Teorema de laplace

teorema de laplace

1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio de Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Sede Barcelona Profesor: Pedro Beltrán Alumnos Jesús Caraballo María Aponte Yorgelis Méndez Teorema de Laplace

2. Introducción Pierre- Simon Laplace fue un astrónomo, físico, matemático y matemático francés, continuador de la mecánica newtoniana, descubrió y desarrolló la transformada de Laplace y la ecuación de Laplace; como estadístico, sentó las bases de la teoría analítica de la probabilidad y como astrónomo planteo la teoría nebular sobre l a formación del sistema solar. Compartió la doctrina filosófica del determinismo científico. Pierre- Simon Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Normandía, Francia y murió a los 77 años el 5 de marzo de 1827 en Paris Francia y se encuentra sepultado en el cementerio de Montparnasse.

3. Desarrollo -Transformada de Laplace: Es un tipo de trasformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La Transformada de Laplace de una función F(t) definida para todos los números positivos, es la función: -Siempre y cuando la integral este definida. Cuando F(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es:

4. Ejemplos de la Transformada de Laplace

5. Ejemplos de la Transformada de Laplace

6. Propiedades de la Transformada de Laplace 1-)Propiedad Lineal: La Transformación de Laplace es lineal, dadas dos funciones f , g se verifica: 2 -)Propiedad de cambio de escala: Sea f(t) perteneciente a E. La función g(t) también pertenece a E y se verifica:

7. Propiedades de la Transformada de Laplace 3 -)Propiedad de desplazamiento en frecuencia: Sea F(t) perteneciente a E. La función g(t) también pertenece a E y se verifica: 4-)Propiedad de desplazamiento en el tiempo: Sea f(t) perteneciente a E. La función g(t)= F(t-T)u(t-T) también pertenece a E y se verifica:

8. Propiedades de la Transformada de Laplace -Derivada primera de una función: Sea F(t) una función continua de orden, cuya derivada primera F´(t) sea continua a trozos de orden exponencial. La transformada de Laplace de la primera derivada de f se verifica: -Primitiva de una función: Sea F(t) perteneciente a E. Su primitiva g(t) es continua y de orden exponencial, su transformada de Laplace viene dada por:

9. Ejemplos de las propiedades de la transformada de Laplace

10. Ejemplos de las propiedades de la transformada de Laplace

11. Ejemplos de las propiedades de la transformada de Laplace

12. Transformada inversa de Laplace -La transformada inversa de Laplace de una función es una F(t) que cumple con la propiedad L{f(t)}=F(s), donde L es la transformada de Laplace. La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un numero de características que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales. -Características: -Es un método operacional que puede resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. -Sirve para reemplazar operaciones como derivadas e integrales, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. -Las funciones senoidales y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

13. Ejemplos de transformada inversa de Laplace

14. Ejemplos de transformada inversa de Laplace

15. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace 1-)Propiedad Lineal: Distribuye sobre las sumas y restas y sacan constantes que multiplican: 2 -)Propiedad de trasladación: La transformada de Laplace se convierte en un factor exponencial en una translación en la variable S

16. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace 3 -)Teorema de la transformada de la derivada: La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable S 4-)Teorema de la transformada de la integral

17. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace 4-)Teorema de la derivada de la transformada 4-)Teorema de la integral de la transformada

18. Ejemplos de las propiedades de la Transformada Inversa de Laplace

19. Ejemplos de las propiedades de la Transformada Inversa de Laplace

20. Ecuaciones diferenciales ordinarias por transformación de Laplace -La aplicación de la transformación de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes radica en reducirlas en ecuaciones algebraicas lineales. -Cabe resaltar que algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no homogénea una función que no es continua, por lo que estos problemas es mas sencillo cuando se utiliza la transformada de Laplace. -Se resuelven con facilidad las ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales.

21. Serie de Fourier -Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos. -Las series de Fourier constituyen una herramienta matemática básica para el análisis de Fourier, empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función de una suma infinita de funciones sinoidales mucho mas simples. -Las series de Fourier tienen la siguiente forma:

22. Ejemplo de la serie de Fourier

23. Condición de existencia -Condiciones suficientes para desarrollar una función en serie de Fourier: 1-)Sea continua en un intervalo de amplitud igual a un periodo, salvo en un numero finito de puntos de discontinuidad de salto finito. 2-)Tener un numero finito de máximos y mínimos en este intervalo. -Si cumple estas condiciones la serie de Fourier es convergente y tiene por suma el valor de la función f(x ) .

24. Periocidad de funciones -Las series de Fourier surgen de la tarea practica de representar una función periódica f(t) dada en términos de funciones seno y coseno. -Estas series son trigonométricas cuyos coeficientes se determinan a partir de f(t) mediante ciertas formulas (formula de Euler), las cuales se establecen primero.

25. Serie de Fourier para periodos diferentes de 2 -Muchas aplicaciones de las series trigonométricas de Fourier en la ciencia y la técnica requieren determinar el desarrollo de una función periódica con periodo T>0, siendo T distinto de 2. -El desarrollo de la serie de Fourier de una función periódica con periodo T>0 y distinto de 2 se expresa de la siguiente forma:

26. Serie de coseno Fourier -Si f es una función definida en el intervalo 0 , p y se busca obtener un desarrollo en serie de Fourier de solo cosenos que la represente, se debe hacer una extensión par de la función al intervalo simétrico y realizar el desarrollo de esta nueva función en el intervalo –p , p . -Entonces si desarrollamos la función g(x) definida en el intervalo ´-p , p en una serie de Fourier, como es una función par, resultara en una de solo cosenos.

27. Serie de seno Fourier -Si f es una función definida en el intervalo 0 , p y se busca obtener un desarrollo en serie de Fourier de solo senos que la represente, se debe hacer una extensión impar de la función al intervalo simétrico y realizar el desarrollo de esta nueva función en el intervalo –p , p . -Entonces si desarrollamos la función g(x) definida en el intervalo ´-p , p en una serie de Fourier, como es una función impar, resultara en una de solo senos.

28. Transformada de Fourier -Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. -La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función F con otra función G definida de la siguiente manera:

29. Ejemplos de la transformada de Fourier

30. Ejemplos de la transformada de Fourier

31. Condición de existencia -Estas son las condiciones para que exista la transformada de Fourier: 1-)Es absolutamente integrable. 2-)Es continua por intervalos a , b finitos.

32. Propiedades de la transformada de Fourier -Cambio de escala -Transformada de la derivada -Trasladación -Trasladación de la variable transformada -Derivada de la transformada

33. Interpretación de la transformada de Fourier -La transformada de Fourier se puede interpretar como un espectro de frecuencias de una función. -Un ejemplo de esto puede ser el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente escucha ). -La transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal.

34. Conclusión -El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso convierte funciones habituales trascendentes en funciones algebraicas, con este método la transformada de Laplace es una vía para la solución de ecuaciones diferenciales lineales que constituyen los modelos matemáticos mas frecuentes en la representación matemática de problema de circuitos. -Por otra parte, la transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal.

35. Bibliografía -Murray R: Transformada de Laplace (2014) Mc Graw Hill / Interamericana de México, México D.F. ISBN 978-0-8176-4393-5 -Bergasa J: Laplace: el matemático de los cielos (2003). Nivola. ISBN 84-95599-63-5. -Braun, M: Ecuaciones diferenciales y su aplicación (1993). Springer-Verlaf , Berlin. ISBN 978-0-8218-8328-0 -Zafrany S: Series de Fourier y transformación de integrales (1997). Cambridge University Press. ISBN 1-58488-299-9