Tema 4 Medidas de Tendencia Central.ppt

Presentacion de estadistica

1. TEMA 4.-LA REDUCCIÓN DE DATOS I
4.1.-Definiciónyclasificaciónsegúntiposdeestadísticas.
4.2.-Medidasdetendenciacentral:
-Mediaaritméticasimpleyponderada.
-Propiedades,ventajaseinconvenientesdelamediaaritmética.
-Mediageométrica.
-Mediaarmónica.
-Comparaciónentrelasdistintasmedias.
-Mediana.
-Moda
-Utilizacióndelamedia,medianaymoda.
4.3.-Medidasdeposiciónnocentrales:cuantiles.
4.4.-Momentos:
-Momentosrespectoalorigen.
-Momentosrespectoalamedia.
-Momentosrespectoaunpunto.
-Relacionesentremomentos.
Dr. Feliciano F. Ordóñez Fernández

2. 4.1 Introducción
Lasdistribucionesdefrecuenciasdeunavariablepuedenestudiarseatravés
deunasmedidas,queseconocencomoestadísticos,yqueanalizadas
conjuntamentenosdanunpanoramasobrelascaracterísticasdela
distribución.
Medidas o Estadísticos
Medidas de
posición
Medidas de
dispersión
Medidas de
concentración
Medidas de
forma
Media Aritmética
Media Geométrica
Media Armónica
Mediana, Moda y
Cuantiles
AbsolutasRelativasÍndice de Gini
Curva de Lorenz
Medidas de
Asimetría y
Medidas de
Curtosis
Rango, recorrido
intercuartílico,
desviación absoluta
media, varianza,
desviación típica
Coeficiente de apertura,
recorrido relativo,
recorrido semicuartílico,
coeficiente de variación

3. 4.2 Medidas de tendencia Central
LamediaAritmética,deunavariablesedefinecomolasuma
detodoslosvaloresdivididaporelnºdeobservaciones.Suele
representarseporX.
Lamediaaritméticasimple.EndistribucionestipoI(lavariable
tienepocasobservaciones)será:
Ej.Losañosdeantigüedadenunaempresadecincotrabajadoresson6,5,4,3,2;
obtenerlamediaaritméticadeestasvaloraciones.
Lamediaaritméticaponderada.Enlasdistribucionesdetipo
II(tablasdefrecuencias)yIII(datosagrupadosenclases)es
necesarioutilizarlasfrecuenciasparaobtenerlamediaaritmética
simple. Queindicaquecadavalorhasidoponderadoo
multiplicadoporlafrecuenciaqueaparece.
N
N

4. Ej. Obtener la media aritmética de las valoraciones de 0 a 10 de
20 clientes a la percepción de la limpieza de unas instalaciones
sanitarias. 4 3 3 5 2 3 0 2 1 5 6 7 8 1 6 7 4 6 4 3
Opción Media simple
N
=
4+3+3+5+2+3+0+2+1+5+6+7+8+1+6+7+4+6+4+3
20
=
Xi Ni Xi x Ni
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
2
4
3
2
3
2
1
0
0
0
2
4
12
12
10
18
14
8
0
0
Suma 20 80
N
= =4
Enelcasodequelosdatosesténagrupados
enclases(tipoIII),seoperaigualtomandola
marcadelaclasemcomoXi.Ej.Obtenerla
mediaaritméticadelasdistanciasentreciudades:
L
i-1-L
i M
i= X
i N
i X
i x N
i
0-5 Km
5-10
10-25
25-50
50-100
100-500
2,5
7,5
17,5
37,5
75
300
4
10
6
40
5
35
10
75
105
1500
375
10500
Suma 100 12565
Podremosconstruiruna
tabladefrecuenciastipoII
m
i= x
i=
L
i-1+ L
i
2
N
=
12.565
100
=125,65 Km

5. Nosiemprepuedecalcularselamediaaritmética,einclusoavecesnotiene
sentido.Lamedianoesposiblecalcularlacuandolosdatossoncualitativos
(obtenerlamediadelcolordeojos).Peroenocasioneselproblemaestrabajar
conintervalosabiertos,ej.Rentasdepersonasquetienenideadeingresaraun
familiarenunaresidenciaparasurecuperacióndeunictus.
L
i-1–L
i
Renta anual en euros de los clientes
M
i= X
i N
i X
i x N
i
Menos de 10,000
10.001 a 20.000
20.001 a 50.000
50.001 a 100.000
Más de 100.000
5.000
15.000
35.000
75.000
150.000
50
100
600
150
100
250.000
1.500.000
21.000.000
11.250.000
15.000.000
Suma 1000 49.000.000
Enestecasosolopodremos
aproximarlamedia,yaquesobrelos
dosintervalosabiertosdebemoshacer
hipótesisdelosvaloresmediosdelos
intervalosabiertos(5.000y150.000).
Perocualquierhipótesisnosdaríaotro
resultado..Sisuponemosquenadie
tieneunarentade0,podemos
suponer6000enelprimerintervaloy
elúltimolopodemossubirhasta
250000.conestasegundahipótesis
tendríamosunamediade59.050€.
N
=
49.000.000
1.000
=49.000€
Lamediaaritméticaponderadaporcoeficientes,existenocasionesqueen
funcióndelusodelosdatosesconvenienteintroduciruncoeficientede
ponderaciónquedeunamayorpesoaalgunosdelosvaloresdelasvariables.
SiempreenfuncióndelasdistribucionestipoI,IIyIII.Nosquedará:
∑x
iw
i
∑w
i
Tipo I
Tipo II y III
∑n
iw
i
∑x
in
iw
i

6. Propiedades de la Media
1.Lasumadelasdesviacionesdetodoslosvaloresrespectoasumediaaritmética
escero.
∑(X
i–X)n
i= 0
i = 1
r
2.Simultiplicamosodividimostodaslasobservacionesporunmismonúmero,lo
queseconocecomocambiodeescala,lamediaquedamultiplicadaodivididapor
esenúmero.
3.Silesumamosatodaslasobservacionesunmismonúmero,loqueseconoce
comocambiodeorigen,lamediacambiaráendichacantidad.
Comoconsecuencia,siseaplicanestasdospropiedades(cambiodeorigenO
ty
cambiodeescalaC)obtenemos,unresultadoquesirveparasimplificarcálculosde
valoresmuyelevados.
X
i N
iX
i-N
i (Xi-X) (Xi-X)n
i
10.000
15.000
25.000
30.000
35.000
2
5
3
6
4
20.000
75.000
75.000
180.000
140.000
-14.500
-9.500
500
5.500
10.500
-29.000
-47.500
1.500
33.000
42.000
Suma 20 490.000 0
N
=
490.000
20
=24.500
∑(X
i–X)n
i= 0
i = 1
r

7. Loscambiosdeescalapuedenfacilitarloscálculos,porejemploC=1.000
quedandoladistribuciónparaunanuevavariabley
i.
X
i Y
i= X
i/ 1000N
i
10.000
15.000
25.000
30.000
35.000
10
15
25
30
35
2
5
3
6
4
Obtenemos la media aritmética para la nueva variable y
i
y = 1/20 (10x2+15x5+25x3+30x6+35x4)= 490/20= 24,5
Aplicando la propiedad estudiada, obtenemos la media aritmética para la variable
original X
i.
Parafacilitarloscálculos,tambiénpodríamoshaberefectuadouncambiode
origendeltipoO
t=25.000deformaque:
X
i Y
i= X
i-25.000N
i
10.000
15.000
25.000
30.000
35.000
-15.000
-10.000
0
5.000
10.000
2
5
3
6
4
y= 1/20 (-15.000 x 2-10.000 x 5+ 0 x 3+ 5.000 x 6+ 10.000 x 4)=
-80.000 + 70.000/ 20 = -500
X= Cy =1.000 x 24,5 = 24.500
x = y + O
t= -500 + 25.000 = 24.500
Ejercicio. Introducir las dos transformaciones conjuntamente.

8. Ventajas e inconvenientes de la media aritmética
Lasprincipalesventajasson:
1.Esunconceptoconocidoparalamayoríadepersonasyes
claroeintuitivo.
2.Escalculableentodaslasvariables,siemprequenuestras
observacionesseancuantitativas.
3.Paraelcalculoseutilizatodoslosvaloresdeladistribución.
4.Esúnicaparacadadistribucióndefrecuencias.
5.Alserelcentrodegravedaddelasdistribuciónrepresenta
todoslosvaloresobservados.
6.Esútilparallevaracaboprocedimientosestadísticoscomo
lacomparacióndemediasdevariosconjuntosdedatos.

9. Principales inconvenientes:
1.Queesunvalorsensiblealosvaloresextremos,conloque
sitenemosdistribucionesconunagrandispersióndedatos
puedellegaraperdersusignificado.Ej.lafamosaanécdota
delpollo,siunapersonacomounpolloyotranocomopollo,
comomedia,sehabráncomidomediopollocadauno.
2.Quenosepuedecalcularcuandolosparámetrosson
cualitativos.
3.Podemostenerdificultadesparasucálculoendistribuciones
tipoIIIenlasqueexistanintervalosabiertos;enestoscasos
esnecesarioestimarunamarcadeclaseparacalcularla
mediayestavaríaenfuncióndelamarcadeclaseelegida.

10. La media geométrica
Definición:LamediageométricadeunadistribucióndefrecuenciasconN
observacioneseslaraízdeíndiceNdelproductodetodaslasobservaciones
elevadoasusrespectivasfrecuencias.SerepresentaporGytienelasiguiente
formulación:
El símbolo indica que se trata del producto de todos los valores de la
variable X.
G = X
1∙ X
2∙ X
3∙… X
r=
√
N
Distribuciones tipo I
Distribuciones no unitarias G = …
√
N
=

11. Esteestadísticosolosepuedeutilizarsinohayobservacionesnulas.Yaquesi
notomaríaelvalorcero.
Tampococuandoexistaalgúnvalornegativo.Yaquenospodríadarvalores
irracionalesqueinvalidenelvalorestadístico.
VENTAJAS:
1.Ensucálculointervienentodoslosvaloresdeladistribución.
2.Esmenossensiblequelamediaaritméticacuandoladistribucióntienevalores
extremos.
3.Esmásrepresentativocuandoladistribuciónevolucionadeformaacumulativa
omultiplicativa.
4.Suvaloresobjetivoyúnico,cuandoexiste.
INCONVENIENTES:
1.Susignificadoestadísticoesmenosintuitivoquelamediaaritmética
2.Mayorcomplicacióndeloscálculos.
3.Suindefinición(danúmerosimaginarios)cuandotienevaloresnegativos,ysu
valornulocuandounaobservacióntomaesevalor.

12. Existeunaadvertencia:dadasuformulación,deberemosutilizarlogaritmoso
programasinformáticosparasucalculo.
Ademáslamediageométricatienelasiguientepropiedad:
Log G= n
ilog x
i
Significaqueellogaritmodelamediageométrica
esigualalamediaaritméticadeloslogaritmosde
losvaloresdelavariable.
Ejemplo:Uncentrodeterapiaabiertoenenerodel2007haexperimentado
duranteel2008unaumentodel10%,en2009un20%yen2010tieneuna
previsióndecrecimientodel25%.¿Cuáleselíndicedecrecimientoduranteeste
trienio?
(Comosetratadeunavariableconevoluciónmultiplicativautilizaremoslamediageométricaparasucálculo)
Crecimiento
2007
2008
2009
2010
100
110 (un 10% más)
132 (un 20% más que 110)
165 (un 25% más que 132)
N
√√
N
x
i
√
3
110 ∙ 132 ∙ 165==
La media aritmética será:
n
i
=
135,66
110 + 132 + 165
3
==
133,80
Esta relación se cumple siempre G < X

13. En los años 2006, 2007 y 2008 varios establecimientos de una red asistencial han
experimentado el siguiente crecimiento; tenemos en cuenta que es una
distribución no lineal (tipo II):
Nº Centros TO
Crecimiento 10%
Crecimiento 15%
Crecimiento 20%
4
6
10
=
√
20
10
4∙ 15
6∙ 20
10
=√
N
15,97
Log G= n
ilog x
i
Con cifras tan elevadas, es preferible trabajar con logaritmos, aplicando la expresión:
= (4 log 10+6 log15+10 log 20)= (4 ∙1+ 6 ∙1,17+10 ∙1,30)
== 1,20 G= antilogaritmo de 1,20 = 15,85
Lamediadecrecimientosería,el15,97%.¿Quehubierapasadosihubiéramos
hecholamedia?
N
= = =16,5
24,02/20

14. MEDIA ARMÓNICA
LamediaarmónicadeNobservacioneseslainversadelamediadelainversas
delasobservaciones;suelenombrarseporH
H=
En distribuciones de tipo II quedará de la siguiente manera:
H
=
n
1
x
1
n
2
x
2
n
r
x
r
+++ …
N
=
n
i
x
i
N
Suutilizaciónesbastantepocofrecuenteysólodebeemplearsecuandola
variableestámedidaenunidadesrelativas,porej.Km/h…,esdecirpara
promediarvelocidades,tiempos,rendimientos…

15. Ventajas
1.Estádefinidadeformaobjetivayesúnica
2.Parasucálculotieneencuentatodoslosvaloresdeladistribución
3.Esmásrepresentativaqueotrasmedidasenloscasosdeobtenerpromediosde
velocidad,rendimientos,productividades…
4.Losvaloresextremostienenunamenorinfluenciaqueenlamedidaaritmética.
Inconvenientes
1.Matemáticamente solo se puede calcular si no hay observaciones iguales a cero,
ya que en este caso nos aparecería un cociente indeterminado del tipo n
i/ 0 = ∞.
2.Cuando la variable toma algunos valores muy pequeños puede carecer de
significado; en estos casos sus inversos pueden aumentar casi hasta el infinito,
eliminando el efecto del resto de los valores.
Relaciónentrelasmedias,armónica,geométricayaritmética,secumple
siemprequelamediaarmónicasiexisteesmenorquelamediageométrica(si
tambiénexiste)yqueestaasuvezesmenorquelamediaaritmética.
H ≤ G ≤ X

16. Ejemplo.
Cincocentrossocio-sanitariosdeunacomunidadautónomahanrealizado200,250,
300,350y400serviciosdeundeterminadoprogramaterapéutico,conunos
rendimientosportrabajadorencadacentrode10,15,17,19y20programas.
Calcularelrendimientomediodelostrabajadoresdelacomunidad.(elritmode
produccióneselrendimientoylaproducciónlosservicios).
X
i n
i
10
15
17
19
20
200
250
300
350
400
Total1500
H
=
n
1
x
1
n
2
x
2
n
r
x
r
+++ …
N
=
1500
=
Comprobar que la media aritméticas es 16,99 y la geométrica 16,61
20+16,66+17,65+18,42+20
1500
16,176=

17. LA MEDIANA, M
e
Lasmedidasanteriorestratandebuscarelcentrodegravedaddeunadistribución,
yhemosvistoqueengeneraltienendosproblemas:
1.Sonmuysensiblesalosvaloresextremosdelasdistribuciones.
2.Noesposiblecalcularlosenlasdistribucionescualitativas.
Pararesolverelprimerproblemaseemplealamediana,yaqueenlugarde
equilibrarlosvaloresdelavariableequilibralasfrecuencias.
Paraelsegundoinconvenienteseutilizalamoda,queconsideralosvaloresmás
repetidos.
Definición:lamedianadeunadistribucióndefrecuencias,previamenteordenadade
mayoramenoromenoramayor,sedefinecomoelvalorcentraldelavariableque
divideladistribuciónendospartesiguales.
Comosetratarealmentedeuna“divisiónfísica”delosresultados,sepresentan
doscasos:cuandoelnúmerodeobservaciones,N,seaimparycuandoseapar.

18. En distribuciones tipo I, con un número de observaciones impar.
En estos casos existe un término central que será el valor de la medianaX
Ejemplo:Calcularlamedianadeunadistribuciónestadísticaconlosvalores,5,7,
8,9,3,11y15,añosdeantigüedadenunaempresa.
Si calculáramos la media, obtendríamos: 8,6. de antigüedad
EndistribucionesparestipoIexistendostérminoscentrales,lamedianaserá
Lamediaaritméticadeesosdosvalores.
Ejemplo:Calcularlamedianadeelnúmerodeclientesdeunhoteldurante10días.
2,3,5,6,8,9,11,14,18,25.N=10.Serálamediadelasposiciones5y6.
9+8/2 = 8,5
Paso1.ordenarlosvalores:3,5,7,8,9,11,15comosonsietevalores(impar)
elvalorcentrales8,dejandoaambosladoslamismacantidaddepuntuaciones.

19. CálculodelamedianaendistribucionestipoII:
Enprimerlugaresnecesarioordenarlosvaloresytrabajarconlasfrecuencias
acumuladasN
i
,obteniendoenconcretoelvalorN/2.
Aligualqueenlasdistribucioneslineales,sedistinguendoscasos:
1.QueexistaunN
iigualaN/2.enestecasolamedianaeslamediaaritmética
deX
i
ydelsiguienteX
i+1
.(sinoadmitedecimalesseránlosdosvalores
conjuntamente).
2.CuandonoexisteunN
i
queigualeaN/2,lamedianacorrespondealprimer
valorquesuperealdeN/2.
Ej. Obtener la mediana sobre el grado de satisfacción de 100 clientes (escala 0 a 100).
x
in
iN
i
10
11
12
13
24
25
36
50
58
99
2
3
5
6
4
9
5
54
4
8
2
5
10
16
20
29
34
88
92
100
Suma 100
Cogemoslosvaloresdelafrecuenciasabsolutasacumuladas,
obtenemosN/2=50,elprimervalorquelosuperaes88,que
correspondealvalorx=50;lamedianaenconsecuenciaes
50(esdecirhaymásdelamitaddeclientesquehanpuntuado
50omás)

20. Cálculo de distribuciones tipo III: Se hace de manera similar al caso anterior
1.Si existe N que es igual N/2 la mediana por convenio, es el límite superior
del intervalo mediano o intervalo en el que N = N/2
2.Si no existe un N = N/2, la mediana está en el siguiente intervalo, es decir
en el intervalo cuya N supera a N/2; diremos que es el intervalo mediano.
L
i-1-L
i n
iN
i
(0 a 8000e)
8001 –10000e
10001-11.000e
11001-12000e
12001-13000e
13001-14000e
14001 –15000e
15001 -16000e
16001-24000e
50
100
75
550
950
75
25
25
150
50
150
225
775
1725
1800
1825
1850
2000
2000
En la columna de fr. Acumuladas N/2=1000, se
corresponde con el intervalo (12001-13000),
que acumula 1725 agencias, y en el que han
entrado 725. debemos pensar que hay que
ajustar más la mediana con los que tenemos
varias opciones:
1.Obtenerlamarcadeclaseylamedianaquedaríaen12500.e
2.Aproximarlamedianamedianteunrazonamiento:Me=L
i-1+m;paracalcularm
esnecesariotenerencuentaelvalordelaFracumuladahastaelintervalo
anterior,yrestarloalN/2-N
i-1,alquelecorrespondenunafrecuenciadistribuida
portodoelintervaloc
i/n
i
;m=(N/2-N
i-1)∙c
i/n
iennuestrocaso:(1000-
775)1000/950=236,8;silosumamosa12001=12238
3.OtroesaplicarlafórmulaM
e=L
i-1+N/2–N
i-1divididoporn
iytodoporc
i.
12001+ 1000-775/950x1000= 12238
c
i.
= Se trata de la amplitud del intervalo

21. Las principales ventajas de la mediana son las siguientes:
1.Es la medida mas representativa en el caso de variables
cualitativas o atributos.
2.Su cálculo es sencillo
3.Tiene una fácil interpretación
4.No es sensible a los valores extremos de la distribución.
Elprincipalinconvenienteesqueensudeterminaciónno
setienenencuentatodoslosvaloresdelavariable.,
aunqueenmomentosesconvenienteestadesventajaya
quepermiteelcálculocuandonoseconocenlosextremos
perosilafrecuencia.

22. LA MODA
Lamodaeselvalordelavariablequemásvecesserepite;sueledesignarsepor
M
oysedefinecomoelvalordelavariablequepresentamayorfrecuencia
absoluta.Sihayvariosvaloresenestasituación,sehabladedistribuciónbimodal,
trimodalomultimodal.
Cuandohaymásdeunamodasediferenciaentremodaomodasabsolutasy
modasrelativas.Esrelativacuandosufrecuenciaabsolutanoessuperadaporlade
losvalorescontiguos.
DistribucióntipoI;nosepuedehablardemodayaquelasfrecuenciassontodas
unitarias.
DistribucióntipoII;ParaobtenerlamodaenlasdistribucionesdetipoIIbastacon
observarlacolumnan
i.
DistribucióntipoIII;sepuedendardossupuestos.
Quelosintervalosseandelamismaamplitud.Lamodaabsolutasesitúaenel
intervaloquepresentemayorfrecuenciaabsoluta,ylasrelativasenaquellosque
superenlafrecuenciaabsolutadelosintervaloscontiguos.Paracalcularelvalor
exactoesaplicarestaexpresión.(recordandoquec
ieslaamplituddelintervalo).
M
o= L
i-1
n
i+1
n
i-1+ n
i+1
c
i+

23. Determinar la moda de la siguiente distribución de frecuencias:
L
i-1-L
i(n
i)
[0-5)
[5-10)
[10-15)
2000
3500
500
6000
Elintervalodelamodaesel[5-10),conunafrecuencia
3500superioralosotrosintervalos;paraencontrarelvalor
exactoaplicamoslafórmula.
M
o= L
i-1
n
i+1
n
i-1+ n
i+1
c
i=5 +
500
2000+500
· 5 = 6
Cuandolosintervalostienendistintaamplitud,enestecasoesnecesario
obtenerunratiodedensidaddefrecuencia(lafrecuenciaabsolutadivididoporla
amplituddelintervalo);elintervaloconmayorvalorenesteratioconstituiráel
intervalomodal.
L
i-1-L
in
i c
ih = n
i / c
i
(0 –25)
[25 -30)
[30 –35)
[40 –45)
[45-55)
125
50
35
25
80
25
5
5
5
10
5
10
7
5
8
315
M
o= L
i-1
h
i+1
h
i-1+ h
i+1
c
i25 +
7
5+7
· 5 = 27,9=+
+

24. Lasprincipalesventajasdelamodason:
1.Esunestadísticoquepuedeobtenerseentodaslasdistribuciones,yaque
siempresepuedehallarsuvalor,lacategoríaovalorquemásserepite.Tantoen
variablescuantitativascomocualitativas.
2.Sucálculoessencillo
3.Tieneunafácilinterpretación,yaquenosdaelvalordelavariableola
modalidaddelosatributosquemásserepite.
Sumayorinconvenienteesquenointervienentodoslosvaloresdela
distribución,centrándonosenlamayorfrecuenciaabsolutadeunvalor
delavariableodelamodalidaddelosatributos.

25. Medidas de posición no central:
Los Cuantiles
Loscuantilessonlosvaloresdelavariablequedividenunadistribucióndefrecuencias
enpartesiguales.
Losmásutilizadosson:
1.Loscuartiles,quesontresvaloresquedividenlaseriededatosencuatropartes
iguales.Lamedianacoincideconelsegundocuartilydivideladistribuciónendos
partes.
2.Losquintiles,quesoncuatrovaloresquedividenladistribucióndencincopartes
iguales.
3.Losdeciles,nuevevaloresquedividenladistribuciónendiezpartes.
4.Lospercentiles,queson99valoresquedividenladistribuciónen100partesiguales.
ConsideramosNelnúmerodedatosdeladistribución,concaráctergenerallos
cuantilesseobtienenrN/q,enquerindicaelcuantilcorrespondiente(r=1primero,
r=2segundo,etc.),qelnúmerodeintervalosconigualesfrecuenciasquese
pretendedividirladistribución.(q=4cuartiles,q=10deciles,q=100percentiles).Y
Neslafrecuenciaabsolutaacumulada.

26. x
in
iN
i
12
45
55
60
82
90
20
30
20
10
10
10
20
50
70
80
90
100
100
Obtener los cuantiles de la distribución de frecuencias
Primeroloscuartiles:
1N/4=100/4=25
Elprimervalorquesuperaa25enlacolumnadefrecuencias
acumuladases50,quecorrespondeax
i=45.Q
1=45
2N/4=200/4=50,quecorrespondenuevamentealvalor45,por
conveniocuandoestoocurresetomacomocuartillamedia
aritméticadex
iyx
i+1;ennuestrocaso45+55/2=50;Q
2=50.
Q
3=300/4=75,elvalordeN
iquesuperaes80quecorresponde
alvalorx
i=60.
Deciles.
D
1=1N/10= 100/10= 10 el valor de N
ique supera 10 es x
i= 12
D
2=2N/10= 200/10= 20 el valor de N
ies x
i= 12, 12+45/2 = 28,5
D
3=3N/10= 300/10= 30 el valor de N
ique supera 30 es x
i= 45
…
Percentiles.
…
P
30= 3000/100= 30; el primer valor N
icorresponde a valor de la variable x
i=45
…
Para distribuciones agrupadas la fórmulaQ = L
i-1+
rN/q -N
i-1
n
i
c
i