Teoria de Conuntos. Breve Historia de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama fundamental de la matemática que se formalizó a finales del siglo XIX. Su principal precursor fue el matemático alemán georg cantor quien al estudiar las series de fourier comenzó a trabajar con conjuntos infinitos su trabajo inicial fue muy controvertido y no fue aceptado de inmediato por todos sus contemporáneos, especialmente por figuras como leopold kronecker.

1. Teoria de Conjuntos
LOGICA

2. TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS HISTORIA
La teoría de conjuntos es una rama fundamental de la
matemática que se formalizó a finales del siglo XIX. Su principal
precursor fue el matemático alemán georg cantor quien al estudiar
las series de fourier comenzó a trabajar con conjuntos infinitos su
trabajo inicial fue muy controvertido y no fue aceptado de
inmediato por todos sus contemporáneos, especialmente por
figuras como leopold kronecker.
Sin embargo, a principios del siglo XX la teoría de conjuntos fue
ganando aceptación y se convirtió en un pilar de las matemáticas
modernas. Se desarrolló una axiomatización rigurosa destacando
la formulación de zermelo-fraenkel la teoría de conjuntos se utiliza
en la actualidad para definir conceptos matemáticos
fundamentales como los números y las funciones proporcionando
un lenguaje común y una base sólida para diversas áreas de la
ciencia.
La teoría de conjuntos es una rama fundamental de la
matemática que se formalizó a finales del siglo XIX. Su principal
precursor fue el matemático alemán georg cantor quien al estudiar
las series de fourier comenzó a trabajar con conjuntos infinitos su
trabajo inicial fue muy controvertido y no fue aceptado de
inmediato por todos sus contemporáneos, especialmente por
figuras como leopold kronecker.
Sin embargo, a principios del siglo XX la teoría de conjuntos fue
ganando aceptación y se convirtió en un pilar de las matemáticas
modernas. Se desarrolló una axiomatización rigurosa destacando
la formulación de zermelo-fraenkel la teoría de conjuntos se utiliza
en la actualidad para definir conceptos matemáticos
fundamentales como los números y las funciones proporcionando
un lenguaje común y una base sólida para diversas áreas de la
ciencia.
Breve Historia de la teoría
de conjuntos
Breve Historia de la teoría
de conjuntos

3. Un conjunto es una colección de objetos bien definidos distintos y no ordenados estos objetos se llaman elemento de un
conjunto para representar un conjunto usamos las letras mayúscula (A;B;C…) y encerramos sus elementos entre llaves { } por
ejemplo, el conjunto A que contiene los primeros tres números naturales se describe como: A={ 1,2,3 } la pertenencia de un
elemento a un conjunto se denota con ∈ por ejemplo 2 ∈ A otro ejemplo sería con el símbolo de no pertence ∉. Se puede
decir que 4∉.A
Un conjunto es una colección de objetos bien definidos distintos y no ordenados estos objetos se llaman elemento de un
conjunto para representar un conjunto usamos las letras mayúscula (A;B;C…) y encerramos sus elementos entre llaves { } por
ejemplo, el conjunto A que contiene los primeros tres números naturales se describe como: A={ 1,2,3 } la pertenencia de un
elemento a un conjunto se denota con ∈ por ejemplo 2 ∈ A otro ejemplo sería con el símbolo de no pertence ∉. Se puede
decir que 4∉.A
Un subconjunto es un conjunto de elementos en el que todos sus
elementos estan contenidos dentro de otro conjunto mas grande por
ejemplo si el conjunto B es un subconjunto de A escribimos B ⊆ A un
ejemplo es si, A = {1,2,3 } y B= {1,2 } Entonces b esta contendo en A
porque todos los elemtos de B estan en A . el conjunto vacio,
denotado por Ø es el unico conjunto que es subconjunto de todos los
demas conjuntos
Un subconjunto es un conjunto de elementos en el que todos sus
elementos estan contenidos dentro de otro conjunto mas grande por
ejemplo si el conjunto B es un subconjunto de A escribimos B ⊆ A un
ejemplo es si, A = {1,2,3 } y B= {1,2 } Entonces b esta contendo en A
porque todos los elemtos de B estan en A . el conjunto vacio,
denotado por Ø es el unico conjunto que es subconjunto de todos los
demas conjuntos
DETERMINACION DE UN CONJUNTODETERMINACION DE UN CONJUNTO
CONJUNTOSCONJUNTOS
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS DEFINICIONDEFINICION
La determinación de un conjunto se refiere a como se especifica
que elementos pertenecen a el hay 2 formas principales:
Por extensión: se enumeran explícitamente todos los elementos
del conjunto n
Ventajas: muy claro y directo
Desventaja: complejo para números infinitos
POR EJEMPLO: V ES EL CONJUNTO DE LAS VOCALES V=
{A,E,I,O,U}
Por comprensión: se describe una propiedad común que
todos los elementos deben cumplir
POR EJEMPLO : V={X/X ES UNA VOCAL}
La determinación de un conjunto se refiere a como se especifica
que elementos pertenecen a el hay 2 formas principales:
Por extensión: se enumeran explícitamente todos los elementos
del conjunto n
Ventajas: muy claro y directo
Desventaja: complejo para números infinitos
POR EJEMPLO: V ES EL CONJUNTO DE LAS VOCALES V=
{A,E,I,O,U}
Por comprensión: se describe una propiedad común que
todos los elementos deben cumplir
POR EJEMPLO : V={X/X ES UNA VOCAL}
DETERMINACION DE UN SUBCONJUNTODETERMINACION DE UN SUBCONJUNTO

4. Dos conjuntos A y B se consideran
iguales si y sólo si tienen exactamente
los mismos elementos el orden en que
se enumeran los elementos no importa
ni tampoco si un elemento se repite se
denota de la siguiente manera: A=B si y
sólo si (A ⊆ B) y (B ⊆ A)
EJEMPLOS: SI A {1,2,3} Y B={3,1,2}
ENTONCES A=B
Dos conjuntos A y B se consideran
iguales si y sólo si tienen exactamente
los mismos elementos el orden en que
se enumeran los elementos no importa
ni tampoco si un elemento se repite se
denota de la siguiente manera: A=B si y
sólo si (A ⊆ B) y (B ⊆ A)
EJEMPLOS: SI A {1,2,3} Y B={3,1,2}
ENTONCES A=B
IGUALDAD DE
CONJUNTOS
IGUALDAD DE
CONJUNTOSESCUELA BENITO JUÁREZ
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS

5. POTENCIA (CONJUNTOS DE
SUBCONJUNTOS)
Definición
TEORIA DE CONJUNTOS POTENCIA (CONJUNTOS DE
SUBCONJUNTOS)
El conjunto potencia de un conjunto A,
denotado P(A), es el conjunto de todos los
subconjuntos de A.
Ejemplo:
Si A = {1, 2}, entonces:
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
Propiedad importante:
Si un conjunto tiene n elementos, su conjunto
potencia tiene 2ⁿ elementos.
Aplicaciones:
En álgebra booleana
En teoría de probabilidades
En informática (conjuntos de bits)
El conjunto potencia de un conjunto A,
denotado P(A), es el conjunto de todos los
subconjuntos de A.
Ejemplo:
Si A = {1, 2}, entonces:
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
Propiedad importante:
Si un conjunto tiene n elementos, su conjunto
potencia tiene 2ⁿ elementos.
Aplicaciones:
En álgebra booleana
En teoría de probabilidades
En informática (conjuntos de bits)
El conjunto potencia de A={1,2,3}A={1,2,3},
denotado como P(A)P(A), está formado por todos
sus subconjuntos posibles: el conjunto vacío
∅∅, los tres subconjuntos unitarios {1},{2},{3}
{1},{2},{3}, los tres subconjuntos de dos
elementos {1,2},{1,3},{2,3}{1,2},{1,3},{2,3}, y el
conjunto completo {1,2,3}{1,2,3}, lo que da un
total de 23=823=8 elementos.
El conjunto potencia de A={1,2,3}A={1,2,3},
denotado como P(A)P(A), está formado por todos
sus subconjuntos posibles: el conjunto vacío
∅∅, los tres subconjuntos unitarios {1},{2},{3}
{1},{2},{3}, los tres subconjuntos de dos
elementos {1,2},{1,3},{2,3}{1,2},{1,3},{2,3}, y el
conjunto completo {1,2,3}{1,2,3}, lo que da un
total de 23=823=8 elementos.

6. Visualización de relaciones
Unión: Elementos que pertenecen a
cualquiera de los conjuntos.
Intersección: Elementos que son comunes a
dos o más conjuntos.
Diferencia: Elementos que están en un
conjunto pero no en otro.
Complemento: Elementos que no pertenecen
a un conjunto.
Elementos clave de un diagrama
de Venn lógico
Conjuntos: Grupos de elementos que
comparten una o más características.
Elementos: Los individuos o objetos dentro de
un conjunto.
Áreas de superposición: Representan la
intersección de los conjuntos, mostrando las
propiedades compartidas.
Áreas no superpuestas: Muestran elementos que
son exclusivos de un solo conjunto.
Usos comunes
Lógica y razonamiento: Para analizar y
resolver problemas que involucran relaciones
lógicas entre diferentes grupos de elementos.
Teoría de conjuntos: Para ilustrar conceptos
como la unión, la intersección y la diferencia
de conjuntos.
Estadística y probabilidad: Para visualizar y
comparar datos.
Lingüística y ciencias de la computación: Para
mostrar relaciones entre diferentes sistemas
de conceptos.
DIAGRAMAS DE VENNCLASE DE MATEMÁTICAS ESCUELA BENITO JUÁREZ
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
DIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENN
Un diagrama de Venn es una representación gráfica de la relación entre conjuntos, formada por círculos (o elipses) que
se superponen para mostrar las características compartidas y las diferencias entre los grupos que representan.
En el razonamiento deductivo, si las premisas son verdaderas y la forma del argumento es correcta, entonces la
conclusión debe ser verdadera

7. Conjunto formado por todos los elementos que pertenecen tanto a A como
a B.
Símbolo: ∩
Fórmula: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
Casos especiales:
Si A ∩ B = ∅ → Conjuntos disjuntos
Si A ∩ B ≠ ∅ → Conjuntos que se intersectan
Propiedades:
Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Conjunto formado por todos los elementos que pertenecen tanto a A como
a B.
Símbolo: ∩
Fórmula: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
Casos especiales:
Si A ∩ B = ∅ → Conjuntos disjuntos
Si A ∩ B ≠ ∅ → Conjuntos que se intersectan
Propiedades:
Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) CLASE DE MATEMÁTICAS
OPERACIONES
ENTRE
CONJUNTOS
OPERACIONES
ENTRE
CONJUNTOSCLASE DE MATEMÁTICAS
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A, a B, o a
ambos.
Símbolo: ∪
Fórmula: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Propiedades:
Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A
Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A, a B, o a
ambos.
Símbolo: ∪
Fórmula: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Propiedades:
Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A
Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
UNION
INTERSECCION
UNION
INTERSECCION
UNIONUNION
INTERSECCIONINTERSECCION

8. La diferencia de dos conjuntos A y B se define como las listas de todos los elementos que están
en el conjunto A pero que no están presentes en el conjunto B. La notación de conjuntos
utilizada para representar la diferencia entre los dos conjuntos A y B es A − B o A ∖ B. A - B en
la notación de constructor de conjuntos se define de la siguiente manera:
A - B = {x / x ∈ A y x ∉ B}
A - B = el conjunto que se obtiene al quitar los elementos de A ∩ B de A
B - A = el conjunto que se obtiene al quitar los elementos de A ∩ B de B
La diferencia de dos conjuntos A y B se define como las listas de todos los elementos que están
en el conjunto A pero que no están presentes en el conjunto B. La notación de conjuntos
utilizada para representar la diferencia entre los dos conjuntos A y B es A − B o A ∖ B. A - B en
la notación de constructor de conjuntos se define de la siguiente manera:
A - B = {x / x ∈ A y x ∉ B}
A - B = el conjunto que se obtiene al quitar los elementos de A ∩ B de A
B - A = el conjunto que se obtiene al quitar los elementos de A ∩ B de B
DIFERENCIA DE CONJUNTOSDIFERENCIA DE CONJUNTOS
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS DIFERENCIA DE CONJUNTOSDIFERENCIA DE CONJUNTOS

9. Inténtalo y aprendeCLASE DE MATEMÁTICAS ESCUELA BENITO JUÁREZ
COMPLEMENTO Y DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
COMPLEMENTO Y DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
El complemento de un conjunto A se denota por A' o A c y es la diferencia de los
conjuntos U y A, donde U es el conjunto universal, es decir, A' (o) A c = U - A. Esto se
refiere al conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no son elementos
del conjunto A.
El complemento de un conjunto A se denota por A' o A c y es la diferencia de los
conjuntos U y A, donde U es el conjunto universal, es decir, A' (o) A c = U - A. Esto se
refiere al conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no son elementos
del conjunto A.
Consideremos el ejemplo del conjunto A = {1, 2, 3} y U = {1, 2, 3, 4, 6}, entonces el
complemento de A es,
A' (o) A c = { ̶ ̶1̶,̶ ̶2̶,̶ ̶3̶, 4, 6} - { ̶ ̶1̶,̶ ̶2̶,̶ ̶3̶} = {4, 6}.
Si el conjunto universal es diferente, por ejemplo, U = {-3, -2, 0, 1, 2}, entonces el
complemento de A es,
A' (o) A c = {-3, -2, 0, 1̶,̶ ̶2̶} - {1̶,̶ ̶2̶, 3} = {-3, -2, 0}.
Debemos prestar atención a qué conjunto universal se considera para la diferencia.
Consideremos el ejemplo del conjunto A = {1, 2, 3} y U = {1, 2, 3, 4, 6}, entonces el
complemento de A es,
A' (o) A c = { ̶ ̶1̶,̶ ̶2̶,̶ ̶3̶, 4, 6} - { ̶ ̶1̶,̶ ̶2̶,̶ ̶3̶} = {4, 6}.
Si el conjunto universal es diferente, por ejemplo, U = {-3, -2, 0, 1, 2}, entonces el
complemento de A es,
A' (o) A c = {-3, -2, 0, 1̶,̶ ̶2̶} - {1̶,̶ ̶2̶, 3} = {-3, -2, 0}.
Debemos prestar atención a qué conjunto universal se considera para la diferencia.
Ejemplo de complemento de un
conjunto
Ejemplo de complemento de un
conjunto
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
COMPLEMENTO Y DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
COMPLEMENTO Y DIFERENCIA DE
CONJUNTOS

10. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS
Si A y B son dos conjuntos, la diferencia simétrica entre A y B se denota por A Δ B y se
define como A Δ B = (A - B) U (B - A). Existe una fórmula alternativa para la diferencia
simétrica de conjuntos que dice A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B). Aquí está el diagrama de Venn
de A Δ B.
Si A y B son dos conjuntos, la diferencia simétrica entre A y B se denota por A Δ B y se
define como A Δ B = (A - B) U (B - A). Existe una fórmula alternativa para la diferencia
simétrica de conjuntos que dice A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B). Aquí está el diagrama de Venn
de A Δ B.
Ejemplo de diferencia simétrica de conjuntos
Consideremos dos conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 8} y B = {3, 5, 6, 8,
9}. Para hallar la diferencia simétrica de A y B,
Paso 1: Encuentra A - B.
A - B = {1, 2, 4, ̶5̶, ̶8̶} - {3, ̶5̶, 6, ̶8̶, 9} = {1, 2, 4}
Paso 2: Encuentra B - A.
B - A = {3, ̶5̶, 6, ̶8̶, 9} - {1, 2, 4, ̶5̶, ̶8̶} = {3, 6, 9}
Paso 3: Halla A Δ B = (A - B) U (B - A).
A Δ B = (A - B) U (B - A) = {1, 2, 4} U {3, 6, 9} = {1, 2, 3, 4, 6, 9}
Consideremos dos conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 8} y B = {3, 5, 6, 8,
9}. Para hallar la diferencia simétrica de A y B,
Paso 1: Encuentra A - B.
A - B = {1, 2, 4, ̶5̶, ̶8̶} - {3, ̶5̶, 6, ̶8̶, 9} = {1, 2, 4}
Paso 2: Encuentra B - A.
B - A = {3, ̶5̶, 6, ̶8̶, 9} - {1, 2, 4, ̶5̶, ̶8̶} = {3, 6, 9}
Paso 3: Halla A Δ B = (A - B) U (B - A).
A Δ B = (A - B) U (B - A) = {1, 2, 4} U {3, 6, 9} = {1, 2, 3, 4, 6, 9}CLASE DE MATEMÁTICAS ESCUELA BENITO JUÁREZ
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS

11. LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Las leyes del álgebra de conjuntos son las reglas que rigen las operaciones de unión (∪), intersección (∩), complemento
('), diferencia (-) y diferencia simétrica (♁) entre conjuntos, e incluyen leyes conmutativas, asociativas, distributivas, de
idempotencia, de Morgan, de identidad, de contradicción y de absorción, entre otras. Estas leyes son fundamentales
para simplificar y manipular expresiones que involucran conjuntos.
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS LEYES DEL ÁLGEBRA DE
CONJUNTOS
LEYES DEL ÁLGEBRA DE
CONJUNTOSConmutativa Asociativa : El orden de los conjuntos no altera
el resultado de la operación.
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A Leyes de Idempotencia Una operación puede distribuirse
sobre la otra.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Leyes de Identidad Distributiva
La forma en que se agrupan los
conjuntos en operaciones
sucesivas no afecta el resultado.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)Estas leyes establecen que la unión o
intersección de un conjunto consigo mismo
es el mismo conjunto.
A ∪ A = A
A ∩ A = A Estas leyes muestran la relación entre un
conjunto y los conjuntos universales (U) o vacíos
(∅).
A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅
Producto cartesiano
Forma pares ordenados con todos los
elementos de un conjunto combinados con
todos los del otro.
Ejemplo:
A = {1, 2}, B = {a, b}
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

12. CLASE DE MATEMÁTICAS ESCUELA BENITO JUÁREZ Las imágenes o capturas de pantalla de artículos relacionados con la lección
también son eficaces para reforzar el aprendizaje. Aprovecha al máximo este
espacio para los recursos adicionales que quieras compartir con tus alumnos. Es
algo que pueden consultar fácilmente o buscar en línea en caso de necesitar un
repaso.
Duplica esta página tantas veces como sea necesario.
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
Agrupa todos los elementos que
están en al menos uno de los
conjuntos.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Complemento de un conjunto
Agrupa los elementos que están en
un conjunto pero no en el otro.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}
A – B = {1, 2}
Diferencia simétrica
Producto cartesiano
Incluye los elementos que están en uno o
en otro, pero no en ambos.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}
A △ B = {1, 2, 4, 5}
Diferencia de conjuntos
Agrupa solo los elementos que se
repiten en todos los conjuntos.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
Incluye todo lo que no está en el conjunto,
pero sí pertenece al universo de referencia.
Ejemplo:
Si el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5}, y
A = {1, 2}
El complemento de A sería Aᶜ = {3, 4, 5}
Forma pares ordenados con todos los
elementos de un conjunto combinados con
todos los del otro.
Ejemplo:
A = {1, 2}, B = {a, b}
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS LEYES DEL ÁLGEBRA DE
CONJUNTOS
LEYES DEL ÁLGEBRA DE
CONJUNTOS

13. OPERACIONES GENERALIZADAS
EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS
OPERACIONES GENERALIZADAS
EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Las operaciones generalizadas en la teoría de conjuntos, más comúnmente conocidas como operaciones de conjuntos o
álgebra de conjuntos, son procedimientos que permiten obtener nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes. Las
operaciones fundamentales incluyen la unión (∪), que combina todos los elementos de dos o más conjuntos; la intersección
(∩), que identifica los elementos comunes; la diferencia (-), que muestra los elementos de un conjunto que no están en otro; y
el complemento (A'), que incluye todos los elementos fuera de un conjunto dado dentro de un conjunto universal.
Operaciones Fundamentales:
Antes de entender las generalizaciones, es importante conocer las operaciones básicas entre dos o más conjuntos: 
Unión (∪): Contiene todos los
elementos que están en el primer
conjunto, en el segundo, o en
ambos.
Intersección (∩): Contiene solo los
elementos que son comunes a
ambos conjuntos. 
Diferencia (∖ o -): Contiene los
elementos del primer conjunto que
no están en el segundo. 
Complemento (A'): Contiene todos
los elementos del conjunto universal
que no están en el conjunto A. 
Generalizaciones: Las operaciones pueden
extenderse a familias de conjuntos más
grandes. Para esto, podemos usar: 
Un índice: Una familia de conjuntos puede
ser indexada, como {Aᵢ : i ∈ I}, donde 'I' es
un conjunto de índices. 
Unión generalizada (∪ᵢ∈I Aᵢ): Es el
conjunto de todos los elementos que
pertenecen a al menos uno de los conjuntos
de la familia Aᵢ. 
Intersección generalizada (∩ᵢ∈I Aᵢ): Es el
conjunto de todos los elementos que
pertenecen a todos los conjuntos de la
familia Aᵢ. 
Ejemplo Práctico
Imagina que tienes varios círculos en un
diagrama de Venn: 
La unión generalizada de todos esos
círculos representaría todos los elementos
dentro de todos los círculos. 
La intersección generalizada sería la zona
donde todos los círculos se superponen,
es decir, los elementos que están en cada
uno de los círculos.
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS OPERACIONES GENERALIZADAS EN LA TEORÍA DE
CONJUNTOS
OPERACIONES GENERALIZADAS EN LA TEORÍA DE
CONJUNTOS

14. Las leyes de De Morgan son dos reglas fundamentales en lógica proposicional y teoría de conjuntos que relacionan las
operaciones de negación y conjunción, y en teoría de conjuntos, el complemento con la unión y la intersección. El
matemático y lógico Augustus De Morgan estableció estas reglas. Estos principios permiten transformar expresiones
que contienen una negación fuera de una conjunción o una disyunción, convirtiéndo las en una expresión equivalente
con la negación dentro de las mismas.
LAS LEYES DE DE MORGAN
De acuerdo con la lógica formal, cualquier enunciado
puede expresarse mediante las conectivas lógicas ¬, ∧ y
∨. En ese sentido, la negación de una conjunción puede
expresarse de otra forma: ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q, donde:
¬ p indica 'p no es verdadero'; y p ∨ q indica 'p o q son
verdaderos'. Este enunciado se denomina primera ley de
Morgan. En lógica proposicional, la primera ley establece
que la negación de una conjunción de proposiciones es
lógicamente equivalente a la disyunción de las
negaciones de las proposiciones
Primera Ley de Morgan Primera Ley de Morgan
Una ley fundamental importante y que ha permitido muchas
formas prácticas para el uso de la lógica en la actualidad,
recibió el nombre de ley de De Morgan. Un silogismo útil para
trabajar en diferentes campos y la forma en la que fue enunciada
obtuvo el nombre de ley del conjunto. La primera Ley de Morgan
establece que la negación de la conjunción simple es lo mismo
que la disyunción de las negaciones; que puede entenderse como
que el complemento de la intersección de dos conjuntos es igual
a la unión de los complementos. La segunda Ley de Morgan
especifica que la negación de una disyunción es la conjunción de
las negaciones; es decir, el complemento de la unión de dos
conjuntos es igual a la intersección de los complementos.
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS LAS LEYES DE DE MORGANLAS LEYES DE DE MORGAN

15. PARTICIÓN DE UN CONJUNTOPARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Las operaciones generalizadas en la teoría de conjuntos, más comúnmente conocidas como operaciones de conjuntos o
álgebra de conjuntos, son procedimientos que permiten obtener nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes. Las
operaciones fundamentales incluyen la unión (∪), que combina todos los elementos de dos o más conjuntos; la intersección
(∩), que identifica los elementos comunes; la diferencia (-), que muestra los elementos de un conjunto que no están en otro; y
el complemento (A'), que incluye todos los elementos fuera de un conjunto dado dentro de un conjunto universal.
Operaciones Fundamentales:
Antes de entender las generalizaciones, es importante conocer las operaciones básicas entre dos o más conjuntos: 
Unión (∪): Contiene todos los
elementos que están en el primer
conjunto, en el segundo, o en
ambos.
Intersección (∩): Contiene solo los
elementos que son comunes a
ambos conjuntos. 
Diferencia (∖ o -): Contiene los
elementos del primer conjunto que
no están en el segundo. 
Complemento (A'): Contiene todos
los elementos del conjunto universal
que no están en el conjunto A. 
Generalizaciones: Las operaciones pueden
extenderse a familias de conjuntos más
grandes. Para esto, podemos usar: 
Un índice: Una familia de conjuntos puede
ser indexada, como {Aᵢ : i ∈ I}, donde 'I' es
un conjunto de índices. 
Unión generalizada (∪ᵢ∈I Aᵢ): Es el
conjunto de todos los elementos que
pertenecen a al menos uno de los conjuntos
de la familia Aᵢ. 
Intersección generalizada (∩ᵢ∈I Aᵢ): Es el
conjunto de todos los elementos que
pertenecen a todos los conjuntos de la
familia Aᵢ. 
Ejemplo Práctico
Imagina que tienes varios círculos en un
diagrama de Venn: 
La unión generalizada de todos esos
círculos representaría todos los elementos
dentro de todos los círculos. 
La intersección generalizada sería la zona
donde todos los círculos se superponen,
es decir, los elementos que están en cada
uno de los círculos.
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS PARTICIÓN DE UN CONJUNTOPARTICIÓN DE UN CONJUNTO

16. Cardinalidad de un conjunto
(cardinal) Números cardinales
Son los números
(como uno, dos,
tres) que se utilizan
para expresar la
cantidad de
elementos. Naturaleza de la
cardinalidad
Puede ser un
número finito o
infinito.
Conjunto finito
Si el conjunto es A = {1, 2,
3, 4, 5, 6}, su
cardinalidad es 6, ya que
el conjunto tiene seis
elementos.
Conjunto infinito
La cardinalidad se puede
extender a conjuntos
infinitos, como los
números naturales, que
tienen una cardinalidad
infinita.
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene. Se representa con el símbolo |A| o #A para
un conjunto A. Para conjuntos finitos, es simplemente contar cuántos elementos hay, como, por ejemplo, el conjunto A
= {manzana, plátano, cereza} tiene cardinalidad 3, porque tiene tres elementos. 
CONCEPTOS CLAVE:Comparación de
conjuntos
La cardinalidad permite
comparar conjuntos, incluso
si sus elementos son
diferentes, siempre que
tengan la misma cantidad
de elementos, como los
conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4},
ambos con cardinalidad 3.
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO (CARDINAL)CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO (CARDINAL)

17. PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Una partición de un conjunto es la división del conjunto en subconjuntos no vacíos y disjuntos (que no comparten
elementos) tal que la unión de todos estos subconjuntos es el conjunto original. Para que una colección de subconjuntos
sea una partición, se deben cumplir tres condiciones: cada subconjunto debe ser no vacío, la intersección de dos
subconjuntos diferentes debe ser vacía, y la unión de todos los subconjuntos debe ser el conjunto completo.
Propiedades de una partición:
No vacíos: Ninguno de los subconjuntos de la partición puede estar vacío.
Disjuntos: La intersección de cualquier par de subconjuntos distintos debe ser el conjunto vacío. 
Recubrimiento: La unión de todos los subconjuntos de la partición debe ser igual al conjunto original.
El conjunto vacíotiene exactamente una partición, a saber(Nota: esta es la partición, no un miembro de la partición).
Para cualquier conjunto no vacío X, P = {X} es una partición de X, llamada partición trivial.
En particular, cada conjunto singleton {x} tiene exactamente una partición, es decir {{x}}.
 
Ejemplo simple:
Ejemplo:
Si tenemos el conjunto A = {a, b, c}, algunas particiones posibles son:
{{a, b, c}}
{{a, b}, {c}}
{{a}, {b}, {c}}
{{a, c}, {b}}
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS PARTICIÓN DE UN CONJUNTOPARTICIÓN DE UN CONJUNTO

18. ¡MUCHAS GRACIAS
POR SU ATENCION!
TEORIA DE CONJUNTOS