Teorema fundamental del cálculo

1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema nos dice que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en
forma parecida a como lo son la división y la multiplicación. Los procesos de límite (usados
para definir la derivada y la integral definida) conservan esta relación de inversas.
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la
derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda
función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este
teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones
segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función
utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada

INTEGRAL

Es la operación inversa de una derivada y se puede definir como una sumatoria infinita de
cantidades infinitesimales o como el área bajo una curva.

SÍMBOLO DE LA SUMATORIA

El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma, es un operador matemático que permite
representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos. Se expresa con la
letra griega sigma ( )

ELEMENTOS DE LA SUMATORIA

La Sumatoria es un tema un tanto difícil de trabajar ya que con todos los elementos de una
determinada sucesión. Por lo que esta se entiende como la suma de un finito de números",
denotados de la siguiente manera:



Donde:
S: Magnitud resultante de la suma.
T: Cantidad de valores a sumar.
K: Indice de la suma, que va´ría entre h y h+t.
H: Punto inicial de la sumatoria.

H+T: punto final de la sumatoria.

NK: Valor de la magnitud objeto de suma en el punto k.

2. PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la
sumatoria de la variable.

La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada
término.

La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la
sumatoria de la variable elevado al cuadrado.


ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA, MEDIANT E EL DESARROLLO DE LA SUMA
INFERIOR Y SUPERIOR

Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo
(producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es
igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para
hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a
un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados".
Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se
consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este
procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de
rectas.

Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el
que vamos a estudiar a continuación.

3. Sea la función continua y no negativa f :[a ,b]→ℝ , considérese una región en el plano
cartesiano como lo muestra la figura 1, acotada por el eje x, las restas x = a y x = b y la curva
de la función y = F(x).


(figura1)

Deseamos hallar la medida del área de la región R. para tal efecto, podemos proceder de dos
maneras:

1). Suma Inferior.

De tal manera dividimos el intervalo cerrado [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud Δx.
Donde Δx=(b-a)/n. denotaremos los puntos extremos de estos subintervalos por

x0,x1,x2,x3,….,xn-1,xn; Donde x0=a, x1=a+Δx,…., xi = a+iΔx,…., xn-1=a+(n-1)Δx, xn=b

Así mismo denótese el i-ésimo intervalo por [xi-1, xi]. Como f es continua en [a,b], f es
continua en cada subintervalo cerrado.

Por el teorema del valor extremo sabemos que existe un numero en cada subintervalo para el
cual f tiene un valor mínimo absoluto. Sea mi este numero en el i-esimo subintervalo, de tal
modo que f(mi) es el valor mínimo absoluto de f en [xi-1, xi]. construido el rectángulo ri de
base el subintervalo [xi-1, xi] y de altura f(mi). El área de este rectángulo es

Área de ri = f(mi)(xi-xi-1) = f(mi)∆x

Este proceso se hace para cada i = 1,2,3,….,n, y se obtienen n rectángulos inscritos en la
región R. las figuras Nº 2 ilustran este proceso para los casos n = 2 y n = 4.

4. Si Sn, es la suma de las areas de los rectángulos inscritos, entonces

Sn = f(m1) ∆x + (m2) ∆x + ……… f(mn) ∆x

Ó, con la notación sigma,



Donde la expresión anterior tomara el nombre de suma inferior. Si A(R) es el area de la región
R, tenemos que:

Sn ≤ A(R)

Si duplicamos el numero n, entonces se duplicara el numero de rectángulos, los que tendrán la
mitad de ancho; sin embargo, la suma de la áreas de los nuevos rectángulos aproximara mejor
a A(R) que la suma anterior. Si seguimos el proceso de duplicar el número n, cada vez
obtendremos mejores aproximaciones para el área A(R). Se prueba en los cursos de calculo
avanzado que los números, cuando n +∞ tiene un límite que es, precisamente, A(R). o sea





2). Área con rectángulos circunscritos

Procedemos como en el caso anterior, con la variante de que cada subintervalo [xi-1, xi], en
lugar de tomar el mínimo absoluto de f, tomamos el máximo absoluto. Esto es, en [xi-1, xi] hay
un punto Mi tal que f(Mi)es el máximo absoluto de f en [xi-1, xi]. Construimos el rectángulo Ri
con base [xi-1, xi] y Altura f(Mi).figura 3

5. Área de Ri = f(Mi)( xi-1, xi) = f(Mi)Δx

Si n es la suma de las áreas de los n rectángulo, entonces




A la expresión anterior la llamaremos suma superior. Se cumple:

A(R) ≤

Al igual que en la suma superior. Se prueba en los cursos de cálculo avanzado que los
números cuando n +∞ tiene un límite que es, precisamente, A(R). En otras palabras:




Asi de (1) y (2) tenemos que:





INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN, ESTABLECIENDO COMO LIMITE DE LA SUMA
DE RIEMANN

Se llama integral definida de la función f(x)0 entre a y b (los límites de integración), al
área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas
paralelas x = a y x = b.

Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada
definida en ese intervalo. Entonces:
La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

6. S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
Variación de las sumas de Riemann
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada
definida en ese intervalo. Entonces:
La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición
P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área
siempre aumenta. Es decir:
I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P
Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la
partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el
área siempre disminuye. Es decir:

S(f, P') S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P
Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

7. Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:
o la integral superior I
*
( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }
o la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I
*
( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann
de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

f(x) dx
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular
escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones
elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es
necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.
Comencemos con las cuatro propiedades básicas de la integral. Si tenemos presente la idea de
la integral como área, será fácil reconocerlas y recordarlas. Las demostraciones formales de
cada una pueden verse pulsando los botones de demostración. Para ver los dibujos a su tamaño
real, pulsa sobre ellos.
1. La integral conserva las desigualdades. Es decir, si tenemos dos funciones f y g
integrables en un intervalo [a,b], y f(x)≤g(x) en cada punto x del intervalo, entonces
∫ a b f(x)dx≤ ∫ a b g(x)dx

8. 2. La integral es aditiva respecto del intervalo. Es decir si f es una función acotada en un
intervalo [a,b], y c es un punto entre a y b, entonces f es integrable en [a,b] si y sólo si
lo es en cada uno de los en los intervalos [a,c] y [c,b]; y además
∫ a b f(x)dx= ∫ a c f(x)dx+ ∫ c b f(x)dx



3. La integral de la suma es la suma de las integrales. Es decir, si f y g son dos funciones
integrables definidas en el intervalo [a,b], entonces f+g es integrable en [a,b] y
∫ a b [ f(x)+g(x) ]dx= ∫ a b f(x)dx+ ∫ a b g(x)dx

4. La integral de un número por una función es el producto del número por la integral de
la función. Es decir, si f es una función integrable en un intervalo [a,b], y α es un
número real, entonces αf f es integrable en [a,b] y
∫ a b αf(x)dx=α ∫ a b f(x)dx

9. APLICAR E INTERPRETAR GEOMÉTRICAMENTE EL T.V.M PARA
INTEGRALES

El teorema del valor medio para integrales o teorema de la media dice que:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del
intervalo tal que:


Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado
alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal
que
f(c)(b - a) =
Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede
ser cualquier punto.

10. Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor
que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación
de desigualdades. Aplicando propiedades:
m(b - a) M(b - a) entonces m M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre
su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el
valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe
algún c tal que f(c) = .
Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

rectángulo inscripto (área menor que la de la
región)

rectángulo del valor medio (área igual que la
de la región)



rectángulo circunscripto (área mayor que la
de la región)

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c.
Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una
interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este
caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un

11. valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de
longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.
A = = f(c)(b - a)

El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor
promedio o medio de una función por eso a f(c) = se lo llama valor medio de f
en el intervalo [a, b].
Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x
2
- 2x en el intervalo [1, 4].
Calculamos:
fprom = = = = (64 - 16 -1 + 1) = 16

Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor
promedio. Se puede observar gráficamente.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, MEDIANTE LA APLICACIÓN DE
LOS MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLES

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales
usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

12. Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente
combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x)
es su derivada:

.

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un
reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con
una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se
puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza
lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Ejemplo #1
Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza con :
(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Se tiene que por tanto derivando se obtiene . A continuación se
despeja y se agrega donde corresponde en (1):


Simplificando:

13. Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el
contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar
mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que
la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los
límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En
este caso, como se hizo :

(límite inferior)
(límite superior)

Tras de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:


Método de integración por cambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar
la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral
equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si es la variable
original y es una función invertible, se tiene: