Teoremas de los límites

1. Teoremas de los límites
En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en
un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin
embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el
proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para
determinar el límite de una función en un punto.
O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.

Teorema 2
Si son números reales entonces
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:
a.
con , e
n
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)

Sea una función definida en un intervalo tal que .
Si y entonces .

2. b
.
con e
n

Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Teorema 3

Si y es un número real entonces se cumple que


Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
Teorema 4

Si entonce

3. s .
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine los límites indicados.
1.
2.
Teorema 5

Si y son dos funciones para las que y
entonces se cumple que:


Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones,
es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine los límites siguientes:
1.
2.

4. El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de
funciones.
Teorema 6

Si y son dos funciones para las que y
entonces se cumple que

Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los
límites de cada una da las funciones. Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de
funciones
Corolario

Si entonces
Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema
anterior se tiene que:


(n factores)

5. Ejemplos:
1.
2.
En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima
potencia del límite de . Es decir
Ejemplos:
1.
2.
Teorema 7

Si y son dos funciones para las cuales
y entonces se tiene que:
siempre que

Teorema 8

siempre que

Ejemplos de los teoremas 7 y 8
1.
2.

6. 3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)
4. (por teorema 7)
(por teorema 5)
(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)
5.
Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas
estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.
2.
Teorema 9

Si si:
(1) es cualquier número positivo.
(2) es impar.
Ejemplos:
1.
2.

7. 3.
4.
Teorema 10
Si , entonces . Si e cumple alguna de las condiciones
siguiente:
(1) es cualquier entero positivo ().
(2) es un entero impar positivo.
Ejemplos:
1.
2.
3.