Teoremas de las Derivadas

En ésta presentación se muestran los 12 primeros teoremas de las Derivadas.

1. Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas. Teoremas sobre Derivadas

2. Teorema 1 La derivada de una función constante es cero . Ejemplos: 1 . Si entonces 2. Si entonces 3 . Si entonces  

3. Teorema 2 Si entonces es variable sobre y Ejemplos: 1. 2. 3.  

4. Teorema 3 Si con y pertenece al conjunto en el que esta bien definida, entonces es derivable en y Ejemplos: 1. Si entonces 2. Si entonces 3. =  

5. Teorema 4 Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real, entonces la funcion para la que es derivable sobre , además Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Ejemplos: 1. Si entonces 2. Si entonces 3. ( ) = = =  

6. Teorema 5 Si y g son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función es derivable sobre y además , para . Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.  También: Donde son funciones derivables sobre un intervalo . Ejemplos :  

7. Si y g son funciones derivables sobre el intervalo entonces la función -g es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que . Ejemplos: 1. 2.  

8. Teorema 6 Si y g son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre y además para cualquier se tiene que . Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera . Ejemplo: 1. 2. 3. , con a, b, c, k constantes.  

9. Teorema 7 Si son dos funciones variables y si sobre un intervalo , entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier y se tiene que . Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador .  

10. Ejemplo: 1.     con  

11. Teorema 8 (regla del producto) Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: ; la regla de producto es: Si “ u” y “v” son los polinomios: La función: Su derivada: Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de ? Solución:  

12. Teorema 9 (regla del cociente) Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como por ejemplo : ; la regla de cociente es: Si “u” y “v” son polinomios: La función: Su derivada: Ejemplo : -¿ Cuál es la derivada de ? -Solución :  

13. Teorema 10 (regla de la cadena) Es útil cuando se tiene una función por un polinomio elevado a una potencia, como por ejemplo: ; la regla de cadena es: Si “u” es el polinomio: La función: Su derivada: Ejemplo: -¿ Cuál es la derivada de ? -Solución :  

14. Teorema 11 (derivada de una funcion exponencial) La función exponencial de base a > 0 y a   1, tiene como dominio R y como ámbito [0, + ]. En el teorema siguiente se dará la derivada de la función exponencial. D x a x = a x ln a Ejemplo: 1. D x 2 x = 2 x ln2 2. D x 4 x =4 x ln4 3. D x ( ) x = ( ) x ln = -ln x 4. D x ( ) x = ( ) x ln Observe que si la base de la función exponencial es e , entonces D x e x =e x ln e=e x . 1 de donde D x e x = e x.  

15. Teorema 12 (derivadas de las funciones trigonometricas) A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. D x sen x = cos x Utilizando esta como guía, junto con el teorema sobre derivadas de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonomericas.

16. En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple que D x [s eng(x) ] = cos g(x) . D x g(x). Ejemplos : 1. D x [sen 6x] = cos 6x . D x 6x = 6 cos 6x. 2. D sen 3 x = cos 3 x . D x 3 x = cos 3 x / 3 3 x 3. D x [sen e 4x ] = cos e 4x . D x e 4x = cos e 4x . 4 = 4 e 4x cos e 4x En general, si u= g(x) aplicando la regla de la cadena se tiene que D x [cos u ] = - sen u . D u Ejemplo: 1. D x [cos(8x 3 )] = -sen (8x 3 . D x (8x 3 ) = -24x 2 sen (8x 3 )) 2. D x (cos (3/e x )) = D x [cos (3e -x )] = -sen(3e -x ) . (3e -x . -1) = 3e -x sen (3 e -x ) 3. D x (cos 3 x) = D x [(cos x) 3 ] = 3(cos x) 2 (-sen x) = -3 cos 2 x sen x

17. En general, si u = g(x) entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que D x tan u = sec 2 u . D x u Ejemplo: 1. D x tan (2/x) = sec 2 /2/x) . D x (2/x) = sec 2 (2/x) . (-2/x) = -2/x 2 sec 2 (2/x), x 0 2. D x tan (ln x) = sec 2 (lnx) D x ln x = sec 2 (ln x)/ , x > 0 3. D x tan x = 1/2 tan x . sec 2 x = sec 2 x/ 2 tan x

18. D x [cot x] = -csc 2 x, x π /2 n , n ∈ Z . Si u =f(x), aplicando la derivada para la composición de funciones se obtiene que D x ( cot u ) = - csc 2 u D x u . Ejemplo: 1. D x (cot 5x) = - csc 2 5x . 5 =-5 csc 2 5x 2. D x (cot 3 5x) = D x [cot 5x) 3 ] =3(cot 5x) 2 . –csc 2 5x . 5 3. D x (2/cot x) = -2( - csc 2 x)/ (cot x) 2 = 2csc 2 x/ (cot x) 2

19. D x (sec x) = sec x tan x, x (2 n + 1) π/2 n , n ∈ Z. Si u=g(x) , aplicando la tegla de la cadena se obtiene que D x (sec u ) = sec u tan u D x u Ejemplo: 1. D x [sec(2x 2 )] = sec(2x 2 ) t an(2x 2) D x (2x) 2 = 4x sec (2x 2 ) tan(2x 2 ) 2. D x (e sec x ) = e sec x sec x tan x 3. D x sec(2/x) = sec (2/x) tan (2/x) D x (2/x) = -2/x 2 sec (2/x) tan (2/x) x 0

20. D x [csc x] = -csc x, x (2 n + 1) π/2 n , n ∈ Z. Si u =g(x), aplicando la regla de la cadena se obtiene que D x (csc u ) = -csc u cot u D x u . Ejemplo: 1. D x [csc (2+x 2 )] = -csc (2+x 2 ) cot (2+x 2 ) D x n (2+x 2 ) = -2x csc (2+x 2 ) cot (2 +x 2 ) 2. D x [csc(2 x )] = -csc 2 x cot 2 x D x 2 x = -csc 2 x cot 2x ln 2= -2x ln 2 csc 2 x cot 2 x 3. D x ln (csc x)= 1/csc x . (-csc x cot x) = -cot x