Teoria y problemas de maximo entero ch21 ccesa007

documento

1. ,
ALGEBRA
,
,
MAXIMO
ENTERO
[e]
=
2
[1r]
=
3
o~ .
. --1 . -.
--,
-
.
.
lxl
r 1 1
,. t
m
·
;.¡.:
_
[a]
~
[b]
. [Jz]
=
1
x-1
✓
➔
lilµerras;
Las
Matemáticas
son
f
ácíles
Christiom Huertas
Nivel UNI

2. ··.
x-v~
IDJµefras

3. ÍNDICE
l.
Máximo entero 03 1.1
Propiedades
05
1.2 Otras propiedades adicionales
09
2.
Ecuaciones con máximo entero
12
3. Inecuaciones con máximo entero
17
4.
Función máximo entero
21
5. Problemas resueltos
26
5.1
Preguntas de examen de admisión
UNI
34
6.
Problemas propuestos
36
7.
Claves
40
11111-;11;m,,;;1
1
m,a,
■

4. ··
·
·.
. · ·
...
··.
··
M' .
·.
t. ··:.
··
· ..
:./.
··.:
_,.
.
• ·
..
.
...
,.
........ an,mo en ero . .
:'.
. .
..
. ·
• < •
:O
•
).
' ,
1
'1
' ' '
o , ,
+,/
' •
1 •
'<
◄
~
•'
•
Si
x
E
~'
el
símbolo
[x]
denota la parte entera de
x;
es decir,
el
mayor de los
enteros que es menor o igual a
x.
Matemáticamente:
[x]:
se lee "máximo entero
de
x".
Glifüi,,¡;¡:;;.4.-

5. • L
Ejemplo:
Resolución.
Recuerde:
[;
ft
;;~~?
1~
a!~
a~~;;;~!1l[
~
:ff~~:
1f:;,~
,y;y7:x~t
~
:-5;~~;
i~
C,-r:
~;;
Calculamos cada máximo entero: ■
[rr]
=
3
■
[e]=
2
■
[~=2
■
[rre]
=
[8,539
...
]
=
8
Reemplazamos en
J:
■
[rr
+
e]
=
[5,859
...
]
=
5
3-2+5
6
1-------1
-
8-2
-6-
' -~,,
""-:::
•
.,
...
,1'""
.,,
_.
,
.. ''"""'"''"
Halle
el valor
de
-[
2
x
~
1
]
si
x:
E{?-;
3'
}.
Resolución.
Por dato:
Es
decir,
Multiplicamos por
2:
Restamos
1:
Invertimos
:
Multiplicamos
por
5:
X
E
(2; 3)
2<x<3 4
<
2x
<
6
3
<
2x
-1
<
5
1 1 1 -<--
<-
5
2x -
1 3
5 5
1<--<
-
2x-1
3
..__, 1,6
Por
lo tanto, [
5
]
=
1.
2x-
l
Resolución.
Recuerde: En
particular:
(x
-
1)
2
>
O;
'vx
E
IR
(en
particular para
x
>
O)
Desarrollamos: x
2
-
2x
+
1
>
O
_;,,a;;m,¡¡;:¡41;;4

6. Algebra
, ·
MAXIMD
ENTERO
· . "
Ejemplo
x
2
+
1
>
2x
2x
Dividimos
entre
(x
2
+
1): 1
~
--­ x2
+
1
1
X
Dividimos
entre
2:
>
---
>
O
2 -
x
2
+
1
X
1]
Es
decir,
xi
+
1
e
(O;
2
Por lo tanto,
[x
2
:
1
]
=
O.
Resolución.
(pues,x
>
O)
Esta ecuación
no
tiene solución, pues se sabe que
[3x
-
1]
e
7l.
[3x
-
1]
=
.../2
(absurdo)
Por
lo
tanto,
CS
= { } .
GMMM,,i;¡:;;,u~

7. ,
1
· . .
··
MAxlMD
ENTERO
· .
Álgebra
(Esta propiedad nos permite resolver
ecuaciones
con
máximo
entero)
Ejemplo -
Resolución. Se tiene al ecuación:
Aplicamos la propiedad
2:
Sumamos
1:
Dividimos
entre
2:
Por lo tanto,
CS
=
[2:~}-
· Resolución.
[2x
-1]
=
3
3
<
2x
-1
<
4
4
<
2x
<
5
5
2<x<­
-2
Se tiene
la
ecuación:
[lxl
-:-
2]
=
---1
Aplicamos
la
propiedad
2:
· -1
<
lxl -
2
<
O
Sumamos
2:
1
<
lxl
<
2
Es
decir: 1
<
lxl
A
lxl
<
2 ·
(x
~
---:1
V
X~
1)
A
-2
<X<
2
(la
representamos
en
la
recta
real)
-2
-1
1
2
Por lo tanto,
CS
=
(-2;-1]
U
[1;
2}.

8. Álgebra . .
·.
·
MAxlMD
ENTERO
.
Ejemplo
;.
Éj~~plo Ejemplo
Resolución. . .
Se
tienela
ecuacion:
•..
.[·
Zx
~
1]
=
X
· 3 ] 2·
.
Por
la
propiedad
3.: ·
Por
la
propiedad
2.:
Multiplicamos por
6:
Restamos 3x:
Sumamos
6:
X
··
-E
Z;
es decir,
x
debe
ser
múltiplo
de
2
2. . . X
2X
X
2<3-
1
<2+
1
3x
<
4x
-
6
<
3x
+
6
0<x-6<6 6
<
x
<
12 /
x
múltiplo de 2
Luego, las soluciones son: 6; 8
y
10.
Por
lo
tanto,
CS
=
{6; 8;
10}.
Resolución. Se tiene la ecuación: [ [
.Jx
+ .
.J2]]
=
1
Aplicamos la propiedad
4:
[.Jx
+
.Jz]
=
1
y
x
>
O
Aplicamos la propiedad
2:
1
<
.Jx
+
.../2
<
2
y
x
>
O
G
4,ft~

9. -
1·
◄
Restamos
./2:
1-./2~-fx<Z-./2
y-{x~o
(-)
(+)
Intersectando se obtiene:
o~-lx<2--J2
Elevamos al cuadrado:
2
0
<X<
(2 -
.../2)
Por lo tanto,
CS
=
[O;
( 2
.,;.;.
.../2)
2
).
Resolución. Se tiene la ecuación:
[-12
+
[x]]
=
2019
Aplicamos la propiedad 5:
[-v'2]
+
[x]
=
2019
(Pues,
[
x]
E
Zl
)
1
+
[x]
=
2019
[x]
=
2018
Aplicamos la propiedad
2:
2018
~
x
<
2019
Por lo tanto,
CS
=
[2018; 2019).
-

10. Álgebra
··
. . · ·
·.
· .
MAxlMD
ENTERO
.-
. . . . · ·
Ejemplo
9
.,
,,•
Resolución. Se
sabe que:
Multiplicamos por
-1:
O
~
x -
[x]
<
1 ;
Vx
E
IR
0
~
[x] -
X>
-1
Se puede expresar así:
-1
<
[x]
-x
<
O
Luego, [
[x]
_
x]
=
{-1
s!
- 1
<
[x]
-
x
<
O
0
SI
[x] -
X=
0
Porlo
tanto,
Ran(f)
=
{O;
-1}.
Resolución. Se
tiene la ecuación:
Aplicamos
la
propiedad
8:
Aplicamos
la
propiedad
2:
Multiplicamos por
10:
Por
lo
tanto,
CS
=
[20; 30).
Resolución.
[[x]]
=
2
[10 [;o]
=z
.. X
2
<
10
<
~
20
<x
<
30
La expresión
S
se puede expresar así: S
=
[
✓
3
x
4]
+
[
✓
4
x
s]
+
[
✓
s
x
6]
3
4
5
GMfüM,,;;¡:¡;,ft-PIIII

11. Aplicando
la
propiedad
anterior se obtiene:
S
=
3
+
4
+
S
=
12
••.a
... rn."W11i,.a.
· -.. , -.
-.
,
~-
p --
[2
i--. [
~
[
i]
_ •
••
• • -
Dada
la
expres1on materna
ti
ca
.
(xJ
=
x -
x
ll -
x
+
z.11
Ejemplo
Calcule
el
valor
de
P
(ne).
< •
Resolución. Se
sabe
que:
M
+
[x+½]
=
[2x]
Pasamos todo
al
lado derecho:
O=
[2x] -[x] -
[x
+
½]
Pcx)
Es
decir,
P
(x)
=
O;
't/x
E
IRL
Por
lo
tanto,
P
(rce)
=
O.
Resolución. Se
tiene la ecuación:
Se
puede expresar así: [
2
;
-½]
+
[~
+
i]
=
O
[23x
-
½]
+
[2;
+
H
=
º
r;
-½]
+
[(2;
-½)
+½]
=
º
Si
hacemos el cambio:
se obtiene
la
ecuación:
Aplicamos la
propiedad
1 O:
2x
1
---=y
3 3 [y]
+
[Y
+
½]
=
O
[2yD
=
o
O~
2y
<
1
Elllll
3MMki,iif;iffiíffiii
1

12. Reemplazamos
y:
Dividimos
entre
2:
Multiplicamos
por
3:
(
2x
1)
o::;2
3
-
3
<1
2x-1
1
O<--<-
- 3 2
3
O<
2x-1
<-
- 2
5
Sumamos 1:
· 1
<
2x
<-
- 2
Dividimos
entre
2:
POr
lo tanto,
es
.
H;
~)
1 5 -<x<- 2-
4
En general,
se tiene
la Identidad de Hermite:
. ,
11
. :
,12
· -
Resolución. Se
tiene
la ecuación:
[x]
+
[x
+
½]
+
[x
+
¾]
=
8
Por
la
propiedad 11:
[3x]
=
8
. Por
la
propiedad
2:
8
<
3x
<
9
8
Dividimos
entre
3:
3
<
x
<
3
·[ª
Por
lo tanto,
CS
=
3
;
3)
Gfflfüh,,1;1
114,tt-

13. · · · ·
·_
.
_;
· · . .
..
. ' . ·
MAXIMD
ENTERO
. . . ·
Álgebra
· 13 - Ejemplo 11111
Resolución. Nos piden calcular:
s
=
[v'2]
+
[{6]
+
[fil]+
...
+
[m:o]
Le damos forma:
S
=
[vri:z]
+
[ff-3]
+
[~
+
...
+
[
✓
10
·
11]
Aplicando la propiedad anterior con
n
=
10,
se obtiene:
S
=
10(11)
=
SS
2
Para resolver ecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente. Más que todo, recordar lo siguiente:
't
1

14. Álgebra
· . . ·
MAxlMD
ENlERD
·
Ejemplo
Resolución.
Se tiene
la
ecuación:
Aplicamos el teorema
1:
Sumamos
1:
Dividimos entre
2:
. 5
Por
lo
tanto,
es
=
[2;
2
}
Resolución.
[2x
-1]
=
3
3 <
2x
-1
< 4
4
<
2x
<
5
2<x<~
~
2
Se tiene
la
ecuación:
[v'x]
=
x
(x
tiene
que
ser
entero)
Se cumple si:
x
E
71..
/
x
~
v'x
<
x
+
1 /
x
>
O
xE'll..
/
x<v'x
/
v'x<x+l
/
x>O
.
X
E
71..
/
x
2
<
X
/
X
<
(x
+
1)
2
/
X
>
o
X
E
71..
/
X
<
1 /
X
<
x
2
+
2x
+
1
/
X
>
o
X
E
71..
/
X
<
1
/
0
<
X
2
+
X
+
1 /
X
>
0
trinomio
(
+)
(V)
Intersectando se obtiene:
O<x<l
/
xE'll..
Es
decir, las soluciones son solamente:
O
y
1.
Por
lo tanto,
es
=
{O;
1}.
Resolución. Se
tiene
la
ecuación:
[3x
+
2]
=
n
Esta
ecuación no tiene solución,
pues
[3x
+
2]
E
71..
;
'vx
E
~­
[3x
+
2]
=
n
(absurdo)
Por
lo tanto,
CS
=
</>.
GffiffiM,,UM4,ft-

15. 11
Resolución. Se
tiene la ecuación:
[x] -
1
[x] -
2
2 -3
=
l
Multiplicamos
por
6:
(
[x] -
l
[x] -
2)
6
2
-
3
=
6(1)
3([x]
-1) -
2([x]
-2)
=
6
3[x]
- 3 -2[x]
+
4
=
6
[x]
+
1
=
6
[x]
~
5
S<x<6
Por lo tanto,
es=
[5; 6).
Resolución. Se tiene la ecuación:
[x]
2
+
2
=
3[x]
Pasamos todos los términos al lado izquierdo para factorizarlo:
[x]
2
-
3[x]
+
2
=
O
[x] --.
f --
-1
[x]~-2
([x]
-
l)([x]
-2)
=
O
[x] -
1
=
O
V
[x] -
2
=
O
[x]
=
1
V
[x]
=
2
1:s;x<2
V
2:s;x<3
1<x<3
Por lo tanto,
es=
[1; 3).
Resolución. Se tiene la ecuación:
[x
2
-
2x]
=
-1
-;M{;t;,,¡4:l§üjj .
◄

16. Álgebra
· · · .
MAxlMO
ENTERO
.
Por propiedad:
-l<x
2
-2x<O
Recuerde:
Luego, la inecuación anterior se puede expresar así:
-1
<
x
2
-
2x
/
x
2
-
2x
<
O
O
< x
2
-
2x
+
1 /
x(x
-
2)
<
O
_____
_,
Trinomio
cuadrado
Aplicamos
el
método
perfecto
de
los
puntos
críticos
Ü
<
(X
-
1)
2
/
Q
<
X
<
2
,-,--
____
_,.
xEIR{.
/
0,
<x<2
0<x<2
Por lo tanto,
es
=
(O;
2).
Resolución.
.
.
Se tiene la ecuación:
1
[2x
+
1]
---
3
I
=
O
Recuerde:
Luego,
la
ecuación es equivalente
a:
Restamos
1:
Dividimos
entre
2:
Por
lo
tanto,
·
es
=
[1; ~)
Resolución. Se tiene la ecuación:
[2x
+
1]
- 3
=
O
[2x
+
1]
=
3
3
<
2x
+
1
<
4
2
<
2x
<
3
3
l<x<-
-2
[x]
=
lxl
La ecuación tiene sentido si
lxl
es un número entero. Luego, la
ecuación se cumple si:
lxl
<
x
<
lxl
+
1 /
lxl
E
'll.
•
◄
Mm,,;;i:m,u.-m

17. Desdoblamos
la
inecuación:
lxl
~
x
A
x
<
lxl
+
1
A
lxl
El
(Tiene
sentida
si
x
~
O)
Luego
la
inecuación
se
expresa así:
X
<
X
/
X
<
X
+
1
A
X
E
ZÓ
.._._.., x
E
IRl
A
X
E
IRl
A
X
E
Zó
X
E
Zó
Por
lo
tanto,
CS
=
zt
=
{O;
1;
2;
3;
4;
...... } .
....
....
.
....
........
....
..
..
·••
..
.
Resolución. Hallamos
el
CV
A:
x -
1
>
O / 5 -
x
>
O
x~l
A
S~x
l<x<S
Es
decir,
el
conjunto
de
valores admisibles
(CVA)
es:
[1;
5].
Se
tiene
la
ecuación: _
[
✓
x
-
1
+
-V5
-
x]
=
✓
x
-
1
+
-VS
-
X
Aplicamos
el
teorema
2:
·
-vx
-
1
+
✓
s
-
x
E
Z
Esto
se
cumple
si:
Jx
-
1
E
Z
y
-VS
-
X
E
Z
Por
lo
tanto,
CS
~
{1;
5}.
Resolución.
x=l x=2 x=S
. . ,
[X+
3]
X+
2
Se
tiene la ecuac10n:
--
=·
,__ --
. 2
.,
· 3
x~l x=4 x=S
x+2
Como
[a]
E
Z;
'va
E
IRl,
entonces
--
debe ser un entero.
3
x+2
Supongamos que -
3
-
=
k.
Es
decir,
x
+
2
=
3k
➔
x
=
3k
-2
C•)
Lo
reemplazamos en la ecuación:
e

18. Álgebra
·_
. . ·
.·
· ·
·..
· .
MAxlMO
ENTERO
.
··.
. · .
[(3k
-t
+
3]
=
k
[3k;
1]
=
k
3k
+
1
k<
2
<k+l
Multiplicamos
por~
:
2k
<
3k
+
1
<
2k
+
2
2k
<
3k
+
1 /
3k
+ 1 <
2k
+ 2
-1
<
k / k
<
1
-1
<
k
<
1
k
=
-1
V
k
=
O
■
Si
k
=
-1,
reemplazando en ( *) se obtiene
x
=
-5
■
Si
k
=
O,
reemplazando en
(*)se
obtiene
x
=
-2
Por lo tanto,
CS
=
{-5;
-2}.
Para resolver inecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente y los siguientes teoremas.
Para todo
n
E
l,
se cumple:
Resolución. Se tiene la inecuación:
[3x
-
2D
<
5
Aplicamos el teorema
1:
3x
- 2
<
5
Sumamos
2:
3x
<
7
GMffifii,,¡;

19. Ejemplo
· : , ·
'·:
,
MAXIMO
ENTERO
-
Dividimos
entre
3:
7
Por lo tanto,
es
=
(-
00
;
3
)
Resolución.
7
x<-
3
Se tiene la inecuación:
[x
2
-
3x]
<
-2
Aplicamos el teorema
1:
x
2
-
3x
<
-2
x
2
-
3x
+
2
<
O
Factorizamos por aspa simple:
(x
-
l)(x
-
2)
<
O
Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
Por lo tanto,
es
=
(1; 2).
R~solpción .
...
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema
2:
Sumamos
1:
Dividimos entre 4:
[4x-1]
<
2
4x
-1
<
3
4x
<
4
x<l
Por
lo tanto,
CS
=
(-oo;
1).
Resolución. Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema
2:
Lo factorizamos:
[3x
2
-
Sx]
<
7
3x
2
-
Sx
<
8
3x
2
-
Sx
- 8
<
O
3xx-8
X
1
(3x
-
8)(x
+
1)
<
O
+
Elll
Ad&f
M@lrtmfflN
Álgebra
-

20. Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
-1
8/3
8
Por
lo
tanto,
C~
=
(-1;
3
)
··•··•
··
.
......
.
.....
.
....
.
..
.
, .........
......
..
•·
...
.....
..
.
...
....
, .
...
....
, ..
..
..
.
.........
...
····
····
····
•··••
·•·••
··
··
··••·•
··•
•·
·'·
...
.
..
.
...
.
Resolución. Se
tiene
la
inecuación:
[Sx
-
8]
>
1
AplicaJ?OS el teorema 3: Sx - 8
>
2
Sumamos 8:
Sx
>
10
Dividimos entre
5:
x
>
2
Por
lo tanto,
CS
=
[2; +oo).
Resolución. Se tiene la inecuación:
[(x
-
l)(x
+
2)(x
-
3)]
>
-1
Aplicamos el teorema 3:
(x
-
l)(x
+
2)(x
-
3)
>
O
Aplicapios el método de los puntos críticos:
-2
1
Por
lo tanto,
CS
=
[-2;
1]
u
[3;
+oo).
Resolución. Se
tiene
la
inecuación:
Aplicamos
el
teorema
4:
Multiplicamos
por
2:
r~l]
>
4
3x-1 --->4
2 -
3x
-1
>
8
3 r,¡;;;;,,;;;114,;;--

21. Sumamos
1:
•
Dividimos entre
3:
3x
>
9
x>3
Por lo tanto,
es=
[3; +oo).
Resolución. Se tiene la inecuación:
[l2x
-
11-
3]
>
8
Aplicamos el teorema
4:
l2x -
11
-
3
>
8
Sumamos
3:
l2x -
11
>
11
Recuerde:
Luego;
Sumamos
1:
2x - 1 <
-11
V
2x
-1 > 11
Zx<-10
V
2x>12
Dividimos entre
2:
X
<
-5
V
x
>
6
Por
lo tanto,
es=
(-
,oo;
-5]
u
[6;
+oo).
Resolución. Se tiene la inecuación:
(e[x] -z)(rr[x] -
3).J[x] -
x
>
O
Hallamos el CVA:
.J[x] -
x
está
bien
definido
en
Iffi.
si:
[x] -
X>
0
[x]
>
x,
pero
se
sabe
que: x
>
[x];
Vx
E
l.
.
Luego,
[x]
>
x
>
[x]
Es decir,
[x]
=
x
Esto se cumple si
x
E
l.
Luego,
CVA
=
I.
Lo reemplazamos
en
la
inecuación:
(ex -
2)(nx
-
3)
✓
x
-x
>
O
(ex -
2)(nx
-3)../o
>
O
O
>
O
(Verdadero)
Por
lo tanto,
CS
=
CVA
=
l.
e

22. Álgebra
· · · · ·
-·
Ejemplo
1
Resolución. Se tiene la inecuación:
x -
3[x]
>
1
Dividimos
entre
3:
Es equivalente a:
X
-1
>
3[x]
x-1
3
>
[x]
x-1
[x]
<-3-
(x
3
1
tiene
que
ser
entero)
Esta inecuación
se
verifica si:
x-1
x-1
x<--+1
A
--=nE7l
3 3
Multiplicamos por
3:
3x
<
x -
1
+
3
A
x -
1
=
3n
Dividimos entre
3:
2x
<
2
X
<
1
'----'
3n
+
1
<
1
3n
<
O
A
X=
3n
+
1
n<O
A
nE7l
n=-1;-2;-3;
...
Es decir , las soluciones son
de
la forma:
x
=
3n
+
1 tal que
n
E {
-1;
-
2;
-3;
...
}
(reemplazando los valores a
n
se obtienen todas las soluciones)
Por lo tanto,
CS
=
{-2;
-5;
-8;
-11;
...
}.
Regla de correspondencia:
La gráfica de la función
f:
Ill
-
➔
71.
tal que
fcx)
=
[x]
=
n; n
E
7l
la obtenemos
dando valores al entero
n,
pues para cada valor de
n
se obtiene
un
intervalo de
valores para
x;
intervalo en el cual tendremos una función constante de rango {n}.
Recuerde:
Í(x)
=
[x]
=
n
~
n
<
x
<
n
+
1
Luego:
r,¡;;;;.,;;GMt
flllllll

23. l
MAXIMD
ENTERO
. . .
Álgebra
Sin=
-2
--+
Í(x)
=
-2;
-2<x<-1
Si
n
=
-1
--+
Í(x)
=
-1;
-1
<X<
0
Sin=
O
--+
Í(x)
=
O;
O<x<1
Sin=
1
--+
Í(x)
=
1;
1<x<2
Sin=
2
--+
Í(x)
=
2;
2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función
Í(x)
=
[x]:
3
-----
--
, ---~
1 I 1
1 I 1
2
---
---~----1 1
¡
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
--~--~---~
I 1 1 1
-3
-2
-1
1
1 1 1
1 1
o
1 2 3 4
1 1
1 1 r------
----'"'
-1
1
¡,.
1
1 I 1 ~---H--
-
-2
1 I 1 1 I 1 .......,¿_
___
1 ____
-3
Para la
función
Í(x)
=
[x]
se obtiene:
Eje111plo
Dom(f)
=
Ill
y
Ran(f)
=
7l
Resolución.
1
La
función
Í(x)
=
[x]
está
bien
definida
en
Ii
si:
[x]
*
O
Es equivalente a:
~([x]
=
O)
~(O<
x
<
1)
x<O
V
x>l
Es decir,
x
E
(-oo;
O)
V
x
E
[1; +oo)
Por
lo tant~,
Dom([)=
(-oo;
O)
u
[1; +oo).
.
•·•
•·
···
·
..
,
....
.
....
.
.. ,
....
~·
..
...
..
~
...
..
-·
◄

24. Resolución. Por dato:
Dom(f)
=
[-1;
1]
El dominio se puede expresar así:
Dom(f)
=
[-1;
O)
u
[O;
1]
ter
caso:
x
E [
.....
1;
O)
Esto implica que:
lxl
..:..
-x.
Luego, la función se expresa así:
[
-x
-
2]
~~
+
2]
[ 5 ]
Í(x)
=
3 -
X
=
lix=3
=
l
+
X -
3
Partimos de la desigualdad:
-1
<
x
<
O,
para formar la función.
Restamos
3:
-4
<
x -
3
<
-3
1 1 1
Invertimos: - -
<
--
< - -
3
x-3-
4
5 5 5
Multiplicamos
por
5:
- -
<
--
<
--
3
x-3-
4
2 5 1
Sumamos
por
1:
--<1+--<--
3
x-3-
4.
Luego,
[1
+
~]
=
-1;
'vx
E
[-1;
O)
Í(x)
2do caso:
x
E
[O;
1]
Esto implica que:
lx
1
=
x.
Luego, la función se expresa así:
[
X -
2]
[X
-
2]
[ 1 ]
Í(x)
=
3 -
X
=
3 -
X
= -
l
+
3 -
X
Partimos de la desigualdad: O
<
x
<
1, para formar la función.
Multiplicamos por
-1:
--1
<
-x
<
O
Sumamos
3:
2
<
3 -
x
<
3
1 1 1
Invertimos:
3
<
3
_
x
<
2
2 1 1
Restamos
1:
- -
<
-1
+--
<
--
3 -
3-x-
2
r,;;;;¡,,;;¡:¡g.4
-

25. ·
MAXlMO
ENTERO
Álgebra ·
Ejemplo
Luego,
[-1
+
~]
=
-1;
Vx
E
[O;
1]
f(x)
De] primer
y
segundo caso, se obtiene:
fcx)
=
[';
1_-xz]
=
-1;
Vx
E
[;-1; l]
Por lo tanto,
Ran(f)
=
{-1}.
-~i
r
;{
arn,tí
. . .
é~
ó~;
f
<x)
~ ·
¡;
•
L,.
-~~-"
,.dvc•·
-~~~~~~,;
htet.-
~~~
"'---
Resolución. Recuerde:
[x]
=
n
H
n
<
x
<
.n
_ +
1;
n
E
i
La
función
f
se puede expresar de
la
sig1úente manera:
f(x)
=
X -
n
Luego: •
Sin=
-2:
f(x)
=X+
2;
-2
<X<
-1
•
Sin=
-1:
f(x)
=X+
1;
-1
<X<
0
•
Sin=
O:
fcx)
=
x;
O<x<l
•
Sin=
1:
f(x)
=
X -
1;
1:s;x<2
•
Sin=
2:
Í(x)
=
X -
2;
2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función
fcx)
=
x -
[x]:
1
¡--- 1
1
...
-3 -2 -1
1
2
3
Para la función
Í(x)
=
x -
[x]
se obtiene:
Dom(!)
=
II?
y
Ran(f)
=
[O;
1)
i!Wi
l1mmm1;1,
1,llít