Teoria de conjuntos

Breve introducción a la teoría de conjuntos.

1. Estadística y
Probabilidad I

Teoría de Conjuntos

Ciclo escolar 2013-2014

2. Conjuntos
•El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de las
matemáticas. Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase
de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualquiera: números,
personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros
del conjunto.
•Si bien los conjuntos de estudian como entidades abstractas, enumeremos
algunos ejemplos particulares de conjuntos.
1)Los números 1, 3, 7 y 10.
2)Las soluciones de la ecuación �
2
−3�−2=0
3)Las vocales del alfabeto: a, e, i, o ,u.
4)Las personas que habitan la tierra.
5)Los estudiantes Tomas, Ricardo y Enrique.
6)Los estudiantes ausentes de la escuela.
7)Los países Inglaterra, Francia y Dinamarca.
8)Las ciudades capitales de Europa.
9)Los números 2, 4, 6, 8, …
10)Los ríos de México.
•Nótese que los conjuntos de los ejemplos impares vienen definidos, o sea
presentados, enumerando de hecho sus elementos, y que los conjuntos de
los ejemplos pares se definen enunciando sus propiedades, o sea sus
reglas, que deciden si un objeto particular es o no elemento del conjunto.

3. Notación.
•Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas.
�, �, �, �, …
•Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas.
�, � , x , y , …
•Al definir un conjunto por efectiva enumeración de los elementos, por
ejemplo, el �, que consiste en los números 1, 3, 7 y 10, se escribe
�=1,3,7,10
separando los elementos por comas y encerrándolos en llaves .
•Esta es la llamada formula tabular de un conjunto. Pero si se define un
conjunto enunciado propiedades que deben tener sus elementos como,
por ejemplo, el �, conjunto de todos los números pares, entonces se
emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento
cualquiera y se escribe
�=�|� es par
•Lo que se lee “� es el conjunto de los números � tales que � es par”. Se
dice que esta es la forma de definición por compresión o constructiva de
un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical “|” se lee “tales que”.

4. 1.Los números 1, 3, 7 y
10.
2.Las soluciones de la
ecuación x
2
-3x-2=0.
3.Las vocales del
alfabeto: a, e, i, o ,u.
4.Las personas que
habitan la tierra.
5.Los estudiantes Tomas,
Ricardo y Enrique.
6.Los estudiantes
ausentes de la escuela.
7.Los países Inglaterra,
Francia y Dinamarca.
8.Las ciudades capitales
de Europa.
9.Los números 2, 4, 6, 8,
10, …
10.Los ríos de México.


�
1=1,3,7,10

�
2=� | �
2
−3�−2=0
�
3=�,�,??????,??????,�

�
4=�|� es una persona que habita la tierra

�
5=Tomas, Ricardo, Enrique

�
6= �| � es un estudiante y esta ausente de
la escuela
�
7=Inglaterra, Francia, Dinamarca
�
8= �| � es una ciudad capital y esta en
Europa
�
92,4,6,8,10,…

�
10=� | � es un rio y esta en México

5. Notación
•Si un objeto � es elemento de un conjunto �, es decir �
contiene a � como uno de sus elementos , se escribe
�∈�
que se puede leer “� pertenece a �” o “� esta en �”.
•Si por el contrario, un objeto � no es elemento de un
conjunto �, es decir, si � no contiene a � entre sus
elementos, se escribe
�∈�
•Es costumbre en los escritos matemáticos poner una línea
vertical “|” u oblicua “/” tachando un símbolo para indicar
lo opuesto o la negación del significado del símbolo.
–Si A=�,�,??????,??????,� , entonces �∈�, �∈� , e∈� , f∈� .
–Si �=� | � es par , entonces 3∈� , 6∈� , 11∈� , 14∈�
/
/ /
/ /

6. Conjuntos Finitos e Infinitos
•Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un
cierto número de elementos distintos, es decir, si al
contar los diferentes elementos del conjunto el
proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es
infinito.
•Ejemplos
–Si � es el conjunto de los días de la semana, Entonces �
es finito
–Si N=2,4,6,8,… , � es infinito
–Si P=� | � es un rio de la tierra , ?????? también es finito
aunque sea difícil contar los ríos del mundo.

7. Igualdad de Conjuntos
•El conjunto � es igual al conjunto � si ambos tienen
los mismos elementos, es decir, si cada elemento que
pertenece a �, pertenece también a �, y si cada
elemento de � pertenece también a �. Se denota la
igualdad de los conjuntos � y � por
�=�
•Ejemplos
–�=1,2,3,4 y �=3,1,4,2
–�=5,6,5,7 y D=7,5,7,6
–�=� | �
2
−3�=−2, F=2,1 y G=1,2,2,1

8. Conjunto Vacío
•Conviene introducir el concepto de conjunto
vacío, es decir, de un conjunto que carece de
elementos. Este conjunto se suele llamar
conjunto nulo. Se denota por el símbolo ∅.
•Ejemplos:
–Si � es el conjunto de personas vivientes mayores
de 200 años, � es vacío según las estadísticas
conocidas
–Sea �=� | �
2
=4,� es impar. � es un
conjunto vacío.

9. Subconjuntos
•Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un
conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B.
•Mas claro: � es un subconjunto de � si �∈� implica que �∈�. Se
denota esta relación escribiendo


que también se puede leer A esta contenido en B.
–El conjunto �= 1,3,5 es un subconjunto del �= 5,4,3,2,1 , ya
que todos los elementos de � pertenece también a �.
–El conjunto �=2 ,4,6 es un subconjunto de �= 6,2,4 . Obsérvese
que en particular �=�. Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
–Sean �= � | � es par y �= � | � es potencia entera positiva de 2
•También se escribe a


cuando � no es un subconjunto de �. BA BA

10. Conjunto Universal
•En toda aplicación de la teoría de conjuntos,
todos los conjuntos que se consideran serán
probablemente subconjuntos de un mismo
conjunto dado. Este conjunto se llamara
conjunto universal o universo, y se denota
usualmente por ??????.
–En Geometría Plana, el conjunto universal es el de
todos los puntos del plano.
–En los estudios sobre población humana, el
conjunto universal es el de todas las personas del
mundo.

11. Conjuntos Disjuntos
•Si dos conjuntos � y � no tienen elementos
comunes, es decir, si ningún elemento de � esta
en �, y si ningún elemento de B esta en �, se
dice que � y � son disjuntos.
–Sean �= 1,3,7,8 y �= 2,4,7,9; entonces �
y � no son disjuntos pues 7 esta en ambos
conjuntos, o sea 7∈�, y 7∈�.
–Sean � el conjunto de los números positivos y � el
de los números negativos. Entonces � y � son
disjuntos, pues ningún numero es positivo y
negativo a la vez.
–Si �= �,�,� , y �= �,�,� . � y � son
disjuntos

12. Diagramas de Venn- Eüler
•Se logra ilustrar de manera sencilla e instructiva las
relaciones entre conjuntos mediante los llamados
diagramas de Venn-Eüler, o simplemente diagramas de
Venn, que representan un conjunto con un área plana, por
lo general delimitada por un circulo los subconjuntos
propios, y el conjunto universal por un rectángulo mas
grande.








Ejemplo 1: Supóngase que y U A B U A B BA BA

13. Diagramas de Venn- Eüler
•Ejemplo 2: Si � y � no son comparables se les
puede representar por el diagrama de la
izquierda si son disjuntos o por de la derecha
si no lo son. U A B U A B

14. Diagramas de Venn- Eüler
•Ejemplo 3: Sean �= �,�,�,� y �= �,�,�,�. Se
ilustran estos conjuntos son un diagrama de Venn de la
forma U A B d b c a e f

15. Operaciones con Conjuntos
•En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir
a cada par de números � e � se le asigna un
numero �+� llamado la suma de � e �, un
numero �−� llamado la diferencia de � e �, y
un numero �� llamado el producto de � e �.
Estas asignaciones se llaman operaciones de
adicción, sustracción y multiplicación de
números. En el documento restante se van a
definir las operaciones unión, intersección y
diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar
o a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares
de conjuntos � y �.

16. Unión
•La unión de los conjuntos � y � es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a �, o a �, o a ambos. Se
denota la unión de � y � por


que se lee “� unión �”

•El diagrama de Venn-Eüler que corresponde U A B BA

17. Ejemplo
•??????= 1,2,3,4,5,6,7,8 �= 2,4,6,7
�= 7,4,5 �=1,5,8,2 �= 1,8

•�∪�=
•�∪�=
•�∪�=
•�∪�∪�=

18. Intersección
•La intersección de los conjuntos � y � es el conjunto de los
elementos que son comunes a � y �, esto es, de aquellos
elementos que pertenecen a � y que también pertenecen a �. Se
denota la intersección de � y � por


que se lee “� intersección �”

•El diagrama de Venn-Eüler que corresponde U A B BA

19. Ejemplo
•??????= 1,2,3,4,5,6,7,8 �= 2,4,6,7
�= 7,4,5 �=1,5,8,2 �= 1,8

•�∩�=
•�∩�=
•�∩�=
•�∩�∪�=

20. Diferencia
•La diferencia de los conjuntos � y � es el conjunto de
elementos que pertenecen a �, pero no a �. Se denota la
diferencia de � y � por


que se lee “� menos �”

•El diagrama de Venn-Eüler que corresponde U A B BA

21. Ejemplo
•??????= 1,2,3,4,5,6,7,8 �= 2,4,6,7
�= 7,4,5 �=1,5,8,2 �= 1,8

•�−�=
•�−�=
•�−�=
•�∩�−�=

22. Complemento
•El complemento de un conjunto � es el conjunto de
elementos que no pertenecen a �, es decir, la
diferencia del conjunto universal ?????? y del �. Se denota
el complemento de A por


que se lee “complemento de �”
•El diagrama de Venn-Eüler que corresponde U 'A A B

23. Ejemplo
•??????= 1,2,3,4,5,6,7,8 �= 2,4,6,7
�= 7,4,5 �=1,5,8,2 �= 1,8

•�
′
=
•�′=
•�′=
•�−�′=

24. Operaciones con conjuntos en
diagramas de Venn- Eüler U A B C D 'B U A B C D CD U A B C D DA U A B C D BA U A D BA B C U A B D CB C

25. Operaciones con conjuntos en
diagramas de Venn- Eüler
•Utilizando el siguiente Diagrama de Venn, sombree
cada una de las siguientes operaciones. (Realiza un
diagrama por cada operación) U A B C D  
 
''
'
''
CA
BA
BA
CA
CBA




 DC
DC
D
BA
AB




'