TEORIA DE ESTRUCTURAS - METODO DE CROSS

1. TEORIA DE ESTRUCTURAS
METODO DE CROSS
ING. WILLIAM LOPEZ
1

2. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS ­ HISTORIA
     El M
étodo de Distribución de Momentos o 
M
étodo  de  Cross,  es  un  método  de  análisis 
estructural  para  vigas  est
áticamente 
indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy 
Cross. Publicado por primera vez en 1.930en una 
revista de la American Society Civil Engineering; 
el m
étodo solo calcula el efecto de los momentos 
flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, 
suficiente para efectos pr
ácticos. Desde esa fecha 
hasta  que  las  computadoras  comenzaron  a  ser 
usadas en el dise
ño y análisis de estructuras, el 
m
étodo de distribución de momentos fue  el mas 
usado.
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ING. WILLIAM LOPEZ

3. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS ­ 
INTRODUCCI
ÓN
3
ING. WILLIAM LOPEZ
     En el M
étodo de Distribución de Momentos cada 
articulaci
ón de la estructura que se va a analizar, 
es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los 
Extremo fijos. Despu
és cada articulación fija es 
secuencialmente  liberada  y  el  momento  en  el 
extremo fijo (el cual al momento de ser liberado 
no esta en equilibrio) son distribuidos a miembros 
adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. 
El m
étodo de distribución de momentos desde el 
punto de vista matem
ático puede ser demostrado 
como el proceso de resolver una serie de sistemas 
de ecuaciones por iteraciones. 

4. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
   Para la aplicaci
ón del método de cross deben seguirse 
los siguientes pasos:
    1) Momentos de “empotramiento” en extremos fijos: 
son  los  momentos  producidos  al  extremo  del 
miembro por cargas externas cuando las juntas est
án 
fijas.
    2) Rigidez a la Flexi
ón:
 la rigidez a la flexi
ón (EI/L) 
de un miembro es representada como el producto del 
Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de 
á
rea, también conocido como Momento de Inercia (I) 
dividido  por  la  longitud  (L)  del  miembro,  que  es 
necesaria en el m
étodo de distribución de momentos, 
no es el valor exacto pero es la raz
ón aritmética de 
rigidez de todos los miembros.
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ING. WILLIAM LOPEZ

5. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
   3) Factores de Distribuci
ón: pueden ser considerados 
como  las  proporciones  de  los  momentos  no 
balanceados llevados por cada uno de sus miembros.
   4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no 
balanceados son llevados sobre el otro extremo del 
miembro cuando la junta es liberada. La raz
ón de 
momento  acarreado  sobre  el  otro  extremo,  al 
momento en el extremo fijo del extremo inicial es el 
factor de acarreo.
   5) Convenci
ón de Signos: un momento actuando en 
sentido horario es considerado positivo. Esto difiere 
de la convenci
ón de signos  usual en ingeniería, la 
cual emplea un sistema de coordenadas cartesianos.
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ING. WILLIAM LOPEZ

6. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
   Ejemplo de calculo Nº 1:
     Analizar  la  viga  est
áticamente  indeterminada 
mostrada en la figura. Donde P= 10.000 Kg, q= 1000 
Kg/m y L= 10 mts, Rigideces a Flexi
ón: AB= EI,BC= 
2EI, CD= EI
6
ING. WILLIAM LOPEZ
a b
L
P
L
q
L/2 L/2
L
P
A B C D

7. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
   Soluci
ón del Ejemplo de calculo Nº 1:
  
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ING. WILLIAM LOPEZ
 Paso I: se procede a realizar los c
álculos preliminares de   
los momento en extremos fijos para cada caso tal y como se 
muestra.
a b
L
P M
B
M
A
-M
A
= P*b
2
/L
2

M
B= P*a
2
/L
2
V
A
= P*b/L
V
B
= P*a/L
Caso (a)

8. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
   Soluci
ón del Ejemplo de calculo Nº 1:
  
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ING. WILLIAM LOPEZ
L
q
M
BM
A
-M
A
= q*L
2
/12
M
B= q*L
2
/12
V
A
= q*L/2
V
B
= q*L/2
Caso (b)
L/2 L/2
L
P M
BM
A
-M
A
= P*L/8
M
B= P*L/8
V
A
= P/2
V
B= P/2
Caso (c)

9. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
   Soluci
ón del Ejemplo de calculo Nº 1:
  
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ING. WILLIAM LOPEZ
 Paso II: se procede a la construcci
ón de la tabla de 
calculo,  una  vez    determinados  los  Factores  de 
Distribuci
ón.  Para  el  calculo  de  esos  factores  de 
distribuci
ón debe considerarse la Rigidez Rotacional a 
un Giro (k) en los casos en que sea la misma 4*E*I/L y 
tambi
én  cuando  sea  un  caso  como  el  del  ejemplo 
donde son distintas y seria 3*E*I/L. En esa tabla 
tambi
én  se  procederá  a  realizar  lo  aprendido  en 
ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, 
los cuales nos servir
án para el diseño de elementos 
mas adelante en CONCRETO ARMADO.

10. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
10
ING. WILLIAM LOPEZ
1
0,2727
0,7273
0,6667
0,3333
0
-14.700
6.300
-8.333
8.333
-12.500
12.500
14.700
7.350 -1.450
-3.867
-1.933
2.033
4.067
2.033
1.017
-555
-1.479
-739
246
493
246
123
-67
-179
-90
30
60
30
15
-8
-22
-11
7
4
2
0
11.570
-11.570
10.187
-10.187
13.657
7.000
3.000
5.000
5.000
5.000
5.000
-1.157
1.157
138
-138
-347
347
5.843
4.157
5.138
4.862
4.653
5.347
10
10
10
Longitudes
PASO A PASO
Iteraciones
(Distribuciones y
Transporte)
? Momentos Corte Isostatico
Corte Hiperestatico
CORTE
Rigideces a Flexion
EI
2EI
EI
Factor de Distribucion
Momentos en Extremos
Fijos
a
b
L
P
L
q
L/2
L/2
LP
A
B
C
D

11. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS –APLICACI ÓN PASO 
A PASO
11
ING. WILLIAM LOPEZ
5.843
5.138 4.653
-4.862
-5.347
17.529
1.630 13.075
-11.570 -13.657
-10.190
DIAGRAMA DE
CORTE Y MOMENTO
-4.157

12. TEORIA DE ESTRUCTURAS
M
ÉTODO DE CROSS
       BIBLIOGRAFIA:
“Strength of Materials” (Resistencia de Materiales) 
de Ferdinand L. Singer.
HSIEH,  Yuan­Yu.  (1973).  “Teor
ía  Elemental  de 
Estructuras”. Editorial Prentice Hall Internacional. 
Madrid, Espa
ña
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Cross
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ING. WILLIAM LOPEZ