Teorema del binomio

1. TEOREMA DEL BINOMIO INTEGRANTES: BARRIOS ROJAS GETSEMANI MORENO DE LA ROSA JESUS MARTIN VALDEZ MONTELONGO ADAN R. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, 14:00 – 15:00 HRS., PROFESOR: JOSÉ LUIS ÁLVAREZ HERRERA

2. CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, ex-presa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( a+b) n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento .

3. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de  ( a+b) n : p or multiplicación directa podemos obtener:

4. De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación: Si el exponente del binomio es  n , hay  n+ 1 términos en el desarrollo. Para cada valor de  n , el desarrollo de (a + b ) n empieza con a n y termina con b n . En cada término los exponentes de  a  y  b  suman  n .

5. 3. Las potencias de  a  disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La  b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de  b  siempre es una unidad menor que el número de orden del término. 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de  a  y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

6. Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como  Triángulo de Pascal , para valores enteros no negativos de  n   en el desarrollo de ( a+b) n .

7. Ejemplo: Desarrollar   por el teorema del binomio ( a+2b) 4 . Solución : Como en este caso  n= 4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo . Es decir :

8. , efectuando las potencias, se tiene: , efectuando los productos se obtiene:

9. A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.   Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para  n =6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior

10. En el desarrollo binomial : si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino. Para encontrar el r-ésimo término del desarrollo se aplica la siguiente expresión: EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL

11. Ejemplo: Obtener el cuarto término de la expresión (x-y) 20. Solución. Sustituyendo n = 20, r = 4 :

12. TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVÉS DE COMBINACIONES El desarrollo de la expresión ( a+b) n también se puede obtener aplicado la teoría del análisis combinatorio . Si n es un número entero positivo, entonces,

13. Demostración: Observemos lo siguiente : donde hemos multiplicado el primer sumando (la a) del primer factor ( a+b ) por los dos del segundo y luego el segundo sumando (la b) del primer factor por los dos del segundo. De esta forma vemos que en cada uno de los cuatro sumandos que configuran el resultado figura uno, y sólo un elemento de cada factor .

14. El siguiente diagrama resume la situación:

15. De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una generalización del desarrollo del binomio:

16. TEOREMA DEL BINOMIO CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS La fórmula general para desarrollar el binomio (a+b) n también es aplicable en el caso de que el exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que a > b y a >0.

17. Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma: Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma:

18. Ejemplo. Obtener los siete primeros términos del desarrollo .

19. Nótese como en este caso, los signos de los términos se alternan. Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un número infinito de términos. Ejemplo . Obtener los seis primeros términos del desarrollo (x+y) 2/5 . Solución :

20. (*) FUENTES DE INFORMACIÓN: Escuela Preparatoria Gral. Lázaro Cárdenas, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo: < http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_bin.htm > Facultad de Contaduría y Administración, Universidad Nacional Autónoma de México: < http ://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/38.% 20Teorema%20del%20Binomio.pdf > Escuela Superior de Ingeniería, Universidad de Cádiz, España: < http :// www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion5.pdf > Imagen en portada: < http ://3.bp.blogspot.com/_ TFc5DGTn3BE/TNk7VDz7dZI/AAAAAAAAEDs/UH7cZkG2dao/s1600/binewton.jpg > (*): Consultado el 02 de Diciembre del 2014.