Teorema del binomio

1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Teorema del binomio  Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
1
 
MATEMÁTICAS BÁSICAS

TEOREMA DEL BINOMIO


CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un
binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ()
n
ba+ posee singular importancia ya que
aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del
conocimiento.


FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO

Sea un binomio de la forma ()ba+.

Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:

() baba +=+
1

()()()
22
2
2
2bababababa
veces
++=++=+
FFaFFcu
()()()()
3223
3
3
33 babbaababababa
veces
+++=+++=+
FFF aFFF cu
()()()
432234
4
4
464 babbabaabababa
veces
++++=+×××+=+
FF aFF cu
()()()
54322345
5
5
510105 babbababaabababa
veces
+++++=+×××+=+
FF aFF cu
()()()
6542332456
6
6
61520156 babbabababaabababa
veces
++++++=+×××+=+
FF aFF cu

De lo anterior, se aprecia que:

a) El desarrollo de
n
ba)(+ tiene 1
+n términos
b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término,
hasta cero en el último
c) Las potencias de
b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno
con cada término, hasta
n en el último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n.
e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n.
f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el
exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término.
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

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2
 
Ejemplo.
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
15
5
4
210
4
3
310
32
2
45
23
1
51
45
1
5
510105
­­­­­­
+++++=+ babbababaaba
es

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

( )
( ) ( )( )
()()
( )( )( )
4433221
4321
32)1(
321
)2)(1(
21
)1(
1
ba
nnnn
ba
nnn
ba
nn
ba
n
aba
nnnnnn----
---
+
--
+
-
++=+

()()()()
( )( )( )( )
nn
bba
nnnnn+×××+ ----
+
-55
54321
4321


Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

( )
()()
4433221
!4
32)1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
!1
ba
nnnn
ba
nnn
ba
nn
ba
n
aba
nnnnnn---- ---
+
--
+
-
++=+

()()()()
nn
bba
nnnnn
+×××+
----
+
-55
!5
4321


Ejemplo.
Obtener el desarrollo de
4
)52(yx-


Solución.
Haciendo
  xa2
= y yb5-=
Aplicando la fórmula se tiene:
( ) ( )
( ) ( )
()
( ) ( )
()()
( )( ) ( )
4322344
552
!3
234
52
!2
34
52
!1
4
252 yyxyxyxxyx -+-+-+-+=-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
4322344
552
6
24
52
2
12
52
1
4
252 yyxyxyxxyx -+-+-+-+=-
( )
4322344
62510006001601652yxyyxyxxyx +-+-=-


EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL

En el desarrollo binomial:

( )
nnnnnnnn
bba
n
ba
nn
ba
nnn
ba
nn
ba
n
aba ++
-
+×××+
--
+
-
++=+
----- 112233221
!1!2
)1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
!1


si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino, entonces se encuentra que:

· El exponente del término b del binomio es:
1-r
· El exponente del término a del binomio es: () 11 +-=-- rnrn
· El denominador del coeficiente es: ()!1-r
· El numerador del coeficiente es: ()()( )221 +-×××-- rnnnn

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3
 
En consecuencia el r-ésimo termino de la expansión de ()
n
ba+ es:

()()( )
( )
11
!1
221-+-
-
+-×××-- r
b
rn
a
r
rnnnn


Ejemplo.
Encontrar el quinto término del desarrollo
6
)5(yx+

Solución.
5,6,5,
==== rn ybxa, aplicando la expresión:
()()()
( ) ( )
424242
375,9625155
!4
3456
yxyxyx ==



TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVÉS DE COMBINACI ONES

El desarrollo de la expresión ()
n
ba+ también se puede obtener aplicado la teoría del análisis combinatorio.

Si se multiplica el binomio por si mismo de forma reiterada se obtiene:

()()()
222
2bababbbaabaabababa ++=+++=++=+
()( )() bbbbbababbaaabbabaaabaaababbbaabaaba +++++++=++++=+
3


3223
33 bbbaa+++= ()( )() aabbaabaaaabaaaababbbbbababbaaabbabaaabaaaba +++=++++++++=+
4


bbbbbbbabbabbbaababbbababaabbaaaabbbabbaabababaa
++++++++++++

432234
464 babbabaa ++++=

Puede observarse que el número de términos o sumandos de
()
3
ba+ es ocho y es el doble que el de
()
2
ba+, ya que los términos se obtienen añadiendo al final de los cuatro una a o una b. Por su parte,
el número de términos de ()
4
ba+ es 16, ya que se añade al final de cada uno de los ocho términos de
()
3
ba+ una a o una b.

De forma similar, para obtener ()
5
ba+, se procedería de la misma manera, partiendo de ()
4
ba+ y se
obtendrían 32 términos.

Por ejemplo, los términos del desarrollo ()
4
ba+ pueden obtenerse a través de un diagrama de árbol:

a
b
aa
ab
ba
bb
aaa
aab
aba
abb
baa
bab
bba
bbb
aaaa
aaab
aaba
aabb
abaa
abab
abba
abbb
baaa
baab
bbaa
bbab
baba
babb
bbba
bbbb
((((aaaa++++bbbb))))
2222
((((aaaa++++bbbb))))
3333
((((aaaa++++bbbb))))
4444
((((aaaa++++bbbb))))

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4
 
Si se suman los términos de cada columna, se obtienen respectivamente los desarrollos para ()
2
ba+,
()
3
ba+ y ()
4
ba+. Cada término se obtiene de la columna anterior añadiendo al final la letra a o la
letra
b.

Como las letras que aparecen están multiplicando entre sí, la secuencia
abaa (por ejemplo) no es otra
cosa que
ba
3
, y por tanto, es igual a las secuencias
baaa, aaba y aaab.

Lo que se tiene que encontrar es ¿cuántas veces aparece
4
a, cuántas ba
3
, cuántas
22
ba, cuántas
3
ab, y cuántas
4
b? A fin de determinar esto, se aplicará el concepto de combinaciones antes
expuesto.

Como se definieron, las combinaciones de
p elementos tomados de q en q, son las posibles
formas de hacer arreglos de q elementos, escogiéndolos de un conjunto de p elementos, con
pq<, de modo que dos de esos arreglos son distintos sólo si tienen algún elemento diferente (es
decir, si tienen los mismos q elementos, aunque estén colocados en diferente orden, se considera el
mismo grupo).

Por ejemplo, para calcular








2
4
, se deben formar grupos de dos elementos, escogiéndolos de entre
cuatro elementos dados. Suponiendo que los elementos están numerados del 1 al 4. Entonces los grupos
de dos elementos serán: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}.

Regresando al desarrollo de
()
4
ba+, los términos con dos b pueden tenerlas situadas en los lugares 1º
y 2º, 1º y 3º, 1º y 4º, 2º y 3º, 2º y 4º, y 3º y 4º (no hay distinción entre el caso 1º y 2º y el caso 2º y 1º). Por
tanto el término con dos
b del desarrollo de
()
4
ba+, es decir, el término
22
ba, aparece un número de
veces igual al número
6
2
4
4
2
=








=C . De igual modo, los términos de
()
4
ba+ con una b aparecen un
número de veces igual a
4
1
4
4
1
=








=C . Siguiendo el mismo razonamiento se tiene que:

( )
40312213044
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
babababababa








+








+








+








+








=+

De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una generalización del desarrollo del binomio:

( )
nnnnnnn
b
n
n
ba
n
ba
n
ba
n
ba
n
a
n
ba







+×××+








+








+








+








+








=+
---- 44332211
43210


que en forma condensada se puede escribir como:

( ) 1
0
³








=+∑
=
-
nba
k
n
ba
n
k
kknn


que es el teorema del binomio expresado a través de combinaciones.

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5
 
Para encontrar el r-ésimo término del desarrollo se aplica la siguiente expresión:

11
1
-+-








-
rrn
ba
r
n

Ejemplo.
Aplicando el binomio de Newton desarrollar
()
6
yx+

Solución:
( )∑
=
-








=+
6
0
66
6
k
kk
yx
k
yx

6542332456
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
yxyyxyxyxyxx








+








+








+








+








+








+








=

( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
42332456
!46!4
!6
!36!3
!6
!26!2
!6
!16!1
!6
!06!0
!6
yxyxyxyxx


( )
( )
65
!06!6
!6
!56!5
!6
yxy-
+
-
+


( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6542332456
!0!6
720
!1!5
720
!2!4
720
!3!3
720
!4!2
720
!5!1
720
!6!0
720
yxyyxyxyxyxx
++++++=


( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6542332456
1720
720
1120
720
224
720
66
720
242
720
1201
720
7201
720
yxyyxyxyxyxx
++++++=

6542332456
61520156 yxyyxyxyxyxx ++++++=

Ejemplo.
Obtener el cuarto término de la expresión
()
20
yx-

Solución.
Sustituyendo
4,20
==rn:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
317317317141420
!17!3
!20
!320!3
!20
3
20
14
20
yxyxyxyx
-=-
-
=-








=-








-
-+-


()()
( )
317317
1140
6
181920
yxyx -=-=



TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal es un esquema triangular de números en cuyo vértice hay un uno que corresponde
a ()1
0
=+ba. En el segundo renglón hay dos números uno que corresponderán a los coeficientes de a
y
b respectivamente. La fila siguiente se obtiene sumando los dos números inmediatos a él en la fila
precedente y luego se le agrega un uno a cada extremo de la fila.

Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de
a y
b, de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto es:

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6
 
1 1
1 12
1 1
11
3 3
4 46
1 15 510 10
1 16 615 1520
1 17 721 2135 35
((((a+ba+ba+ba+b))))
1111
((((a+ba+ba+ba+b))))
2222
((((a+ba+ba+ba+b))))
3333
((((a+ba+ba+ba+b))))
4444
((((a+ba+ba+ba+b))))
5555
((((a+ba+ba+ba+b))))
6666
((((a+ba+ba+ba+b))))
7777
1((((a+ba+ba+ba+b))))
0000


Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ()
5
ba+, se le aplican los factores de la fila
correspondiente, tal y como se muestra en la siguiente figura:

1 5 10 10 5 1
a
5
+5a
4
b+10a
3
b
2
+10a
2
b
3
+5ab
4
+b
5
a
5     
a
4
b a
3
b
2        
a
2
b
3         
ab
4       
b
5


Ejemplo.
Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar ( )
6
34
62 ba+  

Solución.
Aplicando los coeficientes respectivos se tiene:
( )()()()()() ()()()()+++++=+
4
3
2
4
3
3
3
4
2
3
4
43
5
4
6
4
6
34
621562206215626262 babababaaba
()()()
6
3
5
34
6626 bba ++

++++++=
15412891261632024
3129376077560346408152164 ba,ba,ba,ba,ba,a

18
656,46b+


TEOREMA DEL BINOMIO CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRAC CIONARIOS

La fórmula general para desarrollar el binomio ()
n
ba+ también es aplicable en el caso de que el
exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que
ba
> y 0>a.

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7
 
Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma:

( )
( )
( )
( )( )
( )
×××+
--
+
-
++=+
---
3
3
3
2
2
2
!3
2
!2
ba
m
mnmnn
ba
m
mnn
ba
m
n
aba
m
mn
m
mn
m
mn
m
n
m
n


Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma:

( )
() ()()
×××+
++
-
+
+-=+
--------33221
!3
21
!2
1
ba
nnn
ba
nn
bnaaba
nnnnn


Nótese como en este caso, los signos de los términos se alternan.

Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un número infinito de términos.

Ejemplo.
Obtener los seis primeros términos del desarrollo
( )
5
2yx+

Solución.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
×××++-+-+=+
-----
55
23
45
18
35
13
25
8
5
3
5
2
5
2
!51253
23211
!4625
624
!3125
48
!225
6
5
2
yx
,
,
yxyxyxyxxyx


×××++-+-+=
-----
55
23
45
18
35
13
25
8
5
3
5
2
000375
23211
00015
624
750
48
50
6
5
2
yx
,
,
yx
,
yxyxyxx


Ejemplo.
Obtener los siete primeros términos del desarrollo
yx32
1+


Solución.
( )
1
32
32
1
-
+=
+yx
yx
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++-+-=+
------ 453423211
32
4
24
32
3
6
32
2
2
32232 yx
!
yx
!
yx
!
yxxyx
( ) ( ) ( ) ( ) ×××++-
-- 6756
32
6
720
32
5
120
yx
!
yx
!

( ) ×××++-+-+-=+
--------6756453423211
128
729
64
243
32
81
16
27
8
9
4
3
2
1
32 yxyxyxyxyxyxxyx



CÁLCULO DE RAÍCES POR MEDIO DEL BINOMIO

Una de las aplicaciones que tiene el desarrollo del binomio es que pueden extraerse raíces considerando
que ( )n
naa
1
11+=+ . Esto es:

( )
( )
( )
()( )
( )
()( )( )
( )
×××+
---
+
--
+
-
++=+
---
-
4
41
4
3
31
3
2
21
2
1
1
1
1
4
31211
1
3
211
1
2
1
1
1
11 a
!n
nnn
a
!n
nn
a
!n
n
a
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

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8
 
( )( )
()( )
( )
()( )( )
( )
×××+
---
+
--
+
-
++=+⇒
4
4
3
3
2
2
1
!4
31211
!3
211
!2
11
11 a
n
nnn
a
n
nn
a
n
n
a
n
a
n

Para calcular la raíz enésima de un número cualquiera, se descompone el número en dos sumandos, de
forma tal que el primero sea la mayor potencia perfecta del orden de la raíz y posteriormente se expresa
como factor común.

Ejemplos.
Calcular de forma aproximada las siguientes raíces:

1)
30
Solución.
2
1
5
1
15
25
5
15
25
5
12552530 





+=+=





+=+=

( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) 







×××+




---
+




--
+




-
+





+=
4
4
3
3
2
2
5
1
!42
23122121
5
1
!32
22121
5
1
!22
21
5
1
2
1
15

( )( )0954375.150000625.00005.0005.01.015 »×××+-+-+»
4771875.5»

2)
3
10
Solución.
3
1
33
33
4
1
12
8
2
12
8
2
182810 





+=+=





+=+=

( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) 







×××+




---
+




--
+




-
+





+=
4
4
3
3
2
2
4
1
!43
33132131
4
1
!33
32131
4
1
!23
31
4
1
3
1
12

( )( )07719264.1200016075.000096450.000694444.008333333.012 »×××+-+-+»
15438528.2»

Nótese como los términos cada vez son más pequeños, así que para fines prácticos, basta con calcular
los primero cuatro términos para tener una aproximación razonable de la raíz buscada.

3)
4
260
Solución.
4
1
44
44
64
1
14
256
4
14
256
4
12564256260 





+=+=





+=+=


( )
( ) ( )( )
( ) 












--
+




-
+





+»
3
3
2
2
64
1
!34
42141
64
1
!24
41
64
1
4
1
14

( )( )03903982140000002000000228800390625014 .... »+-+»
156159284.»

9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Teorema del binomio  Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
9
 
INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

Un interés es un beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero, capital, durante un cierto
tiempo. Es decir, el interés es la diferencia entre el monto final y el capital inicial.

Se llama tasa de interés o rédito al tanto por ciento al que está invertido un capital
C en una unidad de
tiempo (por lo general se toma como unidad de tiempo el año). La tasa anual de interés se representa por
i y se expresa como un porcentaje (5%, por ejemplo) o como su equivalente en forma decimal (0.05). En
los cálculos normalmente se utiliza esta última expresión, aunque la información se transmita en forma de
tanto por ciento.

Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una
inversión, se deben únicamente al capital inicial (los intereses se retiran).

Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en general, los
periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el
capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo (los intereses se reinvierten).

· Fórmula del interés simple

El interés o rédito
R que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t
(en años) y a la tasa de interés i (en decimal) :

tiCR
××=

Ejemplos.

1) Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de $50,000 invertido durante 4
años a una tasa del 6% anual.
Solución
()() 000,12$406.0000,50 ==R

2) Calcular el interés simple producido por $20,000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5%.
Solución.
El año bancario posee 360 días, así que:
( )
250$
360
90
05.0000,20 =





=R

3) Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses $1,200.
La tasa de interés de esa cuenta de ahorro es del 2%. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta
en ese año?
Solución.
Sustituyendo: ()()102.0200,1C=
Despejando el capital:
( )( )
000,60
102.0
200,1
==C
4) Un préstamo de $40,000 se convierte al cabo de un año en $48,000. ¿Cuál es la tasa de interés
cobrada?
Solución.
Los intereses han ascendido a:
000,8$000,40$000,48$
=-
Sustituyendo: ()()1000,40000,8 i=

10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Teorema del binomio  Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
10
 
Despejando la tasa de interés:
( )( )
%202.0
1000,40
000,8
===i
5) Un capital de $450,000 invertido a una tasa de interés del 3% durante un cierto tiempo, ha supuesto
unos intereses de $9,000. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Solución.
Sustituyendo: ()()t03.0000,450000,9=
Despejando el tiempo:
( )( )
mesesañost8
3
2
03.0000,450
000,9
===

· Fórmula del interés compuesto

Sea
C un capital invertido durante
n años a una tasa i de interés compuesto por cada año.

Durante el primer año el capital produce un interés
iC
×, por tanto, el monto final
1
Mserá:
()iCiCCM +=×+= 1
1
Después del segundo año, el monto
1
M produce un interés
()()
2
1 iiCiiC +=+ , por lo tanto, el monto
final
2
M será: ()()()( )()
2222
12
1121 iCiiCiiCiCiiCMM +=++=+++=++=

Prosiguiendo de forma análoga, se puede concluir que al cabo de
n años el capital inicial C, invertido
en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un monto final
n
M:
()
n
n
iCM +=1


Nótese como es un caso particular del teorema del binomio.

Aunque la fórmula del interés compuesto se dedujo para una tasa de interés anual durante
n años, es
también válida si los periodos de conversión (capitalización), son semestres, trimestres, días, etc., sólo
que se tienen que convertir éstos a años. Por ejemplo:

Si los periodos de conversión son semestrales, la expresión es:
n
n
i
CM
2
2
1





+=

Si los periodos de conversión son cuatrimestrales, la expresión es:
n
n
i
CM
3
3
1





+=

Si los periodos de conversión son trimestrales, la expresión es:
n
n
i
CM
4
4
1





+=

La tasa de interés se encuentra despejando de
()
n
n
iCM +=1, esto es:

( ) 111 -=\=+⇒+=
n
n
n
nnn
C
M
i
C
M
ii
C
M


El capital inicial se halla despejando en la fórmula original, esto es:

11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Teorema del binomio  Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
11
 
( )
n
n
i
M
C
+
=
1


Por su parte, el tiempo de inversión también se obtiene despejando en la fórmula original, utilizando las
propiedades de los logaritmos, esto es:

() ()
n
n
n
n
iCMiCM ++=⇒+= 1logloglog1loglog
1010101010

( )
( )
i
CM
ninCM
n
n
+
-
=\++=⇒
1log
loglog
1logloglog
10
1010
101010


Ejemplos.

1) Determinar el monto que se obtendrá de un capital de $50,000 después de 5 años a una tasa de
interés compuesto anual del 6%.
Solución.
( ) ( ) 2791166338225578100050060100050
5
5
.,$.,.,M »»+=

2) Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de $90,000 para que al
final de 3 años se haya convertido en $115,000.
Solución.
%...
,
,
i 518085101085111
00090
0001153 »»-»-=

3) Un cierto capital invertido durante 8 años a una tasa de interés compuesto anual del 12% se ha
convertido en $2’000,000. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado
semestralmente.
Solución.

De la expresión
n
n
i
CM
2
2
1





+=
se despeja C:
( )
56.292,787
2
12.0
1
000,000'2
2
1
822
»





+
=




+
=
n
n
i
M
C


4) Una persona solicitó un préstamo bancario de $40,000 para comprar un automóvil a una tasa de 24%.
Si no se efectuó ningún pago, calcular el tiempo que transcurrió para que su deuda se transformara en
$70,000.
Solución.
( )
( )
años.
.
..
.log
,log,log
ilog
ClogMlog
n
n
60152
0934216850
60205999148450980404
2401
0004000070
1
10
1010
10
1010
» -
»
+
-
=
+
-
=