Teorema de Castigliano

Teoremas de Energía (Teorema de Castigliano) - Cálculo de Deformaciones en Sistemas no Hipostáticos

1. Teoremas de Energía
(Teorema de Castigliano)
Cálculo de Deformaciones en
Sistemas no Hipostáticos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Consideremos una estructura, no
hipostática(mecanismo sin movimientos)
Introducción
Consideremos un sistema de cargas actuando sobre la misma para los cuales, las tensiones
y deformaciones estén dentro del régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos con P
1.....
P
j..... P
n
(sistema de fuerzas externas y reacciones de vínculo en equilibrio).
Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los
puntos de aplicación de las mismas se desplazan.
Por ejemplo el punto,2 pasa a ocupar la posición 2',
por lo que cada fuerza realizará un trabajo elástico de
valor:PT
e
2
1
Siendo δla proyección del desplazamiento Δsobre la
recta de acción de la fuerza.

3. El trabajo total, debido a todas las
fuerzas vale:
Introducción


n
j
jje
PT
12
1
1 
energía elástica acumulada
por el sistema
Si la fuerza P
j, varía en dP
j, el trabajo valdrá:j
j
e
e
dP
P
T
T 



variación del trabajo total
cuando P
jvaría en la unidad
Consideramos ahora que primero se aplique
dP
jy luego el sistemaP
1a P
n. El trabajo total,
en este caso resulta:
ejjjj TdPddP  
2
1
2
trabajo elástico de dP
jal aplicar dicha fuerza creciendo
desde cero a su valor final
trabajo físico de dP
jdebido al desplazamiento
del sistema P
1a P
nal crecer desde cero a sus
valores finales
trabajo elástico del sistema P
1a P
n

4. Como los estados finales, de los casos
(1)y (2)son iguales, debe cumplirse:
Introducción



ejjjjj
j
e
e
TdPddPdP
P
T
T 
2
1 


jjj
j
e
dPdP
P
T
 j
e
j
P
T



Se desprecia por ser un diferencial
de orden superior
Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P
1a P
nse acumula como energía
interna elástica, podemos escribir:j
i
j
e
j
P
T
P
T






"En todo sistema elástico, sometido a un
sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del
trabajo interno para un incremento unitario de
la fuerza aplicada en un punto cualquiera del
mismo, representa el desplazamiento del punto
proyectado en la dirección de la fuerza, siempre
que el sistema se encuentre en el régimen
elástico."

5. Desarrollemos la expresión del
trabajo interno T
i:
Introducción
Dado que los esfuerzos internosestán representados por tensionesy las deformaciones
por deformaciones específicas, el trabajo interno por unidad de volumen estará expresado
de la siguiente manera: 
2
1
2
1
*
iT
y por la Ley de Hooke resulta:GE
T
i
22
*
2
1
2
1 

Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el
volumen:dxdA
G
dxdA
E
dVTT
V
ii  
22
*
2
1
2
1 

6. Pero:
Introducción
Las tensiones normales son producidas por
momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las
tensiones tangenciales por los esfuerzos de
corte (Q):A
Q
bJ
SQ
x



 
0 y
J
M
A
N

y reemplazando:
 dxdA
A
Q
G
dxdAy
J
M
E
dxdAy
J
M
A
N
E
dxdA
A
N
E
T
i 2
2
22
2
2
2
2
2
1
2
11
2
1
 

A
dA
A


2 

A
AdA 

A
dAy 0 

A
JdAy
2
donde:
(área) (momento estático
de toda la sección)
(momento de inercia
de toda la sección)
(coeficiente de forma
con: )
por lo tanto:
 dx
GA
Q
dx
EJ
M
dx
EA
N
T
i
222
2
1
2
1
2
1
 0
bJ
AS
x




7. Apliquemos el Teorema de
Castigliano:
Introducciónj
i
j
e
j
P
T
P
T





 GA
dx
P
Q
Q
EJ
dx
P
M
M
EA
dx
P
N
N
P
T
jjjj
i
j 












 
Por lo tanto, resulta:
En adelante y por razones de simplicidad en las expresiones tomaremos solo el trabajo
del término debido a los momentos flexores M. Esto equivaler a despreciar los trabajos
y por lo tanto las deformaciones debidas a Ny Qlo cual es bastante común y aceptable
para sistemas de alma llena sometidos a flexión.EJ
dx
P
M
M
P
T
jj
i
j 








8. Concluimos que, el Teorema
de Castigliano:
Introducción
Nos sirve para el cálculo de deflexiones ypendientes en vigas estáticamente
determinadas e indeterminadas.
Nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.
Está diseñado para aplicarlo en vigas que están solicitadas por más de una carga puntual
en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular
las deflexiones y los ángulos de giro.
También se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es
considerada como una carga numérica sino como una variable.
Este teorema tiene también un parecido al método del trabajo virtual.

9. Veamos el siguiente
problema:
Sea una viga en voladizo, empotrada en Ay con un momento aplicado enel extremo
libreB. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C(punto medio de AB).
Datos:longitud de la viga (L) y momento flexor aplicado (M)
Problema de Aplicación (1)

10. Definamos una
fuerza
infinitesimal F…
Problema de Aplicación (1)
… aplicada en C, en la dirección en que se
quiere calcular el desplazamiento…
… y grafiquemos los diagramas de momentos
flexores del par aplicado (M) y de la fuerza
infinitesimal (F):

11. Aplicando el
Teorema de
Castigliano
resulta:
Problema de Aplicación (1)







L
x
x
i
C dx
F
M
M
EJF
T
0
1
 



























2
;0
0;
2
;
2
2
0
2
2
0
L
x
dF
dM
dF
dM
F
L
xFMMMM
L
L
x
L
x
L
Lx
L
x
en donde: 



















  
L
L
L
L
L
L
L
C
dx
L
MdxxM
EJ
dx
L
xMdxM
EJ 2 22
2
0 2
1
2
0
1
  




























48
31
2242
1
2
2
2
2 L
MML
EJ
LL
M
L
L
M
EJ
C EJ
ML
C
8
2

y reemplazando:

12. Veamos el siguiente
problema:
Sea una viga en voladizo, empotrada en Ay con una carga aplicada en el extremo libre B.
Nos planteamos calcular el giro de la sección C(punto medio de AB).
Datos:longitud de la viga (L) y carga aplicada (P)
Problema de Aplicación (2)

13. Definamos un
momento
infinitesimal m…
Problema de Aplicación (2)
… aplicado en C, en la sentido en que se
quiere calcular el giro…
… y grafiquemos los diagramas de momentos
flexores del par aplicado (M) y del momento
infinitesimal (m):

14. Aplicando el
Teorema de
Castigliano
resulta:
Problema de Aplicación (2)







L
x
x
i
C dx
F
M
M
EJF
T
0
1

en donde:
y reemplazando: 









1;0
0;;
2
2
0
2
2
0
L
L
x
L
x
L
Lx
L
x
dm
dM
dm
dM
mxPmMxPM    















 
42
11
10
1
2
2
2
2
0
L
LP
EJ
dxxPdxxP
EJ
L
L
L
C
 EJ
PL
C
8
3
2


15. Bibliografía
EstabilidadII-E.Fliess
Introducciónalaestáticayresistenciademateriales-C.Raffo
Mecánicademateriales-F.Beeryotros
Resistenciademateriales-R.Abril/C.Benítez
Resistenciademateriales-LuisDelgadoLallemad/JoséM.QuintanaSantana
Resistenciademateriales-V.Feodosiev
Resistenciademateriales-A.Pytel/F.Singer
Resistenciademateriales-S.Timoshenko

16. Muchas Gracias