Teoria de conjuntos

Basado en la presentación https://es.slideshare.net/IVN_Galileo/teora-de-conjuntos-30768834?qid=7f449a60-e4a5-45ee-86d8-c50589fe2f00&v=&b=&from_search=9

1. TEORÍA DE CONJUNTOS

2. Elementos de la teoría de conjuntos
Al construir la matemática, no es posible definir
todos los entes que en ella aparecen y, por lo tanto,
tendremos los llamados “entes no definidos”
En la teoría de conjuntos introducimos como ente no
definido al conjunto, del cual es claro que poseemos
nociones intuitivas tales como: Colección,
agrupación, montón de entes u objetos, a los cuales
llamaremos elementos del conjunto.

3. Elementos de la teoría de conjuntos
En adelante representaremos los conjuntos por
letras latinas mayúsculas (A,B,C,E etc.) y a los entes
que formen el conjunto considerado los
representaremos por letras latinas minúsculas
(a,b,c etc.)

4. Elementos de la teoría de Conjuntos
Ejemplos de conjuntos
1.Los huesos del esqueleto Humano
2.Los departamentos de la Republica de Guatemala
3.Los estudiantes de Universidad Galileo.
No es necesario que en un conjunto todos sus
elementos tengan algo en común, puede
considerarse por ejemplo un conjunto como este.

5. Idea intuitiva de conjunto

6. Elementos de la teoría de conjuntos
Cuando queremos indicar que un elemento a
pertenece al conjunto A anotamos:
que se lee como el elemento a pertenece al
conjunto A
Cuando queremos indicar que el elemento a no
pertenece al conjunto A anotamos:Aa Aa

7. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplos:
Guatemala al conjunto de países de
Centroamérica
El Perro al conjunto de reptiles
Un conjunto debe estar bien determinado: la
expresión “el elemento a pertenece al conjunto A”
debe ser verdadera o falsa no debe ser ambigua. 

8. Ejemplo
Las niñas bonitas del salón de clases: No es un
conjunto bien determinado pues la belleza es un
concepto subjetivo, que depende del observador
El conjunto de los hombres altos: Tampoco es un
conjunto bien determinado pues los elementos son
ambiguos, los hombres altos para una persona
serán bajas para otra.

9. Elementos de la teoría de conjuntos
En un conjunto no se repiten los elementos: Cada
elemento se considera una y solo una vez
Ejemplo: el conjunto constituido por las letras de la
palabra “brocoli” tiene como como elementos
b,r,o,c,l,iaunque la o aparece 2 veces
solo se considera una vez.

10. Elementos de la teoría de conjuntos
El orden en que se enumeren los elementos de un
conjunto no lo altera
Ejemplo: el conjunto de vocales del alfabeto en
español.
o,u,i,e,a
No importa si para representarlas escogemos un
orden alfabético o simplemente por el orden que se
nos venga a la mente.

11. Elementos de la teoría de conjuntos
Notación: Para representar los conjuntos usaremos
los siguientes convenios
1.Si un conjunto esta formado por un numero finito
de elementos lo llamaremos “conjunto finito”
Ejemplo: el conjunto de los hombres
guatemaltecos.
2.Si un conjunto esta formado por un numero infinito
de elementos, lo llamaremos “conjunto infinito”
Ejemplo: el conjunto de los números enteros

12. Elementos de la teoría de conjuntos
Unas llaves nos servirán para encerrar en ellas a
los elementos de un conjunto separados por comas:
Ejemplo:
A={ , , , a, 8 }
Para representar en forma explicita (exhibir) los
elementos de un conjunto son habituales dos formas:

13. Elementos de la teoría de conjuntos
Notación enumerativa, también llamada notación
tabular o por extensión.
Así por ejemplo, si denotamos por A al conjunto de las
vocales del alfabeto español, tendremos como
representación enumerativa del mismo
A={a,e,i,o,u}
Y su uso queda limitado a casos en el que el numero
de elementos no sea muy grande.

14. Elementos de la teoría de conjuntos
Forma descriptiva: también llamada por
comprensión necesitamos que todos los elementos
del conjunto tengan una o mas propiedades
comunes, para encerrar la descripción de esas
propiedades entre llaves, en vez de listar todos sus
elementos
Por ejemplo:
El conjunto de todos ciudadanos de Guatemala
Seria muy difícil listarlos a cada una ya sea por
nombre o por identificación personal DPI

15. Elementos de la teoría de conjuntos
Valiéndonos de las proposiciones podemos
representar conjuntos de la forma
A={x/P(x)}
usando la letra “x” como variable que representa
a todos aquellos elementos que hacen la
proposición P(x) verdadera.
La barra / usada en la notación se lee “tales que”
El conjunto A se lee entonces: el conjunto de los
elementos x tales que…

16. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplos:
A={x/x = alfabeto en español} o de otra manera
A={a,b,c,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
Queda claro con el ejemplo anterior que para
representar al conjunto A es mejor de la forma
descriptiva, que la enumerativa, siempre y cuando
sepamos cuales son las letras del alfabeto en
español en este caso.

17. Elementos de la teoría de conjuntos
Si nos queremos referir al conjunto de los números
naturales pares, lo anotamos así:
P={x/x N, x es par}
Que se lee el conjunto de elementos x tales que x es
un numero natural (N) y x es par.
Otra forma
P={0,2,4,6,8,10,12,14,…}
Y otra mucho mas simple
P=formado por los números naturales pares

18. Elementos de la teoría de conjuntos
Otros ejemplos:
S={x/x = 4} son aquellos números tales que su
cuadrado sea igual a 4, es decir S={2,-2}
B={x/x es vocal del alfabeto español} son aquellas
letras que son vocales del alfabeto español
es decir B= {a,e,i,o,u}
2

19. Elementos de la teoría de Conjuntos
Criterio de igualdad de conjuntos
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (lo
escribimos A=B) si todos los elementos de A
pertenecen a B y todos los elementos de B
pertenecen a A. Esto es, si A=B, entonces
implica que y , implica que Ax Bx By Ay

20. Elementos de la teoría de Conjuntos
Ejemplos:
1. Si T={1,2,3,4,5} y
L={5,3,2,4,1}
entonces T=L
2. Si D={x/x es natural, par y primo} y
E={2}
entonces D=E

21. Elementos de teoría de Conjuntos
Subconjuntos y relación de inclusión
Decimos que A es un subconjunto de B o que A esta
contenido en B y lo escribimos si todos los
elementos de A pertenecen a B. Si A no esta contenido
en B, se representa simbólicamente
Ejemplos:
Sean A el conjunto de las aves, podemos representar
como A={x/x es un ave}, y B el conjunto de palomas,
que podemos representar como B={x/x es paloma};
entonces BA BA AB

22. Elementos de la teoría de conjuntos
Si y entonces A=B
Ejemplo:
Sea A={x/x es un numero natural par}
B={2,4,6,8,10,12,14,16…}
Todos los elementos de A son también elementos de B.
decimos entonces que A=BBA AB

23. Elementos de la teoría de conjuntos
Conjuntos Finitos y Conjuntos infinitos
Decimos que un conjunto es finito cuando se puede
establecer el numero de elementos que tiene.
Ejemplo:
A={x/x son los días del año}
B={x/x son las células del cuerpo humano}

24. Elementos de la teoría de conjuntos
Decimos que un conjunto es infinito cuando no
podemos determinar un ultimo elemento y por
consiguiente no es posible determinar el numero de
sus elementos.
A={x/x es numero Entero}
B={x/x es numero Real}

25. Elementos de la teoría de conjuntos
Algunos conjuntos especiales
Si un conjunto tiene solo un elemento lo llamamos conjunto
unitario
A={2}
Si un conjunto tiene dos elementos lo llamamos conjunto par
B={a,b}
El conjunto vacio es un conjunto que no tiene elemento
alguno. Es un conjunto sin elementos
A={} o A= Ф
El conjunto vacio no se representa así A={Ф} esto significaría
que existe un elemento Фen el conjunto A

26. Elementos de la teoría de conjuntos
El conjunto referencial: también llamado conjunto
Universo y que lo denotaremos con la letra U, es un
conjunto al que pertenecen todos los elementos de
los conjuntos con que estamos trabajando.
Por ejemplo
U={x/x es un numero entero}
A={x/x es un numero entero par}

27. Elementos de la teoría de conjuntos
Conjunto Potencia
El conjunto potencia de A es el conjunto de todos los
subconjuntos de A denotado por
Donde denota a todos los subconjuntos
de A incluido el mismo, que se pueden construirn
AP 2)( n
AP 2)(

28. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplo
Sea A={a,b,c}
Entonces el conjunto potencia es
donde n es el numero
de elementos del conjunto A
Por lo tanto podemos crear 8 subconjuntos con el
conjunto A, empezando por el conjunto vacio
{ },{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}n
AP 2)( 3
2)(AP 82)(
3
AP

29. Elementos de la teoría de conjuntos
Diagramas de Venn
Un esquema muchas veces, nos ayuda a aclarar
muchas dudas, en este caso un diagrama de Venn
es una superficie cerrada que nos servirá para
representar los conjuntos A
A={a,e,i,o,u} a e
i o
u

30. Elementos de la teoría de conjuntos
Operaciones en los conjuntos (Algebra de
Conjuntos)
Unión de conjuntos: Dados 2 conjuntos cualesquiera A y
B llamamos Unión de A con B, al conjunto formado
por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o
pertenecen al conjunto B.
Es de notar que la letra o enmarcada, tiene en este caso
un carácter inclusivo o incluyente, es decir que los
elementos pueden ser de A o pueden ser de B o pueden
ser de ambos. V = oBA  } / BxAxxBA 

31. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplos:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={6,7,8,9}}9,8,7,6,5,4,3,2,1{BA

32. Elementos de la teoría de conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
Los conjuntos son ajenos entres si
1 2 3
4 5
6 7 8
9
A
B

33. Elementos de la teoría de conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
1 2 3
4 5
6 7 8
9
AUB

34. Elementos de la teoría de conjuntos
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
Note que aunque los elementos 3,4 y 5 están en los
dos conjuntos solo se representan una vez}9,8,7,6,5,4,3,2,1{BA

35. Elementos de la teoría de conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
Los conjuntos A y B tienen elementos en comun
1 2 3
4 5
6 7 8
9
A B

36. Elementos de la teoría de conjuntos
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Note que todos los elementos de A están en B}9,8,7,6,5,4,3,2,1{BA

37. Elementos de la teoría de conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
El conjunto A esta contenido en B
1 2 3
4 5
6 7 8
9
A
BBA

38. Elementos de la teoría de conjuntos
Intersección de conjuntos
Dados 2 conjuntos cualesquiera A,B llamamos
intersección de A con B al conjunto por todos los
elementos que pertenecen al conjunto A y pertenecen
al conjunto B
Es de notar que la letra y enmarcada, tiene en
este caso un carácter excluyente, es decir que los
elementos tienen que ser de A y tienen que ser
de B BA  } / BxAxxBA  y

39. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={6,7,8,9}
Puesto que no hay elementos que estén tanto en A
como en BBA

40. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}5,4,3BA

41. Elementos de la teoría de conjuntos
Intersección mediante diagramas de Venn
U
La intersección es solamente el conjunto formado por los
elementos que se aparecen tanto en A como en B
1 2 3
4 5
6 7 8
9
A B
3,4,5

42. Elementos de la teoría de conjuntos
Diferencia de Conjuntos
Dados dos conjuntos cualesquiera A,B llamamos
diferencia de A con B A-B, al conjunto formado
por todos los elementos que pertenecen al conjunto
A y no pertenecen al conjunto B BxAxxBA  /

43. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
Notemos que los elementos 1,2 están en el conjunto
A pero no están en el conjunto B2,1BA

44. Elementos de la teoría de conjuntos
Diferencia mediante diagramas de Venn
U
4 5
6 7 8
9
A B
1 2 3
La diferencia A-B es el conjunto formado por 1,2 que son
los elementos que estan en A pero no estan en B

45. Elementos de la teoría de conjuntos
Diferencia Simétrica
Dados dos conjuntos A,B llamamos Diferencia
Simétrica de A con B, A B al conjunto formado
por todos los elementos que pertenecen al conjunto
A-B o pertenecen al conjunto B-A
A B=  ABxBAxx  /

46. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
A B={1,2,6,7,8,9}

47. Elementos de la teoría de conjuntos
Diferencia Simétrica mediante diagramas de Venn
U
4 5
A B
1 2 3
La diferencia simétrica A B es el conjunto formado por
1,2,6,7,8,9 los elementos que estan en A pero no estan en B
y los elementos que estan en B pero que no estan en A
6 7 8
9

48. Elementos de la teoría de conjuntos
Complemento de un conjunto: Los conjuntos son a su
vez subconjuntos de otros conjuntos o del conjunto
universo U, dado un conjunto A que es subconjunto
del conjunto B podemos decir que
Donde es llamado el conjunto complemento de A. AAB A

49. Elementos de la Teoría de Conjuntos
Ejemplo:
Dados A={a,e,i,o,u}
B={x/x es letra del alfabeto en español}español} alfabeto del consonante es /{A xx

50. Elementos de la teoría de Conjuntos
Leyes de DeMorgan: Leyes escritas por el matemático
ingles AugustusDe MorganBAB)(A  BAB)(A 

51. Elementos de la teoría de conjuntos
Ejemplo:
Dados U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
Primero realizamos el lado izquierdoBAB)(A  ,6,7,8,9}{1,2,3,4,5B)(A  }15,14,13,12,11,10{B)(A 

52. Elementos de la teoría de conjuntos
Ahora hacemos el lado derechoBA }15,4,3,12,11,10,9,8,7,6{A }15,14,13,12,11,10,2,1{B }15,14,13,12,11,10{BA 