Tema 7. Método de Cross Con Desplazabilidad.pptx

Método de Cross Con Desplazabilidad

1. Método de Cross Con Desplazabilidad Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Cátedra de Estructuras Prof. Samuel Orsini

2. Para resolver este tipo de estructuras a través del método de Cross debemos divider los sistemas en tantos casos como númeor de grados de desplazabilidad que tenga la estrucutra mas uno . En el caso del ejemplo , la estructura posee 2 gardos de desplzambilidad , por lo tanto la estructura la dividiremos en 3 casos o etapas . En la primera etapa tendremos a la estructura con el Sistema de solicitaciones originales , en donde se le impiden los grados de desplazamientos del Sistema. Las sigueintes 2 etapas será la estructura , dond elas únicas cargas que aparecen son las fuerzas de fijación producidas por los apoyos añadidos en el primer Sistema, y donde se libera uno de los grados de desplazamientos y se restring el otro .   Metodología de Trabajo

3. La determinación de al mprimera etapa no presenta ningún inconveniente ya que se puede realizar siguiendo al metodología de resolución del método de Croos din desplzamientos y no se producirá ninguna incognita. No obstante, cada grado de desplazabilidad generará una incognita que define los desplazamientos de cada etápa , por lo tanto : Para análizar las etapas que depende de la desplazabilidad de la estructura se les dará un giro arbitrario , compatible con su vinculación , y se calculan los moemntos primaries de cada etapa a través de la ecuaciones de rotación , recordando que no se tienen solicitaciones extrenas en estas etapas , se tendrá : Caso BiEmpotrado Ó Caso Empotrado-Articulado Para miembros de sección constante : Caso BiEmpotrado Ó Caso Empotrado-Articulado   Métodología de Trabajo

4. De esta forma tendremos que establecer un Sistema de ecuaciones para poder hallar estas incógnitas . Las ecuaciones de condición de fuerza las hallaremos en las coordenadas de desplazabilidad, por lo tanto para el caso del ejemplo : =0 = Obtenidas estas ecuaciones de condición , podemos conocer las incógnitas y de esa manera sustituir en las ecuaciones de momentos de cada etapa y al sumar estos resultados hallar los momentos finales en cada una de las barras . Finalmente sabemos que las ecuaciones de condición dadas por la desplazabilidad de la estructura las podemos sustituir por la escuaciones dadas mediante la aplicación del método de los trabajos virtuales aplicada a la imagen cinemática de estructura en cada grado de desplazamiento independiente .   Metodología de Trabajo

5. Determinar , a través del método de Cross los diagramas de momentos finales de las barras de las estrucutra . Alcanzar una precision de 0,5 Kgf -m Ejercicio N°2

6. En primer paso determinaremos el número de incógnitas , las coordenadas donde se ubican , y cuales serán las etapas que deberemos calcular . Sabemos que la estructura tiene 2 grados de desplazamientos , por lo tando :   Como podemos observar en los grados de desplazabilidad, las incógnitas que deberem os determinar serán α y β , los parámetros que irán en función de la rotación de cuerdas de las barras en cada grado de desplzabilidad .

7. Como primer paso calculamos los factores necesarios para la aplicación del método de Cross. Rigidecez : Cálculo de Factores                 Factores de Distribución :                           Factores de Transporte : Sabemos que los factores de transporte para todos los nodos será de 0,5 al ser miembros de sección prismática , con excepción del factor de distribución ya que el aproyo F esta articualdo        

8. En esta etapa no tendremos grados de despzabilidad , por lo tanto no existirá ninguna incognita y podremos determiner de manera directas los momentos en los extremos de las barras . En esta etapa la estrucutra estará sometida al Sistema de cargas originales , por lo tanto deberemos determinar los momentos de fijación a través de los momentos de empotramiento perfecto en las barras . De esta manera los momentos de empotramiento perfecto serán :   En este primer ciclo realizaremos el equilibrio del nodo B, al cual no llega ningún momento de empotramiento perfecto y tiene un momento aplicado en el de 2000 Kgf *m, por lo tanto se tiene que: De aquí distribuimos el momento desequilibrante en B a los extremos de la barras multiplicando por los respectivos factores de distribución lo que nos queda : Una vez distribuidos los momentos los transportamos a los extremos opuestos de las respectivas barras como se muestra acontinuación :   ETAPA I: Ciclo I ( Nodo B):

9. Ciclo II ( Nodo C): En este ciclo equilibramos el nodo C, al cual solo llega el momento transportado de B, por lo tanto se tiene que: De aquí distribuimos el momento desequilibrante en C a los extremos de la barras multiplicando por los respectivos factores de distribución lo que nos queda : Una vez distribuidos los momentos los transportamos a los extremos opuestos de las respectivas barras como se muestra acontinuación :  

10. Ciclo III ( Nodo D): En este ciclo equilibramos el nodo D, al cual solo llega el momento transportado de C, por lo tanto se tiene que: De aquí distribuimos el momento desequilibrante en D a los extremos de la barras multiplicando por los respectivos factores de distribución lo que nos queda : Una vez distribuidos los momentos los transportamos a los extremos opuestos de las respectivas barras como se muestra acontinuación :  

11. Ciclo IV ( Nodo D): En este ciclo equilibramos el nodo D, al cual llegan el momento de empotramiento perfecto proveniente de la barra EF y el momento transportado de D, por lo tanto se tiene que: De aquí distribuimos el momento desequilibrante en E a los extremos de la barras multiplicando por los respectivos factores de distribución lo que nos queda : Una vez distribuidos los momentos los transportamos a los extremos opuestos de las respectivas barras como se muestra acontinuación :  

12. De esta forma continuamos con el proceso de iteración procediendo ahora estabilizar los nodos en sentido contrario , siguiendo la misma metodología en cada ciclo como se ha descrito , este proceso se resume en la siguiente tabla . ETAPA I Junta A B C D E F G M F I Miembro AB BA BC CB CD DC DF DE ED EF FE GD D ij 0.75 0.25 0.5 0.5 0.2 0.6 0.2 0.571 0.429 1 r ij 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 M -2000           M ij                   6,300 3,000   -2000 750 1,500 500 250                 250     -63 -125 -125 -63             -63         6 13 38 13 6     19 6306               -1,800 -3,601 -2,705     -1800         180 360 1,080 360 180     540 186     -47 -93 -93 -47             -109 41 82 27 14                 14     -3 -7 -7 -3             -50         5 10 30 10 5     15 185               -53 -106 -79     -53         5 11 32 11 5     16 10     -3 -5 -5 -3             -6 2 4 1 1                 1                 -3         1 2 1     1 6               -2 -3 -2     -2         1     M TOTALES 793 1,586 414 34 -33 279 1,182 -1,461 -3,513 3,513 3,000 591  

13. Como ya se vió para determinar los momentos en los casos donde ocurre desplazabilidad recurremos a las ecuaciones fundamentales de deformación angular, recordando que en esta etapa no tendremos solicitacione s o rotaciones de juntas, por lo tanto los momentos en los extremos de las barras dependerán unicamente de las incógnitas provenientes de las rotaciones de cuerda en cada grado de desplzabilidad . Etapa II. Para la etapa II sabemos que las rotaciones de cuerda de las barras en función de un parámetro arbitario α serán: ; y cero los demás. Ahora para poder aplicar la metodología iterativa del método de Cross, debemos; para calcular los momentos en los extremos de las barras, asumir un . Este factor debe ser asumido proporcionalmente con las cargas se presentan en el sistema, para poder llegar a un buen nivel de precisión. Asumimos   Con ello, calculamos los momentos, que quedan como se muestra a continuación: Los demás momentos en el sistema primario serán Se utiliza ahora el mismo procedimiento de cálculo aplicado a la etapa I, utilizando la misma tabla de cálculo se tiene:  

14. Junta A B C D E F G M F I Miembro AB BA BC CB CD DC DF DE ED EF FE GD D ij 0.75 0.25 0.5 0.5 0.2 0.6 0.2 0.571 0.429 1 r ij 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 M               M ij/X -1,800 -1,800 300 300 -300 -300             -1500 563 1,125 375 188                 188     -47 -94 -94 -47             -347         35 69 208 69 35     104 35               -10 -20 -15     -10         1 2 6 2 1     3 36     -9 -18 -18 -9             -56 21 42 14 7                 7     -2 -3 -3 -2             -11         1 2 6 2 1     3 2               -1 -1 -1     -1             1     -1 -1             -2 1 2 1                                                                           M TOTALES/X -1,216 -632 632 379 -379 -284 221 63 16 -16 111  

15. Etapa III. Para esta etapa aplicaremos el mismo procedimiento que para la etapa II, detemrinaremos las rotaciones de cuerda de las barras en función de un parámetro arbitario β , para ese grado de desplzabilidad , tenemos entonces: ; y cero los demás. Ahora para calcular los momentos en los extremos de las barras, asumimos de nuevo parámetro un . En este caso: Asumimos   Con ello, calculamos los momentos, que quedan como se muestra a continuación: Los demás momentos en el sistema primario serán Se utiliza ahora el mismo procedimiento de cálculo aplicado a la etapa II, utilizando la misma tabla de cálculo se tiene:  

16. Junta A B C D E F G M F I Miembro AB BA BC CB CD DC DF DE ED EF FE GD D ij 0.75 0.25 0.5 0.5 0.2 0.6 0.2 0.571 0.429 1 r ij 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 M               M ij/Y     300 300 -300 -300 1,800 -300 -300 150   1,800 300 -113 -225 -75 -38                 -38     9 19 19 9             1209         -121 -242 -726 -242 -121     -363 -271               77 155 116     77         -8 -15 -46 -15 -8     -23 -129     32 64 64 32             42 -16 -31 -10 -5                 -5     1 3 3 1             33         -3 -7 -20 -7 -3     -10 -11               3 6 5     3         -1 -2 -1     -1 -4     1 2 2 1             2 -1 -2 -1                                 1         -1                                   M TOTALES/Y -129 -258 258 345 -345 -521 1,005 -484 -271 271 1,403  

17. Para hallar las ecuaciones que nos permitan encontrar las incógnitas , para resolver el sistema y hallar los moementos en los extremos de las barras , debemos establecer las ecuaciones de compatibilidad de fuerzas ; es decir , ecuaciones de sumatorias de fuerzas en las coordenadas donde ubicamos los grados de desplazamientos . En el caso de la estructura del ejemplo debemos determiner la sumatoria de fuerzas horizontales en los nodos B y D, sin embargo, como ya es costumbre para nosostros podemos aplicar el principio de los trabajos virtuales en la imágen cinemática en el grado de desplazabilidad que se desee conocer la ecuación . Ecuaciones de Condición

18. Ecuaciones de Condición En el primer grado de desplazabilidad se tendrá :   Luego en el Segundo grado de desplazabilidad tendremos :   Recordando que:  

19. Ecuaciones de Condición Sustituyendo los momentos en las dos ecuaciones nos quedan :   Ahora para obtener los momentos en las etapas II y III multiplicamos los momentos obtenidos mediante el procedimiento de Cross por cada incógnita de la etapa, es decir: Finalmente al calcular los moentos en cada una de las etapas y sustituirlos todos obtenemos los momentos finales en los extremos de la barras :   De aquí obtenemos resolviendo el sistema: De aquí obtenemos: