Teoría N°04 unmsm facultad de Ingeniería Industrial.pdf
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Sep 11, 2025
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About This Presentation
Calculo ciclo 1 facultad de Ingeniería Industrial
Slide Content
SEMESTRE ACADÉMICO 2024 -1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Semana 4
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2024-1
1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Semana 4
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2024-1
1
UNIDAD I SEMANA 4 SESIÓN 1
TEMA: FUNCIÓN INVERSA Y FUNCIONES TRASCENDENTES
COMPETENCIA
Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a analizar
cambios discontinuos o regularidades, entre valores o expresiones;
traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden incluir la regla de
formación de funciones que mejor se ajusten al comportamiento del
fenómeno observado.
CRITERIO/CAPACIDAD
El estudiante identifica la inversa de una función, establece su simetría;
calcula la función inversa.
TEMA: FUNCIÓN INVERSA Y FUNCIONES TRASCENDENTES
COMPETENCIA
Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a analizar
cambios discontinuos o regularidades, entre valores o expresiones;
traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden incluir la regla de
formación de funciones que mejor se ajusten al comportamiento del
fenómeno observado.
CRITERIO/CAPACIDAD
El estudiante identifica la inversa de una función, establece su simetría;
calcula la función inversa.
Contenido
01
02
03
Función inversa
Función exponencial y logarítmica
Funciones trigonométricas
01
02
03
Función inversa
Función exponencial y logarítmica
Funciones trigonométricas
Gráficamente podemos representar �y �
−1
de la manera siguiente:
Si �:�→�es una función inyectiva.
Entonces existe su inversa que también es una función denotada por �
−1
: �→�
Función Inversa
Observación
�
−1
� =� ⇔ � = �(�)
�
−1
Dom�
−1
=Ran(�)
Ran�
−1
=Dom(�)
−1
de la manera siguiente:
Si �:�→�es una función inyectiva.
Entonces existe su inversa que también es una función denotada por �
−1
: �→�
Función Inversa
Observación
�
−1
� =� ⇔ � = �(�)
�
−1
Dom�
−1
=Ran(�)
Ran�
−1
=Dom(�)
Ejemplo:
Halle la inversa y gráfica de la función
Solución:
Para hallar la inversa de la función,
debemos despejar la variable �:21yx=− 1
2
y
x
+
=
Por lo tanto()
1 1
2
y
fy
− +
= () 12−=xxf ()
1 1
2
x
fx
− +
= ()
1 1
2
x
fx
− +
=
La función �=2�−1,Dom�=ℝ,Ran�=ℝ es inyectiva.
Dom�
−1
=ℝ,Ran�
−1
=ℝ
Halle la inversa y gráfica de la función
Solución:
Para hallar la inversa de la función,
debemos despejar la variable �:21yx=− 1
2
y
x
+
=
Por lo tanto()
1 1
2
y
fy
− +
= () 12−=xxf ()
1 1
2
x
fx
− +
= ()
1 1
2
x
fx
− +
=
La función �=2�−1,Dom�=ℝ,Ran�=ℝ es inyectiva.
Dom�
−1
=ℝ,Ran�
−1
=ℝ
FUNCIONES TRASCENDENTES
DEFINICIÓN: Toda las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre
de funciones trascendentes o trascedentales.
Ejemplos:
1) Función logaritmo:
2) Función exponencial:
3) Función trigonométrica:
��=log
??????(�);??????>0,??????≠1
��=??????
�
;??????>0,??????≠1
��=sen�, ��=cos�, ��=tan�
��=cot�, ��=sec�, ��=csc(�)
DEFINICIÓN: Toda las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre
de funciones trascendentes o trascedentales.
Ejemplos:
1) Función logaritmo:
2) Función exponencial:
3) Función trigonométrica:
��=log
??????(�);??????>0,??????≠1
��=??????
�
;??????>0,??????≠1
��=sen�, ��=cos�, ��=tan�
��=cot�, ��=sec�, ��=csc(�)
FUNCION EXPONENCIAL
Sea ?????? un número real con ??????>0 �??????≠1.
La función exponencial de base ?????? es la función �: ℝ⇒ ℝ, con regla de
correspondencia dada por:
Ejemplos:
•�(�)=2
�
⟹ subase es 2.
•�(�)=3
�
⟹ subase es 3.
•�(�)=10
�
⟹ subase es 10.
•�(�)=
1
2
�
⟹ subase es
1
2
.
��=??????
�
, para todo � ??????ℝ.
Sea ?????? un número real con ??????>0 �??????≠1.
La función exponencial de base ?????? es la función �: ℝ⇒ ℝ, con regla de
correspondencia dada por:
Ejemplos:
•�(�)=2
�
⟹ subase es 2.
•�(�)=3
�
⟹ subase es 3.
•�(�)=10
�
⟹ subase es 10.
•�(�)=
1
2
�
⟹ subase es
1
2
.
��=??????
�
, para todo � ??????ℝ.
Casos particulares
x f (x)
–2 ¼
–1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
��=2
�
La gráfica es continua,
creciente y cóncava hacia
arriba. Pasa por el punto
(0; 1).
La curva se acerca al ��� ?????? pero no lo toca ni lo
corta. El ��� ?????????????????? ��??????�?????? �=0es una asíntota
horizontal.
Ejemplo
x f (x)
–2 ¼
–1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
��=2
�
La gráfica es continua,
creciente y cóncava hacia
arriba. Pasa por el punto
(0; 1).
La curva se acerca al ��� ?????? pero no lo toca ni lo
corta. El ��� ?????????????????? ��??????�?????? �=0es una asíntota
horizontal.
Ejemplo
x f (x)
–3 8
–2 4
–1 2
0 1
1 ½
2 ¼
Ejemplo
��=
1
2
�
La gráfica es continua,
decreciente y cóncava
hacia arriba. Pasa por el
punto (0; 1). También el
��� ?????? es asíntota
horizontal.
–3 8
–2 4
–1 2
0 1
1 ½
2 ¼
Ejemplo
��=
1
2
�
La gráfica es continua,
decreciente y cóncava
hacia arriba. Pasa por el
punto (0; 1). También el
��� ?????? es asíntota
horizontal.
Gráfica de la función exponencial
��=??????
�
, ??????>1 ��=??????
�
,0<??????<1
Función creciente.
Dominio: ℝ
Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X
Función decreciente.
Dominio: ℝ
Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X
��=??????
�
, ??????>1 ��=??????
�
,0<??????<1
Función creciente.
Dominio: ℝ
Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X
Función decreciente.
Dominio: ℝ
Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X
Propiedades
•Para a>0,??????≠1 y para todo � ??????ℝ, se cumple ??????
�
>0.
•Para a>0 � ??????≠1 se cumple ??????
�
= ??????
�
si y solo si �= �.
•Si 0<??????<1 se cumple � < � si y solo si ??????
�
> ??????
�
.
•Si a >1 se cumple � < � si y solo si ??????
�
< ??????
�
.
•Para a>0,??????≠1 y para todo � ??????ℝ, se cumple ??????
�
>0.
•Para a>0 � ??????≠1 se cumple ??????
�
= ??????
�
si y solo si �= �.
•Si 0<??????<1 se cumple � < � si y solo si ??????
�
> ??????
�
.
•Si a >1 se cumple � < � si y solo si ??????
�
< ??????
�
.
FUNCIÓN LOGARITMO
Sea ?????? un número real, con ??????>0�??????≠1 . Se denomina función logaritmo de
base ??????, a la función inversa de la función exponencial �(�)= ??????
�
dada por la regla
de correspondencia.
Donde su dominio y rango son
Dom(�
−1
)=(0, +∞), Ran(�
−1
)=ℝ
�=�
−1
�=log
??????(�) �� � ���� �� �= ??????
�
�=log
??????(�)⇔ ??????
�
=�
Notación logarítmica Notación exponencial
Sea ?????? un número real, con ??????>0�??????≠1 . Se denomina función logaritmo de
base ??????, a la función inversa de la función exponencial �(�)= ??????
�
dada por la regla
de correspondencia.
Donde su dominio y rango son
Dom(�
−1
)=(0, +∞), Ran(�
−1
)=ℝ
�=�
−1
�=log
??????(�) �� � ���� �� �= ??????
�
�=log
??????(�)⇔ ??????
�
=�
Notación logarítmica Notación exponencial
Caso particular
Ejemplo:
��=log
2(�)
x f (x)
¼ –2
½ –1
1 0
2 1
4 2
8 3
Seobservaqueahorala
asíntotaverticaleselejey
Lagráficaescreciente,
cóncavahaciaabajoy
pasapor(1;0)
Ejemplo:
��=log
2(�)
x f (x)
¼ –2
½ –1
1 0
2 1
4 2
8 3
Seobservaqueahorala
asíntotaverticaleselejey
Lagráficaescreciente,
cóncavahaciaabajoy
pasapor(1;0)
Gráfica de la función logaritmo
��=log
??????(�),??????>1
2
Función creciente
Dominio: 0; ∞ Rango: ℝ
Asíntota: Eje Y
??????
??????
??????
�=1
????????????????????????????????????
Función decreciente
Dominio: 0; ∞ Rango: ℝ
Asíntota: Eje Y
??????
??????
??????
??????
??????
�=1
??????
??????????????????????????????
��=log
??????(�),0<??????<1
��=log
??????(�),??????>1
2
Función creciente
Dominio: 0; ∞ Rango: ℝ
Asíntota: Eje Y
??????
??????
??????
�=1
????????????????????????????????????
Función decreciente
Dominio: 0; ∞ Rango: ℝ
Asíntota: Eje Y
??????
??????
??????
??????
??????
�=1
??????
??????????????????????????????
��=log
??????(�),0<??????<1
Propiedades.
•Si ??????>1 la funcion ��=log
??????(�) es creciente esto es
0<�
1<�
2 si y solo si log
??????(�
1) <log
??????(�
2).
•�� 0<??????<1 la funcion ��=log
??????(�) es decreciente, es decir,
0<�
1<�
2 si y solo si log
??????(�
1) >log
??????(�
2).
▪Cambio de base. Si ?????? >0,� ?????? ≠1, se cumple:
▪log
??????(�)=
log??????(�)
log??????(??????)
•Si ??????>1 la funcion ��=log
??????(�) es creciente esto es
0<�
1<�
2 si y solo si log
??????(�
1) <log
??????(�
2).
•�� 0<??????<1 la funcion ��=log
??????(�) es decreciente, es decir,
0<�
1<�
2 si y solo si log
??????(�
1) >log
??????(�
2).
▪Cambio de base. Si ?????? >0,� ?????? ≠1, se cumple:
▪log
??????(�)=
log??????(�)
log??????(??????)
Función exponencial y logarítmica −2−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y x
xf 2)(= xxg
2log)(= xy=
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son
simétricas respecto a la
recta y = x. Cada punto
(a; b) de la curva
exponencial tiene su
simétrico de la forma
(b; a) en la curva
logarítmica.
La función logaritmo
es la inversa de la
exponencial.
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y x
xf 2)(= xxg
2log)(= xy=
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son
simétricas respecto a la
recta y = x. Cada punto
(a; b) de la curva
exponencial tiene su
simétrico de la forma
(b; a) en la curva
logarítmica.
La función logaritmo
es la inversa de la
exponencial.
Funciones trigonométricas
f(x) = sen(x)
Ran(�)= [– 1; 1] Periodo = 2, sen(x+2??????)=sen(x)
para todo �??????ℝ.
Dom(�)= ℝ6
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
4
3 4
5 4
7 2
1 2
1
− 2
3 2
3
− 1 1− 2
2 2
2
−
x
sen
x2
2
− 2
2
− 2
2 2
2 2
1
− 2
1
− 2
1 2
1 2
3
− 2
3
− 2
3 2
3 0 1 0 0 1− 6
4
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
3 4
5 4
7 0
Función Seno:
f(x) = sen(x)
Ran(�)= [– 1; 1] Periodo = 2, sen(x+2??????)=sen(x)
para todo �??????ℝ.
Dom(�)= ℝ6
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
4
3 4
5 4
7 2
1 2
1
− 2
3 2
3
− 1 1− 2
2 2
2
−
x
sen
x2
2
− 2
2
− 2
2 2
2 2
1
− 2
1
− 2
1 2
1 2
3
− 2
3
− 2
3 2
3 0 1 0 0 1− 6
4
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
3 4
5 4
7 0
Función Seno:
Propiedades
•La función �(�) = ���(�) es impar pues verifica:
�(−�) = ��� (−�) = − ��� (�) = �(�) para todo � ??????ℝ
•La función �(�) = ���(�) es impar pues verifica:
�(−�) = ��� (−�) = − ��� (�) = �(�) para todo � ??????ℝ
f(x) = cos(x)
Función Coseno:
Ran(�)= [– 1; 1] Periodo = 2Dom(�)= ℝ2
3
4
6
2 3
11 4
7 3
5 3
2 4
3 6
5 6
7 4
5 3
4 2
1 2
1
− 2
3 2
3
− 1 1− 2
2 2
2
− 0 2
3
x
Cos x2
2
− 2
2
− 2
2 2
2 2
1
− 2
1
− 2
1 2
1 2
3
− 2
3
− 2
3 2
3 0 1 0 1 1− 6
4
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
3 4
5 4
7 0
Función Coseno:
Ran(�)= [– 1; 1] Periodo = 2Dom(�)= ℝ2
3
4
6
2 3
11 4
7 3
5 3
2 4
3 6
5 6
7 4
5 3
4 2
1 2
1
− 2
3 2
3
− 1 1− 2
2 2
2
− 0 2
3
x
Cos x2
2
− 2
2
− 2
2 2
2 2
1
− 2
1
− 2
1 2
1 2
3
− 2
3
− 2
3 2
3 0 1 0 1 1− 6
4
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
3 4
5 4
7 0
Propiedades
•La función �(�) = cos(�) es periódica de periodo �= 2??????, es decir
cos(�+2??????)=cos(�) para todo �??????ℝ.
•La función �(�) = cos(�) es periódica de periodo �= 2??????, es decir
cos(�+2??????)=cos(�) para todo �??????ℝ.
f(x) = tg(x)
Función Tangente:
Periodo = 3
3
− 1 1− 6
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
4
3 4
5 4
7 0 3
3 3− 3
x f(x) = Tan x
0 0
/4 1
/2No existe
3/4 –1
0
5/4 1
3/2No existe
7/4 –1
2 0
Ran(�)= ℝDom�=ℝ−2�+1
??????
2
,�∈ℤ
Función Tangente:
Periodo = 3
3
− 1 1− 6
3
2
3
2 6
5 6
7 3
4 2
3 3
5 3
11 2 4
4
3 4
5 4
7 0 3
3 3− 3
x f(x) = Tan x
0 0
/4 1
/2No existe
3/4 –1
0
5/4 1
3/2No existe
7/4 –1
2 0
Ran(�)= ℝDom�=ℝ−2�+1
??????
2
,�∈ℤ
Propiedades
•La función �(�) = tan(�) es una función impar pues
Para toda � e ���(�):
�(−�) = tan(−�) =
??????????????????(−�)
cos(−�)
= −
?????????????????? �
cos�
= − tan(�) = −�(�) para
todo � perteneciendo al dominio.
Asíntotas verticales:
Las asíntotas verticales de la función �(�) = tan(�)=
?????????????????? �
cos�
Se obtienen a partir de los valores de � que hacen cero el denominador
Es decir, cos(�) =0 si y solo si �=2�+1
??????
2
,�??????ℤ .
Por tanto, las asíntotas verticales son: �=2�+1
??????
2
,�??????ℤ .
•La función �(�) = tan(�) es una función impar pues
Para toda � e ���(�):
�(−�) = tan(−�) =
??????????????????(−�)
cos(−�)
= −
?????????????????? �
cos�
= − tan(�) = −�(�) para
todo � perteneciendo al dominio.
Asíntotas verticales:
Las asíntotas verticales de la función �(�) = tan(�)=
?????????????????? �
cos�
Se obtienen a partir de los valores de � que hacen cero el denominador
Es decir, cos(�) =0 si y solo si �=2�+1
??????
2
,�??????ℤ .
Por tanto, las asíntotas verticales son: �=2�+1
??????
2
,�??????ℤ .
•Las otras funciones trigonométricas son las inversas multiplicativas de
las anteriores, y tenemos :
Función Cosecante: Función Secante: Función Cotangente:
las anteriores, y tenemos :
Función Cosecante: Función Secante: Función Cotangente:
Funciones trigonométricas inversas
Función Arco seno:
��=arcsen�
La función arco seno es la inversa de la
función seno restringida en el intervalo
[−
??????
2
,
??????
2
]
Con regla de correspondencia
� = �
−1
�=��??????���� ��� ���� �� �=����
���(�
−1
�)=[−1,1]
�??????�(�
−1
�)=[−
??????
2
,
??????
2
]
Función Arco seno:
��=arcsen�
La función arco seno es la inversa de la
función seno restringida en el intervalo
[−
??????
2
,
??????
2
]
Con regla de correspondencia
� = �
−1
�=��??????���� ��� ���� �� �=����
���(�
−1
�)=[−1,1]
�??????�(�
−1
�)=[−
??????
2
,
??????
2
]
Función Arco coseno:
��=arc??????���
La función arco coseno es la inversa de la
función coseno restringida en el intervalo
[0,??????]
�??????��=[0,??????]
����=[−1,1]
��=arc??????���
La función arco coseno es la inversa de la
función coseno restringida en el intervalo
[0,??????]
�??????��=[0,??????]
����=[−1,1]
��=Arc�??????��
La función arco tangente es la inversa de
la función tangente restringida en el
intervalo −
??????
2
,
??????
2
� = �
−1
�=��??????�??????�� ��� ���� �� �=�??????��
����
−1
�= ℝ
,�??????���(�
−1
�) = ( −
??????
2
,
??????
2
)
La función arco tangente es la inversa de
la función tangente restringida en el
intervalo −
??????
2
,
??????
2
� = �
−1
�=��??????�??????�� ��� ���� �� �=�??????��
����
−1
�= ℝ
,�??????���(�
−1
�) = ( −
??????
2
,
??????
2
)
INVERSA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
Sean las funciones �:�→�y�:�→�
La inversa de la función compuesta de �con �es la función denotado por
(���)
−1
:�→�y definida como: (���)
−1
�=(�
−1
o�
−1
)(�)
con Ran(�)∩ Dom(�) ≠∅
Dom(���)
−1
={�??????� / �ϵDom�
−1
ٿ�
−1
(�)ϵDom(�
−1
)}
Donde
� �
A
B C
�
−1
�
−1
(���)
−1
���
Sean las funciones �:�→�y�:�→�
La inversa de la función compuesta de �con �es la función denotado por
(���)
−1
:�→�y definida como: (���)
−1
�=(�
−1
o�
−1
)(�)
con Ran(�)∩ Dom(�) ≠∅
Dom(���)
−1
={�??????� / �ϵDom�
−1
ٿ�
−1
(�)ϵDom(�
−1
)}
Donde
� �
A
B C
�
−1
�
−1
(���)
−1
���
Considere las siguientes funciones reales definidas por
��=5−3� � ��=�
2
+1
Halle (�
°�)
−1
Solución:
Ejemplo:
hacemos �=5−3� → �=
5−�
3
→ �
−1
(�)=
5−�
3
•Hallemos la inversa de ��=5−3�, donde ����=ℝ=�??????��(�)
����
−1
=ℝ=�??????��(�)
•Análogamente ��=�
2
+1, para que sea inyectiva
����=[0; ۧ+∞ � �??????���=[1; ۧ+∞
hacemos �=�
2
+1 →�=�
2
−1→ �
−1
(�)=�
2
−1
����
−1
=[1; ۧ+∞= �??????���
��=5−3� � ��=�
2
+1
Halle (�
°�)
−1
Solución:
Ejemplo:
hacemos �=5−3� → �=
5−�
3
→ �
−1
(�)=
5−�
3
•Hallemos la inversa de ��=5−3�, donde ����=ℝ=�??????��(�)
����
−1
=ℝ=�??????��(�)
•Análogamente ��=�
2
+1, para que sea inyectiva
����=[0; ۧ+∞ � �??????���=[1; ۧ+∞
hacemos �=�
2
+1 →�=�
2
−1→ �
−1
(�)=�
2
−1
����
−1
=[1; ۧ+∞= �??????���
•(���)
−1
(�)=(�
−1
��
−1
)(�)
=�
−1
(�
2
−1)=
5−�
2
−1
3
•Dom(���)
−1
={�??????� / �ϵDom�
−1
ٿ�
−1
(�)ϵDom(�
−1
)}
�??????[1,+∞>ٿ�
2
−1??????ℝ
�
2
−1≥0
�≥1∨�≤−1
=[1,+∞>
=�
−1
((�
−1
)(�)
−1
(�)=(�
−1
��
−1
)(�)
=�
−1
(�
2
−1)=
5−�
2
−1
3
•Dom(���)
−1
={�??????� / �ϵDom�
−1
ٿ�
−1
(�)ϵDom(�
−1
)}
�??????[1,+∞>ٿ�
2
−1??????ℝ
�
2
−1≥0
�≥1∨�≤−1
=[1,+∞>
=�
−1
((�
−1
)(�)
Gracias!
Equipo de los Docentes de Cálculo 1
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