Temperatura, presión, análisis dimensional e interpolación

1. INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA
TEMPERATURA Y PRESIÓN
ANÁLISIS DIMENSIONAL
INTERPOLACIÓN LINEAL
Prof. Mario Yovera Reyes
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY
ESPACIO ACADÉMICO CIENCIA Y CULTURA DE LA
ALIMENTACIÓN
PRINCIPIOS DE INGENIERÍA APLICADA A LOS ALIMENTOS
PERIODO LECTIVO 2012-2013

2. TEMPERATURA
Físicamente es una magnitud escalar relacionada con
la energía interna de un sistema termodinámico. Más
específicamente, está relacionada directamente con la
parte de la energía interna conocida como "energía
sensible", que es la energía asociada a los movimientos
de las partículas del sistema, sea en un sentido
traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A
medida que es mayor la energía sensible de un
sistema se observa que esta más "caliente" es decir,
que su temperatura es mayor

3. TEMPERATURA
La temperatura se mide con termómetros, los cuales
pueden ser calibrados de acuerdo a una multitud de
escalas que dan lugar a unidades de medición de la
temperatura. En el Sistema Internacional de Unidades
, la unidad de temperatura es el kelvin. Sin embargo,
fuera del ámbito científico el uso de otras escalas de
temperatura es común el uso de la escala Celsius
(antes llamada centígrada) y en los países
anglosajones, la escala Fahrenheit. También existe la
escala Rankine (°R) que establece su punto de
referencia en el mismo punto de la escala Kelvin

4. TEMPERATURA

5. TEMPERATURA ABSOLUTA
0 0K R° = °
Cero Absoluto
273,15 491,67K R° = °
Punto de congelación del
agua
( ) ( )273,15 0 491,67 0K R- ° = - °
491,67
1,8 1,8 273,15 491,67
273,15
R
K R
K
°
= Þ ´ ° = °
°
1,8.T K T RD ° =D °
1,8.T K T R° = °

6. TEMPERATURA RELATIVA
Cero Absoluto
273,15 0K C° = °
Punto de congelación del
agua
273,15T K T C° = ° +
0 273,15K C° =- °
Cero Absoluto
491,67 32R F° = °
Punto de congelación del
agua
459,67T R T F° = ° +
0 459,67R F° =- °
491,67 32 459,67- =

7. TEMPERATURA RELATIVA
273,15T K T C° = ° + 459,67T R T F° = ° +
( )1,8. 1,8. 273,15 459,67T K T R T C T F° = ° Þ ° + = ° +
1,8. 491,67 459,67T C T F° + = ° +
1,8. 491,67 459,67T C T F° + - = °
1,8. 32T C T F° + = °
32
1,8
T F
T C
° -
° =

8. DIFERENCIAS DE TEMPERATURA
(373,15 273,15) (100 0)K C- ° = - °
( ) ( )671,67 491,67 212 32R F- ° = - °
T K T CD ° =D °
T R T FD ° =D °

9. PRESIÓN
La presión de un fluido sobre una superficie se define
como la fuerza normal ejercida por el fluido por
unidad de área (superficie):
gh
A
ghA
A
gV
A
gm
A
F
P ××=
/
××/×
=
××
=
×
== r
rr
Presión de vapor:
Es la presión que ejercen las moléculas de un líquido en
el espacio libre que queda sobre éste (vapor). La presión
de vapor depende de la temperatura

10. PRESIÓN ESTÁTICA
El cuerpo de un fluido en equilibrio estático está bajo
la influencia exclusiva de las fuerzas de compresión.
La intensidad de esta fuerza se denomina presión
estática. La presión estática es una fuerza normal a
cualquier superficie en la que actúa y, en cualquier
punto dado, tiene la misma magnitud, sea cual fuese
la orientación de la superficie. Esta es una de las
maneras de enunciar la Ley de Pascal; otra de ellas es
que la presión en cualquier punto de un fluido en
reposo actúa con igual intensidad en todas las
direcciones.

11. PRESIÓN HIDROSTÁTICA
La presión P de un fluido en la base de una columna,
es la suma de la presión ejercida por en la superficie
superior y la presión ejercida por la columna de fluido
cgghPP ××+=r
0
()mh ( )
2
mNP
( )
3
mkgr
( )
2
mA
( )
2
0
mNP
Abs atm rel
P P P= +

12. PRESIÓN BAROMÉTRICA
Barómetro de mercurio: el barómetro indica
directamente la presión absoluta de la atmósfera
expresada como altura de la columna de mercurio. La
presión barométrica normal (estándar) es, por
definición,
cHgatm gghP ××=r
101.325 1 760 760 29,92kPa atm Torr mmHg inHg= = = =
atm
P
0@P
Hg

13. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Manómetros de columna líquida: La altura o carga a la
que un fluido se eleva en un tubo vertical abierto
conectado a un aparato que contiene un líquido,
constituye una medida directa de la presión en un
punto de unión y se utiliza con frecuencia para
indicar el nivel de líquido en tanques y recipientes.
Este mismo principio se aplica a los manómetros de
tubo en U para medir presiones en función de la
altura de un fluido diferente al que se está
comprobando. La mayor parte de estos medidores se
usan ya sean como manómetros de extremo abierto,
de extremo cerrado ó como manómetros diferenciales

14. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Manómetros de extremo abierto: Se utilizan para
medir presiones de fluidos en tuberías, tanques y
depósitos; Además, mide presiones de bajas a
moderadas
( )1 2
. .
atm man f c
P P h h g gr r= + -

15. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Manómetros de extremo cerrado: Mide sólo presiones
manométricas ó relativas de fluidos en tuberías,
tanques y depósitos; Mide presiones de moderadas a
altas
( )1 2
. .
man f c
P h h g gr r= -

16. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Manómetro diferencial: Mide diferencias de presiones
de fluidos en tuberías, tanques y depósitos

17. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Ejemplo 1:

18. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Ejemplo 2: Determina la presión P, en atm, sabiendo
que el fluido manométrico es mercurio cuya
gravedad específica es 13,5 y la diferencia de altura es
h = 30 cm
A 'A
B
'
. .
A A B Hg c
P P P h g gr= = +
'A A
P P=
Principio de Equilibrio Hidrostático
2
101.325
B atm
P P N m= =
2 3
101.325 0,3 .13.500 .9,8
A
N kg N
P m
m m kg
/
/
= + /
/
2 2 2
101.325 39.690 141.015 1,39
A
P N m N m N m atm= + = =

19. PRESIÓN MANOMÉTRICA
Ejemplo 3: Encuentra una ecuación que permita
determinar la diferencia de presión ΔP entre los dos
depósitos en función de: a, h, g, gc, ρ1, ρm y ρ2
1 1
. .
A c
P P a g gr= +
' ''A A A
P P P= =
Principio de Equilibrio Hidrostático
'B B
P P=
''
. .
A B m c
P P h g gr= +
( )
2 ' 2
. .
B c
P P a h g gr= + +
( )
1 2 1 2
. . . . . .
m c c c
P P h g g a g g a h g gr r r- = + - +
1 2 2
. . . . . . . .
m c c c c
P h g g a g g a g g h g gr r r rD = + - -
( ) ( )
2 1 2
. . . .
m c c
P h g g a g gr r r rD = - + -
( ) ( )
2 1 2
[ . . ].
m c
P h a g gr r r rD = - + -

20. ANÁLISIS DIMENSIONAL
Es el estudio matemático de las dimensiones de las
cantidades y tiene sus fundamentos en el Principio
de Homogeneidad Dimensional; i.e. establece que
en toda ecuación que exprese una relación física entre
cantidades o variables es tal que las dimensiones de
cada término de la ecuación son iguales. En términos
más prácticos “Todos los términos aditivos en ambos
lados de una ecuación deben tener las mismas
dimensiones”. Por tanto, para que cualquier ecuación
sea válida, debe ser dimensionalmente homogénea

21. ANÁLISIS DIMENSIONAL
1° Ejemplo demostrativo: Consideremos la ecuación de
la rapidez en el movimiento vertical y caída libre
(M.U.V):
0
.v v gt= + Þ ()
0 2
.
m m m
v v g t s
s s s
æ ö æ ö æ ö
= +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
()
0 0 2
. .
m m m m m m
v v g t s v v gt
s s s s s s
/
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
= + Þ = + /ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
Conclusión: La ecuación de la rapidez en el movimiento
uniformemente variado (vertical y caída libre) es válida,
por tanto, es dimensionalmente homogénea

22. ANÁLISIS DIMENSIONAL
Consideremos la ecuación anterior, pero ahora nos
suministran los datos del tiempo en minutos, ¿Qué
debemos hacer para validar la ecuación?:
( )
0
. minv v gt= + Þ ( )
0 2
. min
m m m
v v g t
s s s
æ ö æ ö æ ö
= +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Obviamente esta ecuación no es dimensionalmente
homogénea, entonces debemos aplicar un factor de
conversión para corregir las unidades: 1 min = 60 s
( )
0 0 2
60
. min . 60. .
min
m m m s m m m
v v g t v v gt
s s s s s s
/
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö /
/= + ÞÞ = +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
/è ø è ø è ø è ø è ø è ø
( )
0
60 . minv v gt= +

23. ANÁLISIS DIMENSIONAL
La relación entre algunas variables de un sistema puede
dar una combinación tal que produzca un cantidad
adimensional. Así como un número cualquiera ó una
combinación de variables se denominan Números ó
Grupos Adimensionales.
Los exponentes numéricos de las funciones polinómicas
(el 2 en x²), las funciones trascendentales como: Log (x),
exp (x), Ln (x), sen (x), tan (x) y sus respectivos
argumentos son cantidades adimensionales. Por ejemplo:
Si escribimos 10², sen (30) ó Ln (20) tiene sentido y es
válido, pero no tiene ningún sentido matemático escribir
10²ft, sen (30 seg) ó Ln (20 kg)

24. ANÁLISIS DIMENSIONAL
2° Ejemplo demostrativo: El volumen de un cultivo
microbiano en una muestra de alimento aumenta en
función del tiempo de acuerdo a la ecuación:
Determina las unidades de V0 y k, si V está dado en
centímetros cúbicos y t en segundos:
.
0
.
k t
V V e=
( )
().3
0
.
k t s
V cm V e=
Como se explico anteriormente la función exponencial
debe ser adimensional, por tanto V0 debe tener las
mismas unidades de V y el argumento de dicha función
k.t también debe ser adimensional, por lo cual:
( ) ( )
()
1
.
3 3
0
.
k t s
s
V cm V cm e
æ ö
ç ÷
è ø
=( )
3
0
V cm []
1 1
: :k
t s
é ù
ê ú
ë û

25. ANÁLISIS DIMENSIONAL
Consideremos la ecuación anterior: , pero
ahora requerimos plantear una ecuación que sea válida y
homogénea, con el V en pulgadas cúbicas y t en horas:
.
0
.
k t
V V e=
( )
()3600. .3
0
0,061. .
k t h
V in V e=
( )
(). .3
0
.
k t h
V in V e=
Obviamente esta ecuación no es dimensionalmente
homogénea, entonces debemos aplicar los factores de
conversión correspondientes para corregir las unidades:
( )
()
36003
. .
3 3600 . 0
03
16,39
. . .
16,39
s
k t h
k th
Vcm
V in V e V e
in
/
/
= Þ =/
/

26. INTERPOLACIÓN LINEAL
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos
una cierta regularidad en la forma de producirse, por
ejemplo, el análisis de parámetros de calidad en los
alimentos, esto nos permite predecir un fenómeno en
situaciones que no hemos medido directamente.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de
un intervalo en el que conocemos los valores en los
extremos.
La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del
intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que
esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso
no es muy fiable el resultado obtenido.

27. Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o
casi proporcionales) a los de la variable independiente se
puede admitir que dicha función es lineal y usar para
estimar los valores la interpolación lineal. Sean dos puntos
(x
o
, y
o
), (x
1,
y
1
), la interpolación lineal consiste en hallar una
estimación del valor y, para un valor x tal que x
0
< x < x
1
.
Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa
por esos dos puntos es: , siendo m la
pendiente de la recta cuyo valor se calcula así:
Finalmente, la ecuación de interpolación es:
INTERPOLACIÓN LINEAL
( )
0 0
y y m x x= + -
1 0
1 0
y y
m
x x
-
=
-
( ) ( )
1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 1 0
. .
y y x x
y y x x y y y y
x x x x
æ ö- -
= + - Þ = + - ç ÷
- -
è ø