Teoria y problemas de maximo entero ccesa007

documento

1. ··
·
·.
. · ·
...
··.
··
M' .
·.
t. ··:.
··
· ..
:./.
··.:
_,.
.
• ·
..
.
...
,.
........ an,mo en ero . .
:'.
. .
..
. ·
• < •
:O
•
).
' ,
1
'1
' ' '
o , ,
+,/
' •
1 •
'<
◄
~
•'
•
Si
x
E
~'
el
símbolo
[x]
denota la parte entera de
x;
es decir,
el
mayor de los
enteros que es menor o igual a
x.
Matemáticamente:
[x]:
se lee "máximo entero
de
x".
Glifüi,,¡;¡:;;.4.-

2. • L
Ejemplo:
Resolución.
Recuerde:
[;
ft
;;~~?
1~
a!~
a~~;;;~!1l[
~
:ff~~:
1f:;,~
,y;y7:x~t
~
:-5;~~;
i~
C,-r:
~;;
Calculamos cada máximo entero: ■
[rr]
=
3
■
[e]=
2
■
[~=2
■
[rre]
=
[8,539
...
]
=
8
Reemplazamos en
J:
■
[rr
+
e]
=
[5,859
...
]
=
5
3-2+5
6
1-------1
-
8-2
-6-
' -~,,
""-:::
•
.,
...
,1'""
.,,
_.
,
.. ''"""'"''"
Halle
el valor
de
-[
2
x
~
1
]
si
x:
E{?-;
3'
}.
Resolución.
Por dato:
Es
decir,
Multiplicamos por
2:
Restamos
1:
Invertimos
:
Multiplicamos
por
5:
X
E
(2; 3)
2<x<3 4
<
2x
<
6
3
<
2x
-1
<
5
1 1 1 -<--
<-
5
2x -
1 3
5 5
1<--<
-
2x-1
3
..__, 1,6
Por
lo tanto, [
5
]
=
1.
2x-
l
Resolución.
Recuerde: En
particular:
(x
-
1)
2
>
O;
'vx
E
IR
(en
particular para
x
>
O)
Desarrollamos: x
2
-
2x
+
1
>
O
_;,,a;;m,¡¡;:¡41;;4

3. Algebra
, ·
MAXIMD
ENTERO
· . "
Ejemplo
x
2
+
1
>
2x
2x
Dividimos
entre
(x
2
+
1): 1
~
--­ x2
+
1
1
X
Dividimos
entre
2:
>
---
>
O
2 -
x
2
+
1
X
1]
Es
decir,
xi
+
1
e
(O;
2
Por lo tanto,
[x
2
:
1
]
=
O.
Resolución.
(pues,x
>
O)
Esta ecuación
no
tiene solución, pues se sabe que
[3x
-
1]
e
7l.
[3x
-
1]
=
.../2
(absurdo)
Por
lo
tanto,
CS
= { } .
GMMM,,i;¡:;;,u~

4. ,
1
· . .
··
MAxlMD
ENTERO
· .
Álgebra
(Esta propiedad nos permite resolver
ecuaciones
con
máximo
entero)
Ejemplo -
Resolución. Se tiene al ecuación:
Aplicamos la propiedad
2:
Sumamos
1:
Dividimos
entre
2:
Por lo tanto,
CS
=
[2:~}-
· Resolución.
[2x
-1]
=
3
3
<
2x
-1
<
4
4
<
2x
<
5
5
2<x<­
-2
Se tiene
la
ecuación:
[lxl
-:-
2]
=
---1
Aplicamos
la
propiedad
2:
· -1
<
lxl -
2
<
O
Sumamos
2:
1
<
lxl
<
2
Es
decir: 1
<
lxl
A
lxl
<
2 ·
(x
~
---:1
V
X~
1)
A
-2
<X<
2
(la
representamos
en
la
recta
real)
-2
-1
1
2
Por lo tanto,
CS
=
(-2;-1]
U
[1;
2}.

5. Álgebra . .
·.
·
MAxlMD
ENTERO
.
Ejemplo
;.
Éj~~plo Ejemplo
Resolución. . .
Se
tienela
ecuacion:
•..
.[·
Zx
~
1]
=
X
· 3 ] 2·
.
Por
la
propiedad
3.: ·
Por
la
propiedad
2.:
Multiplicamos por
6:
Restamos 3x:
Sumamos
6:
X
··
-E
Z;
es decir,
x
debe
ser
múltiplo
de
2
2. . . X
2X
X
2<3-
1
<2+
1
3x
<
4x
-
6
<
3x
+
6
0<x-6<6 6
<
x
<
12 /
x
múltiplo de 2
Luego, las soluciones son: 6; 8
y
10.
Por
lo
tanto,
CS
=
{6; 8;
10}.
Resolución. Se tiene la ecuación: [ [
.Jx
+ .
.J2]]
=
1
Aplicamos la propiedad
4:
[.Jx
+
.Jz]
=
1
y
x
>
O
Aplicamos la propiedad
2:
1
<
.Jx
+
.../2
<
2
y
x
>
O
G
4,ft~

6. -
1·
◄
Restamos
./2:
1-./2~-fx<Z-./2
y-{x~o
(-)
(+)
Intersectando se obtiene:
o~-lx<2--J2
Elevamos al cuadrado:
2
0
<X<
(2 -
.../2)
Por lo tanto,
CS
=
[O;
( 2
.,;.;.
.../2)
2
).
Resolución. Se tiene la ecuación:
[-12
+
[x]]
=
2019
Aplicamos la propiedad 5:
[-v'2]
+
[x]
=
2019
(Pues,
[
x]
E
Zl
)
1
+
[x]
=
2019
[x]
=
2018
Aplicamos la propiedad
2:
2018
~
x
<
2019
Por lo tanto,
CS
=
[2018; 2019).
-

7. Álgebra
··
. . · ·
·.
· .
MAxlMD
ENTERO
.-
. . . . · ·
Ejemplo
9
.,
,,•
Resolución. Se
sabe que:
Multiplicamos por
-1:
O
~
x -
[x]
<
1 ;
Vx
E
IR
0
~
[x] -
X>
-1
Se puede expresar así:
-1
<
[x]
-x
<
O
Luego, [
[x]
_
x]
=
{-1
s!
- 1
<
[x]
-
x
<
O
0
SI
[x] -
X=
0
Porlo
tanto,
Ran(f)
=
{O;
-1}.
Resolución. Se
tiene la ecuación:
Aplicamos
la
propiedad
8:
Aplicamos
la
propiedad
2:
Multiplicamos por
10:
Por
lo
tanto,
CS
=
[20; 30).
Resolución.
[[x]]
=
2
[10 [;o]
=z
.. X
2
<
10
<
~
20
<x
<
30
La expresión
S
se puede expresar así: S
=
[
✓
3
x
4]
+
[
✓
4
x
s]
+
[
✓
s
x
6]
3
4
5
GMfüM,,;;¡:¡;,ft-PIIII

8. Aplicando
la
propiedad
anterior se obtiene:
S
=
3
+
4
+
S
=
12
••.a
... rn."W11i,.a.
· -.. , -.
-.
,
~-
p --
[2
i--. [
~
[
i]
_ •
••
• • -
Dada
la
expres1on materna
ti
ca
.
(xJ
=
x -
x
ll -
x
+
z.11
Ejemplo
Calcule
el
valor
de
P
(ne).
< •
Resolución. Se
sabe
que:
M
+
[x+½]
=
[2x]
Pasamos todo
al
lado derecho:
O=
[2x] -[x] -
[x
+
½]
Pcx)
Es
decir,
P
(x)
=
O;
't/x
E
IRL
Por
lo
tanto,
P
(rce)
=
O.
Resolución. Se
tiene la ecuación:
Se
puede expresar así: [
2
;
-½]
+
[~
+
i]
=
O
[23x
-
½]
+
[2;
+
H
=
º
r;
-½]
+
[(2;
-½)
+½]
=
º
Si
hacemos el cambio:
se obtiene
la
ecuación:
Aplicamos la
propiedad
1 O:
2x
1
---=y
3 3 [y]
+
[Y
+
½]
=
O
[2yD
=
o
O~
2y
<
1
Elllll
3MMki,iif;iffiíffiii
1

9. Reemplazamos
y:
Dividimos
entre
2:
Multiplicamos
por
3:
(
2x
1)
o::;2
3
-
3
<1
2x-1
1
O<--<-
- 3 2
3
O<
2x-1
<-
- 2
5
Sumamos 1:
· 1
<
2x
<-
- 2
Dividimos
entre
2:
POr
lo tanto,
es
.
H;
~)
1 5 -<x<- 2-
4
En general,
se tiene
la Identidad de Hermite:
. ,
11
. :
,12
· -
Resolución. Se
tiene
la ecuación:
[x]
+
[x
+
½]
+
[x
+
¾]
=
8
Por
la
propiedad 11:
[3x]
=
8
. Por
la
propiedad
2:
8
<
3x
<
9
8
Dividimos
entre
3:
3
<
x
<
3
·[ª
Por
lo tanto,
CS
=
3
;
3)
Gfflfüh,,1;1
114,tt-

10. · · · ·
·_
.
_;
· · . .
..
. ' . ·
MAXIMD
ENTERO
. . . ·
Álgebra
· 13 - Ejemplo 11111
Resolución. Nos piden calcular:
s
=
[v'2]
+
[{6]
+
[fil]+
...
+
[m:o]
Le damos forma:
S
=
[vri:z]
+
[ff-3]
+
[~
+
...
+
[
✓
10
·
11]
Aplicando la propiedad anterior con
n
=
10,
se obtiene:
S
=
10(11)
=
SS
2
Para resolver ecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente. Más que todo, recordar lo siguiente:
't
1

11. Álgebra
· . . ·
MAxlMD
ENlERD
·
Ejemplo
Resolución.
Se tiene
la
ecuación:
Aplicamos el teorema
1:
Sumamos
1:
Dividimos entre
2:
. 5
Por
lo
tanto,
es
=
[2;
2
}
Resolución.
[2x
-1]
=
3
3 <
2x
-1
< 4
4
<
2x
<
5
2<x<~
~
2
Se tiene
la
ecuación:
[v'x]
=
x
(x
tiene
que
ser
entero)
Se cumple si:
x
E
71..
/
x
~
v'x
<
x
+
1 /
x
>
O
xE'll..
/
x<v'x
/
v'x<x+l
/
x>O
.
X
E
71..
/
x
2
<
X
/
X
<
(x
+
1)
2
/
X
>
o
X
E
71..
/
X
<
1 /
X
<
x
2
+
2x
+
1
/
X
>
o
X
E
71..
/
X
<
1
/
0
<
X
2
+
X
+
1 /
X
>
0
trinomio
(
+)
(V)
Intersectando se obtiene:
O<x<l
/
xE'll..
Es
decir, las soluciones son solamente:
O
y
1.
Por
lo tanto,
es
=
{O;
1}.
Resolución. Se
tiene
la
ecuación:
[3x
+
2]
=
n
Esta
ecuación no tiene solución,
pues
[3x
+
2]
E
71..
;
'vx
E
~­
[3x
+
2]
=
n
(absurdo)
Por
lo tanto,
CS
=
</>.
GffiffiM,,UM4,ft-

12. 11
Resolución. Se
tiene la ecuación:
[x] -
1
[x] -
2
2 -3
=
l
Multiplicamos
por
6:
(
[x] -
l
[x] -
2)
6
2
-
3
=
6(1)
3([x]
-1) -
2([x]
-2)
=
6
3[x]
- 3 -2[x]
+
4
=
6
[x]
+
1
=
6
[x]
~
5
S<x<6
Por lo tanto,
es=
[5; 6).
Resolución. Se tiene la ecuación:
[x]
2
+
2
=
3[x]
Pasamos todos los términos al lado izquierdo para factorizarlo:
[x]
2
-
3[x]
+
2
=
O
[x] --.
f --
-1
[x]~-2
([x]
-
l)([x]
-2)
=
O
[x] -
1
=
O
V
[x] -
2
=
O
[x]
=
1
V
[x]
=
2
1:s;x<2
V
2:s;x<3
1<x<3
Por lo tanto,
es=
[1; 3).
Resolución. Se tiene la ecuación:
[x
2
-
2x]
=
-1
-;M{;t;,,¡4:l§üjj .
◄

13. Álgebra
· · · .
MAxlMO
ENTERO
.
Por propiedad:
-l<x
2
-2x<O
Recuerde:
Luego, la inecuación anterior se puede expresar así:
-1
<
x
2
-
2x
/
x
2
-
2x
<
O
O
< x
2
-
2x
+
1 /
x(x
-
2)
<
O
_____
_,
Trinomio
cuadrado
Aplicamos
el
método
perfecto
de
los
puntos
críticos
Ü
<
(X
-
1)
2
/
Q
<
X
<
2
,-,--
____
_,.
xEIR{.
/
0,
<x<2
0<x<2
Por lo tanto,
es
=
(O;
2).
Resolución.
.
.
Se tiene la ecuación:
1
[2x
+
1]
---
3
I
=
O
Recuerde:
Luego,
la
ecuación es equivalente
a:
Restamos
1:
Dividimos
entre
2:
Por
lo
tanto,
·
es
=
[1; ~)
Resolución. Se tiene la ecuación:
[2x
+
1]
- 3
=
O
[2x
+
1]
=
3
3
<
2x
+
1
<
4
2
<
2x
<
3
3
l<x<-
-2
[x]
=
lxl
La ecuación tiene sentido si
lxl
es un número entero. Luego, la
ecuación se cumple si:
lxl
<
x
<
lxl
+
1 /
lxl
E
'll.
•
◄
Mm,,;;i:m,u.-m

14. Desdoblamos
la
inecuación:
lxl
~
x
A
x
<
lxl
+
1
A
lxl
El
(Tiene
sentida
si
x
~
O)
Luego
la
inecuación
se
expresa así:
X
<
X
/
X
<
X
+
1
A
X
E
ZÓ
.._._.., x
E
IRl
A
X
E
IRl
A
X
E
Zó
X
E
Zó
Por
lo
tanto,
CS
=
zt
=
{O;
1;
2;
3;
4;
...... } .
....
....
.
....
........
....
..
..
·••
..
.
Resolución. Hallamos
el
CV
A:
x -
1
>
O / 5 -
x
>
O
x~l
A
S~x
l<x<S
Es
decir,
el
conjunto
de
valores admisibles
(CVA)
es:
[1;
5].
Se
tiene
la
ecuación: _
[
✓
x
-
1
+
-V5
-
x]
=
✓
x
-
1
+
-VS
-
X
Aplicamos
el
teorema
2:
·
-vx
-
1
+
✓
s
-
x
E
Z
Esto
se
cumple
si:
Jx
-
1
E
Z
y
-VS
-
X
E
Z
Por
lo
tanto,
CS
~
{1;
5}.
Resolución.
x=l x=2 x=S
. . ,
[X+
3]
X+
2
Se
tiene la ecuac10n:
--
=·
,__ --
. 2
.,
· 3
x~l x=4 x=S
x+2
Como
[a]
E
Z;
'va
E
IRl,
entonces
--
debe ser un entero.
3
x+2
Supongamos que -
3
-
=
k.
Es
decir,
x
+
2
=
3k
➔
x
=
3k
-2
C•)
Lo
reemplazamos en la ecuación:
e

15. Álgebra
·_
. . ·
.·
· ·
·..
· .
MAxlMO
ENTERO
.
··.
. · .
[(3k
-t
+
3]
=
k
[3k;
1]
=
k
3k
+
1
k<
2
<k+l
Multiplicamos
por~
:
2k
<
3k
+
1
<
2k
+
2
2k
<
3k
+
1 /
3k
+ 1 <
2k
+ 2
-1
<
k / k
<
1
-1
<
k
<
1
k
=
-1
V
k
=
O
■
Si
k
=
-1,
reemplazando en ( *) se obtiene
x
=
-5
■
Si
k
=
O,
reemplazando en
(*)se
obtiene
x
=
-2
Por lo tanto,
CS
=
{-5;
-2}.
Para resolver inecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente y los siguientes teoremas.
Para todo
n
E
l,
se cumple:
Resolución. Se tiene la inecuación:
[3x
-
2D
<
5
Aplicamos el teorema
1:
3x
- 2
<
5
Sumamos
2:
3x
<
7
GMffifii,,¡;

16. Ejemplo
· : , ·
'·:
,
MAXIMO
ENTERO
-
Dividimos
entre
3:
7
Por lo tanto,
es
=
(-
00
;
3
)
Resolución.
7
x<-
3
Se tiene la inecuación:
[x
2
-
3x]
<
-2
Aplicamos el teorema
1:
x
2
-
3x
<
-2
x
2
-
3x
+
2
<
O
Factorizamos por aspa simple:
(x
-
l)(x
-
2)
<
O
Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
Por lo tanto,
es
=
(1; 2).
R~solpción .
...
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema
2:
Sumamos
1:
Dividimos entre 4:
[4x-1]
<
2
4x
-1
<
3
4x
<
4
x<l
Por
lo tanto,
CS
=
(-oo;
1).
Resolución. Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema
2:
Lo factorizamos:
[3x
2
-
Sx]
<
7
3x
2
-
Sx
<
8
3x
2
-
Sx
- 8
<
O
3xx-8
X
1
(3x
-
8)(x
+
1)
<
O
+
Elll
Ad&f
M@lrtmfflN
Álgebra
-

17. Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
-1
8/3
8
Por
lo
tanto,
C~
=
(-1;
3
)
··•··•
··
.
......
.
.....
.
....
.
..
.
, .........
......
..
•·
...
.....
..
.
...
....
, .
...
....
, ..
..
..
.
.........
...
····
····
····
•··••
·•·••
··
··
··••·•
··•
•·
·'·
...
.
..
.
...
.
Resolución. Se
tiene
la
inecuación:
[Sx
-
8]
>
1
AplicaJ?OS el teorema 3: Sx - 8
>
2
Sumamos 8:
Sx
>
10
Dividimos entre
5:
x
>
2
Por
lo tanto,
CS
=
[2; +oo).
Resolución. Se tiene la inecuación:
[(x
-
l)(x
+
2)(x
-
3)]
>
-1
Aplicamos el teorema 3:
(x
-
l)(x
+
2)(x
-
3)
>
O
Aplicapios el método de los puntos críticos:
-2
1
Por
lo tanto,
CS
=
[-2;
1]
u
[3;
+oo).
Resolución. Se
tiene
la
inecuación:
Aplicamos
el
teorema
4:
Multiplicamos
por
2:
r~l]
>
4
3x-1 --->4
2 -
3x
-1
>
8
3 r,¡;;;;,,;;;114,;;--

18. Sumamos
1:
•
Dividimos entre
3:
3x
>
9
x>3
Por lo tanto,
es=
[3; +oo).
Resolución. Se tiene la inecuación:
[l2x
-
11-
3]
>
8
Aplicamos el teorema
4:
l2x -
11
-
3
>
8
Sumamos
3:
l2x -
11
>
11
Recuerde:
Luego;
Sumamos
1:
2x - 1 <
-11
V
2x
-1 > 11
Zx<-10
V
2x>12
Dividimos entre
2:
X
<
-5
V
x
>
6
Por
lo tanto,
es=
(-
,oo;
-5]
u
[6;
+oo).
Resolución. Se tiene la inecuación:
(e[x] -z)(rr[x] -
3).J[x] -
x
>
O
Hallamos el CVA:
.J[x] -
x
está
bien
definido
en
Iffi.
si:
[x] -
X>
0
[x]
>
x,
pero
se
sabe
que: x
>
[x];
Vx
E
l.
.
Luego,
[x]
>
x
>
[x]
Es decir,
[x]
=
x
Esto se cumple si
x
E
l.
Luego,
CVA
=
I.
Lo reemplazamos
en
la
inecuación:
(ex -
2)(nx
-
3)
✓
x
-x
>
O
(ex -
2)(nx
-3)../o
>
O
O
>
O
(Verdadero)
Por
lo tanto,
CS
=
CVA
=
l.
e

19. Álgebra
· · · · ·
-·
Ejemplo
1
Resolución. Se tiene la inecuación:
x -
3[x]
>
1
Dividimos
entre
3:
Es equivalente a:
X
-1
>
3[x]
x-1
3
>
[x]
x-1
[x]
<-3-
(x
3
1
tiene
que
ser
entero)
Esta inecuación
se
verifica si:
x-1
x-1
x<--+1
A
--=nE7l
3 3
Multiplicamos por
3:
3x
<
x -
1
+
3
A
x -
1
=
3n
Dividimos entre
3:
2x
<
2
X
<
1
'----'
3n
+
1
<
1
3n
<
O
A
X=
3n
+
1
n<O
A
nE7l
n=-1;-2;-3;
...
Es decir , las soluciones son
de
la forma:
x
=
3n
+
1 tal que
n
E {
-1;
-
2;
-3;
...
}
(reemplazando los valores a
n
se obtienen todas las soluciones)
Por lo tanto,
CS
=
{-2;
-5;
-8;
-11;
...
}.
Regla de correspondencia:
La gráfica de la función
f:
Ill
-
➔
71.
tal que
fcx)
=
[x]
=
n; n
E
7l
la obtenemos
dando valores al entero
n,
pues para cada valor de
n
se obtiene
un
intervalo de
valores para
x;
intervalo en el cual tendremos una función constante de rango {n}.
Recuerde:
Í(x)
=
[x]
=
n
~
n
<
x
<
n
+
1
Luego:
r,¡;;;;.,;;GMt
flllllll

20. l
MAXIMD
ENTERO
. . .
Álgebra
Sin=
-2
--+
Í(x)
=
-2;
-2<x<-1
Si
n
=
-1
--+
Í(x)
=
-1;
-1
<X<
0
Sin=
O
--+
Í(x)
=
O;
O<x<1
Sin=
1
--+
Í(x)
=
1;
1<x<2
Sin=
2
--+
Í(x)
=
2;
2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función
Í(x)
=
[x]:
3
-----
--
, ---~
1 I 1
1 I 1
2
---
---~----1 1
¡
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
--~--~---~
I 1 1 1
-3
-2
-1
1
1 1 1
1 1
o
1 2 3 4
1 1
1 1 r------
----'"'
-1
1
¡,.
1
1 I 1 ~---H--
-
-2
1 I 1 1 I 1 .......,¿_
___
1 ____
-3
Para la
función
Í(x)
=
[x]
se obtiene:
Eje111plo
Dom(f)
=
Ill
y
Ran(f)
=
7l
Resolución.
1
La
función
Í(x)
=
[x]
está
bien
definida
en
Ii
si:
[x]
*
O
Es equivalente a:
~([x]
=
O)
~(O<
x
<
1)
x<O
V
x>l
Es decir,
x
E
(-oo;
O)
V
x
E
[1; +oo)
Por
lo tant~,
Dom([)=
(-oo;
O)
u
[1; +oo).
.
•·•
•·
···
·
..
,
....
.
....
.
.. ,
....
~·
..
...
..
~
...
..
-·
◄

21. Resolución. Por dato:
Dom(f)
=
[-1;
1]
El dominio se puede expresar así:
Dom(f)
=
[-1;
O)
u
[O;
1]
ter
caso:
x
E [
.....
1;
O)
Esto implica que:
lxl
..:..
-x.
Luego, la función se expresa así:
[
-x
-
2]
~~
+
2]
[ 5 ]
Í(x)
=
3 -
X
=
lix=3
=
l
+
X -
3
Partimos de la desigualdad:
-1
<
x
<
O,
para formar la función.
Restamos
3:
-4
<
x -
3
<
-3
1 1 1
Invertimos: - -
<
--
< - -
3
x-3-
4
5 5 5
Multiplicamos
por
5:
- -
<
--
<
--
3
x-3-
4
2 5 1
Sumamos
por
1:
--<1+--<--
3
x-3-
4.
Luego,
[1
+
~]
=
-1;
'vx
E
[-1;
O)
Í(x)
2do caso:
x
E
[O;
1]
Esto implica que:
lx
1
=
x.
Luego, la función se expresa así:
[
X -
2]
[X
-
2]
[ 1 ]
Í(x)
=
3 -
X
=
3 -
X
= -
l
+
3 -
X
Partimos de la desigualdad: O
<
x
<
1, para formar la función.
Multiplicamos por
-1:
--1
<
-x
<
O
Sumamos
3:
2
<
3 -
x
<
3
1 1 1
Invertimos:
3
<
3
_
x
<
2
2 1 1
Restamos
1:
- -
<
-1
+--
<
--
3 -
3-x-
2
r,;;;;¡,,;;¡:¡g.4
-

22. ·
MAXlMO
ENTERO
Álgebra ·
Ejemplo
Luego,
[-1
+
~]
=
-1;
Vx
E
[O;
1]
f(x)
De] primer
y
segundo caso, se obtiene:
fcx)
=
[';
1_-xz]
=
-1;
Vx
E
[;-1; l]
Por lo tanto,
Ran(f)
=
{-1}.
-~i
r
;{
arn,tí
. . .
é~
ó~;
f
<x)
~ ·
¡;
•
L,.
-~~-"
,.dvc•·
-~~~~~~,;
htet.-
~~~
"'---
Resolución. Recuerde:
[x]
=
n
H
n
<
x
<
.n
_ +
1;
n
E
i
La
función
f
se puede expresar de
la
sig1úente manera:
f(x)
=
X -
n
Luego: •
Sin=
-2:
f(x)
=X+
2;
-2
<X<
-1
•
Sin=
-1:
f(x)
=X+
1;
-1
<X<
0
•
Sin=
O:
fcx)
=
x;
O<x<l
•
Sin=
1:
f(x)
=
X -
1;
1:s;x<2
•
Sin=
2:
Í(x)
=
X -
2;
2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función
fcx)
=
x -
[x]:
1
¡--- 1
1
...
-3 -2 -1
1
2
3
Para la función
Í(x)
=
x -
[x]
se obtiene:
Dom(!)
=
II?
y
Ran(f)
=
[O;
1)
i!Wi
l1mmm1;1,
1,llít