Teorema de pick

2. ORGANIZAÇÃO
Ludovina Morais de Oliveira

3. O Stomachion

4. Ainvençãodeumdosmais
antigos quebra-cabeças
geométricoqueseconheceé
atribuídaaArquimedes,sábio
gregoqueviveuemSiracusa,
Sicília,noséc.IIIa.C.
OStomachionéconstituídopor
umconjuntode14peçasplanas
(originalmenteemmarfim)de
váriasformaspoligonaiscom
duas características
fundamentais:

5. •podem unir-se de modo a formar um
quadrado;
•a área de cada peça é comensurável com
a área do quadrado anterior.
O que significa comensurável?Significa
que o quociente entre a área de cada peça
e a área do quadrado total é um número
racional.

6. Teorema de Pick
Georg Alexander Pick (1859-1942)

7. Esteteoremafoidescobertopela
primeiravezpelomatemáticoGeorg
AlexanderPickem1899;
OteoremadePicksóéválidopara
figurassimples,istoéparafigurasem
queosladosnãoseintersectemanão
ser,eventualmente,nosvértices.O
teoremaéusado,porexemplo,na
indústriaflorestal,paradeterminaraárea
deumaregiãoemfunçãodonúmerode
árvores(regularmenteespaçadas).

8. Ocálculodeáreasde
polígonosnemsempreé
umatarefafácil,pela
variedadedeformasque
podemassumir.Nãoé
fácil,porexemplo,calcular
aáreadopolígono
apresentadoaseguir:

10. Muitasvezesrecorremosaprocessosde
dissecçãodopolígonooudesubtraçãode
áreas.Todosestesprocessosenvolvema
áreacomoumconceitobidimensional.O
novométodoqueapresentamospermiteo
cálculodaáreapelasimplescontagemde
pontos.
Estepolígonoédefatocomplicado!No
entanto,temaparticularidadedeterosseus
vérticessobreumreticuladodepontosno
plano,constituídoporpontosdecoordenadas
inteiras.

11. Introduzindo o
Teorema de Pick

12. Usandooquadradocomo
unidadedemedida,encontrea
áreadasfigurasdaatividade1:
1

13. Calcule a área das figuras,

14. 16 quadrados
16 : 2 A= 8
5 quadrados
A= 5
1 quadrado
A=1
5 quadrados
inteiros e ...
A= ?

15. A(P) = f + i -1
Teorema de Pick
DadoumpolígonosimplesP,sejamfo
númerodepontosdefronteira,ionúmero
depontosinteriores.
EntãoaáreaA(P)dessepolígonoédada
pelaexpressãoseguinte2
1

16. Calculeaáreadoexercício
utilizandooTeoremadePicK
A=f/2+i–1
f= 12 i =3
A= 6 + 2
A=8
f= 10 i =1
A= 5+ 0 A=5
f= 4 i =0
A= 2 -1
A=1
f= 12 i =3
A= 6 +2 A=8

17. Atividade 2
F= 13 i = 1
A= 6,5 + 0
A= 6,5
F= 13 i = 3
A= 6,5 + 2
A= 8,5
F= 16 i = 8
A= 8 + 7
A= 15
A
1= 6,5 A
2= 8,5 A
3=15

18. Atividade 3
F= 44 i =72 A= 22 + 71 A= 93

19. DESAFIO

21. f=125 i =212
A= 62,5 + 211 = 273,5
A= 125/2 + 212 -1

22. Fontes de pesquisa:
http://matemateca.incubadora.fapesp.br/p
ortal/matemateca/exposicao/pick/
http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/matelem/st
omachion.html