ToKiSu1_chuong_4.đại học spkttphcmthuduc

Toán ks1

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH BỘ MÔN TOÁN
HCMC University of Technology and Education
TOÁN CAO CẤP CHO KỸ SƯ 1 (MATH133101)
Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
Phan Phương Dung
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 1 / 1

2. Nội dung
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2 / 1

3. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.1. Bài toán giá trị đầu và bài toán biên
4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
4.1.1. Bài toán giá trị đầu và bài toán biên
Bài toán giá trị đầuMột bài toán giá trị đầu của PTVP tuyến tính là
(
an(x)y
(n)
+an−1(x)y
(n−1)
+...+a1(x)y
′
+a0(x)y=g(x)
y(x0) =y0,y
′
(x0) =y1, ...,y
(n−1)
(x0) =yn−1
Định lí (Sự tồn tại duy nhất nghiệm)Choan(x),an−1(x), ...,a1(x),a0(x)vàg(x)liên
tục trên khoảngI, vàan(x)̸=0 với mọix∈I. Nếux=x0là một điểm bất kì trênI, thì
nghiệmy(x)của bài toán giá trị đầu (1) tồn tại duy nhất trênI.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3 / 1

4. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.1. Bài toán giá trị đầu và bài toán biên
Ví dụ bài toán giá trị đầuBài toán giá trị đầu
(
3y
′′′
+5y
′′
−y
′
+7y=0
y(1) =0,y
′
(1) =0,y
′′
(1) =0
nhậny=0 làm nghiệm. Vì PTVP cấp 3 này tuyến tính với hệ số hằng, nên y=0 là
nghiệm duy nhất của PTVP trên bất kì khoảng nào chứax=1.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 4 / 1

5. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.1. Bài toán giá trị đầu và bài toán biên
Bài toán biênBài toán có dạng
(
a2(x)y
′′
+a1(x)y
′
+a0(x)y=g(x)
y(a) =y0,y(b) =y1
được gọi làbài toán biên hai điểm, hoặc đơn giản là bài toán biên (BVP).
Một vài điều kiện biên khác:
+y
′
(a) =y0,y(b) =y1;
+y(a) =y0,y
′
(b) =y1;
+y
′
(a) =y0,y
′
(b) =y1.
Một bài toán biên có thể có vài nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 5 / 1

6. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.2. Phương trình vi phân thuần nhất
4.1.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Định nghĩaPTVPan(x)y
(n)
+an−1(x)y
(n−1)
+...+a1(x)y
′
+a0(x)y=0 (6) được gọi
làthuần nhất.
Ví dụ. 2y
′′
+3y
′
−5y=0 là PTVP thuần nhất,y
′′
−4y
′
+5y=sinxlà PTVP không
thuần nhất.
Nguyên lý chồng nghiệm của PTVP thuần nhấtChoy1,y2, , , , ,yklà các nghiệm của
PTVP (6) trên một khoảngI. Khi đó, tổ hợp tuyến tính
y=c1y1(x) +c2y2(x) +...+ckyk(x),
trong đóci,i=1,2, ...,klà các hằng số, cũng là nghiệm của PTVP trên khoảng I.
Ví dụ. Các hàmy1=x
2
vày2=x
2
lnxđều là nghiệm của PTVP thuần nhất
x
3
y
′′′
−2xy
′
+4y=0
trên khoảng(0,∞). Theo nguyên lý chồng nghiệm,y=c1x
2
+c2x
2
lnxcũng là nghiệm
của PTVP trên khoảng này.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 6 / 1

7. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Một tập các hàmf1(x),f2(x),...,fn(x)được gọi làphụ thuộc tuyến tínhtrên khoảngI
nếu tồn tại các hằng sốc1,c2, ...,cnkhông đồng thời bằng 0 sao cho
c1f1(x) +c2f2(x) +...+cnfn(x) =0,
với mọiI. Nếu tập các hàm không phụ thuộc tuyến tính trên khoảngIthì nó được gọi là
độc lập tuyến tính.
Định thức Wronski
Giả sử mỗi hàmf1(x),f2(x),...,fn(x)có đạo hàm đến cấp(n−1). Định thức
W(f1,f2, ...,fn) =









f1 f2. . .fn
f
′
1
f
′
2
. . .f
′
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
(n−1)
1
f
(n−1)
2
. . .f
(n−1)
n









được gọi làđịnh thức Wronskicủa các hàm.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 7 / 1

8. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Định lý (Tiêu chuẩn nghiệm độc lập tuyến tính)
Choy1,y2, ...,ynlànnghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấpn(6)
trên khoảngI. Khi đó, hệ này độc lập tuyến tính trênIkhi và chỉ khi định thức Wronski
W(y1,y2, ...,yn)̸=0, với mọixthuộcI.
Hệ nghiệm cơ bản
Một tập bất kìy1,y2, ...,yngồmnnghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất cấpntrên khoảngIđược gọi là mộthệ nghiệm cơ bảncủa
phương trên khoảngI.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 8 / 1

9. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất. Choy1,y2, ...,ynlà tập ghiệm cơ bản của
PTVP (6) trên khoảng I. Khi đó, nghiệm tổng quát của (6) trên I là
y=c1y1(x) +c2y2(x) +...+cnyn(x),
trong đóci,i=1,2, ...,nlà các hằng số.
Ví dụ.PTVPy
′′
−9y=0 có hệ nghiệm cơ bản lày1=e
3x
,y2=e
−3x
trên(−∞,∞).
Vậy nghiệm tổng quát của nó lày=c1e
3x
+c2e
−3x
.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 9 / 1

10. 4.1. Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao4.1.3. Phương trình vi phân không thuần nhất
4.1.3. Phương trình vi phân không thuần nhất
Nghiệm tổng quát của PTVP không thuần nhấtChoyplà một nghiệm riêng của
PTVP
an(x)y
(n)
+an−1(x)y
(n−1)
+...+a1(x)y
′
+a0(x)y=g(x) (7)
và Y(x) là nghiệm của PTVP thuần nhất tương ứng. Khi đó, nghiệm tổng quát của (7) là
y=Y(x) +yp.
Nguyên lý chồng nghiệm của PTVP không thuần nhất.Cho
yp1là nghiệm của PTVPan(x)y
(n)
+an−1(x)y
(n−1)
+...+a1(x)y
′
+a0(x)y=g1(x),
yp2là nghiệm của PTVPan(x)y
(n)
+an−1(x)y
(n−1)
+...+a1(x)y
′
+a0(x)y=g2(x),
khi đó
yp=yp1+yp2
là nghiệm của PTVP
an(x)y
(n)
+an−1(x)y
(n−1)
+...+a1(x)y
′
+a0(x)y=g1(x) +g2(x).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 10 / 1

11. 4.2. Phương pháp giảm cấp
4.2. Phương pháp giảm cấp
Giảm cấp phương trình. Xét PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất
a2(x)y
′′
+a1(x)y
′
+a0(x)y=0 (1).
Giả sử ta biếty1(x)là một nghiệm của (1) trên khoảng I. Khi đó, ta có thể dùng phương
pháp giảm cấp phương trình để tìm nghiệm tổng quát của nó. Cụ thể:
+ Đặty(x) =u(x).y1(x)(*), thay vào (1) để có (2).
+ Đặtw=u
′
, ta được PTVP tuyến tính cấp một (3).
+ Giải (3) tìm w, sau đó lấy nguyên hàm w để được u, thay u vào (*) để có nghiệmy(x)
của (1). Chọn hệ số tương ứng để được nghiệmy2(x)cụ thể độc lập tuyến tính vớiy1(x).
+ Lúc này, nghiệm tổng quát của (1) lày(x) =c1y1(x) +c2y2(x).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 11 / 1

12. 4.2. Phương pháp giảm cấp
Ví dụ.Cho phương trìnhy
′′
−y
′
=0 có nghiệmy1=e
x
trên(−∞,∞). Tìm nghiệm
tổng quát của PT này.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 12 / 1

13. 4.2. Phương pháp giảm cấp
Tổng quát.Xét PTVP tuyến tính cấp 2 dạng chuẩn
y
′′
+P(x)y
′
+Q(x)y=0 (3)
trong đóP(x),Q(x)liên tục trên khoảng I nào đó. Giả sửy1(x)là một nghiệm cho trước
của (3) trên I. Phương pháp giảm cấp chỉ ra
y2(x) =y1(x)
Z
e
−
R
P(x)dx
y
2
1
(x)
dx
là một nghiệm khác của (3) mà độc lập tuyến tính vớiy1(x).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 13 / 1

14. 4.2. Phương pháp giảm cấp
Ví dụ.Cho hàmy1=x
2
là nghiệm của phương trìnhx
2
y
′′
−3xy
′
+4y=0. Tìm nghiệm tổng
quát của pt trên(0,∞).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 14 / 1

15. 4.2. Phương pháp giảm cấp
Ví dụ.Tìm nghiệm tổng quát của PTVPy
′′
−4y
′
+4y=0 biếty1=e
2x
là một nghiệm của
phương trình.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 15 / 1

16. 4.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
4.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Dạng:any
(n)
+an−1y
(n−1)
+...+a1y
′
+aoy=0 vớiai,i=0..nlà các hằng số.
Cấp 2:ay
′′
+by
′
+cy=0.(1)
Giải
+ Giải phương trình đặc trưng:am
2
+bm+c=0 (2).
+ Nếu (2) có 2 nghiệm thựcm1̸=m2thì (1) có nghiệm tổng quát
y=c1e
m1x
+c2e
m2x
.
+ Nếu (2) có nghiệm képm1thì (1) có nghiệm tổng quát
y=c1e
m1x
+c2xe
m1x
.
+ Nếu (2) có 2 nghiệm phức liên hợpm=α±iβthì (1) có nghiệm tổng quát
y=e
αx
(c1cosβx+c2sinβx)hoặcy=c1e
(α+iβ)x
+c2e
(α−iβ)x
.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 16 / 1

17. 4.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Ví dụ.Giải các phương trình vi phân sau
a) 2y
′′
−5y
′
−3y=0 b) y
′′
−10y
′
+25y=0 c) y
′′
+4y
′
+7y=0.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 17 / 1

18. 4.4. Phương pháp hệ số bất định
4.4. Phương pháp hệ số bất định
Bài toánGiải PTVP
any
(n)
+an−1y
(n−1)
+...+a1y
′
+a0y=g(x).(1)
Phương pháp
Bước 1.Tìm nghiệm tổng quátyccủa PTVP thuần nhất tương ứng với (1)
an(n)y
(n)
+an−1y
(n−1)
+...+a1y
′
+a0y=0.(2)
Bước 2.Tìm một nghiệm riêngypcủa (1).
Theo nguyên lý chồng nghiệm, nghiệm tổng quát của (1):y=yc+yp.
Phương pháp hệ số bất địnhvàphương pháp biến thiên hằng sốgiúp ta tìm nghiệm
riêngypcủa (1).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 18 / 1

19. 4.4. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp hệ số bất địnhDùng để tìm một nghiệm riêng của các PTVP tuyến tính (1)
any
(n)
+an−1y
(n−1)
+...+a1y
′
+a0y=g(x)
thỏa
an,an−1, ...,a0là các hằng số
g(x): hàm hằng, đa thức,e
αx
,sinβx,cosβx, hoặc tổng/ tích hữu hạn của những hàm
này.
Ví dụ.
2y
′′
−3y
′
+y=5+x-> dùng được phương pháp hệ số bất định.
2y
′′
−3y
′
+y=
1
x
–> không dùng được phương pháp hệ số bất định.
xy
′′
−3y
′
+y=5-> không dùng được phương pháp hệ số bất định.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 19 / 1

20. 4.4. Phương pháp hệ số bất định
Nội dung phương pháp hệ số bất địnhDựa vào dạng của g(x) để xác định dạng của
yp, thayypvào (1) để tìm các hệ số tương ứng.
g(x) |yp
hằng số k | A
đa thức bậc n | đa thức bậc n
e
mx
|Ae
mx
cos(mx) |Asin(mx) +Bcos(mx)
sin(mx) |Asin(mx) +Bcos(mx)
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 20 / 1

21. 4.4. Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ
g(x) |yp
2 | A
1+4x |Ax+B
x
2
+5 | Ax
2
+Bx+C
e
4x
|Ae
4x
sin(5x) |Asin(5x) +Bcos(5x)
cos(3x) |Asin(3x) +Bcos(3x)
xe
4x
|(Ax+B)e
4x
x
2
e
4x
|(Ax
2
+Bx+C)e
4x
xsin(3x) |(Ax+B)sin(3x) + (Cx+D)cos(3x)
sin(3x)e
4x
|Ae
4x
sin(3x) +Be
4x
cos(3x)
sin(5x) +7x|Asin(5x) +Bcos(5x) +Cx+D
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 21 / 1

22. 4.4. Phương pháp hệ số bất định
Chú ý Nếuypđặt theo quy tắc trên có hạng tử là nghiệm riêng của (2) thì ta nhân hạng
tử đó vớix
n
(n nhỏ nhất có thể) để nó không còn là nghiệm của (2) nữa.
Ví dụGiải các phương trình vi phân sau
a)y
′′
+4y
′
−2y=2x
2
−3x+6
b)y
′′
−2y
′
+y=5e
x
.
c)y
′′
−6y
′
+9y=6x
2
+2−12e
3x
.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 22 / 1

23. 4.5. Phương pháp biến thiên hằng số
4.5. Phương pháp biến thiên hằng số
Phương pháp biến thiên hằng sốDùng để tìm nghiệm riêngypcủa PTVP
y
′′
+p(x)y
′
+Q(x)y=f(x) (3)
vớiP(x),Q(x),f(x)liên tục trên một khoảng I nào đó.
Nội dung phương pháp biến thiên hằng số
Giả sửyc=c1y1(x) +c2y2(x)là nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất
y
′′
+p(x)y
′
+Q(x)y=0.
Đặtyp=u1(x)y1(x) +u2(x)y2(x). Tínhy
′
p,y
′′
p, thay vào (3) và thu gọn ta được
(y1u
′
1
+y2u
′
2
) +P(x)(y1u
′
1
+y2u
′
2
) +y
′
1
u
′
1
+y
′
2
u
′
2
=f(x).
Chọnu1,u2thỏa hệ (*):
(
y1u
′
1
+y2u
′
2
=0
y
′
1
u
′
1
+y
′
2
u
′
2
=f(x)
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 23 / 1

24. 4.5. Phương pháp biến thiên hằng số
bằng cách đặt
W=




y1y2
y
′
1
y
′
2




,W1=




0y2
f(x)y
′
2




,W2=




y10
y
′
1
f(x)




.
Lúc này
u
′
1=W1/W,u
′
2=W2/W.
Lấy tích phân theou
′
1
,u
′
2
theoxta đượcu1,u2, suy rayp.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 24 / 1

25. 4.5. Phương pháp biến thiên hằng số
Thuật toán
Bước 1. Đưa phương trình về dạngy
′′
+P(x)y
′
+Q(x)y=f(x)nếu cần.
Bước 2. Tìm nghiệm tổng quátyc=c1y1+c2y2của phương trình
y
′′
+P(x)y
′
+Q(x)y=0.
Bước 3. ĐặtW=




y1y2
y
′
1
y
′
2




,W1=




0y2
f(x)y
′
2




,W2=




y10
y
′
1
f(x)




.
Tínhu
′
1
=W1/W,u
′
2
=W2/W. Lấy tích phân củau
′
1
,u
′
2
theox, ta thu đượcu1,u2.
Một nghiệm riêng của PTVP làyp=u1y1+u2y2.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 25 / 1

26. 4.5. Phương pháp biến thiên hằng số
Ví dụTìm nghiệm tổng quát củay
′′
−4y
′
+4y= (x+1)e
2x
.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 26 / 1

27. 4.5. Phương pháp biến thiên hằng số
Ví dụGiải phương trình vi phâny
′′′
+y
′
=tan(x).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 27 / 1

28. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
4.6. Phương trình Cauchy - Euler
Định nghĩaMột phương trình Cauchy - Euler cấpnlà một phương trình vi phân cấpncó
dạng
anx
n
y
(n)
+an−1x
n−1
y
(n−1)
+...+a1xy
′
+a0y=g(x),
trong đóan,an−1, ...,a0là các hằng số.
Ví dụPhương trình vi phân
x
2
y
′′
−2xy
′
−4y=x
là một phương trình Cauchy - Euler cấp 2.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 28 / 1

29. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
Cách giải PTVP Cauchy - EulerXét phương trình Cauchy - Euler cấp 2
a2x
2
y
′′
+a1xy
′
+a0y=g(x) (1).
Để giải phương trình trên, ta có thể
Bước 1.Tìm nghiệm tổng quátyccủa PTVP thuần nhất
a2x
2
y
′′
+a1xy
′
+a0y=0(2)
Giải PT đặc trưng của (2):a2m(m−1) +a1m+a0=0 (3).
Nếu (3) có 2 nghiệm thực phân biệtm=m1,m=m2thìyc=c1x
m1
+c2x
m2
.
Nếu (3) có nghiệm képm=m1=m2thìyc=c1x
m1
+c2x
m2
lnx.
Nếu (3) có 2 nghiệm phức liên hợpx=α±iβthì
yc=c1x
α+iβ
+c2x
α−iβ
=x
α
(c1cos(βlnx) +c2sin(βlnx)).
Bước 2.Tìm một nghiệm riêngypcủa (1) biến thiên hằng số. Khi đó nghiệm tổng quát của
(1) lày=yc+yp.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 29 / 1

30. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
Ví dụGiải phương trình Cauchy - Eulerx
2
y
′′
−2xy
′
−4y=x.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 30 / 1

31. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
Ví dụGiải phương trình vi phân 4x
2
y
′′
+8xy
′
+y=0.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 31 / 1

32. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
Ví dụGiải PTVP 4x
2
y
′′
+17y=0.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 32 / 1

33. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
Ví dụGiải PTVP x
3
y
′′′
+5x
2
y
′′
+7xy
′
+8y=0.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 33 / 1

34. 4.6. Phương trình Cauchy-Euler
Tổng quát Giải phương trình vi phân
a2(x−x0)
2
y
′′
+a1(x−x0)y
′
+a0y=0.(4)
Giải PT đặc trưnga2m(m−1) +a1m+a0=0 (5).
Nếu (5) có 2 nghiệm thực phân biệtm=m1,m=m2thì (4) có NTQ
yc=c1(x−x0)
m1
+c2(x−x0))
m2
.
Nếu (5) có nghiệm képm=m1=m2thì (4) có NTQ
yc=c1(x−x0)
m1
+c2(x−x0)
m1
ln(x−x0).
Nếu (5) có 2 nghiệm phức liên hợpm=α±iβthì (5) có nghiệm tổng quát
yc=c1(x−x0)
α+iβ
+c2(x−x0)
α−iβ
= (x−x0)
α
(c1cos(βln(x−x0))+c2sin(βln(x−x0)).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 34 / 1

35. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Hệ lò xo/ khối lượng: Chuyển động tự do không giảm sốc
Một lò xo có chiều dài l được treo thẳng đứng
với một đầu cố định lên trần, một đầu tự do.
Một vật có khối lượng m được treo vào lò xo,
kéo lò xo dài thêm một đoạn là s.
Gọi vị trí vật đứng yên là vị trí cân bằng. Kéo
vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạnx0,
buông thả vật. Gọixlà độ lệch vị trí của vật
so với vị trí cân bằng, ta có:
m
d
2
x
dt
2
=−k(s+x) +mg
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 35 / 1

36. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Chia 2 vế cho m, ta được
d
2
x
dt
2
+ω
2
x=0, vớiω=
p
k/m.
Vậy ta có



d
2
x
dt
2
+ω
2
x=0,(ω=
p
k/m)
x(0) =x0,x
′
(0) =x1.
Chú ýCác đơn vị khối lượng là slugs, kilogram, gram ứng với g=32ft/s
2
, 9.8m/s
2
, và
980cm/s
2
.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 36 / 1

37. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Ví dụMột vật có trọng lượng là 2 lb kéo dãn một lò xo thêm 6 in. Khit=0, vật được thả ra
từ vị trí 8 in bên dưới vị trí cân bằng với vận tốc 4/3ft/shướng lên. Xác định phương trình
của chuyển động tự do.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 37 / 1

38. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Hệ lò xo/ khối lượng: Chuyển động tự do có giảm sốcChuyển động tự do không
giảm sốc chỉ là lí tưởng. Bình thường khi chuyển động tự do, vật sẽ gặp phải lực cản của môi
trường xung quanh. Giả sử lực cản này có độ lớn bằng một hằng số nhân vớidx/dt, khi không
có ngoại lực nào khác tác động lên hệ, theo định luật 2 Newton, ta có
m
d
2
x
dt
2
=−kx−β
dx
dt
.
Với các giá trị đầu,x(0) =x0,x
′
(0) =x1, ta có thể tìm rax(t).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 38 / 1

39. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Ví dụ.Một vật có trọng lượng 8 lb kéo dãn một lò xo thêm 2 ft. Giả sử rằng một lực cản có
độ lớn bằng 2 lần vận tốc tức thời tại cùng thời điểm tác động lên hệ, xác định phương trình
chuyển động nếu vật được thả từ vị trí cân bằng với một vận tốc 3ft/s hướng lên.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 39 / 1

40. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Mạch analogue Mạch LRC bao gồm một cuộn cảm L, điện trở R và tụ điện C mắc nối
tiếp với một suất điện động E ở đầu mạch.
Gọii(t)là cường độ dòng điện trong mạch ở thời điểm t, ta có
L
di
dt
+Ri+
1
C
q=E(t).
Nhưng điện tíchq(t)của tụ có mối liên hệ vớii(t)lài=
dq
dt
nên
L
d
2
q
dt
2
+R
dq
dt
+
1
C
q=E(t).
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 40 / 1

41. 4.7. Các mô hình tuyến tính: Bài toán giá trị ban đầu
Ví dụTìm điện tíchq(t)trên tụ điện trong một mạch LRC khi L=0.25 henry, R= 10
ohms, C=0.001 farah, E(t)=0 volt, q(0)=q0coulomb (C), và i(0)=0 ampere.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 41 / 1

42. Bài tập
Bài tập
1
Giải phương trình vi phân 3y
′′
−4y
′
+y=3e
5x
.
2
Giải phương trình vi phâny
′′
−4y
′
+4y= (x+3)e
x
.
3
Giải phương trình vi phânx
2
y
′′
+xy
′
−5y= sinx.
4
Một vật có khối lượng 0,5 kg kéo dãn lò xo thêm 10 cm. Khit=0 giây, vật được thả ra
từ vị trí 5 cm bên dưới vị trí cân bằng với vận tốc 5 cm/s, hướng lên. Xác định phương
trình của chuyển động tự do của vật.
Phan Phương Dung Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 42 / 1