Teorema de Bhaskara

Teorema de Bhaskara na 8º série do Ensino Fundamental

1. Teorema de Bhaskara na 8
o
serie do Ensino Fundamental
Eduardo Mauricio
17 de maio de 2011
1

2. Passei pela UNICAMP
Um dia destes eu estava caminhando pelo ciclo basico da Universidade quando me deparei
com dois amigos. Trocamos ideias sobre como estava sendo as nossas vidas e um deles me
perguntou se eu sabia como era resolvido a Equac~ao de 2
o
para os alunos da 8
o
serie!!! Para
ser sincero eu havia acabado de sair do Instito de Matematica, Estatstica e Computac~ao
Cientca(IMECC) e havia visto a aula (um pouco complicada) conhecida como \Teoria
Aritmetica dos Numeros" lecionada pela Professora Dessislava H. Kochloukova e no embalo
n~ao demorei para responder o trivial..."Teorema de Bhaskara\!!!!
Ele sorriu e me lembrou que os alunos de 8
o
serie acabaram de ver assuntos sobre produtos
notaveis(express~ao algebrica do tipo (a+b)
2
) fatorac~ao, entre outros assuntos...
Eu conrmei a sua palavra e lembrei da possibilidade de reduzir a equac~ao de 2
o
grau
para a forma de um produto notavel e depois desenvolver a express~ao algebrica.
Pensei no seguinte exemplo teorico:
a:x
2
+ b.x + c = 0 onde a,b,c2Ne x2R
Dividindo ambos os lados por a obtemos:
a
a
:x
2
+
b
a
:x+
c
a
=
0
a
x
2
+
b
a
:x+
c
a
= 0
Subtraindo
c
a
em ambos os lados da igualdade:
x
2
+
b
a
:x+
c
a

c
a
= 0
c
a
x
2
+
b
a
:x=
c
a
Somando
b
2
4:a
2em ambos os lados da igualdade:
x
2
+
b
a
:x+
b
2
4:a
2
=
b
2
4:a
2

c
a
(x+
b
2:a
)
2
=
b
2
4:a:c
4:a
2
Note que o lado direito da equac~ao esta com uma cara conhecida muito similar ao
"Teorema de Bhaskara" para melhorar a visualizac~ao vamos fazer a seguinte modicac~ao:
=b
2
4:a:c, logo:
(x+
b
2:a
)
2
=

4:a
2
Lembrando que:
A norma euclidiana ou norma-2 e dada por:
kxk
2
=
n
X
i=1
jxij
2
2

3. Para o caso de n = 1 temos:
kxk
2
=
1
X
i=1
jxij
2
=jx1j
2
= (x1)
2
Ou seja,
kxk
2
=jx1j
2
= (x1)
2
(Express~ao I)
Como resolver a Express~ao I quandox12R????(Equac~ao de 2
o
logo contem duas raizes)
Sabemos que (x1)
2
=x1:x1=K)x1= (K)
1
2; paraK2R
Pela Express~ao I temos:jx1j
2
= (x1)
2
Logo:jx1j
2
= (x1)
2
=K
Pela denic~ao de modulo:
jxj=

xsex >0
xsex0
Logo:
jx1j
2
=

x1
2
sex1>0
(x1)
2
sex10
ou seja,jx1j
2
=K,
K=jx1j
2
=

x1
2
=Ksex1>0
(x1)
2
=Ksex10
Podemos concluir:

se x1>0)x1
2
=K)x1= (K)
1
2
se x10)(x1)
2
=K) x1= (K)
1
2)x1=(K)
1
2
Agora podemos voltar ao nosso problema:
(x+
b
2:a
)
2
=

4:a
2
x+
b
2:a
=
()
1
2
2:a
Subtraindo
b
2:a
em ambos os lados da igualdade:
x+
b
2:a

b
2:a
=
b
2:a
+
()
1
2
2:a
x=
b()
1
2
2:a
Muito interessante essa soluc~ao depois disto pensei que os jovens da 8
o
serie poderiam
enriquecer mais cultura matematica!!!!
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