Teorema del residu

1. Teorema del residu Màster en Formació del Professorat Complement d’Especialitat 1 Maria del Mar Pérez 23/1/2013

2. 1. Enunciat Teorema del residu : el residu de la divisió d’un polinomi P(x) entre x-a és igual a P(a), és a dir, al valor numèric de P(x) per x=a. Això vol dir que: P(a) = r. Valor numèric d’un polinomi per x=a, és el residu. Conseqüències: P(x) és divisible entre x-a , si P(a)=0. a és una arrel del polinomi P(x), si P(a)=0. ( x-a ) és un factor del polinomi P(x) ↔ P(a) = 0  TEOREMA del FACTOR

3. 2. Demostració - Un polinomi qualsevol P(x), grau n amb n  1 i a  R. Com que P(x) és de grau n i el polinomi ( x-a ) té grau 1, podem realitzar la divisió euclidiana del polinomi P(x) entre ( x-a ). - Per al teorema de la divisió euclidiana, tindrem que existiran dos polinomis c(x) i r(x), polinomis quocient i residu, respectivament, tals que: P(x)=( x-a )·c(x)+r(x)

4. 2. Demostració - El polinomi residu és constant i l’escriurem com a r(x)=C. Aleshores, tindrem: P(x)=( x-a )·c(x)+C - Si substituïm x=a, a l’expressió anterior, tindrem que: P(a) = (a - a)·c(a) +C = 0·c(a) + C = C - Per tant, P(a) és el residu de la divisió de P(x) entre ( x-a ). - Així hem demostrat que donat qualsevol polinomi P(x) de grau n amb n  1 i a  R, es verifica que el polinomi P(a) és el residu de la divisió de P(x) entre ( x-a ).

5. 3. Història Entorn el 1600 a.C . : babilonis ja coneixien la manera per trobar la solució d’algunes equacions quadràtiques. Segle XVI: Scipione del Ferro: fórmula per calcular solucions de qualsevol equació cúbica. Al 1535, Nicoló Tartaglia , també la va obtenir. Al 1545, Girolamo Cardano , va publicar la fórmula, “fórmula de Cardano ”, en un tractat sobre la resolució d’equacions titulat “ Ars Magna”. Al 1813, Ruffini va intentar demostrar que les equacions de cinquè grau no es poden resoldre mitjançant una fórmula. Al 1824, Niels Henrik Abel va demostrar que no existeix una fórmula que permeti resoldre les equacions de cinquè grau o superior. Al 1832, inici de la Teoria de Galois , que permet decidir quan una determinada equació es pot resoldre per radicals .

6. 3. Aplicacions a) Permet calcular el residu d’una divisió entre polinomis, sense fer-la, sempre i quan el divisor sigui del tipus x-a . Tres maneres: Fer divisió de polinomis. Aplicar regla de Ruffini (divisió d’un polinomi per x-a ). Aplicar teorema del Residu. Exemple . Calcular el residu d’aquesta divisió de polinomis: (x 3 – 3x 2 + 2x – 8) : (x – 4) Pel teorema del Residu: P(4)= 4 3 – 3·4 2 + 2·4 – 8 = 64 – 48 + 8 – 8 = 16 = r(x) Més elaborat i llarg

7. 3. Aplicacions b) Determinar coeficients del dividend, donat el valor del residu, una arrel, o un divisor. Exemple . Trobar m perquè el polinomi P(X)= x 3 + mx – 4, sigui divisible per x-2. Perquè P(x) sigui divisible per x-2, el residu ha de ser zero, per tant, pel teorema del residu, P(2) ha de ser igual a zero. 2 3 + 2m – 4 = 0 2m + 4 = 0 2m = – 4 m = – 2

8. 3. Aplicacions Altra opció: aplicant la regla de Ruffini 4 + 2m = 0 2m = – 4 m = – 2

9. 3. Aplicacions c) Comprovar la divisibilitat d’un polinomi entre un altre, o el que és el mateix, comprovar que una divisió entre polinomis és exacta. Exemple . Comprova si el polinomi següent és divisible per x + 2. P(x) = x 3 – x 2 + x +14 P(-2) = (-2) 3 – (-2) 2 – 2 +14 = – 8 – 4 – 2 + 14 = 0  Si ho és

10. 3. Aplicacions d) Comprovar les arrels d’un polinomi. Si a és arrel de P(x), P(a) = 0. Exemple . Si tenim el polinomi P(x)=x 3 – 2x 2 – 5x + 6, esbrina 1, -1, -2 són arrels del polinomi. P(x)=x 3 – 2x 2 – 5x + 6 P(1) = 1 3 – 2·1 2 – 5·1 + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0  Si és arrel P(-1) = (-1) 3 – 2(-1) 2 – 5(-1) + 6 = – 1 – 2 + 5 + 6 = 8  No és arrel P(-2) = (-2) 3 – 2(-2) 2 – 5(-2) + 6 = – 8 – 8 + 10 + 6 = 0  Si és arrel

11. 4. Per què és important Per mi? Teorema explicat a la unitat corresponent a polinomis i fraccions algebraiques a 4t de ESO. Inicialment fou complicat : no es sabia quina era la seva utilitat. Una vegada es sap emprar, simplifica molt la tasca: s’estalvia haver d’aplicar Ruffini en molts casos.

12. 5. Qüestió per als oients Calcular els valors de a, b i c sabent que el polinomi, P(x) = x 3 + ax 2 + bx +c, és divisible entre x – 1, una arrel és x= -2, i que el residu de la divisió de P(x) entre x + 1 és 8. D’entrada, quines arrels té el polinomi? Com calcularíeu a , b i c ? Sol. a=-2, b=-5, c=6.

13. 6. conclusions L’alumne s’ha de demanar, què convé més? Divisió de polinomis. Divisió per regla de Ruffini . Aplicar teorema de Residu.

14. 7. Referències Bibliogràfiques http:// olmo.pntic.mec.es/dmas0008/demo/teoremarestoyfactor.pdf http ://www.juntadeandalucia.es/averroes/~ 04700570/izurdiaga/spip.php?article58

15. MOLTES GRÀCIES PER LA VOSTRA ATENCIÓ!