Teoremas de Euclides

1. Euclides

2. Teorema de Euclides referido a un cateto “En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.” Demostración Si se tiene un triángulo ABC  cualquiera, rectángulo en  C , y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura ( derecha ):   donde DB = p (proyección del cateto a (CB ) sobre la hipotenusa) AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa ) c = p + q A C B c b a p q D

3. Teorema de Euclides referido a un cateto Por semejanza (~) de triángulos, el    ΔACB ~  ΔCDB  (son semejantes) Luego; Que es lo mismo que :   C D B p a De forma análoga se tiene que ΔACB   ~  ΔADC  (a la derecha) , entonces: Que es lo mismo que :   D A C b q

4. Teorema de Euclides referido a un cateto “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa” Por lo tanto:  

5. Teorema de Euclides referido a la altura “En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.” A C a b c q B D p hc Se sabe que  ΔADC ~ΔCDB   ( semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales. Sea  hc  (CD)  la altura de la hipotenusa  (AB = c) Entonces: , luego al reemplazar, tenemos: , por lo tanto este teorema lo podemos expresar de la siguiente forma: “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.