Ternos pitagóricos

1. Ternos Pitagóricos

2. Teorema de Pitágoras
O quadrado
construído sobre a
hipotenusa é
equivalente à soma
dos quadrados
construídos sobre os
catetos.

3. Sabe-se que o Teorema de Pitágoras não é
válido apenas para o quadrado; é válido para
três polígonos semelhantes cujos lados
homólogos a, b e c, sejam de um triângulo
retângulo.

4. A figura mostra o
Teorema de Pitágoras
aplicado ao triângulo
equilátero: O triângulo
equilátero T, construído
sobre a hipotenusa, é
equivalente à soma dos
triângulos equiláteros T’ e
T” construídos sobre os
catetos.

5. Terno de números pitagóricos
Quando três números inteiros a, b e c (não nulos)
satisfazem à relação
dizemos que esses números formam um terno de
números pitagóricos, ou simplesmente, um terno
pitagórico.
2 2 2
a b c= +

6. Assim os ternos:

são ternos pitagóricos. O quadrado do número maior
é igual à soma dos quadrados dos outros dois.
81517
51213
345

7. Qualquer terno pitagórico será uma solução inteira
para a equação diofantina:
Na qual x é a hipotenusa e y e z são os catetos de
um triângulo retângulo.
2 2 2
x y z= +

8. Como obter os ternos pitagóricos?
Basta tomar as expressões:
e atribuir aos elementos a e b valores inteiros,
positivos e diferentes, sendo a maior do que b.
hipotenusa catetos
2 2 2 2
2a b ab a b+ -

9.  Exemplo:
Fazendo a = 5 e b = 2, obtemos o seguinte
terno pitagórico:
29 20 21

10. Terno pitagórico primitivo
Um terno pitagórico é primitivo quando os
elementos que o formam são primos entre si.
São ternos pitagóricos primitivos:

94041
81517
51213

11. Ternos compostos ou não-primitivos
Os seus elementos não são primos entre si.
Se multiplicarmos os elementos de um terno
primitivo por um número inteiro m (maior do que
1) vamos obter um terno composto ou não-
primitivo.

12. Exemplo:
Do terno primitivo
tiramos os ternos não-primitivos
364860
91215
6810
345

13. Dado um terno pitagórico não-primitivo
podemos dividir todos os elementos desse
terno pelo seu m.d.c. e obtemos um terno
pitagórico primitivo.

14.  Tomemos por exemplo o terno pitagórico
 Dividindo-se os três elementos por 12 (m.d.c.),
obtemos
que é um terno pitagórico primitivo.
144132150
121125

15. Acredita-se que uma lista
de dois dos três números
de um terno pitagórico
estão na chamada Tábua
de Plimton 332.
A Tábua de Plimton 332
é uma tábua de barro de
origem babilônica, datada
de 1800 a.C., que se
encontra na Universidade
de Columbia.
Fonte:http://www.uch.ceu.es/principal/eponimos_cientificos/pitagoras.asp

16. O terno pitagórico
5 4 3
é o mais notável de todos, pois é formado por três
números consecutivos, e, nesse terno, a soma dos
elementos é a menor possível.
Esse terno define um triângulo retângulo
denominado pelos geômetras gregos de “ triângulo
nupcial”.

17. Experimente agora encontrar outros ternos
pitagórios.

18. Referências Bibliográficas
TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. 6. ed. Rio
de Janeiro: Bloch, 1987.
TERNA PITAGÓRICA. Disponível em:<
http://www.uch.ceu.es/principal/eponimos_cientificos/pitagoras.asp
>. Acesso em: 4 dez. 2010.