres que són divisors de tots dos alhora.
Divisors de 24 = {1, 2, 3 , 4, 6, 8, 12, 24}Divisors de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}Divisors de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Divisors de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Divisors comuns de 24 i 30 = { 1 , 2 , 3 , 6 }
L’1 és sempre un divisor comú de qualsevol conjunt de
nombres, ja que és divisor de tots.
El més importants dels divisors comuns és el més alt,
anomenat Màxim Comú Divisor (M.c.d).
M.c.d. (24, 30) = 6

18. Calcular el M.c.d. de dos (o més) nombres com ho
hem fet abans pot ser molt llarg, especialment si
els nombres són grans. Per això, ho farem amb
un altre mètode, més directe.
Calculem el M.c.d. de 120, 180 i 252
Primer, hem de fer les descomposicions
factorials de tots els nombres.
120 = 2
3
· 3 · 5
180 = 2
2
· 3
2
· 5
252 = 2
2
· 3
2
·7
Seleccionem els nombres primers que
es repeteixen en totes les
descomposicions
Es repeteixen el 2 i el 3
Calculem el M.c.d. agafant la
potència d’exponent més baix de
cadascun d’aquests factors i
multiplicant-les.
M.c.d. (120, 180, 252) = 2
2
· 3 = 12

19. Múltiples comuns
Els múltiples comuns de dos (o més nombres) són aquells
nombres que són múltiples de tots ell al mateix temps.
Múltiples de 20 = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, ...}
Múltiples de 12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132 144, ...}
Múltiples de 20 = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, ...}
Múltiples de 12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132 144, ...}
Com que cada nombre té infinits múltiples, hem de fer molts o
fer servir la imaginació per trobar uns quants múltiples comuns.
Múltiples comuns = { 60, 120, 180, 240, ...}
De tots els múltiples comuns, el més important és el més petit,
al que anomenem el Mínim Comú Múltiple (m.c.m.).
m.c.m. (12, 20) = 60

20. Calcular el m.c.m. de dos (o més) nombres amb la
llista de múltiples pot ser molt llarg, així que
també ho calcularem amb un mètode basat en la
descomposició factorial.
Calculem el m.c.m. de 12, 18 i 40
Primer, hem de fer les descomposicions
factorials de tots els nombres.
12 = 2
2
· 3
18 = 2 · 3
2
40 = 2
3
· 5
Calculem el m.c.m. agafant la
potència d’exponent més alt de
cadascun dels factors primers que
apareixen, estiguin repetits o no, i
multiplicant-les.
m.c.d. (12, 18, 40) = 2
3
· 3
2
· 5 = 360