teori-pendukung variabel acak distribusi variabel

Peubah acak

1. 1. TEORI PENDUKUNG
•1.1 Pendahuluan
•1.2 Variabel acak
•1.3 Distribusi variabel acak diskrit
•1.4 Distribusi variabel acak
kontinu
•1.5 Distribusi multivariat
1

2. Definisi 1:
Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan acak. Notasi : S

2
Definisi 2:
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Sifat :
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika

A B 
Prostok-1-firda
1.1 Pendahuluan

3. 3
Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A,
ditulis dengan sifat:

( )atau { }P A P A
()0 ( ) 1i P A 
( ) ( ) 1 dan ( ) 0.ii P S P  
( )UntuksetiapkejadianA, ( ') 1 ( ).iii P A P A  
• Jika

,maka ( ) ( ).A B P A P B 
• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku


• Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika


( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB   
( ) ( ) ( ).P AB P A P B
Prostok-1-firda

4. 4
• Jika A dan B dua kejadian , dengan

( )
( )
P A B
P B A
P A


( ) 0,PA
peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:
Jika kejadian-kejadian adalah partisi
dari ruang sampel S maka untuk kejadian B
sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0
berlaku:
1 2
, ,...,
k
A A A
Teorema Bayes :
1
( ). ( )( )
( )
( )
( ). ( )


 

i ii
i k
i i
i
P B A P AP A B
P A B
P B
P B A P A

5. Definisi 3:
Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel
ke himpunan bilangan real. (R)
Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x,
dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama
dengan x dinyakan dengan
Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan
nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.
5
1.2 Variabel Acak
( ).P X x

6. Klasifikasi Variabel Acak:
1. Variabel Acak Diskrit
2. Variabel Acak Kontinu
Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk
himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .
Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan
bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).
6

7. 7
Definisi 4:

Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut
fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function
(pmf), atau fungsi peluang, ditulis :
( ) ( )p x P X x 
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu
disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability
density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x).
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx  

8. 8
( ) ( ),F x P X x x    
( ) ( ) ( )
t x
F x P X x p t

   
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f t dt
 
   
Definisi 5:

Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel
acak X adalah:
• Untuk variabel acak diskrit :
• Untuk variabel acak kontinu :

9. 9
Definisi 6:

(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x),
maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )
x
E X xp x
(ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang
f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )E X x f x dx

 

Prostok-1-firda

10. 10
 
2
2
( ) ( ) ( )Var X E X E X 
Definisi 7:

Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:
Definisi 8:

Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X
merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu
()
tX
X
M t E e 
( ) ,
tx
e f xdx



( ),
tx
x
e px
X variabel acak
kontinu
X variabel acak diskrit

11. 1.3 Distribusi variabel acak diskrit
11
a. Distribusi Bernoulli
1
( ) , 0,1
x x
px pq x

 
( )E X p
( ) (1 )  Var X p p pq
• pmf:
• mean:
• variansi:

12. 12
b. Distribusi Binomial
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,...,
x n x
n
p x p q x n
x
 
 
 
 
( )E X np
( )Var X npq
Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan binomial

13. 13
c. Distribusi Geometri
• pmf:
• mean:
• varians:
1
( ) , 1,2,3,...
x
p x pq x

 
1
( )E X
p

2
( )
q
Var X
p

Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha
sampai terjadinya sukses pertama kali

14. 14
d. Distribusi Poisson
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,2,...
!
x
e
p x x
x



 
( )E X
( )Var X
Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan poison

15. 1.4 Distribusi variabel acak kontinu
15
a. Distribusi Uniform
• pdf:
• mean:
• varians:
1
( ) ,f x a x b
b a
  

( )
2


a b
E X
2
( )
Var( )
12


b a
X

16. 16
b. Distribusi Eksponensial
• pdf:
• mean:
• varians:
( ) , 0
x
f x e x



 
1
( )E X


2
1
( )Var X



17. 17
c. Distribusi Normal
• pdf:
• mean:
• varians:
2
( )1
21
2
( ) ,
x
f x x e


 
 
 
 

   
( )EX
2
Var( )X

18. 18
Fungsi peluang (Pmf)MeanVariansiMgf
Distribusi Peluang Diskrit
1
( ) , 0,1
x x
p x p q x

  ppq t
q pe
( ) ,
0,1,...,
x n x
n
p x p q
x
x n
 

 
 

npnpq
(
n
t
q pe 
 
1
( ) ,
1,2,3,...
x
p x pq
x



1
p
2
q
p (1 )
t
t
pe
qe
( ) ,
!
0,1,2,...
x
e
p x
x
x





 
(1 )
t
e
e
 
( , )X B n p
( )X Bernoulli p
( )X GEO p
( )X POI

19. 19
Fungsi densitas (Pdf)MeanVariansiMgf
1
( ) ,f x a x b
b a
  

2
( )1
21
2
( ) ,
x
f x
x
e


 
 
 
 


 
 2

2 21
2
t t
e
 
 

 
 
1
( ) , 0
( )
k k x
x e
f x x
k


 
 

k

2
k

k
t


 
 
 
( ) , 0
x
f x e x



 
1

2
1
 t


2
a b
2
( )
12
b a
( )
bt at
e e
t b a


( , )X U a b
( )X EXP
( , )X GAM k
2
( , )X N 
Distribusi Peluang Kontinu

20. 20
1.5 Distribusi multivariat
a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka
(i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pmf marjinal dari X :
(iv) Pmf marjinal dari Y :
( , ) ( , )
XY
p x y P X xY y  
( , ) ( , )
XY XY
a x b y
F x y p a b
 

( ) ( , )
X XY
y
p x p x y
( ) ( , )
Y XY
x
p y p x y

21. 21
(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y Y
Y
p x y
p x y p y
p y
 
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y Y
a x Y
p a y
F x y p y
p y

 
[ | ] . ( )
XY
x
E X Y y xp x y 
Prostok-1-firda

22. 22
b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka
(i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pdf marjinal dari X :
(iv) Pdf marjinal dari Y :
2
( , )
( , )
XY
F x y
f x y
y x


 
( , ) ( , )
yx
XY XY
F x y f s t dsdt
   

( ) ( , )
X XY
y
f x f x ydy
( ) ( , )
Y XY
x
f y f x y dx

23. 23
(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y
Y
f x y
f x y f y
f y
 
|
(, )
( )
( )
x
XY
X Y
Y
f t y
F x y dt
f y


 
|
( | )
X Y
E X Y y xf x ydx

 
 

24. 24
 [ ] [ ] [ ]E X Y E X EY  
 Kovariansi dari X dan Y:
( , ) [ ] [ ] [ ]Cov X Y E XY E X EY 
 Koefisien korelasi dari X dan Y:
( , )
( , )
( ). ( )
Cov X Y
X Y
Var X Var Y
 

25. Soal
1.Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masing-
masing berdistribusi Poisson dengan mean
Tunjukkan bahwa
variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan
mean
25
1 2
dan . 
1 2
. 
2.Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi
Asumsikan , tunjukkan bahwa ( ).F x
0
. ( ) (1 ( ))a E X F x dx

 
1
0
. ( ) (1 ( ))
n n
bE X nx F x dx


 
(0) 0,F
Prostok-1-firda