Teoria de Probabilidades-2021.pptx

apresentação sobre estatística; definição sobre probabilidade; exercícios sobre probablidade proposto e resolvidos; probabilidade condicional

1. Gráfico de linhas Gráfico de linhas robabilidades Economia e Gestão P 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 1

2. Teoria elementar de probabilidades Introdução Um dos instrumentos fundamentais para a compreensão da estatística em geral, é o conhecimento e o manuseamento das PROBABILIDADES. O conhecimento das probabilidades, conferem a capacidade para mergulharmos na análise inferencial com profundidade, uma vez que a indução assenta no facto de provarmos se uma probabilidade (P), lida numa tabela de valores críticos, tal como veremos adiante. Isto tem por base essencial, o conceito de probabilidade de THOMAS BAYES. 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 2

3. Continuação Desde o século XVII, e com base nos jogos de azar, desenvolveram-se procedimentos para prever os resultados desses jogos. A criação da Teoria de probabilidades fica a dever-se a Pascal (1623-1695), Fermat (1608-1665) e huygen (1629-1695). Posteriormente foi desenvolvido o procedimento de Cálculo de probabilidades através da contribuição de Laplace . 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 3

4. Continuação No estudo das probabilidades estamos interessados em estudar o experimento aleatório, isto é, aquele cujo resultado é incerto, embora o conjunto de resultados possíveis seja conhecido. Por exemplo, lançar um dado ou uma moeda e observar o resultado obtido constituem um experimento aleatório. Da mesma forma, sortear uma bola de um conjunto de bolas numeradas de 1 a 100 também é um experimento aleatório. Em termos gerais, a probabilidade determina a possibilidade de ocorrer um determinado resultado. 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 4

5. Espaço Amostral (Ω) Espaço Amostral ( Ω) : é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório .   Exemplos: Lançamento de uma moeda: Ω = {c, k} sendo c = cara e k = coroa Lançamento de duas moedas: Ω = { c c , c k, k c, k k } Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Retirada de uma carta do baralho: Ω = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (  ) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (  ) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (  ) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (  ) } 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 5

6. Evento ou Acontecimento A cada experimento está associado um resultado obtido, não previsível, chamado evento. Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral, sendo representados por letras maiúsculas A, B, C, D, etc.   Exemplo: Lançam-se dois dados. Enumerar o espaço amostral e depois os seguintes eventos: A : saída de faces iguais B : saída de faces cuja soma seja igual a 10 C : saída de faces cuja soma seja menor que 2 D : saída de faces cuja soma seja menor que 15 E : saída de faces onde uma face é o dobro da outra F : saída de faces desiguais 22/04/2021 Dr . Fernando de Oliveira 6

7. Solução : O espaço amostral desses eventos (todos os resultados possíveis de serem obtidos no lançamento dos dois dados) está descrito na tabela a seguir :   Tabela 1 – espaço amostral ( Ω) no lançamento de dois dados D 1 /D 2 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 ,2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 7

8. Eventos: A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6 )} B = {(4,6), (5,5), (6,4 )} C = { } (evento impossível ) D = Ω (evento certo ) E = {(1,2), (2,4), (3,6), (2,1), (4,2), (6,3 )} F = D – A Obs : Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável, todo subconjunto poderá ser considerado um evento. Pode-se demonstrar que se  contiver n elementos , existirão exatamente 2 n subconjuntos (eventos).   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 8

9. Exemplo: Considere um espaço amostral finito:  = {A, B, C, D }. Os subconjuntos do espaço amostral são : {  , { A }, { B }, { C }, { D }, {A,B },{A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}, {A,B,C }, { A,B,D }, {A,C,D}, {B,C,D}, { A,B,C,D} } . Observa-se que 2 4 = 16 é o número de total de eventos extraídos de  . 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 9

10. Tipos de eventos Evento certo É aquele que ocorre em qualquer experimento aleatório Exemplo: No lançamento de uma moeda , com certeza sairá sempre as faces “cara” ou “coroa”. Evento impossível É aquele que nunca ocorrerá em um experimento aleatório Exemplo: Sair a face 7 no lançamento de um dado. Evento complementar O evento complementar de A é formado pelos elementos de Ω que não pertencem a A ( representa -se por Ā ). 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 10

11. Exemplo: Se Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = { 1, 3, 5} então Ā = {2, 4, 6} = { x  Ω | x  A }   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 11

12. Evento união (  ) ou soma: Se A e B são dois eventos , o conjunto união (A  B) representa a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os eventos. Exemplo : Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A  B = {1, 2, 4, 5, 6 }. B A A B A  B = { x  Ω | x  A ou x  B} 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 12

13. Evento intersecção (  ) ou produto Se A e B são dois eventos, o conjunto intersecção ( A  B) representa a ocorrência de ambos os eventos A e B simultaneamente. Exemplo : Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A  B = {5}. A  B = { x  Ω | x  A e x  B} A  B representa a ocorrência do evento A e do evento B simultaneamente Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos Quando A  B =  os eventos são mutuamente exclusivos. Exemplo : Se A = {1, 2, 5, 6} e B = {4, 7} então A  B = { }. 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 13

14. Nota Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então n(A  B) = n(A) + n(B) Se A e B são conjuntos finitos, não disjuntos ou não mutuamente exclusivos, então n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B )   Exemplo: conjunto finito A = { a, b, c }; n(A) = 3 conjunto finito B = { d, e, f, g }; n(B) = 4 e A  B={} n(A  B) = n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7 conjunto finito A = { 1, 2, 3, 4}; n(A) = 4 conjunto finito B = {2, 4, 5, 6, 8, 9); n(B) = 6 e A  B={ 2,4 } logo n(A  B )=2 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) = 4 + 6 – 2 = 8 Nesse caso os conjuntos A e B não são disjuntos, pois têm elementos em comum (2 e 4). 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 14

15. Exemplo Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Descrever os seguintes conjuntos e dar o número de elementos de cada um. a) O espaço amostral Ω b) O evento A: o número da bola é ímpar c) O evento B: o número da bola é maior que 6 Solução: a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; o número de elementos desse conjunto é n(Ω) = 10 b) A = { 1, 3, 5, 7, 9) ; n(A) = 5   c) B = { 7, 8, 9, 10} ; n(B) = 4 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 15

16. Algumas Propriedades das operações com eventos aleatórios Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral Ω. As seguintes propriedades são válidas: LEIS DE MORGAN 2. IDEMPOTENTES A  A = A A  A = A   3. COMUTATIVAS A  B = B  A A  B = B  A 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 16

17. Definição de probabilidade Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um “rei de copas”? R:Nesse caso, a probabilidade é de 1 em 52 ou de 1/52. A probabilidade de ser retirada ao acaso qualquer uma das outras 51 cartas do baralho é 1/52 . Considere um experimento aleatório em que cada um dos n eventos simples do Ω a chance de ocorrência é a mesma. Nesse caso dizemos que Ω é um espaço equiprovável e que a probabilidade de cada evento é 1/ n. Podemos ampliar essa definição de probabilidade de um evento simples para probabilidade de um evento qualquer 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 17

18. Definição clássica Por definição: = Sendo n(Ω) o número de elementos do espaço amostral e n(A ) o número de elementos do evento A   . A probabilidade deve assumir um valor entre e 1, como número decimal, fração ou porcentagem :   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 18

19. Definição frequencista Define-se como probabiblidade frequencista de um fenómeno (A), a ocorrência n(A) desse fenómeno em tentativas possíveis, multiplicando por uma constante com valor igual a , isto é;   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 19

20. Axiomas A probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas 1. Axioma: A probabilidade de ocorrência de um dado fenómeno é sempre um número real não negativo. 2. Axioma: A probabilidade de ocorrência de um dado fenómeno é um número real não negativo, igual ou menor que a unidade 3. Axioma: A probabilidade da não ocorrência de um dado fenómeno insucesso é igual a zero 4. Axioma: A probabilidade da ocorrência de um dado fenómeno sucesso é igual a unidade   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 20

21. Exercícios No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter o número 2 um número par um número múltiplo de 3   Solução: a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, portanto n(Ω) = 6 espaço amostral ocorrência do número 2: A = { 2 }, portanto n(A) = 1 P(A) = n(A) / n(Ω) = 1/ 6 = 0,1666... = 16,66 ...% b) ocorrência do número par: B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3 P(B) = n(B) / n (Ω ) = 3/ 6 = 1 / 2 = 0,50 = 50%   C) ocorrência de número múltiplo de 3: C = {3, 6}, logo n( C) = 2 P(C ) = n(C ) / n (Ω ) = 2 / 6 = 1 / 3 = 0,333 = 33,33%     22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 21

22. Extrações com reposição e sem reposição Muitas situações práticas podem ser comparadas com extrações sucessivas de bolas de uma urna (como selecionar peças de uma produção ou indivíduos de uma população). Essas extrações podem ser realizadas com reposição ou sem reposição : 1. com reposição cada bola retirada é devolvida à urna antes da extração da bola seguinte   2. sem reposição uma bola retirada não é devolvida à urna. 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 22

23. Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se sucessivamente, sem reposição , duas cartas. Determinar: a probabilidade de tirar dama na primeira carta a probabilidade de tirar dama na segunda carta a probabilidade de tirar naipe de ouros na segunda carta solução número de cartas do baralho na 1 a extração: n(  ) = 52 número de damas no baralho na 1 a extração: n(Q) = 4 P(D 1 ) = 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 23

24. Cont... número de cartas do baralho na 2 a extração: n(  ) = 51 porque tirou-se a primeira e não fez-se reposição número de damas no baralho na 2 a extração: n(Q) = 3 P(D 2 ) = se a 1 a carta retirada foi de ouros: P(  ) = 12/51 se a 1 a carta retirada não foi de ouros: P(  ) = 13/51 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 24

25. Leis da Probabilidade 1. Probabilidade de um evento (A) não ocorrer Se P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, então P(Ā ) = 1 – P(A) Esse evento é o complementar ao evento A . Logo P(A) + P(Ā) = Ω = 1 Exemplo: Qual a probabilidade de não se pegar um “A” de um baralho de 52 cartas. P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – =   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 25

26. 2. Probabilidade de um evento (A) ou outro evento (B) ocorrer Duas situações podem ocorrer: Se dois eventos forem mutuamente exclusivos (A e B não podem ocorrer juntos ): Ou Se dois eventos não forem mutuamente exclusivos (A e B podem ocorrer juntos ): P(A ou B) = P(A  B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A  B)   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 26

27. Exemplo Retirando-se uma carta do baralho, qual a probabilidade a) que a carta seja de ouros ou de espadas b) que a carta seja de ouros ou seja um “A” Solução: Uma carta de ouros e uma carta de espadas não podem ocorrer ao mesmo tempo. Os eventos são, portanto, mutuamente exclusivos A: retirada de uma carta de ouros B: retirada de uma carta de espadas P(A) = P(B) = P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A ou B) = + =   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 27

28. b)Seja . A: retirada de uma carta de ouros B: retirada de um “A “ P(A) = 13/52 P(B) = 4/52 Existe uma carta no baralho que é tanto um “A “ quanto de ouros. Nesse caso, A e B não são mutuamente exclusivos P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A  B) P(A ou B) = 13/ 52 + 4/ 52 – 1/ 52 = 16/ 52 = 4/ 13 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 28

29. 3.Probabilidade de um evento (A) e outro evento (B) ocorrer Duas situações podem ocorrer: i) Se dois eventos forem independentes (a seleção do evento A não altera a composição do evento B)   ii) Se dois eventos não forem independentes (a seleção do evento A altera a composição do evento B ) P(A e B) = P(A) * P(B|A) , sendo P(B  A) a probabilidade de B, dado que A ocorreu.   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 29

30. Exemplo: Foram retiradas duas cartas do baralho. a) qual a probabilidade que saiam duas cartas de ouros? b) Se a primeira carta de ouros foi devolvida, qual a probabilidade que a segunda seja também de ouros?   Solução : Seja A: retirada de uma carta de ouros Seja B: retirada da segunda carta de ouro a ) - A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4 -A segunda carta de ouros tem P(B  A) = 12/ 51 - Os eventos não são independentes Então P(A e B) = P(A) * P(B  A) = = =     22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 30

31. b) -A primeira carta de ouros tem P(A )=13/52= 1/4 - A segunda carta de ouros tem P(B )= 13/52=1/4 - Os eventos são independentes Então P(A e B) = P(A) P(B ) = =   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 31

32. Probabilidade condicional Sendo conhecido o espaço amostral de um experimento aleatório, suponha que um determinado evento ocorreu. Tal evento pode modificar o cálculo da probabilidade de um segundo evento qualquer? Por outro lado, podemos ter interesse em calcular a probabilidade de um evento não em relação a todo espaço amostral, mas em relação a um outro conjunto de condições ? O estudo da probabilidade desses eventos chamamos de probabilidade condicional. 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 32

33. Conceito clássico de probabilidade condicional A   probabilidade condicional  é um conceito da probabilidade que envolve dois eventos de forma que estuda a probabilidade de o evento  A  ocorrer, sabendo que o evento  B  já ocorreu . Considere dois eventos  A  e  B  em um espaço amostral Ω  , não vazio. A probabilidade  de  A  condicionada a  B , ou seja, a probabilidade de  A  ocorrer sabendo que  B  já ocorreu, é dado por: P(A/B)= Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado Teorema do Produto :   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 33

34. Exemplos: 1. Em uma caixa contém 50 bolas de diferentes tamanhos e cores, conforme a tabela a seguir: Cor Grande Média Pequena Total Azul 3 5 7 15 Branca 5 6 8 19 Vermelha 4 9 3 16 Total 12 20 18 50 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 34

35. Achar a probabilidade de ser sorteada uma bola vermelha, quando se sabe que a bola retirada é pequena. Solução: n(Ω) = 50 n(V) = 16 n( Pe ) =v18 n(V  Pe ) = 3 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 35

36. Disciplina Sexo F Q Total H 40 60 100 M 70 80 150 Total 110 140 250 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 36 2 . Considere a tabela a seguir, que relaciona disciplina X sexo de uma faculdade. Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher? Solução:

37. 3 .   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 37 Determinar a probabilidade da jogada de um dado resultar em um número menor que 4, sabendo-se que o resultado é um número ímpar. Solução: Seja A: “sair um número menor que 4” e B: “sair um número ímpar” Então

38. Teorema da Probabilidade Total Seja eventos que formam uma partição do espaço amostral. Seja B um evento desse espaço. Então   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 38 ...+

39. Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas . Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se uma bola. Qual a probabilidade de ser branca? = 30% e P(II)*P(B/II)= . =33,3% Logo a probabilidade de ser bola branca será: P(B ) = P(I)*P(B / I) +P(II)*P(B/II )= ou P(B ) = P(I)*P(B / I ) +P(II )* P(B/II)= . + .   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 39

40. Teorema de Bayes O teorema de Bayes relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a própria probabilidade total. Considerando a figura anterior , conhecido P( A j ) e P(B/ A j ) e ­ j = 1,2,...,n 22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 40

41. Exemplo Considere duas caixas A e B: A caixa A contém 3 garrafas e 5 de coca cola e a caixa B contém 4 garrafas de sumo e 6 de coca cola.Escolhe-se uma caixa ao acaso e dela tira-se uma garrafa.Determine a seguinte probabilidade: Ter sido retirada da caixa A, sabendo que é de sumo. Resolução : P(A / S ) Pelo teorema de probabilidades totais : ; P(A / S)   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 41

42. Exemplo: A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda, se der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa , extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? Solução: Queremos: P(C/V)   ; ; Pelo teorema da probabilidade total: P(V) = P(C  V) + P(K  V) P(V) = P( C) . P(V/C) + P(K) . P(V/K)= = Calculando agora P(C/V )= =   22/04/2021 Dr. Fernando de Oliveira 42